Nâng cao chất lượng học toán thông qua bài tập áp dụng định lý talet cho học sinh lớp 8 trường THCS thị trấn thường xuân

Dạng Toán “Ứng dụng định lý Talét” có vai trò đặc biệt quan trọng trong học tập môn Toán bởi lẽ: - Dạng bài tập “Ứng dụng định lý Talet” có tác dụng ôn tập, củng cố, khắc sâu các kiến t

Môn Toán chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa tự nhiên, khoa học kỹ thuật cũng như trong cuộc sống hàng ngày Thế nhưng không phải học sinh nào cũng say mê và hứng thú học Toán đặc biệt là phân môn Hình học Bởi cái khó khi các em học phân môn hình học là không biết vận dụng lý thuyết vào làm bài tập như thế nào? Chưa hình dung được khi giải một bài tập hình là làm thế nào? Tư duy về hình học còn nhiều hạn chế Chính vì vậy mà số học sinh yêu thích học hình còn rất ít so với số học sinh thích học đại số

Trong chương trình hình học phổ thông, định lý Talet là cầu nối giữa kiến

thức cụ thể, thực tế với kiến thức khái quát và trừu tượng Dạng Toán “Ứng dụng định lý Talét” có vai trò đặc biệt quan trọng trong học tập môn Toán bởi lẽ:

- Dạng bài tập “Ứng dụng định lý Talet” có tác dụng ôn tập, củng cố, khắc sâu các

kiến thức cơ bản phát huy năng lực tư duy, óc sáng tạo, trí thông minh và rèn cho học sinh kỹ năng làm một số dạng Toán như: Chứng minh đường thẳng song song; chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ; so sánh các tỉ số; chứng minh 3 điểm thẳng hàng; chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

- Giải các bài tập “Áp dụng định lý Talet” góp phần phát triển tư duy sáng tạo,

linh hoạt Tìm mối liên hệ áp dụng từ định lý Talet vào bài Toán chứng minh cụ thể Tìm ra cách giải hay và gọn nhất cho một bài toán hình

- Giải bài tập “Áp dụng định lý Talet” có tác dụng rèn luyện kỹ năng thực hành,

giáo dục kĩ thuật tổng hợp cho học sinh khi giải các bài toán đòi hỏi học sinh rèn luyện cách lập luận có căn cứ chặt chẽ, vận dụng các định lý , tính chất cho phù

hợp Cho nên khi giải các bài tập “Áp dụng định lý Talet” sẽ giúp học sinh củng cố

các kiến thức đã học Phát triển khả năng trình bày bài làm, diễn đạt ngôn ngữ hình học, rèn luyện khả năng phán đoán, phân tích, suy luận logic

- Giải bài tập “Áp dụng định lý Talet” giáo dục cho học sinh đức tính kiên trì,

chính xác, cẩn thận

- Trong thực tế dạy hình học ở trường THCS, việc làm cho học sinh hiểu và vận dụng định lý Talet vào giải các bài tập có liên quan là một vấn đề quan trọng Qua

quá trình dạy học bản thân tôi đã lựa chọn đề tài “Nâng cao chất lượng học toán

thông qua bài tập áp dụng định lý Talet cho học sinh lớp 8 trường THCS Thị Trấn Thường Xuân” Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp học sinh không lúng túng

khi gặp các bài toán ứng dụng định lý Talet Nó sẽ giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú, say mê hơn đối với môn Toán nói chung và phân môn hình học nói riêng

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Giúp học sinh cách học để nắm chắc nội dung lí thuyết và vận dụng một cách thành thạo lí thuyết vào trong làm bài tập thông qua đó rèn luyện ở học sinh các kỹ năng tư duy trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học, giúp học sinh hứng thú trong học tập phát huy cao độ tính tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, năng lực hoạt động và tự học của học sinh để từ đó tạo động lực cho các em thêm yêu bộ môn Toán

Đối với học sinh lớp 8 sau khi thử nghiệm dạy các bài tập “Áp dụng định lý Talet” bằng các chuyên đề, giờ dạy trên lớp, học sinh hứng thú học tập, khắc sâu

