Toán học giúp học sinh tư duy thuận nghịch hiểu biết các vấn đề theo suy luận có lý .Đặc biệt là môn hình học đòi hỏi sự sáng tạo và trí tưởng tượng cao .Hình học là môn học suy diễn bằn
Trang 11 MỞ ĐẦU
Toán học có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong các nghành khoa học Ngay từ thế kỷ thứ XIII nhà tư tưởng ANH R.Bê- cơn (R.bacon) đã nói rằng “Ai không hiểu biết toán học thì không hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình ” Toán học có vai trò như vậy là vì toán học “ Không chỉ là một tập hợp các sự kiện , trình bày dưới dạng các định lý , mà trước hết đó là một hệ thống phương pháp , hơn nữa
đó là ngôn ngữ để diễn tả các sự kiện và các phương pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn ”
Môn toán có khả năng to lớn giúp cho học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ Thực vậy,do tính chất trừu tượng cao độ của toán học môn toán
có thể giúp rất nhiều cho việc rèn luyện ở học sinh tư duy sáng tạo,rèn luyện tính cẩn thận , suy luận logic chặt chẽ Để phát huy tính sáng tạo thì thầy , cô giáo phải hướng dẫn cho học sinh giải toán bằng nhiều cách Việc giải toán bằng nhiều cách vừa giúp rèn luyện kỹ năng ,vừa phát triển tư duy trong học toán Qua đó còn tìm ra cái hay , cái đẹp trong từng lời giải Nhưng để làm được điều này không phải dễ Nó đòi hỏi người làm toán phải nhìn bài toán theo các góc độ khác nhau , biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng bài toán
Toán học là một môn học cơ bản giúp học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản
về toán .Toán là một môn học khó đòi hỏi người dạy phải đào sâu suy nghĩ ,không ngừng học hỏi để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ và người học phải chăm chỉ chuyên cần ,chịu khó tìm tòi , sáng tạo Toán học giúp học sinh tư duy thuận nghịch hiểu biết các vấn đề theo suy luận có lý Đặc biệt là môn hình học đòi hỏi sự sáng tạo và trí tưởng tượng cao Hình học là môn học suy diễn bằng suy luận có lý Nhưng đáng tiếc đại bộ phận học sinh khi học hình đều cảm thấy có ít nhiều khó khăn Một số các em ngại học toán và cụ thể là ngại học hình ,vì đứng trước một việc là chứng minh định lý hay chứng minh một bài hình thì các em không biết phải làm gì ,và phải bắt đầu từ đâu
1.1.Lý do chọn đề tài
Hình học có một vai trò vô cùng quan trọng trong chương trình học và dạy toán
ở trường phổ thông , Các bài toán hình học thường khó và rất khó đối với học sinh THCS mà đặc biệt là học sinh lớp 7, các em lần đầu tiên tiếp cận với việc phải chứng minh một bài toán hình học , phải vẽ hình , viết giả thiết kết luận , rồi phải dùng lập luận để chứng minh , điều này thật khó khăn với nhiều học sinh , để giải được học sinh không những phải biết vận dụng nhiều kiến thức và phải vận dụng một cách hợp lý , mà còn phải có sự sáng tạo , cần cù , chịu khó
Nghiên cứu nguyên nhân qua nhiều năm giảng dạy Toán tôi thấy có mấy điểm dưới đây :
* Học sinh chưa có khái niệm cơ bản , rõ ràng
* Học sinh thường chỉ học vẹt các định lý và quy tắc chứ không học sâu nhớ
kỹ để có thể vận dụng một cách sinh động những định lý và các quy tắc đó vào việc giải bài tập toán
Trang 2* Những thiếu sót thường gặp ở học sinh thường là :
* Chưa nắm chắc kiến thức cơ bản cụ thể là : Phát biểu sai định lý , định nghĩa Hoặc phát biểu thiếu chính xác nhầm lẫn giữa định nghĩa với định lý hoặc giữa định lý này với định lý khác , lúng túng không biết vận dụng những kiến thức đã học vào bài toán cần giải
