Tuy nhiªn vÏ thªm yÕu tè phô nh thÕ nµo ®Ó cho bµi to¸n cã lêi gi¶i ng¾n gän vµ hay lµ vÊn ®Ò mµ chóng tan cÇn ph¶i ®Çu t suy nghÜ.. TÝnh ®é dµi AB.[r]
Trang 1I đặt vấn đề
1 Lý do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không ngừng Các nhà trờng càng chú trọng đến chất lợng toàn diện bên cạnh sự đầu t thích
đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo
điều kiện cho các em học tốt các môn học khác
Việc giảng dạy môn Toán ở nhà trờng không chỉ nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản về Toán học mà còn vũ trang cho các em công cụ sắc bén để nghiên cứu thế giới tự nhiên
Dạy học nh thế nào để học sinh không những nắm kiến thức cơ bản một cách
có hệ thống mà còn phải nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập
Đó là một câu hỏi mà mỗi thầy, cô giáo luôn đặt ra cho mình
Trong khi học Toán, đa số các em học sinh đều ngại học Hình học, bởi vì để học tốt Hình học thì đòi hỏi các em học sinh phải có khả năng t duy tốt, tính sáng tạo cao, trí tởng tợng phong phú, đặc biệt là thực sự say mê nghiên cứu, tìm tòi học hỏi
Đối với giáo viên thì để truyền đạt đợc cho các em học sinh hiểu đợc một cách chặt chẽ về một bài hình học là không đơn giản chút nào Trong khi đó không có một phơng pháp chung nào để giải một bài toán hình học cụ thể
Có thể nói, có một số phơng pháp để giải bài toán Hình học nh sau:
1 Vẽ thêm yếu tố phụ
2 Đặc biệt hoá
3 Tổng quát hoá
4 Phản chứng
5 Tơng tự
6 Bốn loại mệnh đề: Thuận - Đảo - Phản - Phản đảo và mối quan hệ giữa chúng
Trong năm học 2009 – 2010, bản thân tôi đợc phân công giảng dạy lớp 9,
đặc biệt là dạy đội tuyển HSG tôi nhận thấy “ Vẽ thêm yếu tố phụ ” tơng đối hữu hiệu để giải bài toán Hình học
2 Mục đích của đề tài
Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả năng t duy, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú , say mê học tập bộ môn
Nêu lên đợc một số kinh nghiệm của bản thân về: “ Giải bài toán Hình học bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ ”
3 Thực trạng
Trang 2a) Thuận lợi:
Học sinh đa số là con em dân tộc nên có tính cần cù, chịu khó Mặt khác ở lứa tuổi các em đang rất thích nghiên cứu, tìm tòi, tìm hiểu phơng pháp giải bài tập
Đợc sự quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện của Ban giám hiệu và tổ chuyên môn
b) Khó khăn:
Nhà trờng thuộc xã miền núi, đặc biệt khó khăn, đờng xá đi lại khó khăn do đó học sinh đi học không đều, mạch kiến thức tiếp thu không liên tục
Trình độ của học sinh không đồng đều, chất lợng đại trà còn thấp Tính tự giác, khả năng t duy, sáng tạo còn hạn chế, nhiều học sinh cha chăm học
II giải quyết vấn đề
1 Nội dung
Trong khi tìm phơng pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh thế nào để cho bài toán có lời giải ngắn gọn và hay là vấn đề mà chúng tan cần phải đầu t suy nghĩ Vẽ thêm yếu tố phụ một cách hợp lý là một phơng pháp tốt để giải các bài toán hình học
Thực tế cho thấy rằng không có phơng pháp chung cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ khi giải các bài toán hình học Tuỳ từng bài toán cụ thể mà có những cách vẽ thêm các đờng phụ hợp lí, song việc vẽ thêm các yếu tố phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta đã biết
Trớc hết chúng ta cần nhớ rằng: Vẽ thêm yếu tố phụ thờng là:
Vẽ thêm điểm mới (trung điểm của đoạn thẳng …); nối hai điểm đã cho bởi một đoạn thẳng; dựng thêm một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc; vẽ thêm đờng thẳng song song hay vuông góc với đờng thẳng đã cho; vẽ tia phân giác của một góc; tạo ra một góc bằng góc cho trớc
Tạo ra các đoạn thẳng, các góc trung gian ở vị trí thuận lợi hơn, làm xuất hiện thêm những quan hệ mới có liên quan đến các yếu tố đã cho trong bài toán
Tạo ra các tam giác bằng nhau, tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, nhờ đó chứng minh đợc các đoạn thẳng bẳng nhau, các góc bằng nhau …
Trớc khi dạy "Giải bài toán hình học bằng phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ", giáo viên cần củng cố lại cho học sinh nắm vững và chắc các bài toán dựng hình cơ bản Các bài toán có thể vẽ thêm đờng phụ phải dựa vào các phép dựng hình đó
Hệ thống bài tập đa ra phải đi từ dễ đến khó, vẽ thêm yếu tố phụ từ đơn giản
đến phức tạp
Trang 3Trong từng giải pháp vẽ thêm yếu tố phụ, sau mỗi suy luận mẫu của giáo viên
để đa ra cách vẽ yếu tố phụ hợp lý và đơn giản nhất cần chọn lọc những bài tập t ơng
tự cho học sinh tập suy luận và độc lập t duy, tìm tòi sáng tạo để tìm ra lời giải hay nhất
2 Một số giải pháp thờng dùng để "giải bài toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ"
2.1 Vẽ thêm trung điểm, đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc
Bài 1: Tam giác ABC có BC = 2AB, M là trung điểm của BC, D là trung điểm của
BM Chứng minh rằng AD = 1
2 AC
Hớng dẫn giải:
Cách 1:
+ Gọi F là trung điểm của AC
Nối FM ⇒ FC = 1
2 AC (1) + C/m Δ ADB = Δ CFM ( c.g.c ) (2)
+ Từ (1) và (2) ⇒ AD = FC = 1
2 AC (đpcm)
* Nhận xét:
Nhờ vẽ thêm trung điểm F của AC mà ta tạo nên tam giác mới và dựa vào tính chất đờng trung bình của tam giác để chứng minh Δ ADB = Δ CFM, từ đó dẫn
đến AD = 1
2 AC thông qua đoạn thẳng trung gian là FC.
Giờ ta đặt vấn đề, nếu không vẽ thêm trung điểm của AC mà vẽ thêm trung
điểm của AB thì sao?
Cách 2:
Hớng dẫn giải:
+ Lấy F là trung điểm của AB
Nối FM ⇒ FM = 1
2 AC (1) + C/m Δ ADB = Δ MFB ( c.g.c )
⇒ AD = FM
+ Từ (1) và (2) ⇒ AD = 1
2 AC (đpcm)
* Ta cũng có thể vẽ thêm đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc
B D M C
F A
F
B D M C
A
K
B D M C
A
Trang 4Cách 3:
+ Vẽ DK sao cho D là trung điểm của AK
Nối KB, AM; khi đó:
AK = 2AD (1) và ABKM là hình bình hành
+ C/m Δ ABK = Δ CMA ( c.g.c )
⇒ AK = AC (2)
+ Từ (1) và (2) ⇒ 2AD = AC
⇒ AD = 1
2 AC (đpcm)
Cách 4:
+ Vẽ AK sao cho A là trung điểm của BK
Nối KM, AM; khi đó: MK = 2AD (1)
+ C/m Δ AMK = Δ MAC ( c.g.c )
⇒ MK = AC (2)
+ Từ (1) và (2) ⇒ 2AD = AC
⇒ AD = 1
2 AC (đpcm)
Cách 5:
+ Vẽ AK sao cho A là trung điểm
của MK Nối KB, khi đó
BK = 2AD (1)
+ C/m đợc Δ KAB = Δ AMC ( c.g.c )
⇒ BK = AC (2)
+ Từ (1) và (2) ⇒ 2AD = AC
⇒ AD = 1
2 AC (đpcm)
2.2 Vẽ thêm đờng vuông góc với đờng cho trớc
Bài 2: Cho M là một điểm bất kì thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD Chứng
minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2
* Nhận xét:
Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lí Pi-ta-go Vì vậy vẽ đờng phụ qua
M vuông góc với AB tại E và cắt DC tại F Ta có MF DC
Từ đó tạo ra các vuông EAM, FMC, EBM,
FMD và hai hình chữ nhật AEFD, EBCF
K
B D M C
A
K
A
B D M C
Trang 5Dựa vào định lí Pi-ta-go thành lập các hệ thức sẽ giúp ta tìm ra lời giải của bài toán.
Lời giải:
+ Vẽ ME AB, E AB, EM cắt DC tại F
+ Tứ giác AEFD là hình chữ nhật nên EA = FD
+ Tứ giác EBCF là hình chữ nhật nên EB = FC
+ áp dụng định lí Pi-ta-go vào các vuông
EAM, FMC, EBM, FMD ta có:
MA2 = EM2 + EA2; MC2 = FM2 + FC2
MB2 = EM2 + EB2; MD2 = FM2 + FD2
Do đó: MA2 + MC2 = EM2 + EA2 + FM2 + FC2
Và: MB2 + MD2= EM2 + EB2 + FM2 + FD2
Mà: EA = FD; FC = EB
Suy ra: MA2 + MC2 = MB2 + MD2
* Chúng ta hãy nghĩ xem trờng hợp M nằm ngoài hình chữ nhật thì hệ thức trên có còn đúng không?
Bài 3: Cho ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đờng phân giác Biết IA =
2√5 cm, IB = 3cm Tính độ dài AB
Hớng dẫn giải:
+ Kẻ đờng vuông góc với AB tại A cắt BI tại K
+ Kẻ AH BK (H BK)
+ Chứng minh AIK cân tại A (AKI = AIK )
Nên AK = 2√5
+ Đặt HK = x ⇒ HI = x và BK = 2x + 3
ABK vuông tại A nên:
AK2 = HK.BK
⇔ ( 2√5 )2 = x(2x + 3)
⇔ 2x2 + 3x – 20 = 0 ⇔ x1 = 2,5; x2 = - 4
ABK vuông tại A nên:
AB2 = BH.BK = 5,5(5 + 3) = 44
⇒ AB = 2√11 (cm)
* Nhận xét: Nhờ tạo ra tam giác vuông và đa đoạn thẳng cần tính (AB) trở thành một
cạnh của tam giác vuông để tính độ dài các cạnh của nó Từ đó tính đợc độ dài AB Thông qua hệ thức lợng trong tam giác, lập đợc mối liên hệ giữa độ dài đã biết với độ dài cần tính giúp ta giải đợc bài toán
M
D F C
A E B
3
2 5
I
B C
x
H
K A
Trang 6Chú ý: Cần biết kết hợp và sử dụng kiến thức đại số vào giải các bài toán hình học.
Bài 4: Cho đờng tròn (O;R), hai dây cung AB và CD (AB > CD) Hai đờng thẳng AB
và CD cắt nhau tại M
Chứng minh rằng: MA + MB > MC + MD (1)
* Nhận xét: Vì AB > CD nên để chứng minh (1)
Ta nghĩ ngay đến đờng phụ OH AB
Và OK CD (H AB, K CD )
Lời giải:
+ Kẻ OH AB, OK CD
(H AB, K CD )
+ Vì AB > CD nên OH < OK và BH > DK
áp dụng định lí Pitago cho hai tam giác
vuông MHO và MKO ta đợc MH > MK
+ Lại có: MA + MB = MH + HA + MB
= 2MH
+ Tơng tự: MC + MD = 2MK
Suy ra: MA + MB > MC + MD
Bài 5: Cho điểm A ở ngoài đờng tròn (O;R) Vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến AM với
đờng tròn (O), M là tiếp điểm Chứng minh rằng AB + AC 2AM
Gợi ý:
Vẽ OH BC (H BC)
để có đợc AB + AC = 2AH
Bài toán đa về việc chứng minh
AH AM
Điều này có đợc từ hai tam giác vuông MAO và HAO
2.3 Kẻ đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc.
Bài 6: Gọi M, N lần lợt là trung điểm của hai đoạn thẳng cắt nhau AC và BD Đờng
thẳng MN cắt BC và AD lần lợt ở P và Q Chứng minh rằng: PB
PC=
QD QA
Hớng dẫn giải:
M
K
D
C
O
A H B
M
A
O
H C B
Trang 7Cách 1:
+ Từ B và D kẻ các đờng thẳng
Song song với AC cắt MN lần lợt
Tại E và F
PBE PCM ⇒ PBPC= BE
CM (1) QDF QAM ⇒ QDQA= DF
AM (2) NBE = NDF (g.c.g) ⇒ BE = DF (3)
+ Mặt khác: CM = AM (4)
+ Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ PB
PC=
QD
QA (đpcm)
* Nhận xét:
Nhờ vẽ các đờng thẳng song song mà trong hình vẽ xuất hiện các cặp đoạn thẳng tỉ lệ với các cặp đoạn thẳng đợc nêu trong đề bài
Phơng pháp vẽ đờng thẳng song song là phơng pháp thờng dùng để vận dụng định lí Talét; tam giác đồng dạng trong chứng minh hệ thức các đoạn thẳng
Vì AC và BD có vai trò nh nhau nên ta cũng có thể vẽ các đờng thẳng song song với BD từ A và C (hình vẽ) và chứng minh tơng tự nh cách 1
Cách 2:
Từ A và C kẻ các đờng thẳng
Song song với BD, cắt MN lần
Lợt tại E và F
Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // DC) có đờng cao bằng 4cm, đờng chéo BD =
5cm, hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau Tính diện tích hình thang ABCD
* Nhận xét:
Vì hình thang ABCD có hai đờng chéo vuông
Góc nên để tính diện tích hình thang ta chỉ cần
tính độ dài AC
Nhận thấy rằng đờng phụ BE // AC, E DC
sẽ giúp ta tính đợc AC
Hớng dẫn giải:
+ Từ B kẻ BE song song với AC (E DC)
D C
E P M N Q F
F E
D
C
P M N Q
D H C E
A B
Trang 8⇒ ABEC là hình bình hành.
⇒ AC = BE và tam giác BDE vuông tại B
BH 2 = 1
BD 2 + 1
BE 2 ⇔ BE=√BD2 BH2
BD2−BH2 =
20
3 (cm)
⇒ AC = BE = 20
3 (cm).
Vậy SABCD= 1
2AC BD=
50
3 (cm
2
)
Bài 8: Cho đờng tròn (O;R) nội tiếp tam giác ABC, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB,
AC lần lợt tại D, E Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD; CM cắt DE tại I
Chứng minh rằng IM
IC =
DM CE
Gợi ý:
Điều cần chứng minh gợi ta nghĩ đến định lí Ta lét do vậy cần làm xuất hiện "hai đ-ờng thẳng song song"
Cách 1:
Vẽ CK // AB, K DE
Ta có: IM
IC =
DM CK
Từ đó chứng minh đợc CE = CK
Cách 2:
Vẽ MH // DE, H AC
Ta có: DM
AD =
HE
AE ; AD = AE IM
IC =
HE
CE ; do đó DM = HE
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Cách 3:
Vẽ ML // AC, L DE
I
O
E
K D
M A
H
I
O
E D
M A
L I
O
E D
M A
Trang 9Ta có: IM
IC =
ML
CE , DM = ML
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
2.4 Vẽ thêm đờng phân giác.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng tgABC
2 =
AC AB+BC
Lời giải:
+ Vẽ đờng phân giác BD của tam giác ABC, theo tính
chất đờng phân giác của tam giác, ta có:
AD
AB=
DC
BC⇒AD
AB=
AD+DC AB+BC =
AC AB+BC ABD có A = 900 nên tgABD=AD
AB
Do đó: tgABC
2 =
AC AB+BC
Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đờng tròn (O;R), AH là đờng cao.
Chứng minh rằng BAC và HAO có cùng một tia phân giác
Lời giải:
Vẽ tia phân giác Ax của HAO, vẽ đờng kính AD
Ta chứng minh: BAH = DAC
Có: ACD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
⇒ DAC + ADC = 900 (1)
Trong tam giác vuông AHB: BAH + ABH = 900 (2)
Lại có: ABC = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Hay ABH = ADC (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ BAH = DAC
Vậy BAC và HAO có cùng một tia phân giác Ax
2.5 Vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đờng tròn.
Đối với các bài toán hình học có hai đờng tròn tiếp xúc nhau nhiều khi ta nên
vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đờng tròn làm xuất hiện những yếu tố liên quan đến cả hai đờng tròn, từ đó tìm đến lời giải bài toán dễ dàng hơn
D
B C
A
O
x D
B H C
A
Trang 10Bài 11: Cho đờng tròn (O/; R/) tiếp xúc trong với đờng tròn (O; R) tại A Vẽ các dây cung AB, AC của (O), AB và AC cắt (O/) lần lợt tại D và E (D A, E A) Chứng minh rằng: BC // DE
Hớng dẫn giải:
+ Vẽ tiếp tuyến chung xAy
+ Xét (O/) có yAE = ADE (cùng chắn cung AE)
+ Xét (O) có yAC = ABC (cùng chắn cung AC)
Suy ra ADE = ABC ⇒ BC // DE
Bài 12: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O/; R/) tiếp xúc ngoài tại A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn (B (O); C (O/) ) Chứng minh rằng BAC
= 900
Hớng dẫn giải:
+ Kẻ tiếp tuyến chung tại A của hai đờng tròn (O)
và (O/) cắt BC tại D
+ Ta có DB = DA
DC = DA
+ ABC có AD là đờng trung tuyến và
AD = 1
2 BC nên ABC vuông tại A
Suy ra: BAC = 900
2.6 Vẽ thêm đờng kính của đờng tròn
Trong một số bài toán hình học về đờng tròn, nhiều khi vẽ đờng phụ là đờng kính của đờng tròn làm xuất hiện yếu tố mới, từ đó tìm đợc lời giải dễ dàng hơn
Bài 13: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c nội tiếp đờng tròn (O; R), AH
là đờng cao của tam giác ABC, AH = ha Chứng minh rằng bc = 2Rha
Hớng dẫn giải:
+ Vẽ đờng kính AD
+ Ta có ACD = 900, ABH = ADC
+ Xét HBA và CDA có:
AHB = ACD = 900
ABH = ADC
Do đó: HBA ~ CDA
x
y
O
O /
E
C
D
B
A
O
B D
C
A
O/
O
D
B H C
A
Trang 11AC=
AB
AD⇒ AB AC=AD AH
Vậy bc = 2Rha (đpcm)
3 Một số bài tập tham khảo (Tài liệu: Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 9 – Nguyễn Đức Tấn)
Bài 1: Cho tam giác ABC có AC > AB Các điểm D và E theo thứ tự nằm trên các
cạnh AB và AC sao cho BD = CE Chứng minh rằng khi các điểm D, E thay đổi vị trí (vẫn thoả mãn điều kiện trên) thì đờng trung trực của DE luôn luôn đi qua điểm cố
định
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, M là một điểm thuộc cạnh BC Chứng
minh rằng 2MA2 = MB2 + MC2
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AH là đờng cao của tam giác ABC D là
điểm trên đoạn thẳng HC Vẽ hình chữ nhật AHDO, vẽ đờng tròn tâm O bán kính OD cắt tia đối của tia AB tại E, cắt cạnh AC tại F Chứng minh rằng AE = AF
Bài 4: Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB và dây CD (C, D không trùng với A, B).
Gọi M là giao điểm của các tiếp tuyến tại C, D của đờng tròn (O), AC cắt BD tại N Chứng minh rằng MN AB
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB cố định và C chuyển động trên nửa mặt
phẳng bờ AB Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AC và CB ở M
và N Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định
iii Kết luận
1 Kết quả đạt đợc
Giải bài toán hình học là công việc không đơn giản, nhng toán học hấp dẫn ta bằng những khó khăn và những ý tởng dẫn đến kết quả của bài toán Tìm đợc con đ-ờng nối từ giả thiết đến kết luận là một việc khó nhng cũng là điều lý thú, vì chính quá trình đó rèn luyện cho ta t duy, những kỹ năng và thói quen phân tích, suy luận một cách đúng đắn, những phẩm chất đển học tập, nghiên cứu và sáng tạo
Qua một thời gian dạy đội tuyển và toán 9, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy
"Giải bài toán hình học bằng phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ" học sinh đã tiếp thu kiến thức một cách chủ động hơn, có hệ thống, khả năng t duy, quan sát hình đã nâng lên rõ dệt Nhiều em đã biết phân tích hình, có những cách vẽ thêm đờng phụ một cách hợp lý dẫn đến có những lời giải hay, bắt đầu có hứng thú với hình học, xoá đi cảm giác khó, phức tạp mà trớc kia các em quan niệm về hình học Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác đợc hình thành và