Ứng dụng phần mềm maple vào dạy và học công thức truy hồi

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LƯU DANH CƯỜNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO DẠY VÀ HỌC CÔNG THỨC TRUY HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013... ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LƯU DANH CƯỜNG ỨNG DỤNG PHẦN

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LƯU DANH CƯỜNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO DẠY VÀ HỌC

CÔNG THỨC TRUY HỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LƯU DANH CƯỜNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO DẠY VÀ HỌC

CÔNG THỨC TRUY HỒI

Chuyên ngành:Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số:60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng - Năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Lưu Danh Cường

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC TRUY HỒI 4

1.1 ĐỊNH NGHĨA 4

1.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI 4

1.3 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI 12

CHƯƠNG 2: PHẦN MỀM MAPLE VÀ ỨNG DỤNG 18

2.1 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE 18

2.1.1 Các tính năng cơ bản của Maple 18

2.1.2 Cấu trúc và giao diện Maple 18

2.1.3 Lưu trữ và trích xuất dữ liệu 19

2.2 CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN 19

2.2.1 Nhập biểu thức 19

2.2.2 Các toán tử, hàm và hằng 20

2.2.3 Tính giá trị thập phân của biểu thức 20

2.2.4 Phép gán 21

2.2.5 Biến tự do và biến ràng buộc 21

2.3 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN 21

2.3.1 Hàm khai triển biểu thức đại số 21

2.3.2 Hàm phân tích biểu thức thành thừa số 21

2.3.3 Hàm tối giản phân thức 21

2.3.5 Hàm chuyển đổi dạng biểu thức 24

2.3.6 Định nghĩa hàm số 24

2.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 24

2.4.1 Giải phương trình 25

2.4.2 Giải gần đúng phương trình 27

2.4.3 Bất phương trình 30

2.5 MAPLE VỚI GIẢI TÍCH 32

2.5.1 Giới hạn của biểu thức 32

2.5.2 Giới hạn của hàm 34

2.5.3 Đạo hàm 35

2.6 LẬP TRÌNH TRÊN MAPLE 36

2.6.1 Lệnh nhập xuất dữ liệu 36

2.6.2 Xây dựng thủ tục 37

2.6.3 Lưu và nạp thủ tục 37

2.6.4 Các cấu trúc điều khiển 38

2.7 GÓI LỆNH MAPLET 39

CHƯƠNG 3: SỬ DỤNG MAPLE TRONG GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI 40

3.1 ỨNG DỤNG MAPLE VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUY HỒI

TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 40

3.1.1 Bài toán truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc hai 40

3.1.2 Bài toán truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc ba 47

3.1.3 Công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng 49

3.2 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH MỘT SỐ DẠNG BÀI TRUY HỒI 74

3.2.1 Chương trình tính bài toán truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc hai 74

77

3.2.3 Chương trình tính bài toán truy hồi tuyến tính không thuần nhất dạng u(n)=a.u(n-1)+fn với fn là đa thức 81

3.2.4 Chương trình tính bài toán truy hồi tuyến tính không thuần nhất dạng U(n)=a.u(n-1)+b.U(n-2)+fn với fn là đa thức 85

3.2.5 Chương trình trích một phần tử bất kì trong dãy truy hồi 89

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 93

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)

Số hiệu

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự phát triển của công nghệ thông tin đã làm cho xã hội có nhiều thay đổi trong cách nghĩ , cách làm của nhiều lĩnh vực Giáo dục nước ta cũng không nằm ngoài xu hướng chung đó

Ứng dụng công nghệ thông tin là xu hướng phát triển tất yếu của giáo dục nước nhà nói chung trong dạy học nói riêng Công nghệ thông tin không những là công cụ minh họa cho bài giảng thêm sinh động mà còn trực tiếp tham gia vào giải quyết những vấn đề chuyên môn của nhiều ngành, nhiều môn học khác nhau Maple là phần mềm mở có khả năng như vậy Nhờ phần mềm này mà mỗi giáo viên toán không những minh họa làm cho bài giảng sinh động hơn mà còn giải được nhiều bài toán nhanh và đạt độ chính xác cao, thậm chí giải được nhiều bài toán mà dùng phương pháp biến đổi rất khó

và gần như không thực hiện được

Toán học tổ hợp được hình thành vào đầu thế kỷ XVII và phát triển mạnh cùng với sự bùng nổ của công nghệ thông tin, đặc biệt là các công trình nghiên cứu của các nhà toán học nổi tiếng như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler,…