* Về mặt kỹ năng vẽ hình : Không biết vẽ hình phù hợp với đầu bài , chẳng hạn học sinh thường vẽ hình trong những trường hợp đặc biệt ,vẽ hình thiếu rõ ràng ,sáng sủa , không biết tách ra những hình vẽ khác nhau trong trường hợp bài tập phức tạp có nhiều câu hỏi , không biết đánh dấu để làm nổi bật những yếu tố cần thiết trong một hình vẽ
* Về mặt suy luận : Những thiếu sót sai lầm thường gặp là Suy luận sai ,thiếu căn cứ , không thận trọng trong việc sử dụng các mệnh đề đảo , suy luận thiếu chính xác , lý luận vòng vo không cần thiết
* Đó là những nguyên nhân chủ yếu mà rất nhiều học sinh khi học hình vấp phải Đặc biệt là học sinh lớp 7, học sinh mới bắt đầu làm quen với việc chứng minh một bài tập hình Tập suy luận có lý Với học sinh lớp 7 thì việc hướng dẫn các em giải một bài tập hình hoàn chỉnh với các bước biết vẽ hình chính xác Viết giả thiết , kết luận ngắn gọn , trình bày lời giải lô gic ,chặt chẽ là việc làm rất khó Đòi hỏi thầy cô giáo phải tận tụy , kiên trì , say sưa tìm tòi nghiên cứu để có phương pháp giảng dạy tốt Vì học sinh lớp 7 đôi khi các em thường suy luận thiếu chặt chẽ
Nói về sách giáo khoa Toán lớp 7 hiện hành , có nhiều điều lý thú Cái hay , cái đẹp và cả những tồn tại của sách giáo khoa thì độc giả và những nhà nghiên cứu , các nhà giáo đã phân tích rất nhiều nhưng theo tôi thì sách giáo khoa toán lớp 7 hiện nay có ưu điểm nổi bật là làm cho việc học hình của học sinh “nhẹ nhàng” hơn trước bằng chứng là một số định lý như định lý về các trường hợp bằng nhau của tam giác Và nhiều định lý khác phải chứng minh một cách rườm
rà khó hiểu thì nay đã được giảm tải Mới đây nhất Bộ giáo dục và đào tạo lại cho giảm tải chương trình ở cả 4 khối ,tất nhiên trong việc giảm tải chương trình
có nhiều ý kiến trái chiều ,nhưng mục đích của việc giảm tải là rất tốt nó giúp cho học sinh bớt áp lực học hành Nhất là chương trình phổ thông năm 2018 tới đây , của BGD&ĐT sẽ có cấu trúc hay , giúp học sinh không chỉ học để biết mà còn học để làm và học để chung sống ( năm nay là bắt đầu chương trình mới của lớp 2
và lớp 6 ) , hy vọng các nhà giáo dục , các chuyên gia đầu nghành sẽ nghiên cứu
để học giáo viên dễ dạy và học sinh dễ học Do vậy thay bằng việc phải chứng minh định lý một cách dài dòng và sau khi chứng minh xong thì học sinh chẳng nhớ được điều gì thì nay học sinh được công nhận một số định lý , tính chất và áp dụng vào giải bài tập , cùng với việc các thầy ,cô giáo sử dụng bản đồ tư duy trong dạy, học toán thì các định lý sẽ được nhớ nhanh và nhớ lâu hơn Đó phải chăng là sự mong muốn của đội ngũ các nhà giáo , nhà nghiên cứu giáo dục đến nay đã thành sự thật Hiện nay nếu ta dạy Toán ( mà nhất là dạy hình học bằng
sơ đồ tư duy thì học sinh rất dễ nắm bắt bài học) Tuy nhiên việc dạy và học toán
Trang 3không chỉ dừng lại ở việc hiều và vận dụng ở mức độ thông thường mà phải làm thế nào để học sinh yêu thích học toán và luôn luôn tìm tòi sáng tạo để có những cách giải hay , lời giải đẹp Biết tư duy thuận nghịch , biết sáng tạo ra những bài toán mới , biết đưa một bài toán “ lạ” về một bài toán đã được làm quen đó là câu hỏi mà tôi luôn đặt ra trong khi giảng dạy
1.2 Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu đề tài một số phương pháp cơ bản để giải các bài toán hình học ở lớp 7 bậc THCS giúp giáo viên chúng ta vận dụng một cách tổng hợp các tri thức
đã học , mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết , từ đó có phương pháp hướng dẫn học sinh giải các bài toán hình học có hiệu quả , giúp học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học vào giải các bài toán hình học trong chương trình THCS Với mục đích là làm thế nào để học sinh yêu thích môn Toán và đặc biệt là yêu thích học hình học tôi đã tiến hành nghiên cứu đề tài