định lý, tiếp thu kiến thức có hiệu quả, chất lượng học toán có nâng lên, gây

được hứng thú học tập bộ môn Với đề tài: “Nâng cao chất lượng học toán thông

qua bài tập áp dụng định lý Talet cho học sinh lớp 8 trường THCS Thị Trấn Thường Xuân” mục đích giúp học sinh :

- Nắm vững nội dụng định lý Talet trong tam giác và định lý Talet tổng

quát

- Trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tính toán, vẽ hình, phân tích, tổng hợp

Vì khuôn khổ đề tài có giới hạn nên tôi chỉ đưa ra một số ứng dụng của định lý Talet trong chương trình hình học 8 ở trường THCS

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Định lý Talet và các bài tập vận dụng

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

+ Nghiên cứu lý luận

+ Điều tra thực tế

+ Thực nghiệm sư phạm

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Định lý Talet là một trong những định lý hình học cổ điển giữ vai trò quan trọng trong chương trình toán THCS Định lý Talet được sử dụng nhiều trong giải toán, đặc biệt là những bài toán có liên quan đến đoạn thẳng và tỉ số hai đoạn thẳng, đoạn(đường) thẳng song song

Thông qua việc vận dụng định lý Talet vào giải toán ta có thể ôn lại cho học sinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, chứng minh đường thẳng song song, diện tích đa giác

Vận dụng định lý Talet vào giải toán ngoài việc học sinh được rèn luyện các

kỹ năng toán học, chủ yếu còn được nâng cao về mặt tư duy toán học Các thao tác

tư duy như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá… thường xuyên được rèn luyện và phát triển

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

-Trong thực tế giảng dạy tôi thấy đa số học sinh rất mơ hồ khi làm bài toán hình, phải chăng các em không định hướng được phương pháp chứng minh bài toán đó, các em chưa biết vận dụng lý thuyết vào giải toán

-Việc sử dụng các kỹ năng về biến đổi đại số vào hình còn lúng túng hay mắc sai lầm

- Kỹ năng phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để vẽ thêm yếu tố phụ, tìm lời giải cho bài toán còn chậm và hạn chế

- Khả năng vận dụng bài toán này cho bài toán khác, kỹ năng chuyển đổi bài toán, khai thác bài toán theo hướng đặc biệt hoá, khái quát hoá chưa cao

- Học sinh chưa có thói quen tổng hợp và ghi nhớ những tri thức phương pháp qua từng bài toán, dạng toán

- Chưa hình dung được khi giải một bài tập hình là làm thế nào?

Bản thân tôi đã tiến hành khảo sát học sinh lớp 8A của trường THCS Thị Trấn trước khi áp dụng sáng kiến thu được kết quả như sau :

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Thứ nhất: Cho học sinh ôn tập lại kiến thức về đoạn thẳng tỉ lệ và nội dung của

định lí Talet

Thứ hai: Vận dụng lí thuyết vào trong làm các dạng bài tập.

2.3.1 Ôn tập lại kiến thức về đoạn thẳng tỉ lệ và nội dung của định lí Talet.

1 Đoạn thẳng tỉ lệ.

a) Tỉ số hai đoạn thẳng.

- Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị đo

(Như vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn).

b) Đoạn thẳng tỉ lệ:

- Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu

ta có hệ thức:

Tổng quát: AB và CD tỉ lệ với A’B’ và C’D’

Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng cũng có các tính chất như của tỉ lệ thức giữa các số

*1 Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ.

*2 Có thể hoán vị các trung, ngoại tỉ:

=>

*3 Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

2 Định lí Talet

a Định lý Talet thuận

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tỉ lệ

AB A'B' AB CD A'B' C'D' AB A'B'

±

AB A'B'

CD C'D'

D' C'

B' A' CD

AB =

AB A'B'

CD = C'D' ⇔ AB C D =CD A B

D' C'

B' A' CD

AB =

D' C'

CD B' A'

AB

=

CD

D' C' AB

B' A' =

AB

CD B' A'

D' C' =

C' B'

A C'

B'

C B

A

Theo hình vẽ ta có (B'C' // BC):

AC

AC

AB

AB' '

= ;

'

' '

'

CC

AC BB

AB

= ;

AC

CC AB

BB' '

=

b Định lý Talet đảo.

