Nghiên cứu ứng dụng thuật toán thành lập mô hình số độ cao trong đo vẽ thành lập bản đồ địa hình tỷ lệ lớn

Như vậy, MHSĐH sẽ hoàn thiện và chính xác hơn nếu bổ sung các điểm đứt gãy địa hình, ghi chú độ cao, phép nội suy toán học bề mặt để đồng thời có thể xác định được các yếu tố về độ cao,

LêI CAM §OAN

T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng c¸ nh©n t«i C¸c

sè liÖu ®­îc ®­a ra trong LuËn v¨n lµ trung thùc KÕt qu¶ nghiªn cøu nªu trong LuËn v¨n ch­a tõng ®­îc c«ng bè trªn mét tµi liÖu nµo kh¸c

Hµ Néi, ngµy 10 th¸ng 10 n¨n 2014

1.1.2 Một số ưu điểm của mô hình số địa hình 19

Chương 2: Cơ sở lý thuyết và thuật toán thành lập mô hình số địa hình

2 3 Các phương pháp nội suy độ cao trên mô hình số địa hình 30 2.3.1 Nhóm phương pháp nội suy từng điểm 30

2.3.2 Nhóm phương pháp nội suy theo hàm chia khu 37

2.4.1 Phương pháp lưới ô vuông quy chuẩn (GRID) 40 2.4.2 Phương pháp lưới tam giác không quy chuẩn (TIN) 43

2.5 So sánh các phương pháp thành lập mô hình số địa hình 46

2.6.1 Tổng quan về bài toán thành lập mô hình TIN 49

3.3 Thực nghiệm 102

3.3.1 Tổng quan về công trình thủy điện Sông Bung 6 102

3.3.2 Quy định đo vẽ bản đồ tỷ lệ 1:500 CT thủy điện Sông Bung 6 105

3.3.3 Xây dựng mô hình số độ cao công trình thủy điện Sông Bung 6 106

3.3.4 ứng dụng của mô hình số độ cao (TIN) 108

Danh mục các thuật ngữ

tiếng Việt và tiếng Anh tương ứng

15 Khả năng nhìn thông hướng Line of sight visibility

17 Làm trơn đường bình độ Contour line smoothing

18 Lưới tam giác không qui chuẩn Triangulated Irregular Network (TIN)

19 Máy kinh vĩ điện tử Digital theodolite

20 Máy toàn đạc điện tử Total station

23 Mặt đầy đủ của đa diện Facet

26 Mô hình lưới tam giác không quy chuẩn Triangulated Irregular Network

27 Mô hình số địa hình Digital Terrain Model (DTM)

28 Mô hình số độ cao Digital Elevation Model (DEM)

30 Môn hình học tính toán Computational geometry

32 Nội suy song tuyến tính Bi-linear interpolation

33 Nội suy tuyến tính Linear interpolation

38 Thuật toán điểm ở trong Interior Points

39 Thuật toán cạnh bên ngoài Extreme edges

41 Thuật toán chia để trị Divide and Conquer

42 Thuật toán bao lồi không gian Quick Hull

43 Thuật toán nửa đường thẳng Jordan

5 Hình 1.5 Số hóa bản đồ giấy từ thiết bị bàn số hóa 21

6 Hình 1.6 Xây dựng mô hình số địa hình từ bản đồ có sẵn 22

7 Hình1.7 Nguyên lý làm việc của hệ thống LIDAR 24

10 Hình 2.2 Các công đoạn của quy trình thành lập mô hình số địa hình 29

13 Hình 2.5 Nội suy điểm x theo vòng tròn bán kính R 32

14 Hình 2.6 Mô hình của phương pháp hình tròn động 34

17 Hình 2.9 Biểu diễn bề mặt địa hình bằng mô hình GRID 40

26 Hình 2.18 Thuật toán Quick Hull 57

27 Hình 2.19 Từ điểm đo đến quá trình tam giác hoá 59

28 Hình 2.20 Thứ tự thành lập mô hình số địa hình 60

35 Hình 2.27 Tam giác ảo p-1, p-2, p-3 chứa tập điểm P 66

36 Hình 2.28 Hai trường hợp xảy ra khi thêm điểm pr 67

38 Hình 2.30 Mô hình cấu trúc dữ liệu tam giác 72

42 Hình 2.34 Vị trí số hiệu tam giác sau khi lật cạnh thay đổi 80

43 Hình 2.35 Kiểm tra điều kiện Delaunay dựa trên tổng hai góc đối diện 82

44 Hình 3.1 Sơ đồ quy trình thành lập mô hình số địa hình 85

48 Hình 3.5 Lưới tam giác nội suy trên mô hình TIN 89

54 Hình 3.11 Xoá điểm để làm trơn đường bình độ 94

58 Hình 3.15 Nội suy độ cao điểm trong tam giác 97

59 Hình 3.16 Nội suy đường bình độ trong từng tam giác 99

60 Hình 3.17 Nội suy độ cao và vẽ đường bình độ 101

62 Hình 3.19 Hình ảnh vị trí dự án thuỷ điện sông bung 6 103

63 Hình 3.20 Tổng mặt bằng bố trí công trình thủy điện Sông Bung 6 104

64 Hình 3.21 Lưới tam giác TIN thuỷ điện Sông Bung 6 107

66 Hình 3.23 Nội suy độ cao và bình độ trên mô hình TIN đã biên tập 108

70 Hình 3.27 Lưới tam giác đã được chỉnh biên theo pham vi lòng hồ 111

71 Hình 3.28 Phân tích dòng nước chảy xuôi từ trên cao xuống 111

72 Hình 3.29 Phân tích vùng tụ nước trên mô hình TIN 112

73 Hình 3.30 Phân tích vùng nhìn trên mô hình TIN 113

Danh môc c¸c b¶ng biÓu

1 B¶ng 2.1 B¶ng tæng kÕt so s¸nh c¸c thuËt to¸n t×m bao låi 58

Mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong thời đại ngày nay, sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin

đã tác động rất lớn đến lĩnh vực Kỹ thuật Trắc địa - Bản đồ về công nghệ, cách thức quản lý và sử dụng các sản phẩm dữ liệu địa hình Việc can vẽ, biên tập trên giấy trước đây đã được chuyển sang dạng số và lưu trữ trên máy tính Nhu cầu về sử dụng dữ liệu địa hình như là một công cụ không thể thiếu trong các công đoạn thành lập bản đồ và ứng dụng cho khảo sát, phân tích địa hình, thiết

kế, quy hoạch Một dữ liệu quan trọng cần phải kể đến đó là dữ liệu độ cao trên mặt đất biểu diễn bề mặt địa hình

