Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giải tích 12

Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua tìm hiểu, điều tra từ giáoviên và học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 2, tôi thấy giáo viên khó khăn trong việcgiúp học sinh vâ

Trang 1

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Chương “Ứng dụng đạo hàm” là một phần quan trọng nhất của giải tích 12trong chương trình toán học THPT Các dạng bài về tính đơn điệu, cực trị, giá trịlớn nhất, nhỏ nhất, tương giao, tìm số nghiệm phương trình rất đa dạng và phongphú Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua tìm hiểu, điều tra từ giáoviên và học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 2, tôi thấy giáo viên khó khăn trong việcgiúp học sinh vận dụng kiến thức vào giải một số bài tập vận dụng cao Học sinhchưa xác định được hướng giải quyết đúng ý tưởng của bài, một số học sinh mơ hồ,rối rắm khi thấy các dữ kiện nhiều, phức tạp, từ đó nhụt ý chí, dẫn đến ngại suynghĩ để đưa ra ý tưởng giải bài tập loại này Mặt khác, trong các đề thi THPT QGhàng năm, bài toán này là một trong những bài trọng điểm để phân loại năng lựchọc sinh, khi giải được các dạng bài này các em mới đạt vào top khá giỏi Để giúphọc sinh có thể hệ thống và nắm vững các cách tư duy giải các dạng bài sử dụngtính đơn điệu của hàm số trong chương trình toán 12 nên tôi đã nghiên cứu ra đề tàinày

Năm học 2019-2020 tôi được phân công dạy lớp chọn số 1, đảm nhiệm mũi nhọncủa trường trong kỳ thi TN THPT 2020, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc

triển khai sáng kiến “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giải tích 12 ” là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học

sinh khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng trong kỳ thiTHPT sắp tới Do vậy tôi chọn đề tài này để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứngyêu cầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài tập về các bài toán sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải nằm trongchương trình toán học 12 trung học phổ thông, trong các đề thi tốt nghiệp, đại họccao đẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này

- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh

- Thông qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp

- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo

- Thông qua các đề thi tham khảo, minh họa, chính thức THPT QG 2017, 2018,

2019, 2020 của bộ, các đề tham khảo của các trường trên toàn quốc

Trang 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Căn cứ vào lý thuyết chương I: ’’Ứng dụng đạo hàm để khảo sát một số và vẽ đồthị của hàm số’’ trong chương trình giải tích 12 cơ bản , chương III: “ Phươngtrình, hệ phương trình” và chương IV: “ Bất đẳng thức, bất phương trình, hệ bấtphương trình” đại số 10 cơ bản Tôi tóm tắt nội dung lý thuyết cơ bản như sau:

2.1.1 Định nghĩa sự đồng biến , nghịch biến của hàm số [1]

Giả sử hàm số y=f ( x)xác định trên tập K( Klà một khoảng hoặc đoạn hoặcnửa khoảng)

Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu x1,x2 K, x1 x2  f(x1) f(x2)

Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu ∀ x1, x2∈K , x1<x2⇒ f ( x1)>f ( x2)

Hệ quả: Nếu hàm số y=f ( x) đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì

2.1.2 Định lý về sự đồng biến , nghịch biến của hàm số [1]

Cho hàm số y=f ( x) xác định trên tập Kvà có đạo hàm trên K (Klà mộtkhoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

Nếu f ' ( x)≥0, ∀ x∈K( dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số đồngbiến trên K

Nếu f ' ( x)≤0, ∀ x∈K( dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm sốnghịch biến trên K

2.1.3 Định nghĩa giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số [1]

Cho hàm số y=f ( x) xác định trên tập D

*) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f ( x) trên tập D nếu

f ( x)≤M , ∀ x∈ D và tồn tại x0∈Dsao cho f ( x0)=M Kí hiệu : M=max D f ( x )

*) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f ( x) trên tập D nếu

f ( x)≥m , ∀ x∈ D và tồn tại x0∈Dsao cho f ( x0)=m Kí hiệu : m=min D f ( x )

2.1.4 Điều kiện để phương trình chứa tham số có nghiệm

Phương trình có nghiệm

2.1.5 Điều kiện để bất phương trình chứa tham số có nghiệm

*) Bất phương trình có nghiệm

*) Bất phương trình nghiệm đúng

Trang 3

*) Bất phương trình có nghiệm

*) Bất phương trình nghiệm đúng

2.1.6 Định lý điều kiện đủ để hàm số có cực trị [1]

Cho hàm số y=f ( x) liên tục trên khoảng và có đạo hàmtrên hoặc trên với

đại của hàm số

tiểu của hàm số

Từ cơ sở lý thuyết trên tôi định hướng giải quyết bài toán dùng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giải tích 12 trong các tiết ôn tập:

- Phân loại các dạng bài tập toán giải tích 12 có sử dụng đến tính đơn điệu của hàm số.