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác

ABC

∆ có

AC

AC AB

AB' '

= => B’C’ // BC

Chú ý: Định lí Talet thuận và đảo đúng trong cả ba trường hợp hình vẽ sau:

c Hệ quả

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo ra một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

ABC

∆ , B’C’ // BC =>

BC

C B AC

AC AB

AB' = ' = ' '

d Định lý Talet dạng tổng quát

Nếu hai đường thẳng d, d’ cắt ba đường thẳng song song a, b, c thì chúng sẽ chắn ra trên 3 đường thẳng đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

' '

' '

C B

B A BC

AB =

Hay

' '

' '

C A

B A AC

AB =

Hay

' '

' '

C A

C B AC

c

b a

C'

B' A'

C

B A

A

C

C

’

B

’

B

A

C

’

C B

B

’

A

C

C

B

2.3.2 Vận dụng lớ thuyết vào trong làm bài tập

1 Sử dụng định lý Talet thuận để chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ và tính tỉ số các đoạn thẳng.

a Vớ dụ 1: Cho ∆ABC và đường phõn giỏc trong AD (D là điểm trờn BC), Chứng minh rằng:

AC

AB DC

DB =

Định hướng:

Ở đõy ta gặp tỉ số giữa đoạn thẳng Vậy cú định lý nào đề cập đến những yếu

tố như vậy? Ta nhớ đến định lý Talet

Định lý Talet là định lý quen thuộc, nhưng sử dụng vào những bài toỏn cụ thể là việc khụng đơn giản Xuất phỏt từ yờu cầu bài toỏn để sử dụng định lý này phải cú cỏc đường thẳng song song Do đú nảy sinh ý tưởng phải vạch những đường thẳng song song Chẳng hạn từ B kộo đường thẳng song song với AD

Chứng minh:

Từ B kẻ BE // AD

Ta cú: Aˆ1 =Bˆ1 (So le trong)

Aˆ2 =Eˆ (đồng vị)

Mà: Aˆ1 =Aˆ2 (AD là phõn giỏc gúc

A)

Nờn: Bˆ1 =Eˆ

Do đú: ∆ABEcõn tại A

2 1

C

A E

Áp dụng định lý Talột ta cú:

AC

AE DC

DB = Hay

AC

AB DC

DB =

Bài tập 1: Lấy P là một điểm trờn cạnh AD của hỡnh bỡnh hành ABCD sao cho AP

=

5

1

AD Đường thẳng PB cắt đường chộo AC tại Q

a Chứng minh: AQ =

6

1

AC

b Hóy mở rộng bài toỏn trờn

Định hướng:

Để chứng minh AQ =

6

1

AC hay

5

1

=

QC

AQ

ta cú thể chứng minh

BC

AP

QC

AQ

=

Từ đú đi chứng minh

5

1

=

bC AP

Q P

C B

Và sử dụng giả thiết AP =

5

1

AD

Chứng minh:

a Theo giả thiết: ABCD là hình bình hành => AD = BC và AD // BC

Áp dụng định lý Talet trong ∆APQ ta có : QC AQ = BC AP

=> QC AQ = AD AP =15 => QC AQ+ AQ=51+1 hay

6

1

=

AC

AQ

=> AQ =

6

1

AC

b Bài toán mở rộng: Cho AP =

n

1

AD Chứnh minh AQ =

1

1

+

Bài tập 2 Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm P,

Q, R sao cho = 2

PC

PB

; = 3

QA

QC

; = 4

RB

RA

Gọi I là giao điểm của AP và RQ Tính

IR IQ

Chứng minh:

Vẽ RK, QH song với AP (K, H ∈BC)

Vì QH // AP Theo định lý Talet ta có:

HC

PH

QC

AQ = hay

4

1

=

HC PH

Tương tự:

4

5

=

KP

PB

;

2

1

=

PB

H K

R

Q A

Do đó:

PC

HP

2

1 4

5 4

1

PB

PC KP

PB

=>

32

5

=

KP HP

Vậy:

32

5

=

=

KP

HP

IR

IQ

b Ví dụ 2: Cho tam giá ABC Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với

BC cắt AC tại E

a Chứng minh:

AC

AB CE

BD

=

b Trên tia đối tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB Gọi M là giao điểm của DF và

BC Chứng minh:

AB

AC MF

DM =

Định hướng:

Kết luận yêu cầu chứng minh cặp đoạn thẳng tỉ lệ Vậy xem có thể áp dụng định lý Talet được không?