Dựa trên dữ liệu về độ cao của bề mặt địa hình có thể xây dựng mô hình mô phỏng bề mặt trái đất Trên thực tế, bề mặt trái đất biến thiên liên tục, nhưng chúng ta chưa bao giờ đo được bề mặt độ cao một cách liên tục như vậy mà chỉ

có thể đo được độ cao tại một số vị trí đặc trưng trên mặt đất Kết quả cuối cùng

là một tập hợp các điểm đo rời rạc cục bộ

Mặc dù, công nghệ hiện nay có thể cho chúng ta tập điểm đo nhiều hơn nhưng vẫn là các điểm đo rời rạc Do vậy, cần phải tìm kiếm các phương pháp mô hình hóa bề mặt địa hình biểu diễn chính xác nhất các thông tin bề mặt dựa trên dữ liệu độ cao đã được đo

Mô hình số được sử dụng để biểu diễn bề mặt độ cao có thuật ngữ chung

là mô hình số độ cao (Digital Elevation Models – DEM) Khi biểu thị bề mặt trái đất nhưng không bao gồm các đối tượng vật thể trên đó, chúng ta có thuật ngữ riêng là mô hình số địa hình (Digiatl Terain Models – DTM) Mô hình số

địa hình có thể được thể hiện dưới nhiều dạng GRID hoặc TIN DTM được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực trong Khoa học trái đất, Kỹ thuật Trắc địa-Bản đồ, quân sự, và thực tế đã chứng minh đây là một trong những dữ liệu quan trọng

để mô hình hóa và phân tích thông tin không gian

Việc nghiên cứu về mô hình số biểu diễn độ cao và các phương pháp mô hình hóa bề mặt trái đất dựa trên dữ liệu độ cao thu được là một hướng nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng, giúp cho việc tiếp cận mô hình hóa bề mặt trái đất bằng các phương tiện công nghệ hiện đại trở nên dễ dàng và hiệu quả

Để đáp ứng nhu cầu thực tiễn trong lĩnh vực Trắc địa-Bản đồ phục vụ khảo sát, phân tích địa hình, thiết kế, quy hoạch , luận văn chọn đề tài:

“Nghiên cứu ứng dụng thuật toán thành lập mô hình số độ cao trong đo vẽ thành lập bản đồ địa hình tỷ lệ lớn” làm đối tượng khảo cứu là cần thiết, có ý

nghĩa khoa học và thực tế

2 Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu lựa chọn thuật toán phù hợp để thành lập mô hình TIN và các bài toán liên quan của mô hình số địa hình

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các thuật toán và mô hình số địa hình dạng TIN Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lựa chọn thuật toán thích hợp để xây dựng mô hình số độ cao và chọn công trình thuỷ điện sông Bung 6 làm đối tượng thực nghiệm

4 Nội dung nghiên cứu

Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia, các cán bộ kỹ thuật để định hướng trong quá trình nghiên cứu

6 ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Góp phần làm sáng tỏ một số thuật toán phù hợp được sử dụng trong thành lập mô hình số địa hình và có thể làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu khoa học và giảng dạy sinh viên chuyên ngành

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn có bố cục 03 chương, được trình bày trong 117 trang, 74 Hình minh hoạ và 1 Bảng

để biểu diễn và sử dụng có hiệu quả các thông tin về sự biến thiên liên tục của một thuộc tính không gian, thường là độ cao

Bất kỳ sự biểu diễn dạng số nào của một bề mặt địa hình biến thiên liên tục trong không gian theo một hàm đơn trị thì được gọi là mô hình số độ cao (Digital Elevation Model – DEM, Mỹ; Digital height Models - DHM, Đức; hay Digital Ground Models - DGMs, Anh) Như vậy, DEM miêu tả bề mặt địa hình bởi các hàm đơn trị Z = F(X, Y), nghĩa là với bất cứ giá trị (X, Y) nào chỉ

có một giá trị độ cao Z được xác định trong DEM Điều này là sự khác biệt giữa DEM miêu tả bề mặt địa hình với các mô hình 3D miêu tả các bề mặt và vật thể khác (như các chi tiết máy hay mô hình nhà) trong các hệ thống thiết

kế bằng (CAD - Computer Aided Design) vì theo đó với một vị trí X, Y có thể

có nhiều hơn một giá trị Z Ngoài ra, người ta cũng còn dùng DEM để mô hình hoá bất cứ thuộc tính nào có cùng giá trị (đường đẳng giá trị) như nhiệt

độ, mật độ ô nhiễm không khí, ô nhiễm nước .) DEM (Digital Elevation Model, Mỹ), DTEMs (Digital Terrain Elevation Models, Mỹ

Trong Trắc địa-bản đồ, mô hình số độ cao DEM là thuật ngữ chung chỉ

ra mô hình độ cao của một bề mặt và khi chỉ chứa dữ liệu độ cao bề mặt địa hình của mặt đất thì ta thay thế bằng thuật ngữ mô hình số địa hình (Digital

Terain Model - DTM)

Mặc dù có một số tài liệu còn đưa ra một số khái niệm khác nhau về DEM và DTM, nhưng chúng ta cũng có thể phân biệt được DEM và DTM theo các đặc trưng dữ liệu chứa trong chúng ở Mỹ, DTM được coi như gần giống DEM nhưng có kèm theo các yếu tố địa hình nổi bật và của các điểm

mà tại đó độ dốc của địa hình thay đổi đột ngột (đường Breaklines) Đây là các yếu tố góp phần mô tả chi tiết hơn bề mặt địa hình Các đường Breaklines

được tạo nên từ một chuỗi các điểm đặc trưng của địa hình Theo hướng vuông góc với đường Breaklines độ dốc của địa hình thay đổi đột ngột, còn dọc theo

đường Breaklines độ dốc thay đổi liên tục

Hình 1.1: Mô hình số độ cao DEM

Khi DEM thể hiện toàn bộ mô hình độ cao bề mặt đầu tiên từ trên cao nhìn xuống trái đất thì được gọi là mô hình số bề mặt (Digital Surface Model - DSM) DSM là mô hình độ cao địa hình bề mặt của mặt đất với đầy đủ các lớp phủ bề mặt của nó như thảm thực vật, nhà cửa, đường xá, mặt đất, các công trình kiến trúc … trên mặt đất

