1 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài “ Tìm hiểu nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán chuyên đề về số và chữ số lớp 4, 5”, trước hết em xin gửi
Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này tôi nhằm tìm hiểu những vấn đề:
-Tìm hiểu một số vấn đề lí luận chung về đặc điểm tâm lí lứa tuổi học sinh tiểu học
- Tìm hiểu nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4, 5 chuyên đề về số và chữ số.
Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu, đề tài phải thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu một số vấn đề lí luận: đặc điểm tâm sinh lí của học sinh tiểu học, một số vấn đề dạy học toán ở tiểu học…
- Tìm hiểu nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán chuyên đề “số và chữ số”
- Phân dạng các bài toán học sinh giỏi về chuyên đề số và chữ số Từ đó áp dụng thiết kế bài giảng cho dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp
4 theo hướng đổi mới theo hướng nâng cao chất lượng dạy học toán ở tiểu học
- Đề xuất một số biện pháp góp phần nâng cao chất lượng dạy và học giải toán nâng cao chuyên đề số và chữ số cho học sinh lớp 4, 5.
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận:
+ Nghiên cứu tài liệu tâm lí lứa tuổi học sinh tiểu học
+ Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 4, 5 về số và chữ số + Nghiên cứu lí luận về cơ sở toán học của chuyên đề số và chữ số + Và nghiên cứu một số tài liệu có liên quan
- Phương pháp quan sát, điều tra thực nghiệm: Nhằm đánh giá tình hình giải toán về số và chữ số lớp 4, 5 bằng hình thức vấn đáp hoặc kiểm tra bằng giấy
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp phân tích, tổng hợp.
Cấu trúc đề tài
Đề tài gồm có 3 phần chính:
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số và chữ số lớp 4, 5
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Đặc điểm tâm lí học sinh tiểu học
1.1.1 Tri giác Đặc điểm tri giác của học sinh tiểu học là tri giác trực tiếp, mang tính cảm xúc, cụ thể, ít đi sâu vào bản chất của sự vật, hiện tượng Ở các lớp đầu cấp, tri giác của các em thường gắn với hành động, sử dụng các giác quan để tri giác Ở các lớp cuối cấp, tri giác của các em thường mang tính mục đích và rõ ràng hơn Lúc này, tri giác trở thành hoạt động có phân tích, có phân hoá, mang tính chất của sự quan sát có tổ chức Trong sự phát triển tri giác, vai trò của người giáo viên là rất quan trọng Giáo viên hàng ngày không chỉ dạy các khái niệm mà còn dạy cho học sinh các kĩ năng hoạt động, phối hợp các giác quan, liên hệ những gì đã học được để ngày càng nâng cao khả năng hiểu biết, các kĩ năng hoạt động một cách thành thạo
Chú ý của các em thiên về chú ý không chủ định, các em thường chú ý đến cái mới lạ hấp dẫn, trực quan sinh động Sự chú ý của các em thường hướng ra bên ngoài vào hành động, chưa có khả năng hướng vào bên trong và tư duy Ở lớp 4 và lớp 5, chú ý có chủ định đã xuất hiện và ngày càng hoàn thiện trong quá trình nhận thức của các em Khả năng phát triển chú ý có chủ định, phát triển tính bền vững và sự tập trung chú ý ở học sinh cuối cấp là rất cao Bản thân quá trình học tập đòi hỏi các em phải rèn luyện thường xuyên sự chú ý có chủ định, ý chí Chú ý có chủ định được phát triển cùng với động cơ học tập mang tính xã hội cao, với sự trưởng thành về ý thức trách nhiệm đối với kết quả trong học tập
Trí nhớ của học sinh tiểu học gắn liền với các biểu tượng cụ thể, trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ từ ngữ logic, biểu tượng hình ảnh giúp các em dễ nhớ hơn là dùng ngôn ngữ, câu chữ trừu tượng, khó hiểu Việc dạy học sử dụng các hình ảnh trực quan giúp các em ghi nhớ sâu sắc hơn, nắm được sự vật hiện tượng