- Nêu cách định hướng giải cho từng loại bài toán đó.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình dạy ôn tập THPT QG năm 2017, năm 2019, ôn thi tốt nghiệpTHPT năm 2020 cho học sinh lớp 12 trong phần Giải tích Học sinh chỉ mới sửdụng tính đơn điệu vào giải quyết được một số bài toán ở mức độ nhận biết, thônghiểu và chỉ được một lượng nhỏ các em biết giải quyết các bài toán ở mức độ vậndụng thấp , khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn đa số các em chưa đưa ra đượchướng giải quyết ngay, hoặc đưa ra lời giải sai, hoặc có em đưa ra được hướng giảiquyết thì giải quyết chậm và chưa triệt để bài toán

Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút vềchương ứng dụng đạo hàm Kết quả :

Trang 4

Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các emmảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên.

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm

- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để tính toán nhanh kết quả

- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra

2.3.2 Nội dung giải pháp

Phương pháp chung:

- Đưa các dạng toán về hàm số , hàm số đặc trưng, sử dụng tính đơn điệu để kết luận bài toán, hoặc đưa ra bảng biến thiên để giải quyết bài toán một cách nhanh nhất.

- Đưa về một trong các dạng cơ bản sau.

A DẠNG BÀI XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Phương pháp chung: - Tìm tập xác định, tính đạo hàm

- Lập bảng biến thiên, kết luận

Ví dụ 1: Cho hàm số Hàm số có đồ thị

như hình bên Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

dương của tham số để hàm số

đồng biến trên khoảng Tổng tất cả các phần tử của bằng

A B C D

( Đề thi khảo sát năng lực 2020- Trường THPT Ngô Gia Tự, Phú yên)

Hướng dẫn: - Xét đạo hàm, tìm các khoảng đồng biến rồi suy ra giá trị của m

Bài giải:

Đặt

Trang 5

Vì (đáp án C)

Ví dụ 2: Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới và

Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh)

Hướng dẫn: - Xét đạo hàm tìm các giá trị của x để đạo hàm bằng 0, lập BBT

Từ đó suy ra các khoảng đồng biến.

Trang 6

B BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ

Phương pháp chung: - Tìm tập xác định, tính đạo hàm

- Lập bảng biến thiên rồi kết luận.

Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên R và có

đồ thị hàm số như hình vẽ bên Tính tổng

giá trị các điểm cực tiểu của hàm số

x y

3 -3 -2 -1 2

O

1

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Đông sơn 1, Thanh Hóa)

Hướng dẫn: - Xét đạo hàm tìm các giá trị của x để đạo hàm bằng 0 rồi lập BBT

Từ đó suy ra các khoảng đồng biến.

Bài giải:

Ta có bảng biến thiên như sau của hàm số như sau:

X 0 2

g'(x) - + 0 - 0 + 0 - + 0 - 0 +

g(x)

Trang 7

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có các điểm cực tiểu là

Do đó tổng giá trị các điểm cực tiểu của hàm số bằng

C BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ

Phương pháp chung: - Xét phương trình hoành độ giao điểm

- Xét hàm số, hàm đặc trưng.

- Lập bảng biến thiên và kết luận.

bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn sao cho 2 đồ thị

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 1- Trường THPT Thanh Chương 1, Nghệ An)

Hướng dẫn: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa về hàm đặc trưng, xét tính đơn điệu của hàm số mới rồi lập BBT, từ đó suy ra kết quả

Bài giải:

Số gđ 2 đồ thị chính là số nghiệm pt:

Ta thấy không phải là nghiệm của phương trình, chia cả 2 vế phương trìnhcho ta được:

Bảng biến thiên:

Trang 8

Để 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì pt có 2 nghiệm phân biệt thì

(đáp án D)

trị nguyên của tham số để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất bằng

( Đề thi thử THPT QG lần 1 2020, Sở GD và ĐT Ninh Bình)

Hướng dẫn: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, tính đạo hàm, xét tính đơn

điệu của hàm số rồi lập BBT, từ đó suy ra kết quả

Bài giải:

Số gđ 2 đồ thị chính là số nghiệm pt:

Xét :

Bảng biến thiên hàm số

x 2

g'(x) - + - + +

g(x)

Để 2 đồ thị cắt nhau tại 1 điểm duy nhất thì pt có 1 nghiệm

(đáp án B)

D DẠNG BÀI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC

Phương pháp: - Đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức hoặc đánh giá biểu thức

- Xét tính đơn điệu và lập BBT rồi đánh giá , đưa ra kết luận.

Trang 9

Ví dụ 6: Cho hàm số (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp các

số thực nguyên thuộc đoạn sao cho Số phần tử của S là

Hướng dẫn: - Xét hàm f(x) tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn

- Xét các trường hợp max, min của hàm tại các đầu mút và cực trị.

