Một số phương pháp giải dạng toán dãy số có quy luật thường gặp ở chương trình toán 6

Vì vậy yêu cầu học sinh phải nắm chắc, vận dụng được các quy tắc, phương pháp tìm quy luật số, giải các bài toán về dãy số là điều rất quan trọng.. Trong quá trình giảng dạy trực tiếp tr

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT THƯỜNG GẶP

Ở CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Người thực hiện : Nguyễn Thị Quế Chức vụ : Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác : Trường THCS Quảng Hưng SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2021

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình giáo dục ở mọi cấp học Tư duy Toán học giúp cho mỗi học sinh học tốt các môn học khác đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên Mặc dù có vai trò quan trọng như vậy song không phải học sinh nào cũng học tốt môn Toán

Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tư duy linh hoạt, sáng tạo

Từ vị trí và nhiệm vụ vô cùng quan trọng của môn Toán vấn đề đặt ra cho người dạy là làm thế nào để giờ dạy - học Toán có hiệu quả cao, học sinh được phát triển tính tích cực, chủ động sáng tạo trong việc chiếm lĩnh kiến thức toán học

Chuyên đề "Dãy số có quy luật" là một trong những chuyên đề cơ bản của

chương trình số học lớp 6 nói riêng và chương trình toán THCS nói chung Là dạng toán có nhiều ứng dụng trong việc giải các dạng bài tập khác nhau không chỉ trong phạm vi số học mà còn sử dụng trong đại số Do đó có thể nói đây là dạng toán có thể phát triển được tính sáng tạo và tư duy nhiều nhất của học sinh

Vì vậy yêu cầu học sinh phải nắm chắc, vận dụng được các quy tắc, phương pháp tìm quy luật số, giải các bài toán về dãy số là điều rất quan trọng Trong quá trình giảng dạy trực tiếp trên lớp, qua trao đổi với các bạn đồng nghiệp, thông qua tìm hiểu các loại tài liệu tham khảo tôi thấy rằng đối với các bài toán

về dãy số, đặc biệt là tính tổng dãy số chưa có phương pháp giải một cách rõ ràng, tường minh, cho nên học sinh khi gặp dạng toán này còn lúng túng, thậm chí bế tắc trong việc tìm hướng giải Vì những lí do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài

“Một số phương pháp giải dạng toán dãy số có quy luật thường gặp ở chương trình toán 6” để nghiên cứu với mục đích giúp cho học sinh học tốt dạng toán

này, cũng như đóng góp tài liệu giúp giáo viên trong việc dạy chủ đề về dãy số

có quy luật trong chương trình số học

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- Chỉ ra những dãy số có quy luật thường gặp và hướng dẫn học sinh cách tìm quy luật, từ đó đưa ra phương pháp giải

- Nâng cao chất lượng dạy học đại trà và đặc biệt là chất lượng mũi nhọn

- Đổi mới phương pháp dạy học

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Đối tượng: Phương pháp giải dạng toán dãy số có quy luật, cụ thể là: Tính tổng của một dãy số và một số ứng dụng vào các dạng khác

- Phạm vi: Học sinh khối lớp 6,7 - trường THCS Quảng Hưng, TP Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp đọc sách và tài liệu

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận:

Trong thời điểm hiện nay khi cả nước đang bước vào thời kì công nghiệp hóa, hiện đại hóa thì yêu cầu về nhân lực, nhân tài ngày càng cao, do đó nhiệm

vụ trọng tâm của dạy học là phải giúp người học củng cố được những kiến thức phổ thông, đặc biệt là kiến thức của bộ môn toán Bởi vì môn toán là môn học có tính ứng dụng cao trong thực tế, là tiền đề cho nhiều môn học khác Tuy nhiên có thể nói đây là môn học khó, kiến thức rộng, cho nên học sinh phần lớn có tư tưởng ngại học bộ môn này