Tuy nhiên, ở cuối cấp học, trí nhớ của các em đã dần thoát khỏi các biểu tượng cụ thể mà được thay bằng các khái niệm Ở các lớp dưới, học sinh đã được chuẩn bị đầy đủ về nội dung và các biểu hiện của khái niệm Đến lớp
4, 5 cùng với sự phát triển chức năng sinh lý của não bộ, chúng được khái quát thành khái niệm từ đó hình thành nên kĩ năng kĩ xảo hoạt động
Trí tưởng tượng của các em rất phong phú, tuy nhiên nó còn phụ thuộc và kinh nghiệm sống, mẫu vật đã biết, cảm hứng và hứng thú của học sinh Tưởng tượng mang tính đơn giản, ít có tổ chức và thường thay đổi Ở các lớp cuối cấp, tưởng tượng của các em trở nên gần hiện thực, phản ánh thực tế đầy đủ và đúng đắn hơn Các em có khả năng gọt dũa, nhào nặn những biểu tượng cũ để sáng tạo những biểu tượng mới Điều này có được nhờ các em dùng ngôn ngữ để xây dựng hình ảnh có tính khái quát và trừu tượng hơn Biểu tượng của tưởng tượng dần trở nên hiện thực hơn, phản ánh đúng đắn hơn môn học, nội dung đã học, biểu tượng không đứt đoạn mà đồng nhất thành một hệ thống Điều này cũng chi phối việc hình thành các mức độ kĩ năng của học sinh dựa trên những kĩ năng đơn giản đã có
Như vậy, tư duy của học sinh cuối cấp dần thoát khỏi ảnh hưởng của những ấn tượng trực tiếp, gắn liền với tư duy ngôn ngữ, các kí hiệu, tín hiệu
Tư duy của học sinh tiểu học đầu cấp là tư duy cụ thể, mang tính hình thức dựa vào những đặc điểm trực quan của đối tượng, hiện tượng cụ thể Trong quá trình học tập, học sinh tiểu học dần dần chuyển từ nhận thức các mặt bên ngoài của sự vật hiện tượng đến nhận thức các thuộc tính bên trong của chúng Điều này tạo ra những so sánh, thao tác phân tích, tổng hợp và suy luận đầu tiên Hành động này còn sơ đẳng với học sinh đầu cấp, tri giác đối tượng bằng hành động phân tích trực quan trực tiếp Học sinh cuối cấp có thể phân tích đối tượng mà không cần hành động trực tiếp với đối tượng Ở cuối cấp, học sinh có thể phân biệt các khía cạnh khác nhau của đối tượng dưới dạng ngôn ngữ Việc học Tiếng Việt và Số học sẽ giúp học sinh biết phân tích tổng hợp Khi học số học, sự phân tích tổng hợp gắn với chức năng trừu tượng hoá con số, tách khỏi ý nghĩa cụ thể của con số với kĩ năng phân tích các dữ kiện của bài toán, áp dụng các quy tắc, công thức tính học sinh đã học và có sự phối hợp chúng để giải quyết nhiệm vụ, yêu cầu cụ thể của bài tập
Trong những năm đầu của bậc tiểu học, nhu cầu nhận thức của học sinh phát triển rõ nét Đầu tiên xuất hiện nhu cầu tìm hiểu các sự vật riêng lẻ, những hiện tượng riêng biệt (lớp 1, lớp 2) sau đó xuất hiện nhu cầu gắn liền với sự phát hiện các nguyên nhân, quy luật, các mối liên hệ và quan hệ phụ thuộc giữa các sự kiện, hiện tượng (lớp 3, 4 đặc biệt là lớp 5) Nếu như học sinh đầu cấp có nhu cầu tìm hiểu “Cái đó là cái gì?” thì ở các lớp cuối cấp lại có nhu cầu giải quyết các câu hỏi: “Tại sao?” và “Như thế nào?”
Nhu cầu nhận thức là nhu cầu tinh thần có ảnh hưởng quan trọng đến sự phát triển trí tuệ Nếu các em không có nhu cầu nhận thức thì cũng không có tính tích cực trí tuệ Mà tính tích cực trí tuệ rất cần thiết cho kĩ năng Nếu các em học chỉ để đối phó thì khi một kĩ năng nào đó được hình thành các em sẽ không rèn luyện và dần dần kĩ năng đó sẽ bị mất đi
Khi có nhu cầu nhận thức, trẻ sẽ huy động toàn bộ kiến thức, kĩ năng đã có để giải quyết một vấn đề nào đó Khi nhu cầu đó không được thoả mãn thì trẻ sẽ bứt rứt, khó chịu Nhu cầu nhận thức đã được thoả mãn với đối tượng này thì nó lại hướng đến một đối tượng mới phức tạp hơn, đòi hỏi người học phải có sự sáng tạo cao hơn làm cho trí tuệ của học sinh phát triển không ngừng.