Trong những năm gần đây, Tổ hợp đã được đưa vào giảng dạy ở chương trình học phổ thông, đại học, sau đại học và nó là một bộ môn tương đối khó đối với học sinh, sinh viên vì khái niệm trừu tượng và nhiều dạng toán rất khó nhưng thời lượng dành cho môn này còn hạn chế nhất là bậc trung học phổ thông

Với những tính năng của phần mềm Maple, được Thầy giáo PGS.TSKH Trần Quốc Chiến gợi ý và bản thân thấy phù hợp với khả năng của mình nên tôi lựa chọn đề tài: "Ứng dụng phần mềm Maple vào việc dạy

và học công thức truy hồi" để nghiên cứu Điều kiện đảm bảo cho việc hoàn

thành đề tài Được Thầy giáo PGS.TSKH Trần Quốc Chiến hướng dẫn, cung cấp tài liệu và tận tình giúp đỡ, bản thân cố gắng nghiên cứu, sưu tập tài liệu

để đảm bảo hoàn thành đề tài

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Tạo hứng thú cho học sinh khi học công thức truy hồi bằng Maple

- Xây dựng phương pháp ứng dụng vào các bài toán và ứng dụng của

Maple trong giảng dạy và ứng dụng một cách phù hợp

- Sử dụng phần mềm Maple vào việc dạy và học công thức truy hồi giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn, phát huy tính tích cực, sáng tạo cho học sinh

3 Đối tượng nghiên cứu

- Sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ dạy và học công thức truy hồi

- Các bài toán về công thức truy hồi được giải quyết với sự hỗ trợ của phần mềm Maple

- Phạm vi về quy mô: Nghiên cứu việc xây dựng bài toán về công thức truy hồi với sự hỗ trợ của phần mềm toán học Maple

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm, phân tích và tổng hợp tài liệu mang nội dung, kiến thức liên quan đến nội dung đề tài nghiên cứu, phần mềm toán học Maple

- Nghiên cứu lý thuyết thông qua việc sưu tầm các loại tài liệu như sách, báo, tạp chí, mạng internet, thầy cô, bạn bè Trình bày một cách có hệ thống các nội dung lý thuyết đã nghiên cứu và tìm hiểu

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Đề tài góp phần nghiên cứu ứng dụng của phần mềm maple vào dạy

và học giải công thức truy hồi phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán

sơ cấp

- Sau khi cho phép bảo vệ, được sự góp ý của các thầy cô trong hội đồng, luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên,

học sinh phổ thông và những ai quan tâm đến lĩnh vực này

6 Cấu trúc luận văn

Gồm các mục:

- Mở đầu

- Chương 1: Công thức truy hồi

- Chương 2: Phần mềm toán học Maple

- Chương 3: Sử dụng phần mềm Maple giải công thức truy hồi

- Kết luận và hướng phát triển

Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho một số hữu hạn các phần tử đầu

Định nghĩa 1.1 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc k có

dạng

s(n) = c1.s(n-1) + c2.s(n-2) + … + ck.s(n-k) + f(n) (1.1)

Trong đó c1, c2, …, ck là các hằng số, ck ¹ 0 và f(n) là hàm theo n Điều kiện ban đầu là giả thiết một số phần tử đầu của dãy có giá trị cho trước: s(0) = C0, s(1) = C1, … , s(k-1) = Ck-1

Nếu f(n) ¹ 0 thì (1.1) được gọi là công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc k

Nếu f(n) = 0 thì (1.1) được gọi là công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc k

1.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI

1.2.1 Phương trình đặc trưng của công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

Xét công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc k

Chứng minh Ta thay nghiệm s vào công thức thuần nhất (1.2)

Vì s1, s2, …, sm là các nghiệm của (1.2) nên

= c1.s(n-1) + c2.s(n-2) + … + ck.s(n-k) +f(n) Vậy nghiệm tổng quát của (1.1) là s(n) = h(n) + p(n)

hiện trên (a – r)m.an-k q(x) Và kết quả là tổng tất cả các số hạng, mà mỗi số hạng là lũy thừa (a – r) Như vậy khi a = r thì kết quả sẽ bằng 0

