HƯỚNG dẫn học SINH GIỎI lớp 7 GIẢI bài TOÁN HÌNH học BẰNG NHIỀU CÁCH

Đối với học sinh lớp 7 các em bắt đầutiếp cận để làm quen với những phương pháp, kĩ năng chứng minh hình học vì thếviệc định hướng phương pháp giải cho các dạng bài, dùng kiến thức của m

TRƯỜNG THCS LÊ ĐÌNH KIÊN

********************************

Sáng kiến kinh nghiệm:

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG NHIỀU CÁCH”

Người thực hiện: Trịnh Văn Kiện.

Đơn vị: Trường thcs Lê Đình Kiên,

huyện Yên Định, tỉnh Thanh Hóa SKKN thuộc môn: Toán

THÁNG 4 NĂM 2021

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1

2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng của vấn đề.

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

22

2-1717-183

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:

3.1 Kết luận

3.2 Đề xuất

19-20

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài: Trong việc nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường

phổ thông, việc đổi mới phương pháp dạy học là vô cùng quan trọng Nhất là phảichú trọng đến việc phát triển các phẩm chất năng lực của người học Đặc biệt đốivới môn toán là môn học cơ bản, rất khó và rất sáng tạo đòi hỏi học sinh phải rấtchủ động và tích cực trong tư duy, tìm tòi các phần kiến thức mới dưới sự địnhhướng và tổ chức dạy học của các thầy cô Đối với học sinh lớp 7 các em bắt đầutiếp cận để làm quen với những phương pháp, kĩ năng chứng minh hình học vì thếviệc định hướng phương pháp giải cho các dạng bài, dùng kiến thức của mình gắn

lí thuyết với bài tập để định hình các bước cần làm giúp các em phát triển tư duysáng tạo, có cách nhìn toàn diện và logic về bài toán

Thực tế cho thấy lớp 7 là thời điểm vô cùng quan trọng để hình thành kiến thứccũng như các kĩ năng, phương pháp chứng minh trong hình học cho học sinh vàcũng là rất khó khăn cho các em khi lĩnh hội các nội dung mới này, với tráchnhiệm là phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán nên tôi càng cần phải suynghĩ tìm tòi để có cách làm hiệu quả

1.2 Mục đích nghiên cứu: Trang bị cho học sinh khá, giỏi lớp 7 một số kĩ năng,

phương pháp tư duy, suy luận và giải bài toán hình học bằng nhiều cách khác nhaunhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt và có kĩ năng, phương pháp sử lícác bài tập hình học, có hứng thú- sáng tạo hơn trong học tập

1.3 Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán hình học lớp 7 cả lí thuyết và bài tập,

cả trong sách giáo khoa và các bài trong tài liệu tham khảo

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:

- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu

có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm

- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản trong giải toán hình học ở bậcTHCS Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh thcs như:

+ Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9

+ Sách giáo viên 6, 7, 8, 9

+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên vàhọc sinh

1.4.2 Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến các đồng nghiệp có chuyên môn cao,

có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm

1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm

đánh giá đầu vào cũng như hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình dạy học trên cơ sở các nội dung lí thuyết đã học và các bàitập cụ thể giáo viên cần hướng dẫn học sinh vận dụng được các nội dung của líthuyết vào các dạng bài tập với yêu cầu khác nhau có sử dụng phần lí thuyết đã họcđồng thời suy luận để tìm ra nhiều cách để giải bài toán tùy thuộc vào nội dungkiến thức được sử dụng Trong chương trình chính khóa thì hầu như sách giáokhoa, sách bài tập không đề cập đến việc giải một bài toán bằng nhiều cáchnhưng loại bài tập này lại giúp phát triển rất tốt về tư duy, khả năng tổng hợp sâurộng kiến thức cho học sinh khá giỏi, các em sẽ có cách học sâu hơn, cách nhìnrộng hơn và bao quát hơn Việc hướng dẫn học sinh cách giải bài toán bằng nhiềucách khác nhau còn giúp đạt được mục tiêu hình thành và phát triển các phẩm chất,năng lực người học theo chương trình giáo dục phổ thông mới đang triển khai