Bài giải:

Bảng biến thiên hàm số

X

f'(x) - 0 +

f(x)

TH1:

TH2:

TH3:

Ví dụ 7: Cho là các số thực dương thỏa mãn Khi

đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị của biểu thức bằng

Hướng dẫn: -Đưa về hàm đặc trưng, rút một ẩn ra và thế vào biểu thức P rồi tìm

gtln của P.

Bài giải:

Trang 10

Xét hàm số

Ví dụ 8: Cho là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

( Đề kiểm tra chất lượng 2020 lần 2- Trường THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội)

Hướng dẫn: - Đánh giá H đưa về hàm số một ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm

max.

Bài giải:

Khi đó:

Trang 11

Vậy (đáp án C)

trị nhỏ nhất của biểu thức thuộc tập hợp nào dưới đây ?

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hùng Vương , Gia Lai)

Hướng dẫn: - Đánh giá P đưa về hàm số một ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm min.

trị nhỏ nhất của biểu thức thuộc tập hợp nào sau đây?

Trang 12

Hướng dẫn: - Đánh giá H đưa về hàm số một ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm

max.

Bài giải:

Xét hàm số

Khi đó:

x

g'(x) - 0 +

g(x)

E GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ

Phương pháp: - Đặt ẩn phụ, đưa về hàm đặc trưng

- Cô lập m, xét hàm số rồi lập bảng biến thiên, suy ra giá trị m.

Ví dụ 11: Cho hàm số Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham

Hướng dẫn: -Đưa về hàm số đặc trưng, cô lập m về hàm mới, xét tính đơn điệu

của hàm số mới, rồi kết luận.

Trang 13

Bài giải: Ta có : nên hàm số đồng biến trên R

Vậy có 1750 giá trị m.

Ví dụ 12: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số để phương trình

có nghiệm thuộc khoảng Tổng các phần tử của bằng

Hướng dẫn: - Đặt ẩn phụ, đánh giá giá trị của ẩn phụ, xét tính đơn điệu của hàm

sô mới trên tập mới, lập BBT và kết luận

Bài giải: Đặt

Trang 14

Phương trình trở thành

(**) Xét

bao nhiêu giá trị nguyên của để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi

Bài giải:

Xét hàm số

Bảng biến thiên

x

Trang 15

1

Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi

(đáp án B)

Ví dụ 14: Cho hàm số liên tục trên R và có đồ

thị như hình vẽ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương m

phân biệt thuộc đoạn

Hướng dẫn: - Đặt ẩn phụ, đưa về hàm đặc trưng, xét tính đơn điệu của hàm số rồi

dựa vào đồ thị kết luận

Bài giải: Đặt

Xét hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số pt có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

(đáp án A)

Trang 16

Ví dụ 15: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

x

f'(x) + - +

f(x)

Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để phương trình có 5 nghiệm phân biệt? A 1 B 2 C 3 D 7 ( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh) Hướng dẫn: - Đưa về hàm mũ, xét tính đơn điệu của hàm số mới, lập BBT và kết luận Bài giải: Đặt Với thì có một nghiệm x Với thì có hai nghiệm x Với thì có ba nghiệm x Xét t

g'(t) - +

g(t)

Trang 17

Để pt đã cho có 5 nghiệm phân biệt thì (***) có 2 nghiệm thỏa mãn

(đáp án A) Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho các số thực , thỏa mãn Giá trị lớn nhất

( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 2- Trường THPT Đội Cấn, Vĩnh Phúc)

Bài 2: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số để phương trình

có ba nghiệm phân biệt bằng

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Kỳ Lâm, Hà Tĩnh)

Bài 3: Cho hàm số có đồ thị như

hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số

( Đề thi thử THPT QG lần 1,2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương)

Bài 4: Cho hàm số với là tham số Có bao nhiêu giá trị

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh)

Bài 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

nghịch biến trên khoảng ?

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh)

Trang 18

Bài 6: Cho hàm số y f x   liên tục trên R và

có đồ thị như hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để phương trình

( Đề thi thử THPT QG,2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Huệ, Hà Tĩnh)

Bài 7: Cho các số thực thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ý nghĩa của sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động trong việc giảng dạy ôntập cho học sinh khối 12 một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập sửdụng tính đơn điệu để giải, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm này còn giúp học sinhphát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải toán Từ đó học sinh có cái nhìn toàndiện và tự tin hơn khi tiếp cận các dạng toán này

Khả năng ứng dụng và triển khai: Sáng kiến đã được trình bày trước tổchuyên môn và học sinh lớp 12 trong ba năm học khác nhau, ôn tập thi HSG cấptrường, cấp tỉnh, THPTQG dưới dạng chuyên đề Tôi triển khai áp dụng vào dạy

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	824,84 KB