C -.n - ) n

i

r "i = 1,2,…,q với Ci,j , j = 0,1,2,…,mi – 1, là các hằng số bất kì

Chứng minh Nếu r1, r2, …, rq tương ứng là các nghiệm bội m1, m2, …,

mq của phương trình đặc trưng (1.3) nên theo định lý 1.1 và định lý 1.3 ta có

s1(n) = (C1,0 + C1,1.n + C1,2.n2 + … + 1

1

m 1 1,m 1

cũng là nghiệm của (1.2), trong đó

si(n) = (Ci,0 + Ci,1.n + Ci,2.n2 + … + i

i

m 1 i,m 1

C -.n - ) n

i

r "i = 1,2,…,q với Ci,j , j = 0,1,2,…,mi – 1, là các hằng số bất kì

Ghi chú Nếu có thêm điều kiện ban đầu thì thế nghiệm tổng quát vào

điều kiện ban đầu để xác định các hằng Ci,j , i = 1, … , q, j = 1, …,mi

Định lý 1.5 (công thức nghiệm của công thức truy hồi tuyến tính hệ số

hằng bậc 2)

Cho công thức truy hồi tuyên tính thuần nhất hệ số hằng bậc hai

Chứng minh Vì phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt r1 và

r2 nên ta có thể viết lại như sau

+ n = 1 : C1.r1n + C2.r2n = C1r11 + C2r21 = C1r1 + C2r2 = s(1) = s(n)

+ Giả sử ta có s(k – 1) =C1r1k-1 + C2r2k-1 và s(k – 2) =C1r1k-2 +C2r2k+2 với k ³ 2 thì khi đó

s(k) = c1.s(n – 1)+ c2.s(n – 2) = c1(C1r1k-1 + C2r2k-1) +c2(C1r1k-2 + C2r2k-2) = C1r1k + C2r2k

Ta được điều phải chứng minh

Chứng minh Do phương trình đặc trưng có nghiệm kép r0 nên ta có

thể viết lại như sau:

* Cho n³ 2 thì s(n) = C1.r0n + C2.n.r0n

= c1(C1r0n-1 + C2(n – 1)r0n-1) + c2(C1r0n-2 + C2(n – 2)r0n-2)

0 0

s(1) s(0)rr

Giả sử phương trình đặc trưng (1.5) có 2 nghiệm phức liên hợp là

r = x + i.y và r = x – i.y (i2 = -1), thì nghiệm tổng quát của (1.4) có

dạng s(n) = l (Cn 1.cos(nj) + C2.sin(nj)), trong đó

Suy ra rn = l (cosn j+ i.sinj)n, ( r )n = l (cosn j - i.sinj)n là các

nghiệm của (1.4)

Theo công thức Moivre thì rn = l (cos(nn j) + sin(nj)),

( r )n = l (cos(nn j) - i.sin(nj))n

Vì rn và ( r )n là các nghiệm của (1.4) Do vậy nghiệm tổng quát của (1.4)

Có dạng s(n) = l (Cn 1.cos(nj) + C2.sin(nj)), trong đó C1, C2 là các hằng số

i) Nếu phương trình đặc trưng (1.7) có ba nghiệm thực phân biệt r1, r2,

r3 thì nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng

s(n) = C1.r1n + C2.r2n + C3.r3n, trong đó C1, C2, C3 là các hằng số

ii) Nếu phương trình đặc trưng (1.7) có một nghiệm thực r0 bội 2 và

một nghiệm đơn r1 thì nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng s(n) = (C1 +

C2.n).r0n + C3.r1n, trong đó C1, C2, C3 là các hằng số

iii) Nếu phương trình đặc trưng (1.7) có một nghiệm thực r0 bội 3 thì nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng s(n) = (C1 + C2.n + C3.n2).r0n,trong

đó C1, C2, C3 là các hằng số

iv) Nếu phương trình đặc trưng (1.7) có một nghiệm thực r1 và 2

nghiệm phức liên hợp r2,3 = x ± i.y = (cosl j ±i.sin )j thì nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng s(n) = C1.r1n + l (Cn 2.cos(nj) + C3.sin(nj)), trong đó C1, C2, C3 là các hằng số

1.2.3 Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp

Nội dung của phương pháp này là thay thế liên tiếp công thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay bậc n giảm ít nhất 1 đơn vị, cho đến khi đạt giá trị ban đầu