2.2 Thực trạng của vấn đề.

2.2.1 Đối với học sinh:

Hình học là phần kiến thức khó tiếp cận với đa số học sinh nói chung và họcsinh khá giỏi nói riêng vì thế các em thấy ngại học khi các thầy cô đề cập tớinhững bài tập loại này, nhiều học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu để tìm lờigiải và rất khó nhìn ra nhiều lời giải khác nhau cho bài toán Trước tình hình thực

tế đó tôi đã tìm hiểu kĩ và ra đề khảo sát chất lượng đội tuyển để nắm rõ điểmmạnh-yếu của từng học sinh cũng như lượng kiến thức và các phương pháp chứngminh hình học mà học sinh nắm được

*Đề kiểm tra trước khi áp dụng đề tài đối với 30 học sinh:

Bài 1 : Chứng minh trong một tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại

( bất đẩng thức tam giác) bằng nhiều cách khác nhau

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có ACB 150 Trên tia BA lấy điểm O sao

cho BO = 2AC Chứng minh tam giác OBC cân bằng nhiều cách khác nhau

*Kết quả thu được:

Bài Số hs giải đúng 1 cách Số hs giải đúng 2 cách Số hs giải đúng 3 cách

2.2.2 Đối với giáo viên:

Đây là vấn đề gây nhiều khó khăn cho các thầy cô vì các em học sinh lớp 7đang chỉ mới bắt đầu được trang bị cả về kiến thức, kĩ năng, phương pháp chứngminh hình học Nhiều thầy cô cũng chưa chú trọng đến việc hình thành và pháttriển tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi mà chỉ dạy theo thóiquen, theo mô tiếp có sẵn, chưa thực sự đào sâu suy nghĩ về cách làm mà còn dạytheo kiểu lướt qua coi trọng số lượng dạng – bài mà không chú trọng đến việc hìnhthành tư duy sáng tạo, tổng quát, trừu tượng cho các em Một số thầy cô năng lựccòn hạn chế nhưng chưa chịu khó tìm tòi học hỏi, ngại thay đổi bản thân và chưathực sự tâm huyết với nghề, áp lực về thời gian và lượng kiến thức cần dạy cũng làmột nguyên nhân khiến thầy cô không thể thực hiện được

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.

Từ thực trạng trên tôi đã nghiên cứu tài liệu cùng với kinh nghiệm giảng dạybồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn toán cấp huyện, cấp tỉnh nhiều năm củamình hệ thống lại một số nội dung lí thuyết và bài tập tiêu biểu làm ví dụ nhằm

giúp học sinh có định hướng tốt đồng thời tiếp cận dễ dàng hơn với loại bài tậpnày Do thời gian chính khóa có hạn nên tôi đã hướng dẫn học sinh học chuyên đềnày vào các buổi học phụ đạo, bồi dưỡng bằng hình thức học trên lớp và họcOnline qua các phần mềm với cách thức nêu ra các ví dụ cụ thể, yêu cầu học sinhthảo luận tìm phương pháp giải, gợi ý, yêu cầu học sinh trình bày lời giải sau đónêu lời giải và rút ra nhận xét đánh giá cho từng bài tập Sau đây là một số bài tập

ví dụ trong chuyên đề

2.3.1 Bài 1: Chứng minh trong một tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại ( bất đẩng thức tam giác)

TRAO ĐỔI, ĐỊNH HƯỚNG, CÁCH GIẢI.

Trước hết cần gắn yêu cầu vào một tam giác cụ thể chẳng hạn A BC , cần chứng minh: BC AB AC; AC BC    AB; AB AC BC. 

Bằng cách lấy thêm điểm để gắn tổng 2 cạnh bằng cạnh mới và cạnh còn lại vào chung một tam giác rồi sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện để giải Học sinh tự tìm các cách giải có sự thảo luận với nhau và hỗ trợ của giáo viên(nếu cần) sau đó nhận xét đánh giá về bài làm có lời giải đối chứng, cách lấy thêm điểm như vậy tạm gọi là phương pháp ‘’chia đoạn-chắp đoạn’’ để giải toán hình học.

