Cac dang bai tap ve dai cuong ve dao dong dieuhoa

+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hoặc sin) của thời gian.. + Quỹ đạo dao động điều hoà là một đoạn thẳng. Cho các phương trình dao động điều hoà [r]

Chương I: DAO ĐỘNG CƠ

Bài 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Dao động cơ, dao động tuần hoàn

+ Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh 1 vị trí cân bằng

+ Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật trở lại vị trí và chiều chuyển động như cũ (trở lại trạng thái ban đầu)

2 Dao động điều hòa

+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hoặc sin) của thời gian + Phương trình dao động: x = Acos(t + )

Trong đó: x (m;cm hoặc rad): Li độ (toạ độ) của vật; cho biết độ lệch và chiều lệch của vật so với VTCB

A>0 (m;cm hoặc rad): Là biên độ (li độ cực đại của vật); cho biết độ lệch cực đại của vật so với VTCB

(t + ) (rad): Là pha của dao động tại thời điểm t; cho biết trạng thái dao động (vị trí và chiều chuyển động) của

vật ở thời điểm t

 (rad): Là pha ban đầu của dao động; cho biết trạng thái ban đầu của vật

 (rad/s): Là tần số góc của dao động điều hoà; cho biết tốc độ biến thiên góc pha

+ Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể dược coi là hình chiếu của một điểm

M chuyển động tròn đều trên đường kính là đoạn thẳng đó

3.Chu kỳ, tần số của dao động điều hoà

+ Chu kì T(s): Là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần

Chính là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại vị trí và chiều chuyển động như cũ (trở lại trạng thái ban đầu)

+ Tần số f(Hz):Là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây

+ Liên hệ giữa , T và f:  = T

 2 = 2f

4.Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà

+ Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian: v = x' = - Asin(t + ) = Acos(t +  + 2

 ) Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn 2



so với với li độ

- Ở vị trí biên (x =  A): Độ lớn vmin = 0

- Ở vị trí cân bằng (x = 0): Độ lớn vmin =A

Giá trị đại số: vmax = A khi v>0 (vật chuyển động theo chiều dương qua vị trí cân bằng)

vmin = -A khi v<0 (vật chuyển động theo chiều âm qua vị trí cân bằng)

+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian:

a = v' = x’’ = - 2Acos(t + ) = - 2x Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ (sớm pha 2



so với vận tốc)

Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ với độ lớn của li độ

- Ở vị trí biên (x =  A), gia tốc có độ lớn cực đại : amax = 2A

Giá trị đại số: amax=2A khi x=-A; amin=-2A khi x=A;

- Ở vị trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0

+ Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin

+ Quỹ đạo dao động điều hoà là một đoạn thẳng.

5.Dao động tự do (dao động riêng)

+ Là dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực

+ Là dao động có tần số (tần số góc, chu kỳ) chỉ phụ thuộc các đặc tính của hệ không phụ thuộc các yếu tố bên ngoài

Khi đó:  gọi là tần số góc riêng; f gọi là tần số riêng; T gọi là chu kỳ riêng

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng 1: Nhận biết phương trình dao động.

1.Phương pháp:

a.Xác định A, φ, ………

– Đưa các phương trình về dạng chuẩn nhờ các công thức lượng giác

– so sánh với phương trình chuẩn để suy ra : A, φ, ………

b.Suy ra cách kích thích dao động :

– Thay t = 0 vào các phương trình





0 0

x v





  Cách kích thích dao động c.Chú ý:

– Phương trình chuẩn : x  Acos(t + φ) ; v  –Asin(t + φ) ; a  – 2Acos(t + φ) – Một số công thức lượng giác :

sinα  cos(α – π/2) ; – cosα  cos(α + π) ; cos2α 

1 cos2 2

a b 2



cos

a b 2



sin2α 

1 cos2 2

– Công thức :  

2 T



 2πf

2.Bài tập.