Việc học toán không đơn thuần chỉ máy móc làm lại những bài tập được cho sẵn mà phải nghiên cứu, phân tích, tổng quát hóa vấn đề và rút ra được những phương pháp giải phù hợp với từng dạng toán, từ đó có thể vận dụng cho các loại toán khác nhau Dạng toán về dãy số có quy luật ở chương trình số học 6

có thể nói là dạng đáp ứng được yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tốt chương trình số học cũng như nhiều kiến thức đại số ở các lớp 8, 9 Vấn

đề đặt ra là làm thế nào để học sinh có thể tìm được quy luật của dãy số, để rồi tính tổng cho dãy số đó một cách nhanh chóng nhất, chính xác nhất

Để có thể làm được điều này, yêu cầu giáo viên phải đưa ra được những dãy số cơ bản nhất, chỉ rõ để học sinh thấy được quy luật dãy số, và từ đó hướng dẫn học sinh tính được tổng của dãy số

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:

Trong nhiều năm dạy môn Toán tôi nhận thấy kiến thức về dãy số có quy luật không được gặp nhiều trong chương trình sách giáo khoa toán 6, 7 nhưng lại xuất hiện nhiều trong các sách nâng cao, trong các loại sách phát triển, cũng như trong các kì thi học sinh giỏi từ lớp 6 đến lớp 9

Vì được tiếp cận không nhiều nên có thể nói học sinh khá vất vả để làm dạng toán này, các em lúng túng trong việc tìm quy luật của dãy số, kể cả đã tìm được quy luật nhưng không biết tính tổng theo cách nào Các dạng bài tập của loại này lại đa dạng và phong phú đòi hỏi khả năng vận dụng nhiều kiến thức liên quan

Trước khi nghiên cứu và ứng dụng đề tài tôi đã tiến hành khảo sát học sinh khối 6, trường THCS Quảng Hưng, TP Thanh Hóa làm bài kiểm tra dạng tính tổng dãy số có quy luật tôi thu được kết quả sau:

Lớp học sinhTổng số SLGiỏi % SLKhá% SL TB% SLYếu% SLKém%

4 3

Như vậy có thể thấy kiến thức và kỹ năng vận dụng của học sinh khi làm dạng toán dãy số có quy luật là chưa tốt Qua nghiên cứu tôi nhận thấy có các nguyên nhân sau:

- Học sinh chưa nắm chắc các khái niệm cơ bản

- Học sinh thường chỉ học vẹt các định lí, quy tắc, hệ quả

- Học sinh không phát hiện thấy mối liên quan giữa các bài toán cơ bản ở sgk và bài toán tổng hợp

- Học sinh giải bài toán xong coi như đã hoàn thành chứ chưa có thói quen

tư duy, khai thác, phát triển bài toán ở dạng tổng quát

Trước thực trạng trên tôi mạnh dạn nghiên cứu và áp dụng các giải pháp trong quá trình giảng dạy học sinh về dạng toán dãy số có quy luật thường gặp trong chương trình Toán 6

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

- Đưa ra các dãy số có quy luật gồm hữu hạn số, phương pháp giải cho từng dãy, hình thành bài toán tổng quát và cách giải bài toán tổng quát này

- Lồng ghép trong tiết luyện tập dạy chính khóa Soạn thành chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy đối tượng học sinh đại trà

2.3.1 Các kiến thức cơ bản để giải dạng toán “tính tổng dãy số có quy luật”

* Công thức đếm các số tự nhiên từ a đến b( a < b), hai số kế tiếp cách nhau

d đơn vị: 1

d

a

-b

+ (trong đó b là số cuối, a là số đầu, d là khoảng cách giữa hai số

liên tiếp)

* Các phép toán về cộng, trừ, nhân phân số Các tính chất cơ bản của phép cộng, phép nhân phân số

* Các bước giải bài toán theo phương pháp qui nạp: Để chứng minh một mệnh đề Sk(k=1;2;3…) nào đó mà ta thấy mệnh đề đó đúng với 1; 2; 3 giá trị đầu tiên của k thì ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học để tính hoặc chứng minh mệnh đề đó