Như vậy, mô hình số địa hình (MHSĐH) là mô hình mô phỏng địa hình trái đất, nó thể hiện độ cao của bề mặt thực trái đất, do đó không bao gồm thực vật và các địa vật nhân tạo trên đó MHSĐH là tập hợp bất kỳ sự liên kết các điểm trong tọa độ 3D (x, y, z), các điểm này mô tả trạng thái hình học bề mặt địa hình, các yếu tố đặc trưng địa hình, là sản phẩm đầu vào tương thích cho các ứng dụng phần mềm chạy trên máy tính phục vụ cho nhiều lĩnh vực khoa học: địa mạo học, bản đồ học, khảo sát đo đạc, quan trắc biến dạng và

đồng thời là cơ sở dữ liệu quan trọng trong Hệ thông tin địa lý (GIS)

Hình 1.2: Mô hình DEM (trái) và DTM (phải)

MHSĐH là mô hình mà người ta dùng số để mô tả bề mặt khu đo, bề mặt trái đất bằng các điểm và đường phân bố đều hoặc không đều Bề mặt này

được hoàn thiện thêm bằng các yếu tố đặc trưng địa hình (các điểm ghi chú độ cao hoặc các đường đứt gãy) Các điểm và đường nói trên cùng với phép nội

suy giữa chúng tạo ra bề mặt địa hình Phổ biến hiện nay, biểu diễn MHSĐH

là lưới phân bố đều dạng vuông hoặc chữ nhật với phép nội suy giữa chúng là song tuyến (Grid) và dạng tam giác không đều (Triangular Irregular Network: TIN)

Hình 1.3: Mô hình số địa hình DTM và mô hình số bề mặt DSM

MHSĐH chủ yếu mô tả đặc trưng thay đổi của mặt đất, địa hình có thể thể hiện các yếu tố như độ dốc, diện mạo, độ ghồ ghề và các phân tích có thể nhìn thấy, đường phân và tụ thủy

MHSĐH khi xây dựng dựa trên cơ sở của mô hình toán học và phụ thuộc nhiều vào độ chính xác điểm đo, phân bố mật độ điểm đo Với yêu cầu cần lấy vị trí điểm đo nằm trong phạm vi mô hình và khác với vị trí điểm đo phải dùng phương pháp nội suy toán học trên bề mặt MHSĐH Như vậy, MHSĐH sẽ hoàn thiện và chính xác hơn nếu bổ sung các điểm đứt gãy địa hình, ghi chú độ cao, phép nội suy toán học bề mặt để đồng thời có thể xác

định được các yếu tố về độ cao, hướng dốc, độ dốc

MHSĐH về mặt toán học được định nghĩa là biểu diễn số của bề mặt thông tin bề mặt địa hình, với quan điểm một mô tả về mặt định lượng, định

tính các loại thông tin phân bố trên bề mặt đất trong tập hợp hữu hạn m chiều của miền D, được biểu diễn như sau:

+ D{Vi, i=1,2,3 n}

+ Vi = (Vi1, Vi2, Vi3, ,Vim): là yếu tố biểu diễn định lượng hoặc định tính của các loại thông tin về tài nguyên, môi trường, sử dụng đất, thông tin của địa hình Xi, Yi, Zi (Xi, Yi  D)

Từ định nghĩa trên, MHSĐH có thể biểu diễn ngoài thông tin về các yếu

tố địa hình, còn biểu diễn thêm nhiều (lớn hơn 1) thông tin khác ngoài giá trị

độ cao Chẳng hạn nếu biểu diễn mô hình tại các vị trí đứt gãy, hàm ếch thì mô hình số với sự biểu diễn đơn trị sẽ không mô tả được hết thông tin của địa hình Do vậy, với mô hình số độ cao DEM, hay mô hình 3D (3 Dimension) chỉ

là mô hình 2.5D mà không phải 3D như ta đã nhận định

Đối với dữ liệu thông tin địa lý, nếu chỉ quan tâm đến yếu tố địa hình thì MHSĐH còn được biểu diễn theo toán học như sau:

- D{Vi=(Xi, Yi, Zi), i=1, 2, 3, , n}

- Vi: là dãy vector 3 chiều của địa hình trong miền D, trong đó (Xi, Yi

 D) là tọa độ phẳng, Zi là độ cao điểm (Xi, Yi) Nếu các điểm mặt bằng của vector trong dãy có thể sắp xếp thành một lưới có quy tắc, quy luật thì các tọa

độ phẳng (Xi, Yi) có thể giản lược và biểu diễn với dạng vector một chiều (Zi, i=1, 2, 3, , n)

MHSĐH được định nghĩa gần gũi hơn là “Mô hình biểu diễn địa hình khu vực đo, trái đất bằng liên kết các điểm đo, hoặc các điểm nội suy thông qua thuật toán xây dựng bề mặt mô hình Các dữ liệu thông tin về địa hình khi lưu trữ trên máy tính thì các chương trình liên quan có thể truy cập và khai thác ứng dụng”

MHSĐH có thể khai thác các thông tin chính như sau:

- Bề mặt vật lý: Cao độ, độ dốc, hướng dốc và các yếu tố địa mạo mô tả

địa hình

- Đặc điểm địa hình: yếu tố thủy văn như sông suối, hồ, các yếu tố về mạng lưới giao thông như đường bộ, đường sắt và các khu vực đứt gãy, trồi lún

- Tài nguyên thiên nhiên và môi trường: vùng đất trồng, địa khoáng, khí hậu

1.1.2 Một số ưu điểm của mô hình số địa hình

- Mô hình số địa hình (DTM) hoặc mô hình số độ cao (DEM) có thể trực tiếp đưa vào máy tính phục vụ cho các mục đích khai thác khác nhau như: công tác thiết kế tự động, thành lập bản đồ số, tự động nội suy độ cao và vẽ

đường đồng mức, lập mặt cắt địa hình, tính toán diện tích, dung tích và tính toán khối lượng đào đắp đều được tự động thực hiện nhanh chóng và dễ dàng