Bài 1 Cho các phương trình dao động điều hoà như sau Xác định A, , , f của các dao động điều

hoà đó?

a) x 5 os(4 .c t 6)





(cm) b) x 5 os(2 .c t 4)





(cm)

c) x5 os( )c t (cm) d) x 10.sin(5 .t 3)





(cm)

Bài 2 Cho các chuyển động được mô tả bởi các phương trình sau:

a)x5.cos( ) 1t  (cm) b)

2 2.sin (2 )

6

(cm) c)x3.sin(4 ) 3.t  cos(4 ) t

(cm)

Trên con đường vinh quang không có dấu chân của những kẻ lười biếng! Trang 2

Chứng minh rằng những chuyển động trên đều là những dao động điều hoà Xác định biên độ, tần số, pha ban đầu, và vị trí cân bằng của các dao động đó

Dạng 2: Xác định li độ, vận tốc và gia tốc tại thời điểm t biết trước.

a.Phương pháp.

+ Muốn xác định x, v, a ở một thời điểm hay ứng với pha dã cho ta chỉ cần thay t hay pha đã cho vào các công thức :

( )

xA cos t ; v A .sin(  t); a A .2cos( t)

+ Nếu đã xác định được li độ x, ta có thể xác định gia tốc biểu thức như sau : a2.x + Chú ý : - Khi v0;a : Vận tốc, gia tốc, lực phục hồi cùng chiều với chiều dương trục toạ độ.0

- Khi v0;a : Vận tốc , gia tốc, lực phục hồi ngược chiều với chiều dương trục toạ độ.0 b.Bài tập

Bài 1 Một chất điểm có khối lượng m = 100g dao động điều hoà theo phương trình :

5 os(2 )

6

(cm) Lấy 2 10.Xác định li độ, vận tốc, gia tốc trong các trường hợp sau : a) Ở thời điểm t = 5(s)

b) Khi pha dao động là 1200

Lời Giải

Từ phương trình x 5 os(2 .c t 6)





(cm)  A5(cm); 2 ( Rad s/ ) Vậy k m .2 0,1.4.2 4( / ).N m

Ta có

' ( ) 5.2 (2 ) 10 (2 )

a) Thay t= 5(s) vào phương trình của x, v ta có :

x 5.sin(2 .5 6) 5.sin( ) 2,5(6 cm).



3

10 (2 .5 ) 10 ( ) 10 5 30

(cm/s)

4 .2,5 100(cm) 1( )m

Dấu “ – “ chứng tỏ gia tốc ngược chiều với chiều dương trục toạ độ

b) Khi pha dao động là 1200 thay vào ta có :

- Li độ : x 5.sin1200 2,5 3 (cm)

- Vận tốc : v10 .cos1200 5. (cm/s)

- Gia tốc : a2.x4 .2,5 32  3 (cm/s2).

Bài 2 Toạ độ của một vật biến thiên theo thời gian theo định luật : x4.cos(4 )t (cm) Tính tần số dao động , li độ và vận tốc của vật sau khi nó bắt đầu dao động được 5 (s)

Lời Giải

Từ phương trình x4.cos(4 )t (cm)

Ta có : A 4cm; 4 (Rad s/ ) f 2. 2(Hz)





- Li độ của vật sau khi dao động được 5(s) là : x4.cos(4 .5) 4  (cm)

- Vận tốc của vật sau khi dao động được 5(s) là : v x ' 4 .4.sin(4 .5) 0  

Bài 3 Phương trình của một vật dao động điều hoà có dạng : x6.sin(100 .t)

Các đơn vị được sử dụng là centimet và giây

a) Xác định biên độ, tần số, vận tốc góc, chu kỳ của dao động

b) Tính li độ và vận tốc của dao động khi pha dao động là -300

Bài 4 Một vật dao động điều hoà theo phương trình : x 4.sin(10 .t 4)





(cm)

a) Tìm chiều dài của quỹ đạo, chu kỳ, tần số

Vào thời điểm t = 0 , vật đang ở đâu và đang di chuyển theo chiều nào? Vận tốc bằng bao nhiêu?

Dạng 3: Vận tốc và gia tốc cực đại.

a.Phương pháp.

1.Vận tốc trong dao động điều hoà

'

2

; + vmax = A  x = 0 ( Tại VTCB )

+ vmin = 0  x = A ( Tại hai biên ) 2.Gia tốc trong dao động điều hoà a v ' x" A .2cos( t)2.x

+ amax = 2A  x = A ( Tại hai biên ) + amin = 0  x = 0 ( Tại VTCB )

+ a

 luôn có hướng về VTCB A luôn ngược dấu với x

b.Bài tập.