Ví dụ Bài toán đếm tháp Hà Nội.Có 3 cọc 1,2,3.Ở cọc 1 có n đĩa, kích

thước khác nhau, xếp chồng lên nhau sao cho đĩa nằm dưới nằm trên Hãy chuyển tất cả đĩa từ cọc 1 sang cọc 3 với điều kiện mỗi lần chỉ được chuyển 1 đĩa từ cọc này sang cọc khác và luôn bảo đảm đĩa dưới lớn hơn đĩa trên

Giải Phương pháp di chuyển như sau:

Chuyển n-1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2 ,chuyển đĩa lớn nhất từ cọc 1 sang cọc 3,cuối cùng chuyển n-1 đĩa từ cọc 2 sang cọc 3

Gọi s(n) là số lần di chuyển đĩa, ta có công thức truy hồi

Các bước giải công thức truy hồi trên như sau:

Bước 1 Giả sử công thức truy hồi tồn tại nghiệm dạng s(n) = rn Thay

vào công thức truy hồi và viết phương trình đặc trưng của công thức truy hồi dạng

rk – c0.rk-1 – c1.rk-2 - … - ck-1 = 0

Bước 2 Tìm nghiệm r1, r2, …, rk của phương trình đặc trưng

Bước 3 Khi đó nghiệm tổng quát có dạng

s(n) = c0.r1n + c1.r2n + … + ck-1.rkn

Bước 4 Từ các điều kiện ban đầu của công thức truy hồi ta thay vào

công thức nghiệm tổng quát, giải các hệ phương trình này để tìm các hệ

số c0, c1, …, ck-1 Từ đó ta thu được kết quả

1.2.2 Công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc k

Cho công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc k s(n) = c1.s(n-1) + c2.s(n-2) + … + ck.s(n-k) + f(n)

Trong đó c1, c2, …, ck là các hằng số, ck ¹ 0 và f(n) là hàm theo n

Ta có thể giải công thức truy hồi trên qua các bước sau:

Bước 1 Viết lại công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

bậc k tương ứng và tìm nghiệm tổng quát pn của công thức truy hồi đó

Bước 2 Tìm nghiệm riêng hn của công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất

Bước 3 Viết lại nghiệm tổng quát của công thức truy hồi tuyến tính

không thuần nhất cần giải s(n) = pn + hn

Bước 4 Sử dụng các điều kiện đầu và các giả thiết ban đầu để giải hệ

các phương trình tương ứng khi thay vào công thức nghiệm ở bước 3 Sau khi giải ta thu được các hệ số tương ứng và có nghiệm cuối cùng

1.2.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh

Ngoài việc giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp hoặc bằng phương trình đặc trưng ta có thể giải công thức truy hồi bằng hàm sinh Nội dung của phương pháp này là tìm công thức tường minh cho hàm

sinh liên đới Nghĩa là giả sử ta giải công thức truy hồi, tức là ta cần tìm số hạng tổng quát của dãy số {an} của một công thức truy hồi nào đó, ta thiết lập hàm sinh F(x) của {an} Dựa vào công thức truy hồi, ta tìm được phương trình cho F(x) Giải phương trình đó, ta tìm được F(x) Khai triển F(x) theo lũy thừa x (khai triển Taylor), ta tìm được an với mọi n

Trên lý thuyết, ta phải dùng công thức Taylor để tìm khai triển của F(x) Đây là bài toán khá phức tạp Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, ta có thể sử dụng công thức Newton tổng quát sau:

x x

k

x x

a x ax

x

x x

C x

=

n n

Hàm số Khai triển luỹ thừa a k

1 0

1

n k n

k

x

¥ + -

=

=

- å C n0 +C x C x1n + n2+1 2 +

k k n

C + -1

1 0

k

x

¥ + -

( 1)( 1)

+ - + -

1

n k n

k

ax

¥ + -

1

1+x r

1 - xr + x2r - x3r + … (-1)s nếu k=sr và

0 trong trường hợp ngược lại

Số Fibonacci

Ta định nghĩa F0 = 0, F1 = 1 Với n³ 2, Fn là số tập con của

X = {1,2,…,n–2} thỏa điều kiện các tập con đó không chưa hai số liên tiếp của X Các số F0, F1, F2, … gọi là các số Fibonacci Ta sẽ lập công thức tính số Fibonacci bằng hàm sinh thường

Dưới đây là hàm sinh cho dãy số Fibonacci:

<0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …> « x/(1-x-x2)

Chúng ta thấy dãy số Fibonacci biến đổi khá khó chịu, nhưng hàm sinh của nó thì rất đơn giản

Giải công thức truy hồi

-Gọi

2

5

1 + -

=

b

b

a a

b a b b a

b a a b

a

x x

x

- -

-= - -

+ -

1 1 1

1 1 1

.