Căn cứ vào giả thiết đã có đường thẳng song song => áp dụng được

Chứng minh:

a Áp dụng định lý Talet vào ∆ABC với DE // BC

Ta có:

CF

CE BA

BD = hay

AC

AB CE

BD = (1)

b Áp dụng định lý Talet vào ∆DEF với MC // DE

Ta có:

BD

CE CF

EC MF

MD= = (2) (Vì CF = BD).

Từ (1) ta có:

AC

AB CE

BD = =>

AB

AC BD

CE = (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

AB

AC MF

DM =

Bài tập 3: Cho tam giác ABC (AB = AC = b; BC = a) và điểm P trên phần kéo dài

cạnh BC về phía C Qua P kẻ một đường thẳng d cắt các cạnh AB và AC tại D và E

a Chứng minh hiệu

CE

CP BD

BP − không phụ thuộc vào d và P.

b Kẻ DD’ // AC và EE’ // AB (D’ và E’ ∈BC) Chứng minh: PD’.PE’ không phụ thuộc vào d

Chứng minh:

a Kẻ AP’ // d áp dụng định lý Talet

vào các tam giác BDP, BP’A,CPE,

CP’E, CP’A với PD // P’A Ta có:

BA

BD

BP

BP =

CA

CE CP

CP =

'

Vì AB = AC = b

Nên

BA

CP BP CA

CP BA

BP CE

CP

BD

BP − = ' − ' = ' − '

d

P' E'

D'

E D

P C B

A

=>

b

a BA

BC CE

CP

BD

Rõ ràng hiệu này không phụ thuộc vào d và P

b áp dụng định lý Talet vào các tam giác PBD, PDD’, với E’E// BD và D’D // EC

Ta có:

'

' '

;

'

PD

PC PB

PE PD

PC PD

PE PD

PE PB

Do đó: PE’.PD’ = PC.PB

Vậy: tích này không phụ thuộc vào d mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm P

Bài tập ( tự giải)

Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm của 2 đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD tại M, cắt BC tại N

a Chứng minh:

MN CD AB

2 1

b Biết SAOB = a2; SCOD = b2 Tính SABCD

2 Sử dụng định lý Talet đảo để chứng minh đường thẳng song song

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Qua B kẻ Bx song song với CD, cắt AC tại E Qua C

vẽ Cy song song với BA, cắt BD tại F Chứng minh rằng: EF // AD

Định hướng:

- Để chứng minh EF // AD tai phải sử dụng kiến thức nào?

- Theo giả thiết có các đường thẳng song song vậy ta có thể áp dụng định lý Talet

- Để chứng minh EF // AD => cần chứng minh

OD

OF OA

OE

= Từ đó dẫn đến cách

chứng minh sau:

Chứng minh:

Vì BE // CD Theo định lý Talet ta

có:

OD

OB

OC

OE

= (1)

Vì CF // AB Theo định lý Talet ta

có:

OB

OA OF

OC OA

OC

OB

Nhân từng vế của (1) với (2) ta

được:

OD

OA OF

OE = hay

OD

OF OA

OE = (3)

Từ (3) theo định lý Talet đảo ta có:

EF // AD

F E

x y

O

D

C B

A

Bài tập 4:

Cho tam giác ABC lấy M tuỳ ý trên BC, Lấy N tuỳ ý trên AM Một cát tuyến song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E Gọi P là giao điểm của DM

và BN, Q là giao điểm của CN và EM Chứng minh: PQ // BC

Chứng minh:

Gọi K, I, H lần lượt là giao điểm của DE với

NB, NM, NC Vì DE // BC nên ta có:

MC

EI

DM

DI = (1)

