Một số phương pháp hướng dẫn cho HS khối 8 ở trường THCS lê lợi chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN MỘT SỐ KỸ NĂNG CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN MỘT SỐ KỸ NĂNG CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS LÊ LỢI THÀNH PHỐ THANH HÓA

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuỷ Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Lợi SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN CHO HỌC SINH LỚP 8 Ở TRƯỜNG THCS LÊ LỢI CHỨNG MINH ĐƯỜNG

THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuỷ Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Lợi SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

MỤC LỤC Mục Nội dung Trang

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

1 MỞ ĐẦU 1.1.Lý do chọn đề tài:

Toán học là một môn khoa học cơ bản, được rất nhiều người quan tâm vànghiên cứu Với vai trò là môn học công cụ để phát triển tư duy logic, môn toángóp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác

Do vậy, dạy Toán như thế nào để học sinh nắm vững kiến thức cơ bảnmột cách có hệ thống và nâng cao, phát triển để các em hứng thú say mê tronghọc tập là câu hỏi mà mỗi nhà giáo luôn phải đặt ra và tìm mọi cách để trả lời Qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy toán ở các khối lớp trường THCS, tôinhận thấy nhiều em học sinh khi học môn hình học, mặc dù kiến thức cơ bản đãnắm chắc, nhưng khả năng vận dụng những kiến thức đó vào giải các bài tập làchưa cao Trước thực tế đó, để giúp học sinh hình thành thói quen tìm tòi và vậndụng sáng tạo kiến thức đã học, tôi đã cho học sinh tiếp cận dần bằng cách chohọc sinh làm các bài tập từ đơn giản đến phức tạp Ngoài ra khi giải quyết xongcác bài tập, học sinh biết phân chia các dạng bài tập ở các mức độ từ dễ đến khó.Sau đó hệ thống và phân dạng bài tập, các phương pháp giải cho mỗi dạng bàitập Riêng đối với học sinh khá, giỏi cần phải biết tổng quát, phát triển, mở rộngbài toán từ bài toán ban đầu Với cương vị là giáo viên trực tiếp giảng dạy môntoán tại trường THCS Lê Lợi, Thành phố Thanh Hoá tôi luôn trăn trở làm thếnào để học sinh của mình đạt được kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi cấphuyện, cấp tỉnh và thi vào lớp 10 Suy nghĩ là như vậy nhưng khi nhìn vào đề thi(với thang điểm 20) tôi nhận thấy để dạy cho học sinh đạt số điểm 12, 13 thì dễnhưng để có được từ 14 điểm trở lên thì đúng là cả một vấn đề Bởi vì trong một

đề thi bao giờ cũng có mặt những chuyên đề khó như: “ bất đẳng thức”,“bàitoán chứng minh điểm cố định”, “chứng minh ba điểm thẳng hàng”, “bài toántìm quỹ tích”, “bài toán cực trị trong hình học” và những chuyên đề này thật

sự bản thân còn thấy khó hơn trong các đề thi học sinh giỏi cấp Thành Phố, cấptỉnh và các đề thi vào lớp 10 hằng năm Trước yêu cầu thực tế cần rèn luyện chohọc sinh nắm vững lý thuyết và vận dụng giải tốt dạng toán chứng minh đườngthẳng luôn đi qua điểm cố định và các bài tập liên quan, tôi mạnh dạn lựa chọn

đề tài:

“ Một số phương pháp hướng dẫn cho học sinh khối 8 ở trường THCS Lê

Lợi chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định ”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh có hướng suy nghĩ, biết các bước giải khi gặp dạng toán

“chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định”.

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi khối 8 ở trường THCS Lê Lợi

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán trong SGK và SBT hình học 7;8 Ngoài racòn mở rộng đơn vị kiến thức trong các tài liệu nâng cao phù hợp với từng đốitượng học sinh trong từng khóa học

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp khảo sát, so sánh, đối chiếu

- Phương pháp phân tích đi lên

- Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh

- Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu hồ sơgiảng dạy và kiểm tra trên nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần bằngnhiều hình thức khác nhau.

- Đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi giảng dạy chuyên đề theonội dung đề tài

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong chương trình giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay, nhìn chungtất cả các môn học đều giúp học sinh tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa họcứng dụng Đặc biệt với môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trêntinh thần toán học hiện đại Trong đó các bài toán chứng minh đường thẳng điqua điểm cố định rất đa dạng, phong phú và có ý nghĩa rất quan trọng đối vớicác em học sinh tham gia thi đội tuyển Toán ở cấp THCS.Tuy nhiên trong sáchlại không hướng dẫn phương pháp giải toán một cách cụ thể Chính vì vậy màcác em thường không nắm được phương pháp giải bài toán dạng này, đặc biệt là

vị trí của điểm cố định nằm ở đâu

Việc giải các bài tập chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định đòi hỏingười học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp các kiến thức

cũ và mới một cách logic có hệ thống Trong khi đó đa số học sinh tham gia độituyển toán tại trường THCS Lê Lợi không có hứng thú với loại toán này, các emthấy khó khăn và không có hướng suy nghĩ để giải quyết các bài tập

Trong quá trình giảng dạy giáo viên phải dựa vào phương pháp dạy họccác chủ đề nâng cao, khai thác sâu chương trình, rèn luyện kỹ năng và tư duysáng tạo cho học sinh Từ đó rèn luyện cho các em có năng lực tự học, nâng caokhả năng tư duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng áp dụng kiến thức Toán học vàocác môn học khác

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

2.2.1 Thuận lợi:

- Được sự quan tâm của Chi bộ, Ban giám hiệu nhà trường, đã tạo điều kiện chogiáo viên được tổ chức các hoạt động dạy và học toán trong nhà trường diễn rathuận lợi, đạt kết quả cao

- Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi luôn nhận được sự quan tâm hàng đầu từlãnh đạo Phòng giáo dục, chuyên viên trong cấp THCS cho đến lãnh đạo địaphương

- Lãnh đạo nhà trường luôn sát sao trong công tác ôn thi học sinh giỏi của giáoviên và học sinh trong trường Bắt đầu từ việc hình thành học sinh cho từng độituyển, lựa chọn giáo viên phụ trách theo môn của từng khối, lên kế hoạch bồidưỡng chung cho cả trường

- Đội ngũ giáo viên trực tiếp phụ trách đội tuyển tâm huyết, nhiệt tình, hăng saytrong công việc giảng dạy, đặc biệt dành hết tâm tư cho vấn đề ôn học sinh giỏicủa môn học do mình phụ trách

- Môn toán cũng là môn học dành được nhiều sự ưu ái từ phía phụ huynh và họcsinh trong nhà trường

- Phần lớn học sinh hiếu học, ham thích tìm hiểu kiến thức môn hình học

2.2.2 Khó khăn:

- Một bộ phận học sinh chưa thật sự hiểu rõ tầm quan trọng của toán học tronghọc tập và cuộc sống, kiến thức về hình học của nhiều em còn rỗng Kỹ năng vẽhình, chứng minh đang còn hạn chế, lúng túng, gặp nhiều khó khăn

- Trường THCS Lê Lợi tuy đóng trên địa bàn gần trung tâm Thành phố ThanhHóa, nhưng đại bộ phận dân cư sống chủ yếu bằng nghề tự do, buôn bán nhỏ lẻ,

nên thời gian và sự quan tâm của phụ huynh đến việc học của các em còn hạnchế cả về tinh thần và vật chất.

- Đây là môn học khó với học sinh và chứng minh điểm cố định là phần gần nhưkhó nhất vì vậy học sinh rất sợ khi gặp các bài tập của dạng toán này

- Ngoài ra, học sinh chưa được trang bị phương pháp giải dạng toán này cũngnhư chưa được trang bị cách trình bày một bài toán chứng minh đường thẳng điqua điểm cố định

- Các tài liệu bồi dưỡng mới chỉ đưa ra bài tập rồi giải nhưng chưa có sự địnhhướng về đường lối chung

Qua khảo sát chất lượng của học sinh giỏi môn Toán khối 8 ở trường THCS

Lê Lợi năm học 2016 -2017; 2017-2018 tôi thấy:

- Đa số các em khi gặp dạng toán chứng minh điểm cố định đều không có hướng

tư duy, không biết biết phải bắt đầu từ đâu, nếu có em nào làm được chẳng qua

là học vẹt

- Trước khi thực hiện áp dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm tra tình hình, thựctrạng học tập môn Hình của học sinh khối 8 trường THCS Lê Lợi thông qua việckiểm tra miệng lý thuyết, thăm dò sở thích của học sinh và bằng bài kiểm tra

Bảng 1: Khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi khối 8 trong các năm học 2016 -2017; 2017-2018

Không biếtlàm gì

I BA

Trên đoạn AB lấy điểm J sao cho AJ = 1/4 AB suy ra J cố định

A

……

……

Trên tia AB lấy điểm P sao cho BP = 1/3 AP suy ra P cố định

Trên tia AB lấy điểm Q sao cho BQ = 1/4 AQ suy ra Q cố định

Có vô số điểm cố định giống ở mục 1

Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác AD, đường trungtrực của đoạn BC thì các đường đó đều là đường cố định Tương tự các đườngcao đường trung tuyến, đường phân giác ở đỉnh B và C cũng cố định Suy ratrọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABCcũng cố định