Cơ sở toán học
1.2.1 Một số vấn đề dạy học toán ở tiểu học
1.2.1.1 Đặc điểm tư duy toán học của học sinh tiểu học
Lứa tuổi tiểu học (6 - 7 tuổi đến 11-12 tuổi) là giai đoạn mới của phát triển tư duy - giai đoạn tư duy cụ thể Trong một chừng mực nào đó, hành động trên các sự vật, hiện tượng bên ngoài còn là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho tư duy Các tư duy đã liên kết với nhau thành tổng thể nhưng sự liên kết đó chưa hoàn toàn tổng quát Học sinh có khả năng nhận thức về cái bất biến và hình thành khái niệm bảo toàn, tư duy có bước tiến rất quan trọng, phân biệt được phương diện định tính với đại lượng - điều kiện ban đầu để hình thành khái niệm “số” Chẳng hạn học sinh lớp một đã nhận thức cái bất biến là sự tương ứng 1 - 1 không thay đổi khi thay đổi cách sắp xếp các phần tử (dựa vào các tập tương đương), từ đó hình thành khái niệm bảo toàn “số lượng” của các tập hợp trong lớp các tập hợp đó; phép cộng có phép toán ngược trong số tự nhiên
Học sinh cuối cấp có những tiến bộ trong nhận thức không gian như phối hợp cách nhìn một hình hộp từ các phía khác nhau, nhận thức được các quan hệ giữa các hình với nhau ngoài các quan hệ trong nội bộ một hình
Học sinh tiểu học bước đầu có khả năng thực hiện việc phân tích tổng hợp, trừu tượng hoá – khái quát hoá và những hình thức đơn giản của sự suy luận, phán đoán Ở học sinh tiểu học phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều tổng hợp có khi không đúng hoặc không đầy đủ, dẫn đến khái quát sai trong hình thành khái niệm Khi giải toán thường ảnh hưởng bởi một số từ: thêm, bớt, nhiều, gấp…tách chúng ra khỏi điều kiện chung để lựa chọn phép tính ứng với từ đó lên dễ mắc sai lầm
Các khái niệm hình học được hình thành qua hình tượng hoá và khái quát hoá nhưng không thể chỉ dựa vào tri giác bởi khái niệm toán học còn là kết quả của các thao tác tư duy đặc thù Có hai dạng trừu tượng hoá: trừu tượng hoá từ các đồ vật, hiện tượng cảm tính và sự trừu tượng hoá từ các hành động Khi thực hiện trừu tượng hoá nhằm rút ra các dấu hiệu bản chất, chẳng hạn: thông qua trừu tượng hoá các đồ vật (tập hợp cụ thể) loại bỏ định tính màu sắc, kích thước hình thành lớp các tập tương đương, sau đó chỉ quan tâm đến cái chung giữa lớp các tập hợp tương đương đó, đi đến khái niệm “số” (trừu tượng hoá trên các hành động)
Học sinh tiểu học, nhất là các lớp đầu cấp thường phán đoán theo cảm nhận riêng nên suy luận thường mang tính tuyệt đối Trong toán học, học sinh khó nhận thức về quan hệ kéo theo trong suy diễn Chẳng hạn đáng lẽ hiểu:
“12 = 3 x 4 nên 12 : 3 = 4” thì lại coi đó là hai mệnh đề không hề liên quan đến nhau Các em khó chấp nhận các giả thiết, dữ kiện có tính chất hoàn toàn giả định bởi khi suy luận thường gắn với thực tế, phép suy diễn của “hiện thực” Bởi vậy khi nghe một mệnh đề toán học các em chưa có khả năng phân tích rành mạch các thuật ngữ, các bộ phận của câu mà hiểu nó một cách tổng quát
1.2.1.2 Một số điểm cần chú ý trong dạy học toán ở tiểu học
Trong dạy học tiểu học quan điểm “thống trị” là quan điểm tâm lý học nhưng trong dạy học toán cần thấy vai trò chủ đạo của quan điểm logic và toán học, coi logic học hình thức là cơ sở quan trọng của nó Thực tế quan tâm đến đặc điểm lứa tuổi chính là tăng cường sức mạnh của logic trong quá trình nhận thức của học sinh tiểu học