Cách 1: Ta chứng ming AB+BC > AC (Tương tự cho 2 bđt còn lại)

A'

C B

A

Trên tia đối tia BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA

Suy ra AB + BC = A’B + BC = A’C.(1)

Vì B nằm giữa hai điểm A’ và C nên tia AB nằm giữa hai tia AA’ và AC

CAA' BAA'

Trong CAA'có  CAA' CA' A    A' C  AC (2)(quan hệ cạnh và góc đối diện) từ (1) và (2) suy ra AB BC  AC(đpcm)

Cách 2:

Giả sử BC là cạnh lớn nhất trong A BC  AB BC  AC; AC BC  AB.

Ta cần chứng minh AB AC BC 

Theo tính chất cạnh và góc đối diện trong các tam giác vuông AHB, AHC

vuông tại H thì cạnh huyền lớn nhất nên AB > BH, AC > CH

Suy ra AB + AC > BH + CH (2) Từ (1) và (2)  AB + AC > BC

2.3.2 Bài 2:Chứng minh trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền (tính chất nêu trong bài 25 trang 67 sgk)

TRAO ĐỔI, ĐỊNH HƯỚNG, CÁCH GIẢI.

Trước hết cần gắn yêu cầu vào một tam giác cụ thể chẳng hạn A BC

vuông tại A, đường trung tuyến AM, cần chứng minh: 1

2

AM  BC Bằng cách lấy thêm điểm để được đoạn thẳng bằng BC hoặc bằng AM và sử dụng tam giác bằng nhau hoặc tam giác cân để giải bài toán Học sinh tự tìm các cách giải có

sự thảo luận với nhau và hỗ trợ của giáo viên(nếu cần) sau đó nhận xét đánh giá về bài làm có lời giải đối chứng, cách lấy thêm điểm như vậy gọi là phương pháp ‘’chia đoạn-chắp đoạn’’ để giải toán hình học đã nói trong bài 1.

Cách 1: Giả sử A BC vuông tại A, đường trung tuyến AM Trên tia đối tia

MA lấy điểm D sao cho 1

12

D

C M

B

A

Xét BMAvà CMDcó:

  cân tại A ABM MAB

Lại có ABM  ACM MAB MAC  900(tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông) ACM MAC suy ra MAC cân tại M  MA MC( ) 2

TRAO ĐỔI, ĐỊNH HƯỚNG, CÁCH GIẢI.

Bằng cách lấy thêm điểm, kẻ thêm các đường vuông góc và sử dụng tam giác bằng nhau, tam giác cân để giải bài toán.

Bài tập này có thể giả sử ABC không cân tại A, lấy thêm điểm để tạo ra tam giác cân và dùng lập luận để dẫn tới vô lí Học sinh tự tìm các cách giải có

sự thảo luận với nhau và hỗ trợ của giáo viên(nếu cần) sau đó nhận xét đánh giá về bài làm có lời giải đối chứng Cách chứng minh phản chứng là giả sử ngược lại với yêu cầu cần chứng minh dùng suy luận dẫn tới mâu thuẫn với giả thiết hoặc đẫn tới điều vô lí từ đó dẫn tới điều giả sử là sai.

Cách 1: Trên tia đối tia MA lấy D sao cho MD = MA.

Cách 2: Kẻ MH AB,MK  AC( HAB,KAC )

KH

2.3.4 Bài 4: Cho tam giác ABC Tia phân giác ABC cắt tia phân giác ACB

ở I Vẽ ID AB tại D, IE  AC tại E chứng minh rằng BD + CE = BC

TRAO ĐỔI, ĐỊNH HƯỚNG, CÁCH GIẢI.