Bước 1: Thử một vài giá trị đầu tiên xem tính đúng đắn của mệnh đề

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k Nghĩa là Sk đúng

Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề đó đúng với n=k+1, tức là Sk+1 đúng Bước 4: Kết luận bài toán

* Các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức:

- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c

- Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c

- Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b thì a c > b c (c > 0)

2.3.2 Phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật:

Với nội dung đề tài này tôi trình bày từ những ví dụ đơn giản với hữu hạn

số, hướng dẫn cách tìm lời giải, trình bày lời giải, và hình thành bài toán tổng quát, cũng như cách giải cho bài toán tổng quát

a Tính tổng bằng phương pháp nhóm số hạng thành từng tổng bằng nhau.

Đây là dãy số cơ bản nhất mà học sinh đã gặp trong chương trình có thể em chưa biết của toán 6

Ví dụ 1: Tính tổng sau: S = 1 + 2 + 3 + + 2019 + 2020

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Ở bài toán này các số được viết theo thứ tự liên tiếp số sau hơn số trước 1 đơn vị, và nhận xét thấy 1 + 2020 = 2 + 2019 = 3 + 2018= = 1010 + 1011 =

2021 do đó để tính tổng này ta có thể sử dụng nhóm các căp số hạng có tổng =

2021 Và sử dụng công thức tính số các số hạng liên tiếp từ 1 đến 2020 để tính

số cặp số

* Cách giải:

S = 1 + 2 + 3 + + 2019 + 2020 = (1 + 2020 ) +(2 + 2019 ) + (3 + 2018) + + (1010+1011)

Số các số hạng từ 1 đến 2020 là: 1 2020

1

1 -2020

= + số nên số nhóm là 1010 Vậy S = 1010.2021 = 2041210

* Bài toán tổng quát:

Tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + +n= (1 + + + − + + − + +n) (2 n 1) (3 n 2) ( )

1 1 1 ( 1) ( 1)

n

 

=  + ÷ + =

 

Ví dụ 2: Tính tổng sau: S = 2020 − 2019 + 2018 − 2017 + + 4 − 3 + 2 − 1

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Trong tổng ta thấy trước hết số hạng thứ nhất hơn số hạng thứ hai 1 đơn vị cho nên hiệu hai số hạng liên tiếp bằng 1 Do đó để tính tổng này ta có thể sử dụng nhóm các căp số có hiệu bằng 1 Và sử dụng công thức tính số các số hạng liên tiếp từ 1 đến 2020( tương tự ví dụ 1) để tính số cặp số

* Cách giải:

1010 1

1010

1 1

1

1

) 1 2 ( ) 3 4 (

) 2017 2018

( ) 2019 2020

(

1 2 3 4

2017 2018

2019 2020

=

=

+ + + +

=

− +

− + +

− +

−

=

− +

− + +

− +

−

=

S

b Tính tổng bằng phương pháp đưa về giải bài toán tìm thành phần chưa biết trong đẳng thức.

Ví dụ 3: Tính tổng sau: S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 2020

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Tổng đã cho có dạng lũy thừa với cơ số 2, còn số mũ thì tăng liên tiếp, để triệt tiêu được các lũy thừa có thể nhân thêm tổng với 2 như vậy sẽ chỉ có thêm

số hạng 22021 Khi đó 2S = S + 22021 -1 lúc này ta tính được S

* Cách giải:

S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + + 2020 ⇒ 2S = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 2020 + 2 2021

1 2 1

2 1

2 ) 2

2 2 2 2

1

* Bài toán tổng quát:

S = 1 +a+a2 +a3 + +a n ⇒a.S = 1 +a+a2 +a3 + +a n+ 1 − 1

1

1 1

) 1 ( 1

1 1

1

−

−

=

⇒

−

=

−

⇒

− +

a

a S a

a S a

S

aS

n n

n

Ví dụ 4: Tính tổng sau: S = 12 14 16 18 41 2 14 20021 20041

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Tổng đã cho có dạng lũy thừa với cơ số1