- Thuận lợi trong việc kết hợp với các dữ liệu khác ở dạng raster

- Thuận lợi cho công tác lưu trữ, bổ sung, hiện chỉnh bản đồ cũ Có thể thừa kế khai thác dữ liệu từ các hệ thống phần mềm khác, từ bản đồ giấy, ảnh hàng không và ảnh vệ tinh Có khả năng linh hoạt trong việc trích xuất dữ liệu

để tạo thành các dạng bản đồ chuyên đê cho nhiều mục đích sử dụng khác nhau

Hình 1.4: MHSĐH biểu diễn dưới dạng vector

1.2 Phương pháp truyền thống thu thập dữ liệu xây dựng mô hình

số địa hình

1.2.1 Phương pháp đo trực tiếp ngoài thực địa

Trong công tác đo vẽ bản đồ, nhất là bản đồ địa

hình tỷ lệ lớn khu vực dự án xây dựng công trình

thường sử dụng phương pháp đo thực địa để thu thập dữ

liệu trực tiếp trên mặt đất Độ chính xác các điểm dữ

liệu thu thập từ phương pháp này chủ yếu phụ thuộc

vào máy và phương pháp đo Hiện nay, với sự trợ giúp

của máy toàn đạc điện tử, công nghệ GPS, công tác thu

thập số liệu trở nên nhanh chóng, chính xác hơn và

thuận tiện hơn Phương pháp này rất hữu ích trong công

tác khảo sát thiết kế công trình thủy điện, thủy lợi,

đối với bản đồ tỷ lệ lớn

1.2.2 Phương pháp đo ảnh

Một số phương pháp thường sử dụng là đo vẽ lập

thể trên các máy toàn năng, đo ảnh giải tích trên các

máy đo tọa độ lập thể hay máy đo vẽ giải tích và đo ảnh

số trên các trạm đo ảnh số Độ chính xác dữ liệu thu

thập chủ yếu phụ thuộc độ chính xác đo ảnh và tỉ lệ

ảnh Phương pháp này có ưu điểm là thu thập số liệu

toàn quốc, loại bản đồ này thường được biên tập và xuất bản trước đó, thông tin thường chưa được cập nhật kịp thời Tuy nhiên, nguồn dữ liệu này thường

dễ tìm với chi phí nhỏ, phạm vi bao trùm Chẳng hạn ở nước ta, có thể tìm

được các bản đồ giấy ở tỷ lệ 1:50000, 1:10.000 phủ toàn quốc, đây là một trong những dữ liệu có thể tìm được dễ dàng và chi phí thấp nhất để phục vụ cho công việc xây dựng MHSĐH toàn quốc

Hình 1.5: Số hóa bản đồ giấy từ thiết bị bàn số hóa

Đây là phương pháp sử dụng bàn digitizer để số hóa các đường đồng mức, điểm cao độ, đường đặc trưng địa hình từ bản đồ có sẵn, nhằm xây dựng nguồn dữ liệu đầu vào cho MHSĐH Công việc này thường được tiến hành thủ công với các đường số hóa là các đường đồng mức chứa điểm cao độ và các

điểm cao độ đặc trưng địa hình Như vậy, độ chính xác MHSĐH phụ thuộc các yếu tố chủ quan của con người như kinh nghiệm, kỹ năng và tinh thần lúc thao tác, chưa cập nhật thông tin địa hình, độ biến dạng giấy bản đồ và độ ẩm lúc thao tác

Một phương pháp khác bán tự động là sử dụng máy scaner để quét bản

đồ và lưu trữ dưới dạng ảnh số, phần mềm chuyên dụng MicroStation, CadLand kết hợp với người sử dụng có thể tự động xây dựng được cao độ,

đường đồng mức, đường đặc trưng của địa hình Chuyển đổi tự động một số yếu tố dữ liệu từ raster sang vector để xây dựng MHSĐH Phương pháp bán tự

động này cho hiệu suất cao hơn, tuy nhiên độ chính xác lại phụ thuộc vào độ phân giải máy quét, chất lượng bản đồ có sẵn Sau khi đường đồng mức và các yếu tố đặc trưng của mô hình được số hóa và chuyển sang dạng vector, gán cao độ vào đường đồng mức hay đường đặc trưng: tụ thủy, phân thủy, ao hồ thì chúng có thể trở thành dữ liệu để xây dựng MHSĐH

Hình 1.6: Xây dựng mô hình số địa hình từ bản đồ có sẵn

1.3 Công nghệ LIDAR và IFSAR

Ngoài những phương pháp truyền thống, cũng có một số phương pháp mới hiện đại nhằm thu nhận thông tin địa hình như phương pháp đo laser đặt trên máy bay (Lidar); phương pháp đo radar độ mở tổng hợp giao thoa (IFSAR)…Công nghệ LIDAR được áp dụng trên máy bay còn công nghệ IFSAR được áp dụng cả trên máy bay, vệ tinh và tàu vũ trụ Nói chung công nghệ IFSAR có hiệu quả và kinh tế hơn khi áp dụng ở các vùng lớn, còn công nghệ LIDAR phù hợp với các ứng dụng đòi hỏi có được các thông tin chi tiết

về các đối tượng trên mặt đất ví dụ như khu vực xây dựng hoặc vùng rừng núi Tuy nhiên những phương pháp này đòi hỏi trình độ khoa học kỹ thuật rất cao,

hiện chỉ có một vài nước phát triển sử dụng

Hiện tại Việt Nam mới chỉ áp dụng công nghệ LIDAR để thành lập mô hình só địa hình trong phạm vi rất hạn chế, đang ở mức nghiên cứu Luận văn chỉ giới thiệu qua công nghệ LIDAR

1.3.1.Công nghệ LIDAR

Công nghệ LIDAR (Light Detecting and Ranging) là sự kết hợp giữa công nghệ đo dài bằng laser, công nghệ định vị vệ tinh và công nghệ ảnh số nhằm nghiên cứu xác định chính xác bề mặt thực của trái đất bao gồm cả địa vật trong không gian 3D ở Việt Nam công nghệ LIDAR đã được Bộ Tài Nguyên và Môi trường áp dụng để lập mô hình số độ cao DEM với độ chính xác 0.2m ở thành phố Cần Thơ