“Phát huy trí lực cho học sinh lớp 7 thông qua các bài toán hình học ” để nắm
được những thuận lợi và khó khăn khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán hình
học ,từ đó xác định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong chương trình THCS
1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán về hình học , cụ thể là nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán hình học ở chương II- chương Tam giác trong chương trình môn Toán ở lớp 7
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan
- Giáo viên dạy toán THCS và học sinh lớp 7 THCS
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
a) Đối với giáo viên:
- Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn các bài tập để minh họa hợp lý từ đó giúp học sinh nắm được cách làm Đọc các tài liệu có liên quan :
- Tạp chí toán tuổi thơ 2
- Báo Toán học và tuổi trẻ
- Phương pháp giải toán hình học sơ cấp
- Toán nâng cao và phát triển
- Tổ chức cho học sinh được bồi dưỡng để triển khai đề tài
- Sử dụng các phương pháp điều tra, thống kê, so sánh đối chứng, phân tích tổng hợp
- Thực tế chuyên đề , thảo luận cùng đồng nghiệp
- Dạy học thực tế trên lớp để đúc rút kinh nghiệm
- Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên có kinh nghiệm của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân trong những năm giảng dạy tại trường THCS
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy, nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải toán
b) Đối với học sinh:
Trang 4- Làm bài tập giáo viên giao, các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, các đề thi học sinh giỏi , có liên quan đến nội dung đề tài
- Sau khi giáo viên hướng dẫn qua các ví dụ thì phải n ắm chắc và biết vận dụng vào làm các bài toán cùng loại
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế , thu thập thông tin :
- §iÒu tra n¾m t×nh h×nh d¹y cña c¸c gi¸o viªn trong vµ ngoµi nhµ trêng
- Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng đề tài tài “Phát huy trí lực cho học sinh
lớp 7 qua các bài toán về hình học”
- Chất lượng của học sinh trước và sau khi thực hiện đề tài
- Phương pháp thống kê , xử lý số liệu
1.5 Những điểm mới của SKKN
Trong quá trình vận dụng SKKN vào giảng dạy tôi thấy đề tài của mình đã giúp cho học sinh biết tìm tòi lời giải , trình bày logic chặt chẽ , giải một cách thành thạo các bài toán hình học , gây được hứng thú học tập cho học sinh , giúp các
em giải quyết các bài toán khó ( nằm ở cuối các bài thi hoặc bài kiểm tra ) mà trước đây các em luôn bế tắc khi gặp phải
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận :
Có thể khẳng định rằng việc dạy học là một công việc vừa mang tính khoa học vừa mang tính nghệ thuật Do đó việc dạy học đòi hỏi người giáo viên cần có năng lực sư phạm vững vàng, phương pháp giảng dạy phù hợp theo hướng tích cực giúp học sinh chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức Vì vậy việc dạy học sinh giải tốt các bài toán có vai trò đặc biệt quan trọng đối với các em học sinh , bởi lẽ qua đó vừa củng cố, khắc sâu mở rộng kiến thức cho học sinh đồng thời rèn luyện được kỹ năng, phương pháp toán học, rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, phát hiện và bồi dưỡng các năng lực trí tuệ Dạy học sinh giải toán