Không thể dạy toán mà không nắm vững đặc thù của toán học nói chung, không nắm vững kiến thức toán học cơ bản, cần thiết liên quan đến các kiến thức cần dạy Lịch sử toán học đã chỉ ra rằng toán học xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, toán học còn phát triển theo nhu cầu nội tại của toán học Đối tượng của toán học ngay từ đầu là các đối tượng trừu tượng, nên đối tượng với toán học là sự trừu tượng hoá trên các trừu tượng hoá liên tiếp trên nhiều tầng bậc Sự trừu tượng hoá liên tiếp luôn gắn với sự khái quát hoá liên tiếp và lí tưởng hoá Toán học sử dụng phương pháp suy diễn, nó là phương pháp suy luận làm cho toán học khác với các môn khoa học khác
Tư duy của học sinh tiểu học đang trong giai đoạn “tư duy cụ thể”, chưa hoàn chỉnh, vì vậy việc nhận thức các kiến thức toán học trừu tượng, khái quát là vấn đề khó đối với các em Trong dạy học cần nắm vững sự phát triển có quy luật của tư duy học sinh, đánh giá đúng khả năng hiện có và khả năng tiềm ẩn của học sinh Từ đó có những biện pháp sư phạm thích hợp với trình độ phát triển tâm lý và phù hợp với việc nhận thức toán học ở tiểu học
Trong dạy toán ở tiểu học cần chú ý đến sự tồn tại của ba thứ ngôn ngữ có quan hệ đến nhận thức của học sinh: ngôn ngữ với các thuật ngữ công cụ, ngôn ngữ kí hiệu và ngôn ngữ tự nhiên
1.2.2.1 Khái niệm số tự nhiên a Tập hợp cùng lực lượng
Ta nói tập hợp A tương đương (hay cùng lực lượng) với tập hợp B, và viết A~B, nếu có một song ánh f từ A lên B
Quan hệ ~ xác định như trên có tính chất sau:
- Tính chất phản xạ: Với mọi tập hợp A ta luôn có: A~A
- Tính chất đối xứng: Với mọi tập A và B, nếu A~B thì B~A
- Tính chất bắc cầu: Với mọi tập hợp A, B, C nếu A~B và B~C thì A~C
Ta nhận thấy quan hệ cùng lực lượng giữa các tập hợp có cả 3 tính chất ( phản xạ, đối xứng, bắc cầu) của một quan hệ tương đương Như vậy ta có thể phân lớp các tập hợp: các tập hợp có cùng một lực lượng thuộc cùng một lớp Vì thế ta có thể dùng mỗi lớp để xác định thuộc tính đặc trưng về lực lượng của một tập hợp Định lí 2.1: Định lí Căng-to
Hai tập hợp bất kì A và B luôn luôn xảy ra một trong hai trường hợp sau:
A cùng lực lượng với một bộ phận B’ của B
B cùng lực lượng với một bộ phận A’ của A
Nếu xảy ra đồng thời cả hai trường hợp trên thì A cùng lực lượng với B b Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn
Tập hợp không cùng lực lượng với một bộ phận thực sự nào của nó gọi là một tập hợp hữu hạn
Tập hợp không hữu hạn, gọi là tập vô hạn Hay tập vô hạn là tập hợp cùng lực lượng với một bộ phận thực sự của nó
* Tính chất của tập hợp hữu hạn
- Tập hợp cùng lực lượng với một tập hợp hữu hạn là hữu hạn
- Tập hợp con của một tập hữu hạn là tập hữu hạn
- Hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn
- Tích Đêcac của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn
1.2.2.2 Tập hợp số tự nhiên a Bản số và số tự nhiên
- Bản số là một khái niệm đặc trưng về “số lượng” cho lớp các tập hợp cùng lực lượng Mỗi tập hợp A đều có một bản số, kí hiệu là cardA, sao cho:
- Số tự nhiên: bản số của một tập hợp hữu hạn gọi là một số tự nhiên
Tập hợp số tự nhiên được kí hiệu là N
Như vậy nếu x là một số tự nhiên thì tồn tại một tập hợp hữu hạn X sao cho cardX= x b Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
Trên tập hợp số tự nhiên xác định một quan hệ như sau:
Giả sử a, b N, a = cardA, b = cardB Ta nói: a nhỏ hơn b hay bằng b , và viết là a b, nếu A tương đương với một bộ phận của B Nếu a b và a b thì ta viết là a < b và đọc là a nhỏ hơn b
+ Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A, B mà a cardA, b = cardB
+ Theo định nghĩa, nếu a b thì A tương đương với một bộ phận A 1 B Nhưng khi đó ta cũng có a = cardA 1 Vì vậy có thể phát biểu lại định nghĩa quan hệ như sau:
Với a, b N, a b khi và chỉ khi tồn tại các tập hợp hữu hạn A, B sao cho
* Tính chất của quan hệ Định lí: Quan hệ vừa xác định trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong tập hợp số tự nhiên N