1

ø

ö çç

x

b a

b a

è

æ -

- 0

1 1 1

b a b a

Vì a -b = - 5 và

( )r

r r r r

1

1 1

g(x) = r

r r

r

x

2

5 1 2

5 1 5

1

ù ê

ê ë

é

÷÷

ø

ö çç

è

æ -

-÷÷

ø

ö çç

ù ê

ê ë

é

÷÷

ø

ö çç

è

æ -

-÷÷

ø

ö çç

è

2

5 1 2

5 1 5

CHƯƠNG 2

PHẦN MỀM MAPLE VÀ ỨNG DỤNG

2.1 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE

Maple là một phần mềm Toán học do Đại Học Tổng Hợp Waterloo (Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985 Sau nhiều lần cải tiến và phát triển qua nhiều phiên bản khác nhau và ngày càng được hoàn thiện Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành, có trình trợ giúp (Help) rất dễ sử dụng Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, các gói lệnh gắn liền với toán học phổ thông và đại học

2.1.1 Các tính năng cơ bản của Maple

Maple có thể thực hiện hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán học, cung cấp các công cụ minh họa, hình học tĩnh và động Mô phỏng các mô hình toán học mà con người ta khó có thể thực hiện được bằng cách thủ công Maple cũng là một ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ có khả năng tương tác với các ngôn ngữ lập trình khác, cho phép trích xuất ra các định dạng khác nhau như Latex, Word, HTML, Maplet… Maple còn là công

cụ soạn giáo án điện tử, trình diễn, soạn câu hỏi trắc nghiệm…

2.1.2 Cấu trúc và giao diện Maple

Sau khi khởi động Maple, đầu tiên mở một trang (Worksheet) mới bằng

cách chọn New/File Trên trang màn hình hiện cửa sổ làm việc của Maple với

dấu nhắc [>.Dấu nhắc [> được gọi là prompt, sau đó ta có thể gõ các phép tính, công thức yêu cầu Maple thực hiện

Các dữ liệu được lưu trữ trong thư viện của Maple và được chia làm hai nhóm : Nhóm lệnh cơ bản và nhóm các gói lệnh Muốn gọi lệnh phải nạp

bằng >with(gói lệnh cần mở): Giao diện của Maple dễ sử dụng, cho phép ta

soạn thảo văn bản, gõ dạng công thức toán học Sauk hi gõ lệnh và ấn Enter

để thực hiện lệnh thì kết quả hiện ra ngay sau dưới dòng lệnh Giao diện của phần Maple như sau:

Hình 2.1 Giao diện của phần Maple 2.1.3 Lưu trữ và trích xuất dữ liệu

Trang làm việc của Maple được lưu dưới dạng tệp (file) có phần mở

rộng mws Lưu file dữ liệu bằng File/Save, và mở file có trên đĩa bằng

File/Open Ngoài việc lưu và mở như trên thì Maple còn chức năng trích

xuất dữ liệu thành các định dạng khác như Word, Latex, HTML, Maplet…

Trích xuất bằng cách vào File/Export/<dạng dữ liệu cần xuất>

2.2 CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN

2.2.1 Nhập biểu thức

Dữ liệu : Maple cho phép ta nhập ba loại dữ liệu : Lệnh, công thức và văn bản Để chọn kiểu lệnh nhấp chuột vào nút [> (hoặc nhấn tổ hợp phím Ctrl + M), để chọn kiểu công thức ta nhắp nút Math (hoặc Ctrl + R), để chọn kiểu văn bản nhắp nút T (hoặc Ctrl + T)

Thực hiện lệnh : Mỗi lệnh trong Maple phải kết thúc bởi dấu chấm phẩy (;)

hoặc dấu hai chấm (:) Nhấn Enter để thực hiện lệnh trên dòng con trỏ

Nếu kết thúc bằng dấu chấm phẩy (;), thì kết quả hiển thị trên màn hình Nếu kết thúc lệnh bằng dấu hai chấm (:), thì kết quả không hiển thị trên màn hình Nhấn Shift + Enter để nối lệnh với dòng tiếp theo

* Hằng :

Pi = p; I i= = - ; infinity =¥ ; gamma :1 g =0.5772156649; exp(1) : e ;

2.2.3 Tính giá trị thập phân của biểu thức

Cú pháp : evalf(<biểu thức số>,<n>);

