Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.. Viết phương trình đường tròn có tâm2[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ I
Ngày thi 21/03/2010
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2
m
y x m
x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1
2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đường thẳng d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
2 cos cos 1
2 1 sin sin cos
x
2 Giải phương trình 7 x2x x5 3 2 x x 2 (x )
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
3
0
3
x
dx
.
Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các
cạnh AB, AC sao cho DMN ABC
Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x y 3 xy
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z 0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 16
P
x y z
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đường thẳng
d1:
, d2:
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n N thỏa mãn phương trình
log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3
B Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm
C và tiếp xúc với đường thẳng BG
2 Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với
d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 42
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
4
2 2
1
25
y x
Trang 2
Hết
-SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN 2 - 2010
Đáp án gồm 06 trang
Với m =1 thì
1 1 2
y x
x
a) Tập xác định: D\ 2
0.25
b) Sự biến thiên:
2
' 1
y
1 ' 0
3
x y
x
lim
x
y
, lim
x
y
,
lim ( 1) 0 ; lim ( 1) 0
x y x x y x
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x – 1.
0.25
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 , 3; ;
hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 1;2 , 2;3
Cực trị: Hàm số đạt giá trị cực trị: y CĐ = 1 tại x = 1; y CT = 3 tại x = 3.
0.25
c) Đồ thị:
0.25
+ +
-
1
3
Trang 32 1.0
Với x2 ta có y’ = 1- ( 2)2
m
Hàm số có cực đại và cực tiểu phương trình (x – 2)2 – m = 0 (1) có hai nghiệm
phân biệt khác 2 m0
0.25
Với m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm là:
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(2 m; 2m 2 m); B(2 m;2m2 m)
Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình:
2 m m 2 m m
0.25
0 2
m
m
Đối chiếu điều kiện thì m = 2 thoả mãn bài toán
Vậy ycbt m = 2
0.25
1
Giải phương trình
2 cos cos 1
2 1 sin sin cos
x
Khi đó PT 1 sin 2 x cosx1 2 1 sin x sinxcosx
1 sin x 1 cos xsinxsin cosx x0
1 sin x 1 cos x 1 sin x 0
0.25
x x
2 2 2
k m , Z
2
x k
và x m2 k m , Z
0.25
2
2
x x PT
2
3 2 0
5 2( 2)
x x
0
2
5 2
x x
x x
x
x
0.25
Trang 4 x1
III
Tính tích phân
3
0
3
x
dx
1.0
Đặt u = x 1 u21 x 2udu dx ; đổi cận:
Ta có:
2
1
2
1
3
3 6ln
2
Dựng DH MN H
Do DMN ABC DH ABC
mà D ABC. là
tứ diện đều nên H là tâm tam giác đều ABC
0.25
Trong tam giác vuông DHA:
2
1
Diện tích tam giácAMN là
0
.sin 60
AMN
0.25
Thể tích tứ diện D AMN. là
Ta có: S AMN S AMH S AMH
.sin 60 sin 30 sin 30
x y 3 xy
0.25
Trước hết ta có:
4
x y
(biến đổi tương đương) x y 2 x y 0 0.25 Đặt x + y + z = a Khi đó
(với t =
z
a, 0 t 1)
0.25
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1
D
A
B C
H
M N
Trang 5 2
9
f t t t f t t
Lập bảng biến thiên
0;1
64 inf
81
t
GTNN của P là
16
Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ:
21
;
5
x
B
y
0.25
Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa AB và
BD, kí hiệu n AB(1; 2); n BD(1; 7); n AC( ; )a b
(với a 2 + b 2 > 0) lần lượt là VTPT của các
đường thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có: cosn AB,n BD c osn AC,n AB
3
2
7
a
0.25
- Với a = - b Chọn a = 1 b = - 1 Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0,
A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
(3; 2)
A
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ:
7
;
2
x
x y
I
y
Do I là trung điểm của AC và BD nên toạ độ 4;3 ; 14 12;
5 5
0.25
Phương trình tham số của d1 và d2 là:
0.25
Giả sử d cắt d1 tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d2 tại N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m)
MN
Do d (P) có VTPT n P(2; 1; 5)
nênk MN: kn p
0.25
Giải hệ tìm được
1 1
m t
Trang 6Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình d:
1 2 4
3 5
0.25
VII.a Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n N thỏa mãn phương trình
log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3
1.0
Điều kiện: 3
n N n
Phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3 log4(n – 3)(n + 9) = 3
0.25
(n – 3)(n + 9) = 43 n2 + 6n – 91 = 0
7 13
n n
Vậy n = 7
0.25
Khi đó z = (1 + i)n = (1 + i)7 = 1i 1 i23 1 i.(2 )i 3 (1 ).( 8 ) 8 8i i i
Giả sử B x y( ;B B)d1 x B y B 5; ( ;C x y C C)d2 x C 2y C7
Vì G là trọng tâm nên ta có hệ:
2 6
3 0
B C
B C
0.25
Ta có BG(3;4) VTPT n BG(4; 3)
Bán kính R = d(C; BG) =
9
5 phương trình đường tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 =
81
Ta có phương trình tham số của d là:
3 2
2 1
toạ độ điểm M là nghiệm của hệ
3 2 2 1
2 0
x y z
(1; 3;0)
M
0.25
Lại có VTPT của(P) là n P(1;1;1)
, VTCP của d là u d(2;1; 1)
Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u u n d, P (2; 3;1)
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đóMN x( 1;y3; )z
Ta có MN
vuông góc với u
nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0
0.25 (thoả mãn)
(không thoả mãn)
Trang 7Lại có N(P) và MN = 42 ta có hệ: 2 2 2
2 0
x y z
Nếu N(5; -2; -5) ta có pt
:
Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt
:
0.25
VII.b
Giải hệ phương trình
4
2 2
1
25
y x
1.0
Điều kiện:
0 0
y x y
Hệ phương trình
4
y x
0.25
2
3
25
10
y
0.25
10 10
x y
x y
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
0.25
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được điểm từng phần như đáp án quy định.
(không thỏa mãn đk) (không thỏa mãn đk)