Ứng dụng bình phương và tổng các bình phương để rèn luyện giải một số dạng toán nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9 đạt hiệu quả ở trường THCS phạm văn hinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐỂ RÈN LUYỆN GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NHẰM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THÀNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐỂ RÈN LUYỆN GIẢI MỘT

SỐ DẠNG TOÁN NHẰM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8,9 ĐẠT HIỆU QUẢ Ở TRƯỜNG THCS PHẠM VĂN HINH

Người thực hiện: Lê Thị Mai Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Phạm Văn Hinh SKKN thuộc môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THÀNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐỂ RÈN LUYỆN GIẢI MỘT

SỐ DẠNG TOÁN NHẰM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8,9 ĐẠT HIỆU QUẢ Ở TRƯỜNG THCS PHẠM VĂN HINH

Người thực hiện: Lê Thị Mai Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Phạm Văn Hinh SKKN thuộc môn: Toán

THẠCH THÀNH NĂM 2021

6 1.5- Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

8 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

9 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm

3

10 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

11 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Chương trình Toán trung học cơ sở rất phong phú và đa dạng, các dạngtoán cũng được đề cập đến tương đối nhiều Trong số đó, các bài toán về tổngbình phương là một mảng kiến thức quan trọng Tuy nhiên ở sách giáo khoachưa đề cập đến các bài toán khó vì thời lượng tiết dạy hạn hẹp và khó đối vớicác đối tượng học sinh trung bình, yếu Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triểnđối tượng học sinh khá, giỏi, bản thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòicác dạng toán về tổng bình phương và các phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụngnhằm bổ trợ và nâng cao kịp thời cho các em Ở phần mỗi bài toán về tổng bìnhphương đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp với đặc điểm của từng bài toán.Điều đó có tác dụng rèn luyện tính tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo củangười học Do đó các bài toán về vận dụng tổng bình phương thường có mặttrong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh,các kì thi Violimpic Toán

Bên cạnh đó, các bài toán về ứng dụng của tổng bình phương là đề tài líthú của phân môn Đại số, là đối tượng nghiên cứu của Toán học Các bài toán

về ứng dụng tổng bình phương được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầunăm lớp 8 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học vàngười dạy vất vả nhất là học sinh lớp 8 và lớp 9 Với Trường THCS Phạm VănHinh, một trung tâm chất lượng cao bậc THCS huyện Thạch Thành công tác bồidưỡng học sinh giỏi được đặt lên hàng đầu đó là nhiệm vụ trọng tâm của nhàtrường trong tất cả các năm học Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8,9 là nhiệm vụquan trọng đặc biệt là các bài toán về ứng dụng tổng bình phương, đây là nềntảng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp tiếp theo nhất là lớp 9 dự thihọc sinh giỏi cấp tỉnh

Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó Tôi đã tìm tòi nghiên cứu đề

tài “Ứng dụng tổng bình phương để rèn luyện giải một số dạng toán nhằm

bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh” Nhằm tìm ra các biện pháp hữu hiệu, để có những phương án thích hợp

giúp học sinh tiếp cận với các bài toán về ứng dụng tổng bình phương một cáchchủ động, sáng tạo, hứng thú trong quá trình học

Các bài toán về tổng bình phương rất phong phú về dạng toán, nhưng trongnội dung sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán điển hình và một sốphương pháp giải cơ bản cho từng dạng toán đó

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- Tìm ra các phương pháp giải các dạng toán về tổng các bình phương

- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng thức cụ thể, đảm bảo tính chính xác,khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh

- Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán

- Để bản thân rút ra một số phương pháp, biện pháp thích hợp giúp học sinh lớp8,9 khi giải các dạng toán về bình phương của một tổng, hiệu tốt hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

“Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về tổng các bình phương để bồi

dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh”

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra, thực nghiệm, phân tích - tổng hợp, gợi mở, vấn đáp

- Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liênquan

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Đây là sáng kiến đầu tiên bản thân nghiên cứu về nội dung này