LiDAR gồm nhiều hệ thống liên kết với nhau, trước hết cần kể đến thiết

bị (T/B) đo dài laser đặt trên máy bay, cho phép đo khoảng cách D từ máy bay

đến điểm địa vật hay địa hình Thiết bị laser có thể quét tuyến địa hình với độ rộng từ vài chục mét tới vài trăm mét, nhờ tấm gương quay Tấm gương gắn ở phần đầu của thiết bị quét bẻ chùm tia laser hướng về bề mặt địa hình Tia laser hoạt động theo nguyên lý xung điện (có loại theo nguyên lý sóng) có tần

số lớn tới vài kHz phát ra từ nguồn sáng laser Phần năng lượng phản hồi từ bề mặt địa hình hay địa vật qua hệ thống quang học được ghi thu lại Trên cơ sở biết thời gian (t) phản hồi của tín hiệu từ bề mặt địa hình về thiết bị ghi thu và tần số của xung điện (v) chúng ta sẽ xác định được khỏang cách D từ điểm địa hình hay địa vật đến máy bay tại thời điểm quét Thiết bị đo dài laser hoạt

động trong dải phổ hồng ngoại, cận hồng ngoại với bước sóng tới 1540nm Độ chính xác đo khoảng cách bằng laser có thể đạt với sai số mD = ±1cm

Hoạt động đồng thời với thiết bị quét laser là hệ thống thu GPS nhằm xác định vị trí không gian X, Y, Z của thiết bị quét laser đặt trên máy bay tại thời điểm quét Nhờ kỹ thuật đo DGPS (với trạm GPS mặt đất), hiệu số toạ độ không gian giữa thiết bị quét laser trên máy bay và trạm GPS mặt đất sẽ được

xác định trong hệ thống toạ độ lựa chọn Kỹ thuật DGPS có thể đạt độ chính xác xác định toạ độ điểm với sai số ±10cm

Cùng làm việc với thiết bị quét laser và hệ thống thu GPS là hệ thống

đạo hàng quán tính INS (Inertial Navigation System) Hệ thống INS thực hiện nhiệm vụ đo gia tốc theo 3 hướng X, Y, Z và góc nghiêng của máy bay, cho phép xác định góc phương vị () của tia quét la-de tại thời điểm quét

Toạ độ không gian X, Y, Z của điểm địa vật hay địa hình sẽ được xác

định dựa vào độ dài (D) và góc phương vị tương ứng (), trong hệ thống toạ

độ lựa chọn GPS Hình 1.7 giới thiệu nguyên lý làm việc của hệ thống LiDAR

Hình 1.7: Nguyên lý làm việc của hệ thống LIDAR

Công nghệ LIDAR là công nghệ mới có nhiều ưu điểm như:

- Không phụ thuộc vào điều kiện chiếu sáng địa hình, do LiDAR có nguồn sáng riêng

- Giảm ảnh hưởng phụ thuộc vào thời tiết Có thể tiến hành làm việc trong điều kiện thời tiết xấu như mưa nhỏ, mây mù không dày đặc

- Tia laser có khả năng đâm xuyên qua lớp phủ thực vật đến bề mặt địa hình

- Có độ chính xác cao, thỏa mãn cho dữ liệu độ cao thành lập bản đồ

địa hình tỷ lệ lớn

Tuy nhiên, công nghệ LIDAR là hệ thống thiết bị hiện đại, giá thành công nghệ cao nên vẫn chưa được ứng dụng rộng rãi trong thực tế sản xuất ở nước ta

1.3.2 Công nghệ IFSAR/ InSAR

IFSAR/InSAR là hệ thống đo có thể lắp đặt trên máy bay, vệ tinh hay trên tàu vũ trụ Do có độ cao với bề mặt đất nên cho phạm vi đo rộng hơn công nghệ LiDAR Trong hệ thống này độ cao của bề mặt đất có thể được tính toán thông qua sự lệch pha giữa các tín hiệu radar phản xạ được thu bởi hai vị trí

ăng ten hay cùng một ăng ten nhưng ở hai thời điểm khác nhau, hoặc đồng thời nếu hai ăng ten ở cùng đầu của “cạnh đáy” (SRTM: Shuttle Radar Topography Mission)

Hình 1.8: Công nghệ IfSAR /InSAR

1.3.3 So sánh hai phương pháp

1.3.3.1 Các điểm chung

Công nghệ LIDAR và IFSAR có điểm chung nhau lớn nhất là đều cho phép tạo DEM từ các thiết bị đặt trên máy bay với độ chính xác và độ chi tiết cao, mật độ phổ biến từ 1m2 đến 5m2 có một điểm và độ chính xác về độ cao khoảng 0.15m đến 3 m Cả hai đều là hệ thống viễn thám chủ động, đo thời gian truyền sóng theo hai lần khoảng cách và đều sử dụng công nghệ tích hợp GPS/INS để có thể tính được toạ độ X, Y, Z của các điểm thuộc bề mặt phản xạ

Hai hệ thống này đều phụ thuộc vào máy bay được sử dụng Việc chọn độ cao bay và tốc độ bay ảnh hưởng tới mật độ và độ chính xác của điểm

đo cũng như giá thành của sản phẩm

Chúng đều có thể thu được nhiều tín hiệu phản xạ từ một xung phát xạ Các tín hiệu phản xạ từ bề mặt đất được xử lý để tạo DEM, các tín hiệu phản xạ từ bề mặt tán lá cây, hay các công trình trên mặt đất được xử lý để tạo DSM

1.3.3.2 Các điểm khác nhau

Bước sóng của IFSAR thường là sóng X ( λ  3 cm) và sóng C (λ  6 cm), các sóng này có thể xuyên qua được mây, mù Còn bước sóng của LIDAR là bước sóng cận hồng ngoại (λ  1 μm), không xuyên qua được mây

và bị hấp thụ mạnh trong môi trường nước và hơi nước

Về hình học, IFSAR chụp nghiêng với góc từ 300 đến 600, LIDAR chụp thẳng, đối xứng qua đường dây dọi với góc xiên giới hạn trong khoảng ± 200 Việc chụp gần với đường dây dọi có ưu điểm là hạn chế được sự che lấp của

đồi núi hay các công trình xây dựng, nhưng độ rộng của dải quét bị hạn chế nên giá thành tăng

