KINH NGHIỆM HƯỚNG dẫn học SINH sử DỤNG kỹ THUẬT hàm đặc TRƯNG để GIẢI một số bài TOÁN về mũ và LOGARIT

Lý do chọn đề tài Trong vài năm gần đây khi bài thi môn toán chuyển sang hình thức thi trắcnghiệm, các câu hỏi về Mũ và Logarit xuất hiện với số lượng khá nhiều trong đềthi.. Với lý do

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong vài năm gần đây khi bài thi môn toán chuyển sang hình thức thi trắcnghiệm, các câu hỏi về Mũ và Logarit xuất hiện với số lượng khá nhiều trong đềthi Nội dung câu hỏi được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều dạngcâu hỏi thực sự gây khó cho thí sinh Nhiều em khi gặp một số loại bài toán về

Mũ và Logarit còn khá lúng túng, đôi khi không biết bắt đầu từ đâu Qua mộtthời gian giảng dạy, tôi nhận thấy rằng, nguyên nhân ở đây là do các em chưanắm vững lý thuyết, chưa biết cách suy nghĩ và chưa có công cụ để sử dụng Dovậy, để giúp học sinh có thể tự tin hơn và có khả năng giải quyết tốt hơn câu hỏi

về Mũ và Logarit trong các bài thi đó, thì việc trang bị cho các em kiến thứccũng các phương pháp, kỹ thuật xử lý là điều cần thiết

Với lý do đó, tôi chọn đề tài:

“KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG KỸ THUẬT HÀM ĐẶC TRƯNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MŨ VÀ

LOGARIT”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh biết cách tiếp cận và có thể giải quyết được một số loại bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao phần mũ và logarit Từ đó tạo ra hứng thú, độnglực để học sinh học môn toán tốt hơn và đạt kết quả cao trong các kỳ thi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

 Sách giáo khoa, đề thi thử các trường THPT trên toàn quốc, đề thi THPTQG

 Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5

1.4 Phương pháp nghiên cứu

 Tìm hiểu những dạng bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; các bài toán

về phương trình có liên quan đến mũ và logarit thường gặp mà học sinhgặp khó khăn

 Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp đọc hiểu

- Phương pháp phân tích – tổng hợp

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cở sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Cơ sở để giải quyết các bài toán có sử dụng kỹ thuật hàm đặc trưng là:

Tính chất Nếu hàm số đơn điệu 1 chiều trên miền và tồn tại

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nhiều học sinh chưa làm được hoặc rất lúng túng trước các bài toán về mũ và loagarit cần phải sử dụng hàm đặc trưng để giải quyết

2.3 Giải pháp tiến hành để giải quyết vấn đề

Trong phần này tôi trình bày hai dạng bài toán thường gặp nhất và định hướng cách giải

- Dạng bài toán phương trình mũ, logarit về nghiệm nguyên, tìm điều kiệncủa tham số…

- Dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Các bài toán dạng này thì đề bài sẽ cho phương trình hàm đặc trưng (thôngthường xuất hiện qua một số bước biến đổi) từ đó ta sẽ đi tìm mối liên hệ giữacác biến và rút thế vào giả thiết thứ 2 để giải quyết yêu cầu bài toán Nhìn chungdạng toán này ta chỉ cần nắm chắc được kỹ năng biến đổi làm xuất hiện đượchàm đặc trưng kết hợp với kiến thức về đạo hàm là sẽ giải quyết được trọn vẹn!

DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

giá trị nhỏ nhất m của biểu thức

là hàm đồng biến trên Vậy phương trình

Chọn ý B.

Chú ý

 Phần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm 1 biến khá đơn giản!

 Để tìm hàm đặc trưng ta phải luôn dựa vào biểu thức mũ hoặc biểu thứctrong hàm logarit

 Với bài thi trắc nghiệm ta có thể lược bỏ bước xét hàm số đơn điệu để suy

ra luôn mối liên hệ

Ví dụ 2 Cho 3 số x,y,z thỏa mãn đồng thời

Khi đó GTNN của biểu thức

bằng bao nhiêu?

A B C D

Lời giải

Ý tưởng bài toán không mới, vấn đề là ta phải tìm được mối liên hệ giữa cácbiến với nhau, và bám sát vào các biểu thức trong dấu logarit để xây dựng hàmđặc trưng Biến đổi giả thiết ta được

Thế vào giả thiết ta được

Từ đây dẽ dàng tìm được

Chọn ý A.