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và

các phép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình

và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúctrừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và

ký hiệu toán học

Môn Toán là môn học đòi hỏi phải có kĩ năng giải toán và ứng dụng củamỗi dạng toán, là môn khoa học đòi hỏi tư duy cao của người dạy và người học.Thông qua việc giảng dạy môn Toán nhằm rèn luyện cho người học năng lựcphân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo nhằm hình thành nhâncách cho người lao động trong tương lai Học sinh muốn có kiến thức toán sâuthì phải luyện tập và thực hành nhiều để tích lũy vốn kiến thức toán học củamình Đây cũng là vấn đề khó đối với người học, chính vì vậy thì đòi hỏi ngườidạy cần truyền đạt cho các em sự ham thích học toán bằng cách phân dạng cácbài toán về tổng bình phương của một biểu thức một cách khoa học nhất

Hiện nay công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong các nhà trường THCSđang được quan tâm đặc biệt, đó là một trong những vấn đề đánh giá chất lượngcủa một nhà trường Nghị quyết Trung Ương 2 khóa VIII yêu cầu của nhiệm vụbồi dưỡng tạo dựng đội ngũ nhân tài cho tương lai phải xác định rõ hơn, kết quảhọc sinh giỏi cũng là kết quả của phong trào "hai tốt" ở các nhà trường, nó gắnliền với việc nâng cao chất lượng đại trà, giáo dục toàn diện đối với học sinh

Chính vì vậy, các nhà trường THCS cần xác định được mục tiêu đó lànhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản và thiếtthực, hình thành và rèn luyện cho các em các kĩ năng giải toán và ứng dụng vàothực tiễn, rèn luyện kĩ năng suy luận hợp lí, sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồidưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo Xuất phát từ mục tiêutrên phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, rènluyện khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành vàphát triển ở học sinh các tư duy cần thiết

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

a.Thực trạng

Ưu điểm: Trường THCS Phạm Văn Hinh có truyền thống trong việc bồidưỡng học sinh giỏi toán một số học sinh có tư chất thông minh, có thiên hướnghọc các môn khoa học tự nhiên, nhiều em yêu thích môn toán

Nhược điểm:

Về học sinh:Không biết cách về giải các bài toán về tổng bình phương

Không biết cách trình bày

Không nắm được các dạng toán về tổng bình phương một cách cụthể

Về giáo viên: Giáo viên chưa bao quát hết các dạng toán về tổng bình phương Nhiều giáo viên không chú trọng đến mảng kiên thức này, chưaquan tâm đúng mức đến tất cả các dạng toán về tổng bình phương

Nguyên nhân:

- Nguyên nhân khách quan:

+Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức này theo phân phối chương trình còn ít + Sách giáo khoa đưa ra những bài toán nâng cao về các dạng toán về ứngdụng của bài toán trên còn ít

- Nguyên nhân chủ quan:

+ Học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức bổ trợ nâng cao về hằngđẳng thức Kĩ năng trình bày của từng học sinh ở từng dạng toán chưa được rènluyện nhiều

+ Giáo viên chưa tìm ra được những giải pháp hữu hiệu khi dạy phần kiến thức

về luỹ thừa

Qua một số năm được phân công tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏitôi thường trực tiếp tham khảo nhiều tài liệu viết về nội dung này và tôi thấyviệc cần thiết phải có những phân loại, phương pháp giải thích hợp giúp họcsinh một phần nào đó có cơ sở để tìm tòi giải các bài toán về ứng dụng của bìnhphương Ở trường trung học cơ sở các dạng toán có liên quan đến tổng bìnhphương xuất hiện nhiều ở lớp 8,9 đặc biệt là các đề học sinh giỏi

b Kết quả thực trạng

Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó cóbiện pháp giảng dạy có hiệu quả tôi đã đã tham khảo rất nhiều tài liệu, tham giagiải cùng học sinh các bài toán và tiến hành khảo sát các em trong đội tuyển 16

em mà tôi đảm nhận Cụ thể hai bài toán sau:

Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu (x+y)2= 2(x2 +y2) thì x = y  1

Bài 2: Chứng minh rằng: a2 + b2 2ab  1

Bài 3: Chứng minh rằng:A = x2 - 6x+2019 > 0 với mọi  3 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của M = - 9x2 +6x – 20  1

Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + y 1+ z 2=12 (x+y+z)

 1

Trong trang này: Bài 1,2,4,5 tham khảo từ TLTK số  1 .bài 3 tham khảo từ TLTK số  3