Chương 2

Cơ sở lý thuyết và thuật toán thành lập

mô hình số địa hình

2.1 Bài toán xây dựng mô hình số địa hình

Chúng ta đều biết, bề mặt địa hình thực tế rất phức tạp, biến thiên

không theo quy luật, do đó không có một mô hình toán học nào có thể biểu

diễn chính xác bề mặt địa hình thực tế Vì vậy khi dùng một mô hình toán học

nào đó để làm bề mặt toán học mô phỏng bề mặt địa hình thì có nghĩa là bề

mặt địa hình đó đã được chia cắt ra thành từng khu vực nhỏ sao cho bề mặt

của từng khu vực nhỏ đó được mô phỏng chính xác nhất bởi hàm toán học đã

đưa ra

Bề mặt toán học dùng để mô phỏng bề mặt địa hình phải thỏa mãn điều

kiện: “Tổng bình phương độ lệch của các điểm trên bề mặt toán học so với các

điểm tương ứng trên bề mặt tự nhiên là nhỏ nhất” (theo nguyên lý số bình

phương nhỏ nhất) tức là:

 , , , ,  min

2 1

trong đó: i =1 ữ n : các điểm chi tiết;

x,y,z: các điểm trên bề mặt toán học;

ox,y,z: các điểm tương ứng trên bề mặt địa hình

Để xác định bề mặt toán học theo (2.1) cần phải tính được các tham số

của mô hình Để bề mặt toán học mô phỏng chính xác bề mặt địa hình đòi hỏi

phải có một số lượng điểm đo trực tiếp trên bề mặt đó, số lượng điểm này phụ

thuộc vào số lượng các tham số cần xác định của bề mặt toán học đã chọn

Nếu số lượng các điểm đo trực tiếp đúng bằng số lượng các tham số thì

tại vị trí các điểm đo, bề mặt toán học trùng khít với bề mặt địa hình Khi số

lượng điểm đo trực tiếp nhiều hơn số lượng các tham số thì bài toán xác định

tham số được giải theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất

Nếu số điểm đo dư càng nhiều thì độ tin cậy về khả năng xấp xỉ của bề mặt toán học so với bề mặt địa hình càng lớn Tăng số lượng điểm đo trực tiếp thì nâng cao độ chính xác của bề mặt toán học đồng thời cũng tăng chi phí sản xuất, giảm số lượng điểm đo thì giảm được chi phí lao động, nhưng lại có thể làm giảm độ chính xác của mô hình Vấn đề là xác định số lượng điểm đo thế nào là hợp lý để có thể cân đối được giữa yêu cầu kỹ thuật và giá thành

Có nhiều hàm toán học được sử dụng để biểu diễn bề mặt địa hình như hàm tuyến tính, hàm phi tuyến, hàm đa thức, Mỗi hàm toán học đều có đặc

điểm và tính ưu việt riêng nhưng hàm toán học càng gần giống với bề mặt tự nhiên thì càng tốt, về cơ bản các hàm toán học đều được viết dưới dạng:

H = f(X,Y) Trong đó f(X,Y) là hàm biểu diễn mặt đất với các tham số dựa trên tọa

độ và H là độ cao của các điểm chi tiết đó Bài toán tổng quát của mô hình số

địa hình là xác định độ cao H của điểm P nào đó dựa vào số liệu các điểm đo lân cận P Thực chất của việc lập mô hình số địa hình là tìm các tham số của hàm toán học mô tả bề mặt địa hình tại vùng lân cận điểm P đó Có thể chia mô hình số địa hình thành hai nhóm sau:

vào loại hàm dùng để nội suy mô hình: Hàm tuyến tính, hàm song tuyến, hàm

đa thức, hàm trung bình trọng số, hàm đa phương và các dạng mô hình tương ứng là mô hình hàm tuyến tính, mô hình hàm song tuyến, mô hình trung bình trọng số, mô hình đa thức ,

ở nhóm 2, mô hình số dạng cấu trúc, mô hình được phân chia theo dạng cấu trúc của mô hình: dạng lưới ô vuông, dạng lưới tam giác và các dạng mô hình tương ứng là mô hình GRID, mô hình TIN

Hiện nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ và

sự lớn mạnh không ngừng của công nghệ tin học, nhóm mô hình số dạng cấu trúc đang ngày càng được ứng dụng chủ yếu để thành lập mô hình số địa hình

và dây truyền sản xuất bản đồ số

2.2 Quy trình thành lập mô hình số địa hình

Xét tổng quan, các phương pháp để thành lập mô hình số địa hình và ứng dụng đều được xây dựng theo công đoạn: thu thập số liệu, thành lập mô hình, thao tác và truy cập thông tin từ mô hình (hình 2.2)

Hình 2.2: Các công đoạn của quy trình thành lập mô hình số địa hình

Thu thấp số liệu đo

- Nội suy độ cao điểm bất kỳ

- Nội suy đường bình độ

- Vẽ mặt cắt

- Tính toán khả năng nhìn thông hướng

- Tính toán thể tích, khối lượng đào đắp

- Dựng mô hình 3 chiều trực quan hoá

2 3 Các phương pháp nội suy độ cao trên mô hình số địa hình Sau khi thu thập dữ liệu và thành lập được mô hình số, công việc tiếp theo

là nội suy độ cao của một điểm bất kỳ trong phạm vi mô hình trên cơ sở độ cao các điểm đã biết Đây là cơ sở cho hầu hết các tính toán, xử lý trên mô hình số

Có rất nhiều phương pháp nội suy độ cao điểm nhưng phương pháp nào cũng đều dựa vào mối tương quan với các điểm cơ sở lân cận Dựa vào tọa độ

và độ cao của các điểm lân cận này cùng với các hàm toán học thích hợp để nội suy độ cao của điểm cần xác định

Tuỳ theo cách phân chia bề mặt địa hình và lựa chọn các điểm lân cận, các phương pháp nội suy độ cao được chia thành hai nhóm chính: nhóm phương pháp nội suy từng điểm và nhóm phương pháp hàm số chia khu

2.3.1 Nhóm phương pháp nội suy từng điểm

Nhóm này gồm hai phương pháp là phương pháp trung bình trọng số và phương pháp đa thức

2.3.1.1 Phương pháp trung bình trọng số

Phương pháp này dựa trên giả thiết rằng:

- Độ cao các điểm được phân bố một cách liên tục, không có những thay đổi đột ngột giữa các điểm liền kề

- ảnh hưởng của một điểm đã biết độ cao tới một điểm chưa biết độ cao tăng lên khi khoảng cách giữa chúng giảm đi

