Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng mặt tròn xoay để giải một số bài toán thực tế

TÀI LIỆU THAM KHẢO...34 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA MẶT TRÒN XOAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

MỤC LỤC

Trang

A.MỞ ĐẦU 02

1- Lý do chọn đề tài 02

2- Mục đích của đề tài 02

3- Phạm vi và đối tượng của đề tài 02

4- Phương pháp nghiên cứu 02

5- Đóng góp của đề tài……… 03

B NỘI DUNG 03

1- Cơ sở lý thuyết 03

2- Nội dung đề tài 04

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 33

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA MẶT TRÒN XOAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

THỰC TẾ

Người thực hiện: Nguyễn Văn Phúc Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

1 PHẦN MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình phổ thông môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sứcquan trọng Nó gópphần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lựcchung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt vàtạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập

sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán họcvới các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học tựnhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán hiện nay do được viết đã lâu và ítđược chỉnh lý, bổ sung nên phần khai thác ứng dụng thực tiễn ở các bài học cònhạn chế, bên cạnh đó đa số giáo viên khi dạy còn nặng về lý thuyết và tính toán,chỉ truyền thụ kiến thức một chiều, ít hoặc chưa chú trọng đến khai thác ứng dụngthực tiễn Do đó, nhiều học sinh khi học đã đặt câu hỏi: “ Học nội dung này để làm

gì ?” bởi các em chưa thấy hoặc không thấy hết được những ứng dụng thực tế củaToán học đẫn đến việc học Toán đối với các em trở nên gượng ép, nhàm chán Vìvậy trong quá trình lên lớp, ngoài việc khuyến khích học sinh tính tích cực, chủđộng và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải toán thì giáoviên phải là người khơi gợi học sinh vận dụng được kiến thức từ bài toán đó để giảiquyêt những vấn đề thực tế Điều đó cũng phù hợp với mục đích đổi mới phươngpháp dạy học trong nhà trường giúp học sinh hứng thú hơn từ đó việc học sẽ nhẹnhàng và đạt hiệu quả tốt hơn

   Kiến thức ở chương II Hình học lớp 12: “Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu” và bài 3:

“Ứng dụng của tích phân trong hình học” ở chương III Giải tích lớp 12 là mộtmạch kiến thức quan trọng của bộ môn Toán bậc THPT Các bài toán mặt trònxoay nói chung và bài toán ứng dụng mặt tròn xoay vào thực tế nói riêng rất đadạng và phong phú, thường có mặt trong kỳ thi THPT Quốc gia trước đây và kỳ thiTốt nghiệp THPT hiện nay Những bài toán ứng dụng mặt tròn xoay để giải bàitoán thực tế là các bài toán hay song cũng gây không ít khó khăn cho học sinh kể

cả với học sinh khá- giỏi

Từ những thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 12 và ôn thi Tốt nghiệpTHPT tôi đã xây dựng thành hệ thống các bài toán được áp dụng trong khi dạychuyên đề: Mặt tròn xoay và ứng dụng của mặt tròn xoay Trong phạm vi sáng

kiến kinh nghiệm tôi xin trình bày một phần trong chuyên đề với đề tài: “Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng mặt tròn xoay để giải một số bài toán thực tế”.

Đề tài nhằm xây dựng cho học sinh kiến thức một cách lôgic, đầy đủ về ứng dụngthực tiễn của mặt tròn xoay, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, biết vậndụng vào các bài toán thực tế, đáp ứng yêu cầu đổi mới dạy và học môn Toán cũngnhư những đổi mới của kỳ thi Tốt nghiệpTHPT

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải toán, bồi dưỡng

năng lực tư duy sáng tạo Từ đó nâng cao khả năng giải toán phần “ Mặt tròn xoay và

ứng dụng” của chương trình môn Toán lớp 12

Giúp học sinh nâng cao hứng thú học tập môn Toán, vận dụng kiến thức đãhọc để giải quyết các bài toán thực tế

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Các bài toán khai thác ứng dụng của mặt tròn xoay của trong thực tế.