là phương pháp, phương tiện để kiểm tra việc học của học sinh, đánh giá được các khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển trí tuệ của học sinh Để đáp ứng các yêu cầu trên đòi hỏi người giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu trăn trở Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say
mê học tập là một câu hỏi khó mà bản thân mỗi thầy cô giáo luôn đặt ra
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Học toán và trình bày lời giải một bài toán là một vấn đề khó khăn đối với nhiều học sinh có lực học chưa vững, số đông các em biết cách giải toán nhưng khi đi vào trình bày lời giải thì còn nhiều sai sót, hoặc nếu trình bày được nhưng vẫn mắc nhiều lỗi nhỏ Do đó kết quả của bài làm không cao
Qua quá trình dạy học ở trường THCS bản thân tôi đã khảo sát tình hình tiếp thu kiến thức hình học của học sinh và thấy rằng: Việc vận dụng kiến thức của hai tam giac bằng nhau vào trình bày lời bài giải toán đối với học sinh còn nhiều lúng túng, thụ động kiến thức, nhiều học sinh biết cách vận dụng kiến thức và tìm
ra lời giải bài toán nhưng khi trình bày lại bỏ sót các điều kiện của bài, hoặc không biết kết hợp các điều kiện lại để loại bỏ những kết quả chưa hợp lý, chưa biết phân tích tìm hiểu đề bài để tìm lời giải cho bài toán nên các em không biết trình bày như thế nào và bắt đầu từ đâu Trong khi đó các bài tập mẫu trong sách
Trang 5giáo khoa thường là những bài tập rất đơn giản, còn tài liệu tham khảo chỉ trình bày lời giải hoặc ghi kết quả nên nhiều lúc học sinh thường bị thụ động, nhiều bài không giải thích được tại sao lại làm như vậy Chỉ một số học sinh giỏi mới biết trình bày lời giải bài toán nhưng việc đánh giá lời giải, tìm giải pháp hay, đề xuất bài toán mới tương tự hoặc đưa ra các bài toán đặc biệt hơn và giải những bài toán đó hầu như rất khó khăn
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Con người chúng ta chỉ thật sự động não khi phải đứng trước một tình huống có vấn đề Vì vậy việc giải quyết một tình huống có vấn đề dựa vào các sự kiện đã biết sẽ đưa ta đến một khái niệm mới và như thế muốn dạy học có kết quả thì thầy , cô giáo
Phải gây được tình huống có vấn đề mà người học có nhu cầu giải quyết Trước hết với mỗi bài toán công việc của người làm toán cần đặt ra là phải làm sao từ những “chất liệu ” của mỗi bài toán đã cho bao gồm : Giả thiết ,các điều kiện đã cho trong bài và cả những yêu cầu mà bài toán đòi hỏi phải tìm ra được phương pháp giải thích hợp Đối với học sinh khá giỏi các em còn phải tìm tòi , nghiên cứu các cách giải khác nhau của bài toán đó, hoặc thay đổi một số điều kiện ở giả thiết để được một bài toán khác hay hơn bài toán đã cho Vậy khi làm một bài tập hình ta cần làm những gì ?
Trước khi chứng minh cần chuẩn bị như sau :
- Đọc kỹ đầu bài một lượt , phải hiểu rõ được các danh từ trong bài nhằm hoàn toàn hiểu ý bài tập đó , phân biệt được giả thiết , kết luận của bài tập rồi dựa vào những điều đã cho trong giả thiết để vẽ hình ,dùng chữ để làm ký hiệu những đường và điểm ,các giao điểm , hai đầu mút đoạn thẳng , trung điểm của đoạn thẳng Hai đường thẳng vuông góc , hai đường thẳng song song , điểm nằm giữa hai điểm khác , tia phân giác của một góc …
- Dựa vào bài tập và ký hiệu trong bài tập , hình vẽ để viết giả thiết và kết luận Thay những danh từ toán học trong bài bằng những ký hiệu làm cho bài toán trở nên đơn giản và dễ hiểu
Dạng bài tập chủ yếu thường gặp ở lớp 7 là chứng minh tính chất
-Phương pháp chung để giải các bài tập về chứng minh tính chất bao gồm
-Phương pháp chứng minh trực tiếp và phương pháp chứng minh gián tiếp