Hình 2.3: Phương pháp trung bình trọng số

Theo phương pháp này, đối với mỗi điểm cần nội suy độ cao sẽ chọn ra

n điểm chi tiết ở xung quanh điểm đó Độ cao nội suy của điểm P sẽ bằng

tổng hợp ảnh hưởng của các điểm lân cận và được tính theo công thức:

n

i k i i

P

d

d Z Z

1

1

Trong đó: Z i : độ cao của điểm chi tiết thứ i (i= 1 ữ n),

k : hằng số (trên thực tế thường nhận giá trị 1 hoặc 2),

k i

d

1: trọng số của điểm chi tiết thứ i

Để lựa chọn điểm lân cận điểm cần nội suy có thể sử dụng hai thuật

toán thông dụng sau:

1 Thuật toán n láng giềng gần nhất

Thuật toán này chọn ra n điểm gần với điểm cần nội suy độ cao nhất để

đưa vào tính toán nội suy Việc chọn số điểm n tùy thuộc vào từng trường hợp

địa hình cụ thể nhưng nếu chọn n quá nhỏ hoặc quá lớn sẽ làm giảm độ chính

xác của mô hình

Ví dụ trong hình 2.4: cần nội suy độ cao cho điểm x, nếu lấy n=3 sẽ

chọn được 3 điểm gần x nhất là điểm 58, 70 và 86

Hình 2.4: Nội suy độ cao điểm x

Tuy nhiên thuật toán này không hiệu quả khi có những chùm điểm nằm gần nhau và tốc độ tìm điểm lân cận sẽ giảm đi khi số lượng điểm tăng lên Thuật toán n láng giềng cũng bộc lộ điểm yếu khi áp dụng cho những vùng có mật độ điểm thưa thớt, khi đó sẽ có nhiều điểm ở xa điểm cần nội suy cũng tham gia vào công thức tính để cho đủ số điểm, như vậy sẽ làm giảm độ chính xác nội suy độ cao

2 Thuật toán bán kính cố định

Cải tiến từ thuật toán n láng giềng gần nhất, thuật toán bán kính cố định chọn ra tất cả các điểm lân cận với điểm cần nội suy trong một vòng tròn có bán kính R cho trước Cách làm này khắc phục được nhược điểm của thuật toán n láng giềng gần nhất Việc lựa chọn bán kính R cũng tùy thuộc vào từng trường hợp địa hình cụ thể

Theo hình 2.5 để nội suy độ cao điểm x, nếu lấy bán kính cố định như hình vẽ sẽ chọn được hai điểm 58 và 70

Hình 2.5: Nội suy điểm x theo vòng tròn bán kính R 2.3.1.2 Phương pháp đa thức

Bề mặt địa hình có thể biểu diễn dưới dạng hàm đa thức, có dạng tổng quát như phương trình (2.3):

Zi=  akjxikyij (2.3) Trong đó: akj các hệ số của hàm

k+jn ; n là bậc của hàm Hàm đa thức (2.3) có dạng triển khai như sau:

n i n , 0 1 n i i 1 n , 1 2

i 2 , 0 i i 1 , 1 2 i 0 , 2 i 1 , 0 i 0 ,

trong đó (x,y,z)i là tọa độ điểm thứ i

Tại mỗi điểm đo cho phép thành lập một phương trình, mô hình có k

1n(

Vậy để giải hệ phương trình bậc n thì số lượng phương trình phải bằng hoặc lớn hơn số ẩn số, tức là số lượng điểm đo tham gia tính toán k phải nhiều hơn hoặc bằng số lượng hệ số của đa thức M

Sau khi giải hệ phương trình để xác định các hệ số akj, dùng hệ số này làm cơ sở xác định bề mặt toán học của mô hình Những điểm bất kỳ trên mô hình số không phải điểm đo sẽ được xác định bằng phương pháp nội suy trên mặt toán học đã được xây dựng Bề mặt toán học này là cơ sở để vẽ các đường

đồng mức, nội suy mặt cắt địa hình và thực hiện các phép tính toán trên bề mặt địa hình

Đối với vùng bằng phẳng có thể dùng đa thức bậc thấp để biểu diễn bề mặt địa hình, nếu địa hình phức tạp thì cần chọn đa thức bậc cao Với đa thức bậc biến thiên từ 1 đến 4 thì độ chính xác xấp xỉ của bề mặt toán học so với bề mặt địa hình tỷ lệ thuận với số bậc của đa thức Khi bậc đa thức lớn hơn 4 thì

độ chính xác xấp xỉ không tăng tỷ lệ thuận số bậc mà tăng chậm hơn Thậm chí khi n lớn hơn hoặc bằng 7 độ chính xác không còn ổn định, kém tin cậy

Trường đại học tổng hợp Hannover (CHLB Đức) đã đưa ra phương pháp

hình tròn động để nội suy độ cao điểm Trong phương pháp này lấy điểm cần nội suy làm trung tâm, xác định hàm toán học nội suy cục bộ phù hợp với bề mặt địa hình được tạo bởi các điểm cơ sở lân cận xung quanh Hàm toán học này là hàm đa thức, tuy nhiên vấn đề đặt ra là hàm toán học này biểu diễn đến bậc bao nhiêu là phù hợp? Cho đến nay vấn đề này chưa được khẳng định một cách chặt chẽ vì địa hình thực tế rất đa dạng và phong phú, phụ thuộc vào độ lồi lõm của bề mặt tự nhiên cho nên số bậc của hàm đa thức nội suy chỉ là tương đối, trong thực tế sản xuất người ta chỉ lấy đến hàm bậc 3 và bậc 4 là

đủ Giả sử chọn số bậc của đa thức bằng 3 và cần nội suy độ cao của điểm P

có tọa độ mặt phẳng (XP,YP) Khi đó lấy điểm P là tâm, chọn vòng tròn có bán kính R và chỉ lấy số liệu những điểm nằm trong phạm vi vòng tròn để tính các tham số của hàm đa thức biểu diễn mặt cong tại điểm P

Cụ thể như sau:

- Nhập các điểm đo và điểm nội suy P

- Chia toàn bộ mô hình thành một lưới ô vuông có kích thước mắt lưới

là d x d Về bản chất đây là một thủ thuật sắp xếp và lưu trữ các điểm trong bộ nhớ máy tính trong đó các điểm nằm gần nhau trong phạm vi một ô lưới được nhóm lại và được gán cùng 1 mã số riêng Cách làm này giúp cho việc chọn tất cả các điểm trong một ô lưới được tiến hành một cách nhanh chóng mà không bị phụ thuộc vào số lượng các điểm còn lại