Kết quả thu được sau khi các em làm 2 bài tập trên như sau:

Trên đây là bảng tổng hợp kết quả mà bản thân đã khảo sát trước khi thực

hiện với công việc phân loại các bài tập về tổng bình phương

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

* Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức cơ bản:

- Bằng cách cung cấp lý thuyết trong những tiết dạy lý thuyết

- Củng cố trong những tiết luyện tập

- Học sinh củng có các kiến thức cơ bản về hằng đẳng thức

B A

0

0

2 1

n

A

A A

0

0

2 1

n

A

A A

Với các kiến thức trên tôi xin giới thiệu và phân thành các dạng bài tập như sau:

* Hướng dẫn vận dụng các phương pháp giải các dạng bài toán về áp dụng :

a c

c b

b a

c b

b a

 a = b = c

Trong trang này: Bài toán 1a tham khảo từ TLTK số  2 ,bài toán 20 tham khảo từ TLTK số  9

Bài toán 2: Cho tam giác có ba cạnh a,b,c thỏa mãn a3+b3+c3= 3abc Hỏi tamgiác đó là tam giác gì?  1

Giải

Ta có: a3+b3+c3= 3abc  a3+b3+c3– 3abc = 0

 (a+b+c)(a2 +b2 +c2– ab – bc – ca) = 0

Theo giả thiết, ta có: a +b + c > 0 nên a2+b2 +c2 – ab – bc – ca = 0

a c

c b

b a

c b

b a

 a = b = c

Vậy tam giác đó là tam giác đều

Bài toán 3: Chứng minh rằng : Nếu (y–z)2+(z–x)2 +(x–y)2 = (y+z–2x)2+

(z+x–2y)2+(x+y–2z)2 thì x= y =z  5

Giải

Ta có : (y–z)2+(z–x)2 +(x–y)2 = (y+z–2x)2+(z+x–2y)2 +(x+y–2z)2

 y2 –2yz +z2+ z2–2zx +x2 + x2 –2xy +y2 = y2 +z2+4x2+2yz–4zx–4xy+z2

+x2 +4y2 +2zx–4yz– 4xy+x2 +y2 +4z2 +2xy– 4zx – 4yz

 4x2 +4y2+4z2–4xy– 4yz– 4zx = 0

x z

z y

y x

z y

y x

 x = y = z

Vậy y–z)2 +(z–x)2+(x–y)2= (y+z–2x)2 +(z+x–2y)2+(x+y–2z)2 thì x= y =z Nhận xét : Bài toán 1,2,3 cách làm như nhau, biến đổi bằng ccha schuyển vế sau

đó nhóm các số hạng để đưa về bình phương của một tổng hoặc một hiệu

Bài toán 4: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 2020

Tính giá trị của biểu thức

P = x

2020

) 2020 )(

2020 (

2

2 2

2020 (

2

2 2

2020 (

2

2 2

2020 (

2

2 2

) (

) (

) (

) (

) (

2

2 2

zx yz xy x

zx xy yz z zx yz xy

2020

) 2020 )(

2020 (

2

2 2

= y(z+x)

z

2020

) 2020 )(

2020 (

2

2 2

Nhận xét: Đối với hai bài toán trên ta xuất phát từ đầu bài, sau đó chuyển vế từ

vế phải sang vế trái và nhóm các số hạng để tạo thành các hằng đẳng thức bình

phương của một hiệu Nhóm các hạng tử để xuất hiện xy+yz+zx rồi thay vào để tính giá trị biểu thức

Dạng 2 Chứng minh bất đẳng thức:

Phương pháp: Để chứng minh AB, ta xét hiệu A – B và chứng minh A–B 0 hoặc chứng minh A – B = C2 0

Bài toán 5: Chứng minh rằng:

a) a2 + b2+c2 ab+bc+ca  4 b) a3+ b3+c3 3abc, với a+b+c >0

 7

c) (a+ b+c)2  3(a2 + b2+c2 )  4 d) (a+b+c)2  3(ab+bc+ca)

 7

Giải a) Ta có: a2 + b2 +c2 ab+bc+ca

 a2 + b2 +c2–ab – bc – ca0

 2a2 + 2b2 +2c2 –2ab – 2bc – 2ca0

 (a–b)2+ (b–c)2+(c–a)2 0 (luôn đúng)