*) Phương pháp chứng minh trực tiếp bao gồm các bước sau :
* Đoc kỹ đầu bài vẽ hình đúng rõ ràng ,sáng sủa ( cần sử dụng dụng cụ vẽ hình , com pa thước kẻ , cần tránh vẽ hình trong các trường hợp riêng )
* Xác định và tóm tắt rõ ràng giả thiết và kết luận ,tìm cách làm nổi bật giả thiết trên hình vẽ ( chẳng hạn đánh dấu hai đoạn thẳng bằng nhau , hai góc bằng nhau , góc vuông )
* Huy động các kiến thức cần thiết có liên quan đến bài và tìm đường lối giải , trình tự bằng cách đi ngược từ kết luận trở lại giả thiết
Trang 6* Khi đã tìm được cách giải bằng con đường đi từ kết luận đến giả thiết rồi ta sử dụng các bước suy luận theo con đường ngược lại để trình bày lời giải đi từ giả thiết đến kết luận
*) Ngoài việc chứng minh bằng phương pháp trực tiếp đối với hình học còn có phương pháp chứng minh rất có hiệu quả là chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Phương pháp phản chứng là gì ? Là phương pháp chứng minh gián tiếp trong đó
để chứng tỏ kết luận của bài toán là đúng ta chứng tỏ phủ định của kết quả là sai
Các bước của chứng minh phản chứng :
Bước 1 : Phủ định của kết luận
Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán
Bước 2 : ( Đưa đến mâu thuẩn ) : Từ điều giả sử trên và từ giả thiết của bài toán
ta suy ra một điều mâu thuẩn với giả thiết hay với các kiến thức đã học
Bước 3 : Khẳng định kết luận : Vậy kết luận của bài toán là đúng
Đối với học sinh khá và giỏi ngoài hai phương pháp chủ yếu trên các em còn phải được làm quen với một số phương pháp giải khác , cũng như một số kỹ năng
cơ bản như là đặc biệt hóa , khái quát hóa , tương tự
Để tìm ra nhiều điều lý thú trong toán học các em phải biết đặc biệt hóa và phải biết người ta thường đặc biệt hóa bài toán bằng cách nào
Người ta thường đặc biệt hóa bài toán bằng cách :
- Thay biến số bởi hằng số Cho các số đo góc hoặc độ dài đoạn thẳng bằng các số cụ thể , chẳng hạn thay bởi = 900
- Thay các điều kiện của bài toán bởi điều kiện hẹp hơn chẳng hạn thay ABC
có góc B > góc C bởi ABC vuông tại B
- Thay vị trí bất kỳ của một điểm , của một hình bằng vị trí đặc biệt của nó Chẳng hạn trong các điểm C thuộc đoạn thẳng AB xét C trùng với A , hoặc xét C trùng với B , hoặc là trung điểm của AB
- Bổ sung thêm các quan hệ mới vào bài toán , chẳng hạn trong tam giác ABC xét tam giác cân đáy BC ( bổ sung thêm điều kiện AB = AC )
- Tác dụng của phương pháp đặc biệt hóa là rất lớn Phương pháp đặc biệt hóa được dùng để : Bác bỏ một mệnh đề Phát hiện một tính chất và đặt ra những bài toán mới song song với phương pháp đặc biệt hóa là phương pháp tương tự
Vì trong lời giải nhiều bài toán ta thường hay gặp cụm từ “ chứng minh tương tự như trên ”, giải tương tự được hiểu là giống nhau nhưng có nhiều mức độ giống nhau : Hoàn toàn giống nhau , gần hoàn toàn giống nhau , có một số nét giống nhau Do đó sự vận dụng tương tự trong chứng minh hình học cũng rất đa dạng Nhất là đối với học sinh lớp 7 – các em mới làm quen với việc chứng minh một bài hình thì việc hướng dẫn các em dùng phương pháp chứng minh tương tự là rất cần thiết để phát huy sự sáng tạo của các em Chứng minh tương tự sẽ giúp các
em thu gọn lời giải bằng cách không lặp lại các chứng minh như nhau Qua phương pháp chứng minh tương tự các em sẽ phát hiện được những tính chất mới
Trang 7và đề xuất bài toán mới Có phương pháp để tìm tòi cách giải một bài toán cũng như khai thác kết quả bài toán đó ( nếu có thể được ) Vậy lại có vấn đề nảy sinh khi giải xong một bài toán đó là : Bài toán có còn cách giải nào khác nữa không ?