Ví dụ 3 Cho 2 số thỏa mãn và đồng thời

Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức

với m,n là 2 số nguyên dương Hỏi có bao nhiêu bộ số

Biến đổi gải thiết ta được

Tuy nhiên vấn đề khó không nằm ở việc biến đổi mà nằm ở phần sau

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

Ví dụ 4 Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

mặt cầu trong hình phẳng Oxyz Quy đồng giả thiết ta được.

Điều kiện tương giao của mặt phẳng và mặt cầu là

Nhận xét Qua các ví dụ trên ta phần nào đã hiểu được ý tưởng và phương pháp

làm dạng toán này Sau đây là các bài tập luyện tập cho các bạn

Suy ra hàm số đồng biến trên

Theo bất đẳng thức Schwarz ta có

.Theo bất đẳng thức AM – GM cho 2 số dương ta có

Đặt , có đồng biến trên

Khi đó, ta có

lớn nhất của biểu thức thuộc tập nào dưới đây?

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Mặt khác

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc , do đó

Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị thuộc khoảng nào sau đây

Ta chọn giá trị dương thỏa mãn để ghép cặp AM – GM cho các đẳng thứctrong ngoặc vuông và dấu bằng xảy ra khi

Vậy phương trình có tối đa một nghiệm

Dễ thấy là một nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Do đó ta viết lại

DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

 Bài toán liên quan đến nghiệm nguyên trong phương trình mũ và logarit

Ví dụ 1 Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi có không quá

Đề tốt nghiệp THPT 2020 mã đề 1043 Lời giải

Nhận xét Đây là câu khó nhất trong đề thi THPT Quốc Gia 2020 vừa rồi, điều

làm bài toán này khó hơn so với bài toán ở đề tham khảo là dấu bất phương trình

và giả thiết “không có quá 127 số nguyên y” Như vậy ta đã nhận dạng được lớp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên mà chương này đang đề cập Sau

đây là các ví dụ minh họa

Ví dụ 2 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn

Do đó hay

Do đó Vậy có duy nhất 1 cặp số nguyên dương thỏa mãnyêu cầu bài toán

cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình đã cho?

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta được

Thế ngược lại các giá trị có thể có của y thì ta thấy có 2 giá trị nguyên của y thỏa

mãn yêu cầu đề bài đồng nghĩa có 2 cặp số thỏa mãn phương trình đã cho

Xét hàm số trên có nên hàm số liên tục và đồng biến trên Do đó từ suy ra

.Lập bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi

Chọn ý B.

Ví dụ 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt?

Ví dụ 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để tồn tại cặp số thỏa

Ví dụ 6 Có bao nhiêu số nguyên để phương trình

có hai nghiệm phân biệt lớn hơn

Vẽ bảng biến thiên ta thấy rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn

Chọn ý C

Câu 30 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số để phương trình

có đúng ba nghiệm phân biệt

 Trường hợp 3 và (3) có chung một nghiệm

Khi đó , thử lại thỏa yêu cầu bài toán

Chọn ý B

Câu 43 Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

có đúng ba nghiệm phân biệt là

Điều kiện cần để phương trình có 3 nghiệm là

 Trường hợp 1 có nghiệm kép thử lại ta thấy thỏa mãn

 Trường hợp 2 có nghiệm kép thử lại ta thấy thỏa mãn

 Trường hợp 3 và có nghiệm chung .Thế vào ta có

Câu 44 Tìm các giá trị để phương trình

Vậy hàm số đồng biến Khi đó

Mặt khác ta lại có , nên để phương trình có nghiệm

ta phải có

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Qua thực tế áp dụng đề tài trong việc ôn luyện cho các em, tôi nhận thấy rằng các em đã thích thú và tự tin giải các bài toán về cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, đã biết cách suy nghĩ để tiếp cận và giải khá tốt các bài loại này trong các đề thi thử và đề thi THPT QG

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Sáng kiến này hi vọng góp phần thiết thực trong công tác dạy học, ôn thi của giáo viên và học sinh Trong quá trình viết chuyên đề này tôi đã cố gắng rất nhiều, song vì trình độ hạn chế, thiếu sót là điều không thể tránh được Rất mong được sự góp ý, bổ sung của các thầy cô giáo trong hội đồng nhà trường để

đề tài được hoàn thiện hơn, được áp dụng rộng rãi và có hiệu quả hơn Xin trân trọng cảm ơn

3.2 Kiến nghị

Đề nghị SGD tập hợp các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt, in thành kỷ yếu để giáo viên các trường THPT trong tỉnh có nguồn tài liệu tham khảo tốt, đểcác sáng kiến có thể được áp dụng trong công tác giảng dạy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Các đề thi thử THPT QG của các trường THPT, các SGD trên cả nước

2 Một số tài liệu khác trên internet

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết:

Trịnh Khắc Tuân