Bài 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình : x  5cos(20t – π/2) (cm, s) Vận tốc cực đại và

gia tốc cực đại của vật là bao nhiêu?

Dạng 4: Vận tốc và gia tốc tại vị trí có li độ x biết trước.

a.Phương pháp.

Trên con đường vinh quang không có dấu chân của những kẻ lười biếng! Trang 4

1 Để xác định vận tốc tại một điểm trên quỹ đạo, ta làm như sau :

- Tại vị trí vật có li độ là x, vận tốc là v, ta có :

v A cos t



v

A cos t







 



Bình phương hai vế, cộng vế với vế, ta được:

 

 

2 2

2

2 2

( )

v























- Chú ý: + v > 0 : vận tốc cùng chiều dương trục toạ độ

+ v < 0 : vận tốc ngược chiều dương trục toạ độ

2 Để xác định gia tốc tại một điểm trên quỹ đạo, ta áp dụng công thức:

a2.x

2

A

- Chú ý: + a > 0 : gia tốc cùng chiều dương trục toạ độ

+ a < 0 : gia tốc ngược chiều dương trục toạ độ

b.Bài tập.

Bài 1 Một vật dao động điều hoà với chu kỳ T 10( )s





và đi được quãng đường 40cm trong một chu

kỳ Xác định vận tốc và gia tốc của vật khi đi qua vị trí có li độ x = 8cm theo chiều hướng về VTCB Lời Giải

- ADCT:

40 10

s

;

10

rad s T





- Ta có :

.sin( )

v

A cos t



Bình phương hai vế, cộng vế với vế, ta được: 2

2

v



- Theo đầu bài ta có: v A2 x2 20 102 82 120(cm s/ ) ( vì v < 0 )

- Ta có : a2.x20 82 3200(cm s/ )2 32( / )m s2 Dấu “ – “ chứng tỏ gia tốc ngược chiều với chiều dương trục toạ độ, tức là nó hướng về VTCB

Bài 2 Một vật dao động điều hoà trên đoạn thẳng dài 10cm và thực hiện 50 dao động trong 78,5s.

Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi nó đi qua vị trí có toạ độ

x = -3cm theo chiều hướng về VTCB

Lời Giải

- Biên độ: A =

10 5

l

cm

; Chu kỳ: T =

78,5 1,57 50

t

s

2 4(rad s/ )

T



Vận tốc: v A2 x2 4 52 32 16cm s/ 0,16( / )m s

- Gia tốc: a2.x4 ( 3) 48(2   cm s/ ) 0, 48( / )2  m s2

Bài 3 Một vật dao động điều hòa có phương trình : x  5cos(2πt  π/6) (cm, s) Lấy π2  10, π  3,14 Vận tốc và gia tốc của vật khi có li độ x  3cm là bao nhiêu?

Bài 4 Vật dao động điều hòa có phương trình

5cos2()

xtcm

 Xác đin hj vận tốc của vật khi qua li độ x3cm

Bài 5 Một vật dao động điều hòa có đặc điểm sau:

-Khi đi qua vị trí có tọa độ x18cm thì vật có vận tốc v112cm s/

-Khi có tọa độ x2 6cm thì vật có vận tốc v2 16cm s/

Tính tần số góc và biên độ của dao động

Dạng 5: Xác định thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W t , W đ , F) lần thứ n

a.Phương pháp

* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0  phạm vi giá trị của k )

a

 Khi vật qua li độ x 0 thì :

x0  Acos(t + φ)  cos(t + φ) 

0 x

A  cosb  t + φ ±b + k2π

* t1 

b  

 +

k2

 (s) với k  N khi b – φ > 0 (v < 0) vật qua x0 theo chiều âm

* t2 

b

  

 +

k2

 (s) với k  N* khi –b – φ < 0 (v > 0) vật qua x0 theo chiều dương kết hợp với điều kiện của bai toán ta loại bớt đi một nghiệm

Lưu ý : Ta có thể dựa vào “ mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ

” Thông qua các bước sau

* Bước 1 : Vẽ đường tròn có bán kính R  A (biên độ) và trục Ox nằm

ngang

*Bước 2 : – Xác định vị trí vật lúc t 0 thì

0 0











– Xác định vị trí vật lúc t (xt đã biết)

* Bước 3 : Xác định góc quét Δφ MOM '  ?