- Các bài toán tương tự với bài toán này thì giải như thế nào ?Ngoài ra ta có thể thay đổi một số điều kiện trong bài toán để cho bài toán trở thành một bài toán khác có “họ hàng ” với bài toán ban đầu không ? và việc giải quyết các bài toán đó sẽ phát huy được trí lực của hoc sinh
- Phát huy như thế nào ? đó là sự gợi mở tinh tế Khéo léo của thầy mỗi bài toán nếu học sinh có thể giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau với những cách giải khác nhau , sẽ giúp các em củng cố được nhiều đơn vị kiến thức cơ bản , rèn luyện được tư duy và óc sáng tạo Cảm nhận được cái hay , cái đẹp của toán học để từ đó hứng thú hơn , say mê hơn khi học toán
Sau đây là một số ví dụ về việc phát huy trí lực học sinh qua một số bài tập cụ thể
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có góc B = 60 0 Hai phân giác AD và CE của tam giác ABC cắt nhau ở I Tính góc AIC
Giải
Xét AIC và ABCta có AIC=1800 – (IAC ICA ) = 1800 -A C2
( do AI là phân giác của A Và CI là phân giác góc C ) nên :
B AIC
Giải bài toán này không khó đối với đại bộ phận học sinh
vấn đề là ta sẽ khai thác bài toán này như thế nào
Ta sẽ xét bài toán 2
Bài toán 2 :
Cho tam giác ABC có A 60 0 Hai phân giác BM và CN của tam giác cắt nhau ở I
a/ Tính BIC
b/Chứng minh rằng IM = IN
Bài toán này có thể giải bằng 2 cách:
Giải
C M
I N
A
B
D
A
D I
Trang 8Cách 1 :
C M
I N
A
B
D
a) Xét tam giác BIC ta có 0
180
BIC IBC ICB
( Định lý về tổng 3 góc của tam giác )
Mà 1
2
IBC sđ B ( GT) ; 1
2
ICB sđC (GT)
2
B C BIC Trong ABC thì : 1800 1800 600 0
60
BIC
Vậy BIC 120 0
b) Kẻ tia phân giác góc BIC cắt BC ở D
Tam giác BIC có : IBC ICB 60 0nên BIC 120 0 ( theo chứng minh câu a ) do
đó BID CID 60 0 BIN 1800 1200 600
Xét BIN và BID có : BIN BID 60 0
BI là cạnh chung
NBI DBI( Do BM là tia phân giác của NBD)
BIN BID
( g.c.g ) IN =ID (1)
Xét CID và CIM có : DCI MCI (GT)
CI là cạnh chung
DIC CIM 60 0( Do ID là tia phân giác của BIC)
CID CIM
( g.c.g ) IM =ID (2)
Từ (1) và (2) suy ra : IM = IN ( ĐPCM)
Cách 2 :
I
M
F N
C
B
A
a) Chứng minh tương tự như cách 1
Câu b ) Trên cạnh BC lấy một điểm F sao cho BF = BN
Trang 9Xét hai tam giác NIB và tam giác FIB có :
BI là cạnh chung
NBI FBI ( Tia BM là tia phân giác của góc NBF)
NB = FB ( cách đặt) NIB= FIB ( c.g.c)
IN = IF ( 1) và NIB FIB Do BIC 120 0
( chứng minh câu a) nên BIN 180 0 BIC
BIN 180 0 120 0 60 0, lại có BIN BIF
CIF IB BIF 1800 1200 600
Vậy CIF BIF 60 0
CIM 180 0 BIC 180 120 0 0 60 0
Xét CIF và CIM có : CI là cạnh chung; CIF CIM ( CM trên)
FCI MCI ( CN là tia phân giác của ACB)
CIF= CIM ( g.c.g) IF= IM ( 2) Kết hợp (1) và (2) ta được : IM = IN
Bài toán 3: Cho tam giác ABC có Â = 60 0
Tia phân giác của góc B cắt AC ở M, Tia
phân giác của góc C cắt AB ở N.