2, còn số mũ là các số chẵn liên tiếp,

để triệt tiêu được các lũy thừa có thể nhân thêm tổng với 2 2, áp dụng cách làm tương tự ví dụ trên, ta tìm được S

* Cách giải:

S = 12 14 16 18 41 2 14 20021 20041

22 S = 222 224 226 228 2422 242 220022 220042

22 S = 1 12 14 16 41 4 41 2 20001 20021

− + − + + − + + −

− − + − − + − − + − ÷−

22 S = 2004

1 1

2

S

− − 3 1 20041 1 1 20041

⇒ = − ⇒ =  − ÷

 

c Phương pháp tính tổng bằng cách đưa tổng về dạng hiệu khử liên tiếp các số.

Dạng 1: Tổng dãy số với số hạng có dạng tích liên tiếp không chứa mẫu.

Ví dụ 5: Tính tổng sau: S = 1 2 + 2 3 + 3 4 + + 9 10

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Trong tổng có các tích của hai số liên tiếp và số cuối của tích này là số đầu của tích liền sau, nên có thể sử dụng nhân thêm tổng với số thích hợp (nhân thêm vào số 3) để viết dưới dạng (3 - 0) ở số hạng thứ nhất, (4 - 1) ở số hạng thứ hai, (5 - 2) ở số hạng thứ 3 và (11 - 8) ở số hạng cuối cùng, như vậy sẽ tạo ra tích thứ hai thành một hiệu với số trừ là tích thứ nhất, lúc này có thể triệt tiêu được tích liền trước cụ thể:

* Cách giải:

S = 1 2 + 2 3 + 3 4 + + 9 10 ⇒ 3S = 1 2 3 + 2 3 3 + 3 4 3 + + 9 10 3

) 8 11 (

10 9

) 2 5 (

4 3 ) 1 4 (

3 2 ) 0 3 (

2 1

⇒ S

= 1 2 3 + 2 3 4 − 1 2 3 + 3 4 5 − 2 3 4 + + 9 10 11 − 8 9 10 = 9 10 11 = 990 ⇒S = 330

* Bài toán tổng quát:

Tính tổng: S = 1 2 + 2 3 + 3 4 + +n.(n+ 1 )

[( 2 ) ( 1 )]

) 1 (

) 2 5 (

4 3 ) 1 4 (

3 2 ) 0 3 (

2 1

1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 n n( 1)(n 2) n n( 1)(n 2)

= − + − + + + + = + + ( 1)( 2)

3

⇒ =

Ví dụ 6: Tính tổng sau: S = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 9.10.11 + + + +

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Cũng tương tự như ở ví dụ trên, các số hạng của tổng là tích của 3 số liên tiếp nhau, hai số cuối của số hạng thứ nhất là hai số đầu của số hạng thứ hai, nên

ta nhân thêm vào tổng với 4 để viết dưới dạng (4 - 0) ở số hạng thứ nhất, (5 - 1)

ở số hạng thứ hai, (6 - 2) ở số hạng thứ 3 và (12 - 8) ở số hạng cuối cùng, từ đó khử liên tiếp các hiệu

* Cách giải:

S = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 9.10.11 + + + +

4S 1.2.3.4 2.3.4.4 3.4.5.4 9.10.11.4

4S 1.2.3.(4 0) 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) 9.10.11.(12 8)

⇒ = − + − + − + + −

=1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 9.10.11.12 8.9.10.11 + − + − + + −

* Bài toán tổng quát:

Tính tổng: S = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 9.10.11 + + + + + +n.(n 1)(n 2) + +

4S 1.2 3(4 0) 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) n n.( 1).(n 2) (n 3) (n 1)

⇒ = − + − + − + + + + + − −

1.2.3.4 1.2.3.4 2.3.4.5 2.3.4.5 n n( 1)(n 2)(n 3) n n( 1)(n 2)(n 3)

= − + − + + + + + = + + +

4

⇒ =

* Nhận xét: Số nhân thêm vào tổng được tính bằng số các thừa số trong một

tích cộng 1

Dạng 2: Tổng dãy số với tử là hằng số không đổi, mẫu là tích các số liên tiếp.