Trên con đường vinh quang không có dấu chân của những kẻ lười biếng! Trang 6

M, t  0

M’ , t

v < 0

x0

x

v < 0

v > 0 x0

O

A

A

M1

x

M0

M O



* Bước 4 :

0

T 360

t ?

 





  



 3600



T

b

 Khi vật đạt vận tốc v 0 thì :

Từ: v0  -Asin(t + φ)  sin(t + φ) 

0 v A sinb







1

2

t

t

  





    



với k  N khi

  





    

  





    



* Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)

* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n

b.Bài tập.

Bài 1 Một vật dao động với phương trình : x 10.sin(2 .t 2)





(cm) Tìm thời điểm vật đi qua vị trí

có li độ x = 5(cm) lần thứ hai theo chiều dương

Bài 2 Một vật dao động điều hoà với phương trình : x 10.sin( t 2)





(cm) Xác định thời điểm vật

đi qua vị trí có li độ x = - 5 2 (cm) lần thứ ba theo chiều âm

Bài 3 Một vật dao động điều hoà với phương trình : x 10.sin(10 .t 2)





(cm) Xác định thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 5cm lần thứ 2008

Bài 4 Một vật dao động điều hoà theo phương trình : x10.sin(10 ) t (cm) Xác định thời điểm vận tốc của vật có độ lớn bằng nửa vận tốc cực đại lần thứ nhất, lần thứ hai

Bài 5 Một vật dao động điều hoà theo phương trình : x 10.sin(5 t 2)





(cm) Xác định thời điểm vận tốc của vật có độ lớn bằng 25 2. (cm/s) lần thứ nhất, lần thứ hai và lần thứ ba

Dạng 6 Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian t Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x 0

a.Phương pháp

* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(t + ) cho x = x0

Lấy nghiệm t +  =  với 0   ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm

vì v < 0)

hoặc t +  = -  ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)

* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó t giây là

t





t





 b.Bài tập

Bài 1 Vật dao động điều hòa theo phương trình : x  10cos(4πt +8



)cm Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm và đang tăng Tìm li độ của vật tại thời điểm sau đó 0,25s

Bài 2 Vật dao động điều hòa theo phương trình : x  10cos(4πt +8



)cm Biết li độ của vật tại thời điểm t là  6cmvà đang tăng, li độ của vật tại thời điểm t’  t + 0,125(s) là bao nhiêu?

Dạng 7: Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến x 2

a.Phương pháp

2 1





với

1 1

2 2

s s

x co

A x co

A













 và (0  1 , 2  )

b.Bài tập

Bài 1 Một vật dao động điều hòa có biên độ 4cm, tần số 10Hz.

Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân

bằngdđến vị trí có li độ x2 2cm theo chiều dương

Bài 2 Một vật dao động điều hòa với phương trình

Xác định khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật đi qua vị trí

có li độ x2 2cm lần đầu tiên

Dạng 8: Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến t 2

a.Phương pháp

Xác định:

à

v

Phân tích: t2 – t1 = nT + t (n N; 0 ≤ t < T)

Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA, trong thời gian t là S2

Để tính S2 ta biểu diễn các vị trí x1, x2 và các véc tơ vận tốc tương ứng trên trục Ox Từ x1 ta kẻ một đường song song với Ox đi qua x2 cho đến khi chiều của đường kẻ đó cùng chiều v 2

Khi đó chiều dài đoạn vẽ được chính là S2

Lưu ý:

-Chiều dài quỹ đạo: 2A

-Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A

-Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại

b.Bài tập

Bài 1 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình : x  12cos(50t  π/2)cm Xác định quãng đường vật đi được

trong khoảng thời gian t  π/12(s), kể từ thời điểm gốc (t  0)

Bài 2 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình : x  6cos(20t  π/3)cm Xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t  13π/60(s) kể từ khi bắt đầu dao động

Trên con đường vinh quang không có dấu chân của những kẻ lười biếng! Trang 8

A

M'1 M'2

O





Bài 3 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 6cm và chu kì 1s Tại t = 0, vật đi qua VTCB

theo chiều âm của trục toạ độ Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian 2,375s kể từ thời điểm được chọn làm gốc là bao nhiêu?