B A

Ta đặc biệt chú ý đến các điểm đặc biệt M, D, H, … ở trên

Qua A, B, C ta kẻ các đường thẳng song song với BC, AC, AB suy ra các đườngthẳng đó cố định

C B

A

3 Cho điểm A cố định và đường thẳng d cố định Cho ta những điểm nhữngđường nào cố định.

Gọi d1 là đường thẳng qua A và vuông góc với d, gọi d2 là đường thẳng qua A vàsong song với d suy ra d1 và d2 cố định

Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d) G đối xứng với A qua d suy ra H và G cốđịnh

d2

d1

4 Cho 2 điểm A và B cố định Cho ta những đường cố định nào?

Gọi d là đường trung trực của AB suy ra d là đường thẳng cố định

Gọi d1 là đường thẳng qua A và vuông góc với AB suy ra d1 là đường thẳng cốđịnh

Gọi d2 là đường thẳng qua B và vuông góc với AB suy ra d2 là đường thẳng cốđịnh

Từ 2 điểm A và B cố định suy ra vô số điểm cố định Mỗi đường thẳng đi qua 1điểm cố định đó và vuông góc với AB đều là những đường cố định Vậy ta được

vô số điểm cố định Ở đây ta đặc biệt quan tâm đến đường thẳng d, d1, d2

5 Cho góc xOy cố định Cho ta những đường cố định nào?

Gọi Oz là phân giác của góc xOy suy ra Oz cố định

Gọi d là đường thẳng vuông góc với Ox tại O suy ra d cố định

Gọi d1 là đường thẳng vuông góc với Oy tại O suy ra d1 cố định

d1

d

z

x O

y y

6 Cho 2 điểm A, B và đường thẳng d cố định cho ta những điểm, những đườngnào cố định

b a

K H

D C

B A

B A

d d

Các điểm cố định là A, B các đường cố định là d, AB là dễ thấy nhất

Gọi a, b là đường thẳng qua A, B và vuông góc với d => a, b cố định

Gọi H, K là giao điểm của a, b với d => H, K cố định

Gọi C, D là điểm đối xứng của A, B qua d => C, D cố định

 trung điểm của các đoạn thẳng nối 2 trong các điểm cố định trên cố định

 Các đường thẳng đi qua 2 trong các điểm trên cố định Ví dụ: AK, AD,

HB, HD, CK, CD, CB, …

2.3.2 Các phương pháp chứng minh một điểm cố định

Cách chứng minh 1 điểm cố định:

Cách 1: Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường cố định.

Cách 2: Chứng minh điểm đó thuộc 1 tia cố định và cách gốc một đoạn không

đổi

Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định Điểm A cố định thuộc tia Ox Lấy điểm B thuộc

đoạn OA Lấy điểm C di động thuộc tia Oy sao cho AB = OC Chứng minh rằng đường trug trực của BC đi qua 1 điểm cố định khi B di động trên đoạn OA.

y

x B

C

A O

Phương pháp 1: Xác định các điểm cố định và di động trong bài.

? Hãy xác định các điểm cố định và di động trong bài?

HS: Điểm A, O cố định

Điểm B, C di động

E D

C

O

Từ các điểm cố định trong bài suy ra đươc những đường nào cố định?

HS: - Từ điểm A, O cố định suy ra trung điểm K của OA cố định,

- Lấy điểm D trên Oy sao cho OD = OA suy ra điểm D cố định

- Lấy điểm E trên Oy sao cho E là trung điểm của OD suy ra E cố định

- Lấy điểm M trên Ox sao cho A là trung điểm của OM suy ra M cố định.

- Ta đặc biệt chú ý đến các điểm A, K, M, D, E

HS: Đường trung trực của AB là cố định Đường phân giác của góc xOy là cốđịnh Đường thẳng vuông góc với OA tại A, K và O đều là đường cố định,đường vuông góc với Oy tại D và E cố định, ……

Chú ý: Là giao điểm của các đường cố định là các điểm cố định.