- Học sinh lớp 12A1 năm học 2019-2020 và học sinh lớp 12A1 năm học

2020-2021 của trường THCS&THPT Thống Nhất – Yên Định-Thanh Hóa trước và saukhi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm để phân tích, đánh giá

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa môn Toán lớp 12 và các tàiliệu tham khảo

- Phương pháp phân tích và tổng hợp các bài tập nhằm xây dựng một hệ thốngbài tập đi từ dễ đến khó

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thường xuyên kiểm tra đánh giá để biếtđược mức độ hiểu biết và khả năng giải toán của học sinh, từ đó để đánh giá chínhxác kết quả phương pháp giảng dạy của mình

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận.

Trong chương II Hình học lớp 12 : Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu và bài 3: Ứngdụng của tích phân trong hình học đây là chuyên đề hay đồng thời có nhiều bàitoán thực tế có thể vận dụng kiến thức về mặt tròn xoay để giải quyết Vì vậy đểphát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh cũng như rèn luyện kỹ năngvận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, nhất là trong quá trình ôn luyện chuẩn

bị kiến thức, kỹ năng cho học sinh tham gia kỳ thi Tốt nghiệp THPT yêu cầu giáoviên phải hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống bài tập để giảng dạy chuyên đềnày cẩn thận chu đáo

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán và theo dõi quá trình học tập của học sinh,tôi nhận thấy nếu trong quá trình giảng dạy giáo viên không hệ thống kiến thức,không xây dựng hệ thống bài tập rõ ràng, không khai ứng dụng Toán học trongthực tế thì khó tạo hứng thú học tập cho học sinh đẫn đến các em thấy “ngại” họcToán, thường chỉ biết áp dụng công thức một cách máy móc và các em không hiểuhọc để làm gì? Thậm chí, có em đã học xong chương trình THPT nhưng vẫn khôngthể tính được thể tích khối gỗ hình trụ, thể tích cái nón mà mọi người trong giađình thường dùng vì trong quá trình học tập học sinh chỉ biết giải các bài toántrong sách vở mà chưa thấy mối liên hệ giữa kiến thức được học với thực tế đờisống Dẫn đến hiệu quả học tập, kết quả các bài kiểm tra, bài thi không cao

Với thực trạng ấy để giúp học sinh học và làm bài thi tốt hơn khi học phần nàytheo tôi giáo viên cần hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống bài tập có ứng dụngtrong thực tiễn cuộc sống một cách hợp lý từ đó hình thành cho học sinh khả năng

tư duy giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán

Với thực trạng như trên trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ hệ thống một số

công thức và nêu ra một số bài toán ứng dụng thực tế của Mặt tròn xoay để học

sinh học tập, tìm hiểu

2.3 Giải quyết vấn đề.

Để thuận lợi cho quá trình học tập cũng như hệ thống hoá kiến thức của học sinh

tôi chia chuyên đề: Khai thác ứng dụng mặt tròn xoay để giải một số bài toán thực

tế thành hai dạng như sau:

Dạng 1: SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA MẶT

NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 1.1 Bài toán liên quan đến hình nón, khối nón

a, Các công thức tính diện tích, thể tích hình nón, khối nón

Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh , bán kính đáy là:

Diện tích toàn phần của hình nón có đường sinh , bán kính đáy là: Diện tích xung quanh của hình nón cụt có chiều cao và bán kính hai đáy là: Diện tích toàn phần của hình nón cụt có chiều cao và bán kính hai đáy là:

Thể tích của khối nón có chiều cao , đường sinh , bán kính đáy là:

Thể tích của khối nón cụt có chiều cao và bán kính hai đáy là:

b, Bài toán áp dụng.