Chứng minh tổng hai đoạn bằng một đoạn thẳng thứ ba ta có các cách: -Chia đoạn thẳng thứ ba làm 2 phần, một phần bằng 1 trong 2 đoạn trong tổng và chứng minh phần còn lại bằng đoạn còn lại trong tổng(phương pháp chia đoạn) -Vẽ một đoạn thẳng bù thêm vào một đoạn trong tổng thành " đoạn mới " (phần bù này bằng đoạn kia) và chứng minh đoạn thẳng thứ 3 bằng " đoạn mới " Học sinh

tự tìm các cách giải có sự thảo luận với nhau và hỗ trợ của giáo viên(nếu cần) sau

đó nhận xét đánh giá về bài làm có lời giải đối chứng và nhấn mạnh dùng phương pháp ‘’chia đoạn-chắp đoạn’’ để giải toán hình học như bài 1và bài 2

Cách 1: Vẽ IF BC tại F

F

E D

I

C B

  = FBI (cạnh huyền- góc nhọn)  BF BD(tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có CE = CF Suy ra BD + CE = BF + FC = BC (đpcm)

Cách 2: Trên tia đối tia DB lấy điểm C’ sao cho DC’ = CE.

C'

E D

C B

  = DIC' (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

IC' IC;

Trong IBC' và IBC có IC' D ICB ICE  ;IBC' IBC  (IB là phân giác

CBA) suy ra BIC' CIB  (tính chất tổng 3 góc của tam giác)

2.3.5 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có ACB 150 Trên tia BA lấy

điểm O sao cho BO = 2AC Chứng minh tam giác OBC cân

TRAO ĐỔI, ĐỊNH HƯỚNG, CÁCH GIẢI.

Trong bài tập này học sinh sẽ dễ mắc vào lối tư duy tìm lời giải kiểu như

phương pháp ‘’chia đoạn-chắp đoạn’’ như các bài tập đã nêu nhưng phương pháp này không khả thi vì đề bài này cho điều kiện về số đo góc và cho quan hệ về các đoạn thẳng khác với những bài tập trướclà chứng minh về quan hệ các đoạn

thẳng Ở bài tập này vẫn là kĩ năng tạo ra đoạn thẳng bằng nhau nhưng là vẽ thêm vào góc đã biết về số đo để tạo ra tam giác đặc biệt(tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều) và sử dụng tam giác bằng nhau để giải Trong bài toán này ta còn tạo ra tam giác cân chung đáy sau đó chứng minh đỉnh của tam giác cân này trùng với đỉnh tam giác cần chứng minh nhờ vào hai điểm này có cùng vị trí duy nhất

A

Cách 1: Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tam giác đều BCM.

Vì ABC vuông tại A nên ACB ABC  900, mà ACB150  ABC750 Lại

có OBM MBCABC750  OBM 150

Gọi H là trung điểm OB suy ra 1

2

HB AC  OB.Xét ABC và HMB có:

ABC

  = HMB(c.g.c) CAB BHM  900(tương ứng) hayMH OB Trong MOBcó MH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên MOBcântại M, suy ra BMO1800  2OBM 1500,

mà BMO BMC OMC  3600và BMC 600  OMC 1500

C B

A

Trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Cy sao cho BCy 750

Tia Cy cắt tia BA tại O’

Ta có ABC vuông tại A nên ACB ABC 900, mà ACB150  ABC750

Lại có ACO' BCO' ACB   750  150 600 nên trong tam giác ACO’ vuông tại

A có ACO' 600 suy ra O’C = 2AC mà OB = 2AC  O O'

Vậy OBCcân tại O(đpcm)

Cách 3: Giả sử đường trung trực đoạn thẳng BC cắt AB tại D suy ra DBC

cân tại D

N D

C B

  là tam giác đều  ANC 600,AN NC 1

Mặt khác ANC ADN DAN  (tính chất góc ngoài AND)

Vậy OBCcân tại O(đpcm)

2.3.6 Bài 6: Cho ABC,vẽ ra phía ngoài ABCcác tam giác vuông cân tại A

ABD, ACE

  Vẽ AH BC,đường thẳng HA cắt DE ở K

Chứng minh DK = KE

TRAO ĐỔI, ĐỊNH HƯỚNG, CÁCH GIẢI.

Trong đề bài này cho các điếu kiện có nhiều yếu tố góc vuông và các cạnh bằng nhau(tam giác vuông cân) do đó bằng trực quan không tìm được các tam giác bằng nhau sau khi vẽ hình theo đề bài ta hãy nghĩ đến việc kẻ thêm các đường vuông góc hoặc song song để tạo ra các tam giác vuông bằng nhau, các góc bằng nhau nhờ quan hệ so le trong, đồng vị hoặc cùng phụ với một góc kết hợp các yếu

tố cạnh bằng nhau đã có để giải Học sinh tự tìm các cách giải có sự thảo luận với nhau và hỗ trợ của giáo viên(nếu cần) sau đó nhận xét đánh giá về bài làm có lời giải đối chứng.

Cách 1: vẽ AI DEtại I, đường thẳng IA cắt BC ở M

C B

N

M K

H

E D

C B

Chứng minh FM là tia phân giác EFC ?

TRAO ĐỔI, ĐỊNH HƯỚNG, CÁCH GIẢI.

Trong bài tập này cần trang bị bổ sung cho học sinh các nội dung kiến thức về tính chất của phân giác trong và phân giác ngoài tam giác, đó là quan hệ vuông góc giữa phân giác trong và phân giác ngoài tại mỗi đỉnh và quan hệ đồng quy giữa một phân giác trong và hai phân giác ngoài tại hai đỉnh còn lại(học sinh đã được chứng minh các tính chất này trong bài tập), đồng thời nắm được phương pháp chứng minh phân giác nhờ vào các tính chất trên Học sinh tự tìm các cách giải có sự thảo luận với nhau và hỗ trợ của giáo viên(nếu cần) sau đó nhận xét đánh giá về bài làm có lời giải đối chứng.

Cách 1 : Ta có ABCcân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường phân giác AM là phân giác trong của AEF(1)

F E

Từ (2), (3) suy ra  HEM MEF  EM là phân giác BEF hay EM là phân giác

ngoài của AEF(4) Từ (1) và (4) cho thấy M là giao của 1 phân giác trong và 1 phân giác ngoài AEFnên MF là phân giác ngoài AEFhay MF là phân giác

AEF  AED DEF  AEF mà AEF 2EMH

AED DEF EMH 

   Lại có EMH HEM 900(HEM vuông tại H)

Trong AEFcó ED là phân giác trong , EM là phân giác ngoài nên FM là phân giác ngoài tại F của AEF hay FM là phân giác EFC

2.3.8 Bài 8: Cho ABC,AB AC, vẽ BD AC,CE AB( D AC;E AB ) Chứng minh AB AC BD CE.  

TRAO ĐỔI, ĐỊNH HƯỚNG, CÁCH GIẢI.

Phân tích kĩ đề bài cho thấy: các quan hệ vuông góc và so sánh các đoạn thẳng gợi mở hướng giải quyết dựa vào so sánh đường vuông góc với đường xiên, bất đẳng thức tam giác, học sinh cần tạo ra quan hệ bằng nhau giữa các đoạn thẳng cần chứng minh và các đoạn thẳng mới là các cạnh trong một tam giác Cũng từ quan hệ vuông góc cho thấy vai trò các đoạn này là các đường cao trong cùng một tam giác, điều này gợi mở việc dùng diện tích của tam giác đó để tạo mối quan hệ bằng nhau giữa các cạnh để giải, phương pháp diện tích cũng rất hiệu quả trong giải toán mà các em sẽ tiếp cận sâu ở lớp 8 Học sinh tự tìm các cách giải có sự thảo luận với nhau và hỗ trợ của giáo viên(nếu cần) sau đó nhận xét đánh giá về bài làm có lời giải đối chứng.

Cách 1: Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho AF = AC, vì AB > AC nên F nằm

giữa A và B suy ra FB = AB – AF (1)

H

G D E

F

C B

A

Ta có FG AC,BD AC FG / / BD GFD HDF  (so le trong)