- Lấy ô chứa điểm cần nội suy làm ô trung tâm, xét tất cả các điểm nằm trong 9 ô vuông liền nhau để tìm ra k điểm gần P nhất Nếu như không tìm đủ

9 điểm thì tự động tăng bán kính tìm kiếm thêm 1 ô nữa và mở rộng tìm kiếm cho đến khi tìm đủ k điểm lân cận

Chính nhờ việc tổ chức sắp xếp dữ liệu thành từng ô nhóm riêng biệt nên việc tìm kiếm trên các ô lưới này hoàn toàn không bị phụ thuộc vào các ô lưới còn lại Như vậy ta đã chọn ra được k điểm lân cận gần P nhất với một khối lượng tính toán rất nhỏ so với việc phải duyệt toàn bộ điểm đo

Với số bậc của đa thức chọn bằng 3, độ cao của điểm P được tính theo công thức:

P 9 3 P 8 2 P 7 P

2 P 4 P P 3 P 2 P 1 0

di = X2i Yi2 R

P i

 ; i = 1, , n

Số lượng điểm dữ liệu sử dụng để nội suy phụ thuộc vào hàm toán học

đã chọn để biểu diễn địa hình Nếu số điểm dữ liệu 10 thì cần mở rộng bán kính R cho đến khi chọn đủ số lượng điểm cần thiết Đối với mỗi điểm dữ liệu

sẽ lập được một phương trình có dạng (2.3) Giả sử có n điểm dữ liệu trong vòng tròn, khi đó ta có hệ phương trình sau:

(2.7)

n

3 1 9 3 1 8 2 1 7 2 1 6 2 1 1 5 1 2 1 4 1 1 3 1 2 1 1

0

1

Y a X a Y a X a Y X a Y X a Y X a Y a X

1

0

n

1 3 1 9 3 1 8 2 1 7 2 1 6 2 1 1 5 1 2 1 4 1 1 3 1 2 1 1

0

1

Y a X a Y a X a Y X a Y X a Y X a Y a X

3 n ΔY 9 a

3 n ΔX 8 a

2 n ΔY 7 a

2 n ΔX 6 a

2 n ΔY n ΔX 5 a n ΔY

2 n ΔX 4 a n ΔY n ΔX 3 a n ΔY 2 a n

3 n ΔX

2 n ΔY

2 n ΔX

2 n ΔY n ΔX n ΔY

2 n ΔX n ΔY n ΔX n ΔY n ΔX

3 1 ΔX

2 1 ΔY

2 1 ΔX

2 1 ΔY 1 ΔX 1 ΔY

2 1 ΔX 1 ΔY 1 ΔX 1 ΔY 1 ΔX

1

Từ đó ta có phương trình tổng quát sau:

V= A.Z + L (2.10) Lập hệ phương trình chuẩn và giải hệ (2.9) theo phương pháp số bình phương nhỏ nhất xác định được các tham số a0 a9 Sau khi quy “0” toạ độ, phương trình (2.6) có dạng:

3 P 9 3 P 8 2 P 7 P

2 P 4 P P 3 P 2 P 1

Với điểm nội suy độ cao thì : XP YP 0, khi đó a0 là độ cao điểm nội suy

Trọng số của điểm cơ sở biểu diễn mức độ tương quan giữa điểm đó với

điểm cần nội suy độ cao do đó Pi được xác định liên quan đến khoảng cách giữa điểm nội suy và các điểm cơ sở Thông thường Pi được xác định tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ điểm cơ sở đến điểm nội suy theo công thức (2.11):

2 i

i

d

1

2.3.2 Nhóm phương pháp nội suy theo hàm chia khu

Trong phương pháp này, bề mặt địa hình sẽ được chia thành các đơn vị

độc lập (chia theo lưới ô vuông hoặc lưới tam giác ) và dùng đa thức bậc thấp

để mô phỏng mặt đất Ưu điểm của phương pháp này là việc nội suy độ cao

điểm sẽ được tiến hành trong từng đơn vị mô hình độc lập (hình tam giác, hình chữ nhật, hình lục giác đều ) nên khâu lựa chọn điểm lân cận và nội suy tính toán khá đơn giản, thực hiện nhanh chóng

Luận văn đề cập đến hai phương pháp nội suy theo hàm số chia khu là phương pháp nội suy tuyến tính và phương pháp nội suy song tuyến tính

2.3.2.1 Phương pháp nội suy tuyến tính

Phương pháp nội suy tuyến tính sử dụng một hàm tuyến tính để xác định

và biểu diễn mô hình số độ cao khi các điểm trên mô hình được sắp xếp theo mạng lưới tam giác không quy chuẩn, do vậy còn có tên gọi là phương pháp nội suy theo cấu trúc lưới tam giác không quy chuẩn Việc áp dụng hàm tuyến tính chỉ đúng khi các điểm số liệu tạo thành lưới tam giác và mặt đất được giới hạn trong mỗi tam giác được coi là một mặt phẳng Mặt phẳng này có góc nghiêng thay đổi, các tam giác liền kề nhau phủ kín bề mặt địa hình Bài toán nội suy tuyến tính được mô tả như sau:

Giả sử có 3 điểm đã biết tọa độ M1 (X1, Y1, Z1), M2 (X2, Y2, Z2) và M3 (X3, Y3, Z3) cần nội suy độ cao Z của điểm P (XP, YP, ZP) nằm trên mặt phẳng của tam giác M1 M2 M3

Do điểm P nằm trên mặt phẳng của tam giác M1M2M3 nên 3 véctơ M1P, M1M2 và M1M3 đồng phẳng, nghĩa là tích hỗn hợp của ba véc tơ bằng 0:

) 1 Z - 2 (Z ) 1 Y 2 (Y ) 1 X 2 (X

) 1 Z - P (Z ) 1 Y P (Y ) 1 X P (X

(2.13)

Khai triển biểu thức ta được:

0 ) Y Y ( ) X X (

) Y Y ( X X ( ) Z Z ( ) X X ( ) Z Z (

) X X ( Z Z ( ) Y Y ( ) Z Z ( ) Y Y

(

) Z Z ( ) Y Y

1 2 1 2 1 P 1 3 1 3

1 2 1 2 1 P 1 3 1 3

1 2 1 2

C

DYC

BX

ãC

;C

Ba

;C

A

suy ra:ZP a0XP a1YP a2 (2.15) trong đó: a