Bài 1 Để làm một cái mũ sinh nhật người ta lấy một miếng giấy hình tam giác

đều cạnh (như hình vẽ) Gọi là trung điểm của Người ta dùngcompa có tâm là và bán kính vạch cung tròn ( , thứ tự thuộc cạnh

và ) rồi cắt miếng giấy theo cung tròn đó Lấy phần hình quạt người ta giánsao cho cạnh và trùng nhau thành một cái mũ hình nón không đáy vớiđỉnh Tính thể tích của cái mũ được tạo thành?

r

N M

Ta có tam giác đều có cạnh bằng nên đường cao

Chu vi đường tròn đáy của cái mũ chính là chiều dài của dây cung

Mặt khác số đo cung bằng số đo góc ở tâm nên sđ suy ra độ dàidây cung bằng độ dài đường tròn

Bài 2 Một cổ động viên bóng đá của đội tuyển Việt Nam muốn làm một chiếc

nón có dạng hình nón sơn hai màu Vàng và Đỏ như trên quốc kỳ Biết thiết diệnqua trục của hình nón là tam giác vuông cân Cổ động viên muốn sơn màu Vàng ở

bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ MBN với là tam giác đều, phầncòn là của hình nón sơn màu Đỏ Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màuVàng với phần diện tích sơn màu Đỏ

B O

A

S

M N

Lời giải

Ta có SO OA OB r    SM r 2 MN

Do dó tam giác OMN vuông cân tại O

Gọi Slà diện tích xung quanh của hình nón, S d là diện tích xung quanh của phần hình nón được sơn màu đỏ, ứng với góc MON  90 0 nên

S    S 

Bài 3 Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm Bạn An muốn làm

một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón có thể tích lớn nhất khi bạn An cắt cung tròn của hình quạt bằng bao nhiêu?

Lời giải

r

M N

I

S

Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón

Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường trònđáy của hình nón sẽ có độ dài là x

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2

Bài 4 Một đồng hồ cát gồm hình nón chung đỉnh khép lại , trong đó đường

sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc Biết rằng chiều cao của đồng

hồ là và tỉ lệ thể tích giữa phần lớn và phần nhỏ bằng Thể tích cát (lấy

gần đúng đến hàng phần trăm) để đổ đầy phần nhỏ của đồng hồ cát đó bằng bao

nhiêu?

Lời giải

Gọi là chiều cao của hình nón nhỏ; là

chiều cao phần lớn (Điều kiện: )

Tam giác vuông tại có ,

Tam giác vuông tại có ,

Theo giả thiết ta có pt:

Thể tích của phần nhỏ là:

Vậy thể tích cát cần dùng để đổ đầy là 349,07

cm

3

1.2 Bài toán liên quan đến hình trụ, khối trụ.

a, Các công thức tính diện tích, thể tích hình trụ, khối trụ.

Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao , bán kính đáy là:

Diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao , bán kính đáy là:

Thể tích của khối trụ có chiều cao , bán kính đáy là:

b,Bài toán áp dụng.

Bài 1 (Trích đề minh họa thi TN THPT năm 2021).Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà của mình bằng tấm cường lực Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên.Biết giá tiền của 1 m2 kính như trên là

1500000 đồng Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là bao nhiêu?

Lời giải

Giả sử mặt đáy trên của hình trụ là đường tròn tâm , bán kính đi qua ba điểm, , như hình vẽ

M O

I

O

M  x

Khi đó m.

Diện tích tấm kính bằng diện tích xung quanh của hình hộp Diện tích tấm kính

Bài 2 (Trích đề thi THPT QG 2019) Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ

có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng và Chủ cơ sở dự địnhlàm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tíchcủa hai bể nước trên Tính bán kính đáy của bể nước mà cơ sở sản xuất dự dịnhlàm

Lời giải

Gọi lần lượt là thể tích và bán kính của bể nước cần tính

Theo đề bài ta có:

Vậy bán kính đáy của bể nước mà cơ sở sản xuất dự định làm là 2,6 m

Bài 3. Một chiếc tạ tay có hình dạng gồm 3 khối trụ, trong đó hai khối trụ ở haiđầu bằng nhau và khối trụ làm tay cầm ở giữa Gọi khối trụ làm đầu tạ là vàkhối trụ làm tay cầm là lần lượt có bán kính và chiều cao tương ứng là , , , thỏa mãn , (tham khảo hình vẽ)

Biết rằng thể tích của khối trụ tay cầm bằng 30 và chiếc tạ làm bằnginox có khối lượng riêng là Tính khối lượng của chiếc tạ

Lời giải

Thể tích của hai khối trụ làm đầu tạ :