Ví dụ 7: Tính tổng sau: S =

2021 2020

1

4 3

1 3 2

1 2 1

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Các phân số trong tổng có tử bằng nhau bằng 1 và mẫu là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể sử dụng công thức n(n1+1) = 1n−n1+1biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng và trừ để triệt tiêu các số hạng đối nhau

* Cách giải:

S =

2021 2020

1

4 3

1 3 2

1 2

.

1

=

2021

2020 2021

1 1

1 2021

1 2020

1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1

1









 − +

+











 − +











 − +











 −

* Bài toán tổng quát:

4 3

1 3 2

1 2 1

1

+ + + + +

n n

=

1 1

1 1

1 1

1 1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1

1

+

= +

−

=













+

− + +











 − +











 − +











 −

n

n n

n n

Ví dụ 8: Tính tổng: S =

2021 2018

3

10 7

3 7 4

3 4 1

3

+ + +

+

* Phương pháp tìm lời giải:

Ta thấy S là tổng của các phân số có tử là 3, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số

đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2

Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho

* Cách giải:

S=

2021 2018

3

10 7

3 7 4

3 4

.

1

2021

1 2018

1

10

1 7

1 7

1 4

1 4

1 1

=

2021

2020 2021

1

* Bài toán tổng quát:

Tính tổng:

S=1.(a 1) (a 1).(2 a 1) (2a 1).(3a 1) ( a 1) ([ 1) a 1]

1 −a 1 +a 1 2 − a 1 2 + a 1 3 − a 1 + +na 1 ( − n 1) a 1

( 1)

1 1

+

= − =

+ + + +

Dạng 3: Tổng dãy số với tử của từng phân số bằng hiệu hai thừa số của mẫu, mẫu là bình phương tích các số liên tiếp.

Ví dụ 9: Tính tổng: S = 27 2 29 2 2112 229 2

3 4 + 4 5 + 5 6 + + 14 15

* Phương pháp tìm lời giải:

Ở từng số hạng của tổng ta nhận thấy tử bằng hiệu hai bình phương của mẫu:

7 = 42 - 32, 9 = 52 - 42 , do đó có thể thay tử bằng hiệu hai bình phương của mẫu, để đưa bài toán về dạng hiệu và khử liên tiếp các phân số

* Cách giải:

S = 272 29 2 112 2 229 2

3 4 + 4 5 + 5 6 + + 14 15 =422 322 522 422 622 522 1522 1422

− + − + − + + −

= − + − + − + + −

= − =

* Bài toán tổng quát:

Tính tổng:

+ + + + + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2

n

+ +

= − =

Dạng 4: Tổng dãy số với tử bằng 1, các mẫu là tích các thừa số hơn kém nhau a đơn vị.

Ví dụ 10: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:

6

1

;

66

1

;

176

1

;

336

1

;

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là:

6 = 1.6;

66 = 11.6

176 = 11.16 ;

336 = 16.21

Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:

Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6

Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n - 4)(5n + 1)

=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100 - 4)(5.100 + 1) = 496.501

Ta cần tính tổng S =

501 496

1

16 11

1 11 6

1 6 1

Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta thấy :

6

1

5

6

1

1

1 − = Tương tự như vậy

11 6

5 11

1 6

1 − =

501 496

5 501

1

496

1

=

* Cách giải:

S =

2484966

1

336

1 176

1 66

1 6

501 496

1

16 11

1 11 6

1 6 1

5.S =1 1

496 501 −

5.S =1 1

501

5

S

⇒ = .

501

500

=

501 100

* Bài toán tổng quát:

16 11

1 11 6

1 6

.

1

1

+

− + + +

+

n n

5.S =1 1

(5n 4 (5 − n 1)

− +

5.S =1 1

5n 1

−

+

1 5

S

⇒ = .

1 5

5

+

n

n

=

1

5n+

n