Bài 4 Một vật dao động với phương trình x  4 2cos(5πt  3π/4)cm Xác định quãng đường vật đi từ thời điểm t1  1/10(s) đến t2 = 6s

Dạng 9: Lập phương trình dao động của dao động điều hoà.

a.Phương pháp :

- Gốc tọa độ tại VTCB

- Chiều dương ………

- Gốc thời gian ………

* Phương trình dao động có dạng : x Acos(t + φ) cm

1 – Tìm 

* Đề cho : T, f, k, m, g, l0

-   2πf 

2 T



, với T 

t N



, N – Tổng số dao động trong thời gian Δt Nếu là con lắc lò xo :

 

k

m, (k : N/m ; m : kg)   0

g l

 , khi cho l0 

mg

k  2

g



Đề cho x, v, a, A

v

A  x 

a

x 

max a

A 

max v A

2 – Tìm A



- Nếu v  0 (buông nhẹ)  A x

- Nếu v  vmax  x  0  A 

max v



* Đề cho : amax  A 

max 2

a

 * Đề cho : chiều dài quĩ đạo CD  A =

CD

2

* Đề cho : lực Fmax  kA  A =

max

F

k * Đề cho : lmax và lmin của lò xo A =

max min

2



* Đề cho : W hoặc W dmax

hoặc W tmax

A =

2W

k Với W  Wđmax  Wtmax 

2

1 kA

* Đề cho : lCB,lmax hoặc lCB, lmim A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin.

3 - Tìm  (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu

* Nếu t  0 :

- x  x0 , v  v0 

0 0





0

0

x cos

A v sin

A



 





  

- v  v0 ; a  a0 

2 0

0







tanφ 

0 0

v

- x0 0, v v0 (vật qua VTCB)  0

0 A cos





0

cos 0

v

sin

 





?

A ?

 









- x x0, v 0 (vật qua VTCB)

0





0 x

cos sin 0









  

?

A ?

 









* Nếu t  t1 :





2

a A cos( t )

v A sin( t )

     





    

Lưu ý : – Vật đi theo chiều dương thì v > 0  sinφ < 0; đi theo chiều âm thì v < 0 sin > 0

– Trước khi tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác

– sinx cos(x –2



) ; – cosx  cos(x + π) ; cosx  sin(x + 2



)

– Các trường hợp đặc biệt :

Chọn gốc thời gian t  0 là :

– lúc vật qua VTCB x0  0, theo chiều dương v0 > 0 :Pha ban đầu φ  – π/2 – lúc vật qua VTCB x0  0, theo chiều âm v0 < 0 :Pha ban đầu φ  π/2

– lúc vật qua biên dương x0  A :Pha ban đầu φ  0

– lúc vật qua biên dương x0  – A :Pha ban đầu φ  π

– lúc vật qua vị trí x0 

A

2 theo chiều dương v0 > :Pha ban đầu φ  – 3



– lúc vật qua vị trí x0  –

A

2 theo chiều dương v0 > 0 :Pha ban đầu φ  –

2 3



– lúc vật qua vị trí x0 

A

2 theo chiều âm v0 < 0 : Pha ban đầu φ  3



– lúc vật qua vị trí x0  –

A

2 theo chiều âm v0 < 0 : Pha ban đầu φ 

2 3



– lúc vật qua vị trí x0 

A 2

2 theo chiều dương v0 > 0: Pha ban đầu φ  –4



– lúc vật qua vị trí x0  –

A 2

2 theo chiều dương v0 > 0: Pha ban đầu φ  –

3 4



– lúc vật qua vị trí x0 

A 2

2 theo chiều âm v0 < 0 : Pha ban đầu φ  4



– lúc vật qua vị trí x0  –

A 2

2 theo chiều âm v0 < 0 : Pha ban đầu φ 

3 4



– lúc vật qua vị trí x0 

A 3

2 theo chiều dương v0 > 0 : Pha ban đầu φ  – 6



Trên con đường vinh quang không có dấu chân của những kẻ lười biếng! Trang 10