Vậy a2 + b2 +c2 ab+bc+ca Dấu “=” xảy ra  a = b = c

 (a–b)2 + (b–c)2 +(c–a)2 0 (luôn đúng)

Vậy (a+ b+c)2  3(a2 + b2 +c2) Dấu “=” xảy ra  a = b = c

d)Ta có: (a+b+c)2  3(ab+bc+ca)

a c

c b

b a

c b

b a

 a = b = c

Nhận xét: Các bài toán trên đều biến đổi tương đương bằng cách chuyển vế rồi biến đổi thành các bình phương

Trong trang này : Bài toán 5a,c tham khảo từ TLTK số  4 ,bài toán 5b,d tham khảo từ TLTK số  7

Bài toán 6: Chứng minh rằng:

a) a3+ b3 ab(a+b) với a,b > 0  8 b) a4 + b4 +c4 abc(a+b+c)

 8

c) a4 + b4 a3b+ab3  9

Giảia)Ta có: a3+ b3 ab(a+b) (a3– a2 b) + (b3– ab2 )0

 a2 (a–b) –b2 (a–b) 0

 (a–b)(a2 –b2) 0

 (a–b)2 (a+b) 0 (luôn đúng, vì a,b >0)

Vậy a3+ b3 ab(a+b) Dấu “=” xảy ra  a=b

b) Cách 1: Ta có : a4 + b4 +c4 abc(a+b+c)  a4 + b4 +c4 –a2bc–ab2 c–

abc2 0

 2a4 + 2b4 +2c4 –2a2 bc –2ab2c –2abc2 0

 (a4 – 2a2b2 +b4 )+ (b4 – 2b2 c2+c4 )+ (c4 – 2c2 a2 +a4 )+(a2 b2+b2 c2 – 2ab2c)+(b2 c2+c2 a2– 2abc2 )+(c2 a2+a2 b2- 2a2 bc) 0

 (a2–b2 )2+(b2 –c2)2 +(c2–a2)2 +(ab–bc)2+(bc–ca)2+(ca–ab)2 0

(luôn đúng)

Vậy a4 + b4 +c4 abc(a+b+c) Dấu “=” xảy ra  a=b=c

Cách 2: Ta có: a4 + b4 +c4 = (a2 )2+(b2)2 +(c2)2  (ab)2+ (bc)2 + (ca)2

ab.bc+bc.ca+ca.ab

b.abc+c.abc+a.abc

abc(a+b+c)

Vậy a4 + b4 +c4 abc(a+b+c) Dấu “=” xảy ra  a=b=c

c) a4 + b4 a3b+ab3  (a4 –a3b)+(b4 – ab3) 0 a3(a–b) –b3(a–b) 0

 (a–b)(a3-b3)0  (a–b)2(a2+ab+b2 )0

 (a–b)2































2 4

3

b

a 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra  a = b

Bài toán 7: Chứng minh rằng:

a) a + b 2 ab với a,b > 0  8

b) (a2+b2 )(x2 +y2 ) (ax+by)2, với xy 0  9

c) b a +a b 2, với a b > 0  5

d) b a +a b  -2, với ab < 0  5

Giải a) Ta có: a + b 2 ab  a – 2 ab+b0 ( a- b)2 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra  a = b b) Ta có : (a2 +b2 )(x2+y2) (ax+by)2  (a2 +b2 )(x2 +y2) – (ax+by)2  0  a2 x2 + a2y2+ b2x2+ b2y2– a2 x2 –2abxy –b2 y2 0  a2 y2 + b2 x2 –2abxy 0  (ay– bx)2  0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra  ay – bx = 0 ay = bx  a x b y Trong trang này : Bài toán 6a,b 7a, tham khảo từ TLTK số  8 ,Bài toán 7b tham khảo từ TLTK số  9 ; Bài toán 7c,d tham khảo từ TLTK số  5

c) Ta có : b a + a b 2  b a +a b –2 0  ab b ab a2  2  2  0 

ab

b

a ) 2 ( 

0 (luôn đúng vì ab > 0, theo giả thiết) Dấu “=” xảy ra  a = b

a2  2  2

 0 

ab

b

a ) 2 ( 

0 (luôn đúng vì ab < 0, theo giả thiết) Dấu “=” xảy ra  a = - b

Nhận xét: Các bài toán trên biến đổi điều phải chứng minh tương đương vớiđiều hiển nhiên đúng nhờ hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bìnhphương của một hiệu Câu b chính là bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Bài toán 8 Cho a,b,c là các số dương Chứng mình rằng:

a) a1 +b1 

b

a 

4  2 b) a2+ b2+ c2+ d2+ e2 a(b+c+d+e)