Chứng minh rằng: BN + CM = BC.
Thoạt nhìn ta sẽ nghĩ bài toán 3 hoàn toàn độc
lập với
Bài toán 2 nhưng thực ra bài toán 2 và 3 đều là một
Cách giải bài toán 3 như sau:
Giải
Gọi I là giao điểm của BM và CN Ta có Â = 600 B C 180 0 60 0=1200 do đó
1
1 ˆ
B = 1200: 2 = 600 vì vậy 0
1 2 60
I I ( Góc ngoài của hai góc B1 và C1 trong tam giác BIC)
Kẻ tia phân giác của góc BIC cắt BC ở D Tam giác BIC có B ˆ 1 Cˆ 1 = 600 nên
BIC Iˆ3 Iˆ4 600
Xét tam giác BIN và tam giác BID có :
1 2
B B (GT) ; BI là cạnh chung;
0 4
3 ˆ 60
ˆ
I I BIN = BID ( g.c.g) BN = BD ( 1)
Chứng minh tương tự CIM = CID ( g.c.g) CM = CD ( 2); Từ (1) và (2)
BN + CN = CD + BD = BC (ĐPCM)
Hai bài có kết luận ( yêu cầu chứng minh) khác nhau nhưng lại chung một cách giải Thực sự nó chỉ khác nhau duy nhất một điều là các cạnh được suy ra từ hai tam giác bằng nhau Vì nếu 2 tam giác bằng nhau thì suy ra các cạnh còn lại
và các góc còn lại sẽ bằng nhau Vì thế bài 3 và bài 2 có thể hợp lại làm một bài với mức độ yêu cầu khác nhau Bài toán tổng hợp từ ba bài toán trên:
60
1 2 2
1
2
3 4 1 I
B
A
C
N
M
D
Trang 10Bài toán 4: Cho tam giác ABC có Â = 60 0 , phân giác góc B và góc C cắt AC và
AB lần lượt ở M và N.
Chứng minh: a) BIC 120 0
b) IM = IN
c) BM + CN = BC
Giải bài toán 4 tức là ta đã giải được cả ba bài toán trước đó và ngược lại Lời giải của bài toán 4 là lời giải của cả 3 bài toán 1;2 và 3
Ở đây có một điều ta đã thay đổi số đo của các góc trong tam giác ABC
Vì trong tam giác ABC các góc có vai trò như nhau nên góc A, góc B hay góc C đều có thể cho bằng 600 Nếu  = 600 và hai đường phân giác BM và CN cắt nhau tại điểm I thì điều cần chứng minh sẽ là:
a) Tính gócBIC
b) Chứng minh IM = IN
c) BN + CN = BC
Còn nếu góc B 60 0thì điều cần phải có là tam giác ABC có hai đường phân giác AM và CN cắt nhau tại I Điều phải chứng minh lại là:
a) Tính góc AIB
b) Chứng minh: IM = IN ( I là giao điểm của AM và CN)
c) Chứng minh : AN + CM = AC
Và nếu Cˆ = 600 thì tương tự như thế và phương pháp giải cũng hoàn toàn tương tự
Bây giờ ta lại thay đổi số đo của các góc trong tam giác và thay đổi một số điều kiện đặt ra trong đề bài và như thế yêu cầu đòi hỏi của bài ra cũng sẽ khác đi
Bài toán 5: Cho tam giác ABC có ABC 60 0;ACB 30 0Lấy điểm D trên cạnh
AC, điểm E trên cạnh AB Sao cho các ABD 20 0, ACE 10 0 Gọi K là giao điểm của BD và CE Tính các góc của tam giác KDE.
Giải :
Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của các góc KBC và góc KCB Theo giải thiết ta có : KBC 2 KBE ; KCB 2 KCD
K
I
D E
C B
A
3
KBI KBE KBI ; 300 0
10 3
KCI ACE
Trong tam giác BKC thì KBC 2 KBI 2.20 0 40 0