Tổng thể tích của chiếc tạ tay:

Bài 4 Bác Nam muốn xây dựng một hố ga không nắp hình trụ với dung tích Hãy tính chi phí ít nhất mà bác Nam phải bỏ ra xây dựng hố ga, biết tiền công vàvật liệu cho thành bê tông của hố ga (thành bê tông đáy và thành bê tông xungquang) là 685000đồng

Vậy số tiền bác Nam phải bỏ ra ít nhất là: đồng

Bài 5 Một công ty muốn thiết kế hộp để đựng sữa với thể tích 1 lít Hộp được

thiết kế bởi một trong hai mô hình sau:hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuônghoặc dạng hình trụ và được sản xuất cùng một nguyên vật liệu là giấy Biết 1m2 vậtliệu giấy có giá 20.000 đồng Hỏi công ty đó sản xuất ra 100.000 hộp đựng sữa

bằng mô hình tiết kiệm vật liệu nhất thì tốn hết bao nhiêu tiền (lấy gần đúng đến

hàng nghìn)?

Lờigiải

TH1: Hộp được làm theo mô hình hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông

+ Gọi là cạnh đáy và chiều cao của hình hộp Ta có: và diện tích

TH2: Hộp được làm theo mô hình dạng hình trụ

Gọi lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ Ta có:

và diện tích vật liệu làm một cái hộp là

So sánh hai trường hợp ta thấy làm hộp theo dạng hình trụ thì tiết kiệm vật liệuhơn

Vậy giá để làm 100000 triệu cái hộp theo mô hình tiết kiệm nhất hết

H

O C

Suy ra diện tích hình quạt là:

Vậy diện tích hình viên phân cung AB là

Suy ra thể tích dầu được rút ra:

Thể tích dầu ban đầu:

Vậy thể tích dầu còn lại:

Bài 7 Ông Bình muốn làm mái vòm ở phía trước ngôi nhà của mình bằng vật liệu

tôn Mái vòm đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bêndưới Biết giá tiền của 1 tôn là đồng Hỏi số tiền (làm tròn đến hàngnghìn) mà ông Bình mua tôn là bao nhiêu?

120 0

5 m

3 m

Gọi là bán kính đáy của hình trụ Khi đó:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có góc ở tâm của cung này bằng

0,5 m

5 m

Và độ dài cung này bằng chu vi đường tròn đáy.

Suy ra diện tích của mái vòm bằng ,

(với là diện tích xung quanh của hình trụ)

Do đó, giá tiền của mái vòm là

Vậy số tiền ông Bình mua tôn là: 3.990.000 đồng

Bài 8 Một con đường ở Trường Đại học có thiết kế như hình sau: Mỗi vòng cung

(cung tròn trên mặt đất) được làm từ những thanh thép tròn, khoảng cách giữa haichân của mỗi vòng cung là 2,4m, tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của vòng cung

là 2,4m Nếu dùng những tấm tôn che phủ toàn bộ phia trên của con đường (phầnhình trụ trên mặt đất) dài 500m Tính diện tích mái tôn cần dùng

Do đó số đo cung tròn trên mặt đất là    2  2.IOB  4,43 rad

Độ dài mỗi cung tròn l R   1,5.4,43 6,645  m

Vậy diện tích mái tôn là: 2

1.3 Bài toán liên quan đến mặt cầu, khối cầu

a, Các công thức tính diện tích, thể tích hình trụ, khối trụ.

Diện tích của mặt cầu có bán kính là:

Thể tích của khối cầu có bán kính là:

Diện tích của chỏm cầu có chiều cao của mặt cầu có bán kính là:

Thể tích của khối chỏm cầu có chiều cao của khối cầu có bán kính là:

Bài 2 Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai khối

cầu bằng nhau giao nhau như hình vẽ Khối cầu có bán kính 25cm khoảng cáchgiữa hai tâm khối cầu là 40cm Giá mạ vàng 1m2 là 4.700.000 đồng Nhà sản xuấtmuốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó Số tiền cần dùng để mạ vàngkhối trang sức đó gần nhất với giá trị nào sau đây