Qua hình vẽ ta nhận ra các đường thẳng cố định d1, d2, d3 cố định và đườngthẳng d cắt nhau tại 1 điểm, từ đó cho ta 1 số hướng làm sau:

y

G C

Xét ΔGOA cân tại GGOC và ΔGOA cân tại GGAB ta có:

=> ΔGOA cân tại GGOC = ΔGOA cân tại GGAB (c.g.c) => GB = GC => G thuộc đường trung trực của BC

=> đường trung trực của BC luôn đi qua điểm cố định G

Lời giải 2:

d y

G C

Ta có: GA = GO ( G thuộc đường trung trực của OA)

GB = GC ( G thuộc đường trung trực của BC)

Xét ΔGOA cân tại GGOC và ΔGOA cân tại GGAB ta có:

 => ΔGOA cân tại GGOC = ΔGOA cân tại GGAB (c.c.c) => = (1)

Ta có: GA = GO ( G thuộc đường trung trực của OA) => ΔGOA cân tại GGOA cân tại G

Từ (1) và (2) suy ra = => GO là tia phân giác của góc xOy

Vậy G là giao điểm của tia phân giác của góc xOy và đương trung trực của OA

Mà 2 đường này cố định suy ra G cố định Suy ra điều phải chứng minh

Lấy điểm D trên Oy sao cho OD = OA suy ra D cố định

Gọi G là giao điểm đường trung trực của OA ( gọi là d1) và đường trung trực của

Ta có: AB + BK = AK và OC + CE = OE mà AB = OC và AK = OE => BK =CE

Xét ΔGOA cân tại GGKB và ΔGOA cân tại GGEC ta có:

=> ΔGOA cân tại GGKB = ΔGOA cân tại GGEC (c.g.c) => GB = GC => G thuộc đường trung trực của BC

=> đường trung trực của BC luôn đi qua điểm cố định G

Nhận xét: Qua các lời giải trên ta thấy: Khi xác định được điểm cố định G nằm

trên đường cố định d1 ; d2; d3 và đường trung trực d Ta có thể đưa ra rất nhiềulời giải như:

- Gọi G là giao điểm của d và d1 (lúc này G chưa cố định vì d di động) rồichứng minh G thuộc d2 hoặc d3

- Gọi G là giao điểm của d và d2 (lúc này G chưa cố định vì d di động) rồichứng minh G thuộc d1 hoặc d3

- Gọi G là giao điểm của d và d3 (lúc này G chưa cố định vì d di động) rồichứng minh G thuộc d1 hoặc d2

- Gọi G là giao điểm của d1 và d2 (lúc này G cố định) rồi chứng minh Gthuộc d.( đây còn gọi là phương pháp đổi đề)

- Gọi G là giao điểm của d1 và d3 (lúc này G cố định) rồi chứng minh Gthuộc d.( đây còn gọi là phương pháp đổi đề)

- Gọi G là giao điểm của d3 và d2 (lúc này G cố định) rồi chứng minh Gthuộc d (Đây còn gọi là phương pháp đổi đề)

Tùy từng bài mà ta chọn cách nào cho hợp lí Có những cách nó đơn giản cónhững cách lại phức tạp, phải thử….ví dụ như ở trên mà chọn giao điểm của tiaphân giác góc xOy và đường trung trực của BC là G rồi chứng minh G thuộcđường trung trực của OA nó sẽ phức tạp hơn nhiều v.v…

Lời giải 4:

z d G

Gọi G là giao điểm đường trung trực của BC ( gọi là d) và tia phân giác Oz củagóc xOy

Chứng minh ΔGOA cân tại GGEC = ΔGOA cân tại GGKB (cạnh huyền- cạnh góc vuông) suy ra EC = KB

Ta có: AB + BK = AK và OC + CE = OE mà AB = OC và BK = CE => AK =OE

Mà OE = OK suy ra OK = AK mặt khác GK vuông góc với OA suy ra GK làđường trung trực của OA

Vậy G là giao điểm của tia phân giác của góc xOy và đương trung trực của OA

Mà 2 đường này cố định suy ra G cố định Suy ra điều phải chứng minh

Chú ý:

- Tại sao lại kẻ GE, GK như vậy?

- Lời giải 5; lời giải 6; …

Phương pháp 2: Tìm điểm cố định bằng vẽ thêm hình.

Vẽ thêm điểm B1 trên đoạn OA Lấy điểm C1 thuộc tia Oy sao cho AB1 = OC1

Vẽ đường trung trực d1 của đoạn B1C1 Khi đó giao điểm G của d và d1 chính làđiểm cố định cần tìm

Phương pháp 3: Cho vào các trường hợp đặc biệt trên hình.

Gọi D là điểm thuộc tia Oy sao cho OA=OD Vì OA không đổi suy ra OD

không đổi Suy ra D cố định

Khi B trùng A suy ra C trùng O Khi đó đường trung trực của BC thành đườngtrung trực của OA

Khi B trùng O thì C trùng với D Khi đó đường trung trực của BC thành đườngtrung trực của OD

Suy ra điểm cố định cần tìm chính là giao điểm của 2 đường trung trực trên Từ hướng suy luận này cho ta lời giải 3 ở trên Đến đây ta thấy lời giải 3 rất tự nhiên Chúng ta đã giải thích được thắc mắc là làm sao biết lấy điểm D và E nhưvậy?