 2 c) ab c +bc a +ca b  a+b+c  2 d) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc, với a,b,c > 0  8

Giảia) Ta có : a1 +b1 

) (

4 ) ( ) (

b a ab

ab b

a a b a b

2 2 2

b a ab

ab b

2

b a ab

b a





0 (luôn đúng vì a,b >0) Dấu “=” xảy ra  a = b

Trong trang này : Bài toán 8a,b,c tham khảo từ TLTK số  2 ,Bài toán8 d tham khảo từ TLTK số  8

Bài toán 9 Cho a,b,c là các số dương Chứng mình rằng:

Giảia) Ta có (a+b+c)(a1 + b1 +1c ) = 1 +b a +a c +1+ a b +b c +1+a c +b c

= 3+(b a + a b )+(a c + a c )+(b c +b c )

Mà b a +a b 2 ; c a +a c 2 ; b c +b c 2 với a,b,c > 0 (theo BĐT cosi)

Nên (a+b+c)(a1 + b1 +c1 ) 3+2+2+2 = 9 Dấu “=” xảy ra  a = b = c

z y

z z

y x

y y x

z y xy

y

) ( ) ( ) (

2

1.3Dấu “=” xảy ra  x=y=z  a = b =c





1+b c a





1+a b c





1+b c a





1+c a b





1)2.(a1 + b1 +1c )Hay a b c

Nhận xét: Bài 8a,b biến đổi tương đương để đưa về tổng các bình phương Còncác bài 8c, bài 9 biến đổi để xuất hiện

a

b b

a

 sau đó áp dụng kết quả

a

b b

a

 2.Cuối cùng rút gọn và chỉ ra điều phải chứng minh

Dạng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức

Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức A2 2AB+B2= (A B)2= 0 đểbiến

Trong trang này : Bài toán 9a tham khảo từ TLTK số 11,bài toán 9b,c tham khảo từ TLTK số  6

Giải

a)Ta có: A = x2 +2x +2021 = x2 +2x +1+202 = (x+1)2+2020  2020

Dấu “=” xảy ra  x+1 = 0 x = –1

Vậy minA =2020 khi x = –1

b) Ta có: B = x2+5y2– 2xy + 4y + 2022 = (x2 –2xy + y2 ) + (4y2

0

y

y x

2 y

y x

 x = y = 21 Vậy minB = 2021 khi x = y = 21

c) Ta có : C = (x2–2x)( x2 –2x+2) = (x2 –2x)2 – 2(x2–2x)

Đặt x2–2x = y , ta có : C = y2–2y = (y2 – 2y+1) – 1 = (y–1)2 –1 –1

Dấu “=” xảy ra  y–1= 0  y =1 x(x–1) = 0 x = 0 hoặc x =1

Vậy minC = –1 khi x = 0 hoặc x =1

Nhận xét: Đối với bài toán 11a,b trên ta biến đổi để đưa về P = a+ 2

)

(x

f a Còn đối với bài 11c biến đổi sau đó đặt ẩn phụ rồi biến đổi biểu thức với ẩn phụ

về dạng giống như các bài tập trên

Bài toán 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau.

a) A =

1 2

x x

 7 b) B =

1 2

6 8 3

2 2

x x

 3 c) C = 2 42 1

x

x

x    3Giải

a)Ta có : A =

1 2

1

2 2

1 2

1 4 1

= 43 +

2

2

) 1 ( 2

1 2 1

3

0 2

1 2

6 8 3

2 2

x x

2

) 1 (

1 ) 1 ( 2 ) 1 2 ( 3

Trong trang này : Bài toán 10c, 11a,c tham khảo từ TLTK số  7 ,Bài toán 10a,c, 11b,d tham khảo từ TLTK số  3

Dấu “=” xảy ra

x

1

= 2  x = 21 Vậy min C = – 3 x = 12