Trả về giá trị thập phân của biểu thức số với <n> chữ số có nghĩa, nếu không có tham số <n> thì Maple cho kết quả ngầm định 9 chữ số lẽ sau dấu chấm thập phân

Biến Digits : là biến hệ thống ấn định chữ số có nghĩa

Ký hiệu % chỉ biểu thức cuối cùng

2.2.4 Phép gán

Cú pháp : Biến :=<biểu thức>; Phép gán giá trị biểu thức cho biến

Từ khóa là danh định riêng không được dung cho biến

a : 3 sqrt(2);

> = +

a : 3= + 2

2.2.5 Biến tự do và biến ràng buộc

Các biến của Maple ở hai trạng thái : Biến tự do (biến chưa được sử dụng), biến rang buộc (biến đã được sử dụng)

Lệnh restart; giải phóng các biến đã được sử dụng thành biến tự do

2.3 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN

2.3.1 Hàm khai triển biểu thức đại số

Cú pháp : expand(<biểu thức>,<tùy chọn>); Khai triển biểu thức theo tùy chọn

cos(3x) 4cos(x)= -3cos(x)

2.3.2 Hàm phân tích biểu thức thành thừa số

Cú pháp : factor(<biểu thức>); Hàm factor phân tích biểu thức thành thừa số

Ví dụ :

>factor(x^8-1);

2 4

(x 1)(x 1)(x- + +1)(x + 1)

2.3.3 Hàm tối giản phân thức

Cú pháp : normal(<biểu thức>); Hàm tối giản phân thức hữu tỉ

2.3.4 Hàm đơn giản biểu thức

Cú pháp : simplify(<biểu thức>,[tùy chọn]); Đơn giản biểu thức theo tùy chọn

> readlib(rationalize);

> u := 2^(3/4); x:=(1+u) / (1-u);

u :=2(3/4)

(3/4) (3/4)

2.3.5 Hàm chuyển đổi dạng biểu thức

Cú pháp : convert(<biểu thức>, kiểu chuyển đổi);

>

>

2.4.2 Giải gần đúng phương trình

* Hàm fsolve(f(x),x) trả về nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0

* Hàm fsolve(f(x),x=a…b) trả về nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong khoảng [a,b]

* Hàm fsolve(p(x),x,maxsols=n) trả về tối đa n nghiệm thực gần đúng của các đa thức p(x)

* Hàm fsolve(p(x),x,complex,maxsols=n) trả về tối đa n nghiệm gần đúng, kể cả nghiệm phức, của đa thức p(x)

Ví dụ 1

>

>

>

>

>

2.4.3 Bất phương trình

* Hàm solve(<bpt>,<x>) trả về nghiệm bất phương trình bpt theo ẩn x Nghiệm thường biểu diễn theo hàm RealRange Kết quả có thể sử dụng với hàm assume

>solve({x+y+x*y=-7, x^2+y^2-x*y=19}, {x,y});

{x= -3,y 2},{x 2,y= = = -3},{x= - -1 6,y= - +1 6},{x= - +1 6,y= - -1 6}

2.4.5 Giải công thức truy hồi

* Hàm rsolve(eqns, fcns)

rsolve(eqns, fcns, ‘genfunc’(z))

Trong đó eqns là phương trình hoặc tập hợp phương trình

f(a) = f(a+1) =…= f(b) = c có thể viết gọn là f(a b) = c

f(a) = g(a), f(a+1) = g(a+1),…,f(b) = g(b) có thể viết gọn là f(m=a b) = g(m)

fcns là hàm hoặc tập hợp hàm

z là tên biến của hàm sinh bởi các hệ số của dãy

* Hàm rsolve({u(n) = a*u(n-1)+b*u(n-1)+…,u(0)=u0,u(1)=u1,…},u) giải công thức truy hồi

2.5 MAPLE VỚI GIẢI TÍCH

2.5.1 Giới hạn của biểu thức

Cho biểu thức p tham số x

* Hàm limit(p,x=a) : trả về giới hạn của p khi x tiến đến a

* Hàm limit(p,x=a,right) : trả về giới hạn của p khi x tiến đến bên a bên phải

Không có giới hạn, giá trị biểu thức dao động trong khoảng (-1,1)

* Hàm Limit(p,x=a) trả về biểu thức giới hạn

* Hàm value(…) tính giá trị giới hạn

Ví dụ

>