MC

HI

BM

KI = (2)

Trừ từng vế của (1) cho (2) ta được:

MC

HI MC

IE BM

KI

BM

MC

HE BM

K I H N

E

B

D

A

Xét ∆BPM với DK // BM ta có:

BM

DK PM

DP

= (4) Xét ∆QMC với HE // MC ta có:

MC

HE QM

EQ = (5)

Từ (3), (4), (5) ta có: PM DP =QM EQ (6)

Từ (6) theo định lý Talet đảo ta có: PQ // DE mà DE // BC Vậy PQ // BC

Bài tập 5:

Điểm E thuộc cạnh bên BC của hình thanh ABCD Vẽ đường thẳng qua C song song với AE cắt AD tại K Chứng minh: BK // DE

Định hướng:

- Gọi M là giao điểm của AB và KC, N là giao điểm của AE và BK Để chứng minh BK // DE ta xét xem sử dụng kiến thức nào? Có vận dụng định lý Talet được không?

- Để chứng minh BK // DE phải có cặp đoạn thẳng tỉ lệ nào? (

KD

AK NE

AN = ) Vậy hãy

chứng minh?

Chứng minh:

Gọi M là giao điểm của AB và KC, N

là giao điểm của AE và BK

Vì AE // CM nên theo định lý Talet ta

có: AN BN , NE BN

KM = BK KC = BK suy ra:

KM = KC Hay

KC

KM NE

AN = (1)

N K

D

E

C

B A

M

Lại có MA //DC Theo định lý Talet ta có:

KD

AK KC

KM

= (2)

Từ (1) và (2) suy ra

KD

AK NE

AN = (3)

Từ (3) suy ra KN // DE hay KB // DE

Bài tập ( tự giải)

Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC

a Chứng minh: IK // AB

b Đường thẳng IK cắt AD và BC theo thứ tự ở E và F

Chứng minh: EI = IK = KF

3 Sử dụng định lý Talet chứng minh đồng quy

Bổ đề: Ta có hai định lý sau:

• Định lý thuận:

Nếu AG // BH và BH // CF, thì ta có:

DF

DE AC

AB = (1)

BE

AD SB

SA = (2)

EH

BE DG

AD = (3)

F

E D

C B A

K H G S

• Định lý đảo:

- Nếu

EF

DE BC

AB = và AD//CF thì BE//AD//CF

- Nếu AD//BE và

BE

AD SB

SA

= thì DE đi qua S.

- Nếu AG//BH và

EH

BE DG

AD = thì AB, DE,

GH đồng quy hoặc song song

K

F

C

H E B

G D A S

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD Lấy M, N theo thứ tự trên cạnh AD, AB Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng MN, NC, CM Chứng minh:

AI, BJ, DK đồng quy

Chứng minh:

Qua M kẻ MP // AB (P ∈BC)

Qua N kẻ NQ // BC (Q ∈DC)

Gọi giao điểm của MP và NQ là S

Ta có các tứ giác AMSN, NQCB,

MDCP là các hình bình hành

Nên AI trùng với AR, BJ trùng với

BQ, DK trùng với DP

T

R S

Q

P

K J

I

M

N

D

C B

A Gọi R là giao điểm của AS với DC ta có:

AN

RQ

DQ

RQ = nhưng

SN

SQ AN

RQ =

Thay SN = BP ta được AN RQ = BP SQ ⇒ DQ RQ = BP SQ

Gọi T là giao điểm của BQ (cũng là BJ) với MP ta có:

TP

ST BP

SQ =

Từ kết luận trên rút ra QD QR =TP ST

Với MP // CD và QD QR =TP ST => SR, TQ, PD đồng quy Hay AI, BJ, DK đồng quy

4 Sử dụng định lý Talet để chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Lấy điểm M trên BC Đường thẳng d đI qua M cắt

AC tại N, cắt AB tại P Gọi X, Y lần lượt là các đỉnh thứ 4 của hình bình hành MNXB, MPYC Chứng minh: A, X, Y thẳng hàng

Định hướng: Để chứng minh A, X, Y thẳng hàng Ta cần chứng minh

YE

XN PY

EX =

Chứng minh: