Một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến mũ – logarit

Việc giải toán cũng yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập trong suy nghĩ, sáng tạo tron

MỤC LỤC

4.2 Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài

tập

4

Đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về

dạng một biến

7

Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển để đánh giá 13

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 22

1 PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHON ĐỀ TÀI

1.1 Về mặt lý luận

Toán học là một trong những môn học quan trọng nhất trong chương trình học phổ thông Đây cũng là môn khoa học góp phần đào tạo nên những con người toàn diện, hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của con người lao động trong thời đại đổi mới

Trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc dạy học giải bài tập có vai trò quan trọng và cơ bản vì dạy toán ở trường phổ thông

là dạy hoạt động toán học Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện được các mục đích đầu tiên trong dạy học toán ở trường phổ thông Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo, tạo hứng thú học tập cho học sinh Việc giải toán cũng yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập trong suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tốt nhất để giải quyến bài toán gặp phải

Thực tiễn cho thấy các dạng toán ở trường phổ thông là hết sức phong phú và

đa dạng Có những lớp bài toán đã có thuật giải, nhưng phần lớn là những dạng toán mới chưa hoặc không có thuật giải chính thống trong nhà trường

Chuyên đề về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến mũ và logarit là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong kỳ thi tốt nghiệp THPT cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp hiện nay Đây là một chuyên đề hay và tương đối khó đối với học sinh THPT

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT Tĩnh Gia 3 tôi thấy còn rất nhiều em học sinh chưa có tinh thần tự giác, cố gắng trong học tập, gặp vấn

đề khó hoặc mới là ỷ lại, chưa chịu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi hướng giải quyết Bên cạnh đó cũng có những học sinh có tinh thần tự giác cao, ham học hỏi tìm tòi, các

em đã biết cách sưu tầm, tìm hiểu những kiến thức trên internet, trên các tài liệu tham khảo Tuy vậy kết quả đạt được chưa cao đó là vì các em chưa biết khai thác những vấn đề đã được học để vận dụng giải quyết những vấn đề mới, Các em mới dừng lại ở việc giải quyết một bài toán cụ thể và chưa suy nghĩ để giải quyết một dạng toán có liên quan Các em chưa biết cách sắp xếp các bài toán theo dạng để từ

đó tìm hướng giải quyết cho lớp các bài toán đó, chẳng hạn khi giải các bài tập về

“Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến Mũ và logarit” đa số

các em cho rằng đây là những bài toán rất khó Vì sao? Đó là vì các em còn chưa trả lới được các câu hỏi sau

- Sử dụng phương pháp nào thì phù hợp để giải được bài toán đó.

- Dựa vào dấu hiệu gì để sử dụng phương pháp đó

- Biến đổi giả thiết của bài toán như thể nào để có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc (quy lạ thành quen)

Trong sách giáo khoa và sách bài tập Giải tích 12 hiện nay, chương “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit chủ yếu là đưa ra các kiến thức và ví dụ cơ bản chứ chưa thực sự đi sâu, khai thác các vấn đề khó và phức tạp Trong khi đó trong các đề thi tốt nghiệp THPT hiện nay các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao đã khai thác và đi sâu vào những bài toán mà việc giải quyết nó không nằm trong phạm

vi của một chương hay môt phần nữa Chính vì vậy nếu không biết cách vận dụng các kiến thức của nhiều phần khác nhau cũng như không biết lựa chọn những định hướng đúng đắn thì học sinh sẽ không thể giải được các bài toán đó

Từ những lí do trên, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải bài toán tìm

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến Mũ – Logarit “ để

nghiên cứu với mong muốn giúp học sinh có những định hướng rõ ràng hơn khi gặp những bài toán này cũng như góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT Tĩnh Gia 3

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của đề tài “Một số phương pháp giải bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến Mũ – Logarit “ là giúp người

học tìm được các phương pháp phù hợp nhất để giải một lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến mũ và loogarit, nắm được các đặc điểm để lựa chọn những công cụ toán học phù hợp, lựa chọn đúng những kiến thức đã học cho từng dạng toán Ngoài ra còn giúp học sinh phân dạng được các bài tập, mối liên hệ của các dạng bài tập đó với nhau

Chính vì vậy trong sáng kiến này tôi đã :

- Sắp xếp hệ thống các bài tập theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp

- Hệ thống bài tập đa dạng phong phú phù hợp với từng đối tượng học sinh mà tôi dạy

- Bài tập chứa đựng khả năng hình thành và phát triển các năng lực toán học của học sinh đặc biệt là năng lực giải quyết vấn đề toán học

1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng: Học sinh lớp 12C4 Trường THPT Tĩnh Gia 3

Phần hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit mà cụ thể ở đây là các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến

mũ và logarit

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đề ra trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy

- Nghiên cứu một số quan điểm, tư tưởng sáng tạo

1.4.2 Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập

- Nghiên cứu các bài toán khai thác về tri thức cội nguồn

- Nghiên cứu các bài toán có cấu trúc tương tự

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận:

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit là một nội dung quan trong trong chương trình toán lớp 12 nói riêng và chương trình toán THPT nói chung Đây cũng

là một nội dung có nhiều câu hỏi trong đề thi tốt nghiệp THPT, trong đó có những câu hỏi nằm trong phần vận dụng và vận dụng cao Chính vì vậy kết quả dạy và học phần này sẽ ảnh hưởng lớn đến kết quả thi tốt nghiệp THPT của học sinh Đối với các câu hỏi ở phần nhận biết và thông hiểu nhìn chung các em chỉ cần nắm vững các kiến thức trong sách giáo khoa là có thể làm được Tuy nhiên với các câu hỏi vận

dụng và vận dụng cao mà cụ thể là các câu hỏi về “giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến mũ và logarit” thì việc giải quyết nó không hề đơn giản chính vì vậy

đa số các em học sinh mà tôi dạy trên lớp đều gặp khó khăn ở những câu hỏi trong phần này đó là vì:

Các em chưa biết lựa chọn phương pháp và công cụ phù hơp để giải quyết bài toán, chính vì vậy khi gặp những bài toán dạng này các em đã không biết bắt đầu từ đâu?

Các em cũng chưa có thói quen phân dạng các bài tập để từ đó có định hướng

và cách giải phù hợp cho dạng toán đó vì vậy chưa biết cách khai thác các tính chất quen thuộc để giải quyết các vấn đề mới

Phần lớn các câu hỏi dạng này cấn phải kết hợp rất nhiều các kiến thức ở những nội dung khác nhau như: Bất đẳng thức, hàm số, phương trình bậc hai, định lí

Vi-et… Chính vì vậy các em gặp rất nhiều khó khăn về công cụ toán học để giải quyết nếu không biết cách phân dạng và định hướng phương pháp tốt

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi :

2.2.1 Thuận lợi:

- Các kiến thức cơ bản và bài tập đã được học trên lớp

- Có nhiều học sinh hứng thú trong tiết học, biết cách tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học

- Được sự hưởng ứng nhiệt tình của học sinh khi thực hiện đề tài

- Được sự động viên của BGH và sự động viên góp ý kiến của đồng nghiệp

2.2.1 Khó khăn:

Còn một bộ phận học sinh chưa tích cực trong học tập và rè luyện, chưa chịu tìm tòi học hỏi, gặp các vấn đề khó là ỷ lại chùn bước không quyết tâm khám phá Đứng trước một vấn đề mới thương lúng túng, hoang mang không xác định được đường lối giải quyết

Thời gian để thực nghiệm đề tài không nhiều vì phải thực hiện tiến độ của chương trình môn học, số lớp dạy thực nghiệm đề tài cũng không nhiều để đánh giá hiệu quả một cách tốt hơn

2 3 Giải pháp thực hiện:

2.3.1 Giải pháp:

- Đi từ đơn giản đến phức tạp, từ những vấn đề đã biết đến những vấn đề chưa biết.

- Xây dựng cách xắp xếp các bài toán thành một lớp các bài toán, hình thành kĩ

năng phân dạng và nhận dạng

- Học sinh được hoạt động trong học tập, lĩnh hội kiến thức một cách tự nhiên, biết

đặt ra tình huống có vấn đề và cố gắng giải quyết vấn đề

- Tạo cho học sinh cách giải quyết vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, không

dừng lại ở việc giải quyết vấn đề một cách đơn lẻ mà giải quyết vấn đề một cách có

hệ thống, suy nghĩ để giải quyết triệt để vấn đề

- Cuối cùng học sinh cần phải trả lời được các câu hỏi sau:

+ Làm thế nào để phát hiện công cụ thích hợp cho việc giải bài toán đã cho?

+ Dựa vào cơ sở nào để lựa chon đúng các kiến thức đã biết để giải bài toán đã cho?

+ Biến đổi bài toán như thế nào để có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc?

3.2 Tổ chức thực hiện

Bước 1: Nhận dạng bài toán

Đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, học sinh phải hiểu được yêu cầu của đề toán, phải biết được mình đang làm việc với bài toán ở mức độ nào, cần phải vận dụng kiến thức, tính chất hay phát hiện dấu hiệu nào đó đã biết

Bước 2: Phân tích giả thiết của bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp

Đây là khâu quan trọng và khó đối với cả thầy và trò trong giải toán Học sinh phải huy động các kiến thức có liên quan đến bài toán rồi lựa chọn trong đó những kiến thức gần gũi nhất, có khả năng tiếp cận tốt nhất đến bài toán

Vạch ra các hướng giải quyết có thể để từ đó lựa chon cách giải phù hợp, biết loại bỏ các hướng không phù hợp, đặc biệt biết phát hiện tính chất quen thuộc để áp dụng

Người giáo viên cần động viên tất cả học sinh tham gia một cách tích cực và tự giác bằng các câu hỏi gợi ý, thông minh, phù hợp với trình độ của học sinh Tiến hành khéo léo là nghệ thuật dạy học của người thầy

Bước 3: Giải bài toán nhận được

Sau khi vạch được hướng giải quyết, giáo viên cần đòi hỏi học sinh phải thể hiện

trên văn bản và chỉ chấp nhận đánh giá học lực của học sinh dựa trên bài làm của các em hoặc cho các em ghi nhớ tính chất, dấu hiệu đặc trưng để vận dụng vào làm bài thi trắc nghiệm

Bước 4: Kiểm tra kết quả và phân tích sai lầm.

- Cần rèn luyện học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải của bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không Việc kiểm tra nên được tiến hành thường xuyên

Bước 5: Mở rộng bài toán.

Mở rộng bài toán làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa … cho học sinh thấy sự phong phú, hấp dẫn của một bài toán, một lớp bài toán có cùng cách giải và không cùng cách giải, đồng thời khuyến khích học sinh tập dượt sáng tạo toán học

Phương pháp 1: Đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về dạng một biến

Đây là một phương pháp phổ biến để giải các bài toán về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất nói chung và các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan đến mũ

và logarit nói riêng Đặc trưng của phương pháp này là tìm cách biến đổi để đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về một biến rồi sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc khảo sát hàm số để tìm ra kết quả của bài toán

Sau đây chúng tôi trình bày một số phương pháp thường gặp để đưa biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về một biến

Giải pháp 1: Đặt ẩn phụ.

Bài toán 1 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn b > 1 và a b a  Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

loga 2log b

b

a

b

 

 

Phân tích:

Ta nhận thấy biểu thức P có thể biến đổi theo loga b và logb a nên ta đặt

a

t b  để biến đổi P về biểu thức chứa một biến t.b a

Lời giải:

Đặt t loga b  , khi đó b a t

1

1

t

t





Vì b > 1 và a b a  nên

1

1

2  t . Khi đó

P

Vậy P min 5 khi

2 3

t 

Bài toán 2 Xét các số thực a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b > 1 và a x2y b x2y 3 ab

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3x4y 1

Phân tích

Ta nhận thấy giả thiết của bài toán có dạng a u b v ( )ab p nên ta cấn biến đổi để đặt loga

t b và biến đổi P theo biến t

Lới giải

Theo giả thiết ta có

3

3

l

1

3 1

3

x y x y







Đặt loga b t thì

3 6

t

và

1 1

12

t

Suy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là

5

3

Bài toán 3 Cho x, y, z > 0; a, b, c > 1 và a x b y c z 3 abc Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức

2

1 1

x y

Phân tích

Giả thiết của bài toán có dạng a u b v c p (abc)q nên ta đặt

( )

u v p q

a b c  abc  , sau đó biến đổi P theo biến tt

Lời giải

Đặt a u b v c p (abc)q  (đk: t > 1 ) t

Suy ra

log log log

a b c











 

1 log

3

abc t 

Ta có

loga t logb t logc t logt abc 3

x  y   z

Khi đó

2 1

z

Xét hàm số

2 1

z

với z > 0

Ta có:

2

z

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có max ( ) 0;  f z f(1) 2

hay biểu thức P đạt giá trị lớn nhất bằng 2

Giải pháp 2: Rút thế đưa về một ẩn

Bài toán 4 Cho hai số thực a, b > 1 thỏa mãn log 2 loga  3b1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log3a  log2b

Phân tích:

Ta nhận thấy giả thiết của bài toán có mối liên hệ giữa a và b thông qua hệ thức

3

log 2 loga  b1 vì vậy ta có thể rút thế để đưa về một biến

Lời giải:

Từ giả thiết của bài toán ta có

log 2 loga  b 1 log b 1 log 2a Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được

log 3 log 2

log 3 log 2



Đặt t log2a, ta được

2 2

log 3 1 log 3

t

Xét hàm số

2 2

log 3

t

2

log 3 1

'

2 log 3 2 1

f t



Ta có

2

2

1

1 log 3

f t    t  t   t t  t



2 2

1

1 log 3



maxP log 3 log 2

Giải pháp 3: Đánh giá đưa về một biến.

Bài toán 5 Cho các số thực dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn

log alog c2log b.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

3

P a b c    b  b 

Phân tích:

Giả thiết bài toán là một bất đẳng thức chính vì vậy chúng ta không thể rút thể và cũng không đặt ẩn phụ được do vậy chúng ta sẽ định hướng đến việc đánh giá, làm trội để chuyển biểu thức P về một biến

Lời giải:

Từ giả thiết ta có log2alog2c2log2b log ( ) log2 ac  2b2  ac b 2

Ta có

1

3 1

3

Xét hàm số

1

3

f b  b  b  b

với b > 0

Ta có

3

b

b





 Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta được

0

b f b f P

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 khi a = b = c = 3

Giải pháp 4: Sử dụng “Hàm đặc trưng”

Kỹ thuật sử dụng hàm đặc trưng là một phương pháp khá phổ biến và quen thuộc đối với học sinh hiện nay Đặc biệt là từ khi hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng trong kỳ thi THPT Quốc gia và kỳ thi Tốt nghiệp THPT Tuy nhiên nó vẫn là một kỹ thuật khó đối vơi học sinh trung bình và yếu, vì làm sao để xác định được hàm đặc trưng phù hợp để áp dụng cho bài toán là điều không đơn giản chút nào

Trong phương pháp này chúng tôi đưa ra một số ví dụ kèm phân tích cụ thể để học sinh có thể hiểu và áp dụng được kỹ thuật hàm đặc trưng cho dạng toán này

Trước hết ta nhắc tính chất sau

Tính chất

1 Nếu hàm số yf x( ) đơn điệu trên miền D và tồn tại , u v D thì khi đó ta

có mện đề sau ( )f u f v( ) u v

2 Nếu hàm số yf x( ) đồng biến trên miền D và tồn tại , u v D thì khi đó ta

có mện đề sau ( )f u f v( ) u v

3 Nếu hàm số yf x( ) nghịch biến trên miền D và tồn tại , u v D thì khi đó

ta có mện đề sau ( )f u f v( ) u v

Ta sẽ sử dụng kiến thức này để giải các bài toán sau