- Tính phản xạ: Giả sử a = cardA Vì với mọi tập A luôn có AA nên aa
- Tính phản đối xứng: Giả sử a = cardA và b = cardB Nếu ta có đồng thời ab và ba thì điều này có nghĩa là A tương đương với một bộ phận của B và
B tương đương với một bộ phận của A Theo định lí Căngto, A tương đương với B do đó a = b
- Tính bắc cầu: Giả sử a = cardA, b = cardB và c = cardC mà a b c Ta có: +) a b tức là A tương đương với một bộ phận của B hay có một đơn ánh f:
+) b c tức là có một đơn ánh g: BC
Khi đó ánh xạ tích g 0 f : ABC cũng là một đơn ánh, đơn ánh này chứng tỏ A tương đương với một bộ phận của C hay a c
- Tính so sánh được: Giả sử a, b N và a = cardA, b = cardB
NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC
Một số kiến thức cơ bản thường được vận dụng trong giải toán về chuyên đề số và chữ số
2.1.1 Một số kiến thức về dãy số tự nhiên
- Các số 0; 1; 2; 3…………là các số tự nhiên
- Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất
- Không có số tự nhiên lớn nhất
- Các số tự nhiên sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn tạo thành dãy số tự nhiên:
- Là dãy số bắt đầu từ số 0, không có số cuối cùng
- Hai số tự nhiên liên tiếp đứng gần nhau hơn kém nhau 1 đơn vị
+ Bớt 1 ở bất kì số tự nhiên nào khác 0 ta được số tự nhiên liền trước nó (Số 0 không có số liền trước)
+ Thêm 1 vào một số tự nhiên ta được số tự nhiên liền sau Vì vậy không có số tự nhiên lớn nhất và dãy số tự nhiên kéo dài mãi mãi
+ Giữa hai số tự nhiên liên tiếp không có số tự nhiên nào cả
- Hai số chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp nhau hơn kém nhau 2 đơn vị
- Trong hệ thập phân mỗi lớp gồm 3 hàng:
+ Lớp đơn vị: hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm
+ Lớp nghìn: hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn
+ Lớp triệu: hàng triệu hàng chục triệu, hàng trăm triệu
+ Lớp tỷ: hàng tỷ, hàng chục tỷ, hàng trăm tỷ
Mỗi đơn vị của hàng liền trước có giá trị gấp 10 lần đơn vị ở hàng liền sau
- Dãy số lẻ có chữ số tận cùng bên phải là: 1, 3, 5, 7, 9
- Dãy số chẵn có chữ số tận cùng bên phải là : 0, 2, 4, 6, 8
- Tổng hai số lẻ là một số chẵn
- Một tổng các số hạng là số lẻ và số các số hạng là số lẻ thì tổng là số lẻ: (a, b, c, x, y là số lẻ)
(a + b + c +…+ x + y) = A; A là số lẻ nếu n lẻ n
- Một tổng các số hạng là số lẻ và số các số hạng là số chẵn thì tổng là số chẵn: (a, b, c, x, y là số lẻ)
(a + b + c +…+ x + y) = A; A là số chẵn nếu n chẵn n
- Tổng của các số chẵn bao giờ cũng là số chẵn
- Tích các số lẻ là số lẻ, tích các số chẵn là số chẵn, tích số chẵn và số lẻ là số chẵn
2.1.2 Một số tính chất của các phép tính
- Quy tắc một số trừ đi một hiệu: a – (b – c) = a – b + c
- Quy tắc một số trừ đi một tổng: a – (b + c) = a – b – c
- Quy tắc một số nhân với một hiệu : a x (b – c) = a x b – a x c
- Quy tắc một số nhân với một tổng: a x ( b + c) = a x b + a x c
- Quy tắc một số nhân với một hiệu : a x (b – c) = a x b – a x c
- Tích hai số lẻ là số lẻ
- Tích các thừa số là số chẵn thì trong tích ít nhất có một thừa số là số chẵn
* Một số tính chất khác
- Nếu A = B thì A : m = B : m (A, B chia hết cho m)
A, B, m là một số tự nhiên hoặc là một biểu thức
Phân loại các dạng toán của chuyên đề về “số và chữ số”
Các bài toán của chuyên đề về “số và chữ số” rất đa dạng và có thể phân loại theo nhiều cách như: phân loại theo phương pháp giải, phân loại các dạng bài tập theo nội dung yêu cầu của bài… Tuy nhiên, một bài có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau; vì vậy trong đề tài này, tôi chọn phân loại các dạng bài tập của chuyên đề về “số và chữ số” theo nội dung yêu cầu của các bài tập Theo đó, các dạng bài toán của chuyên đề về “số và chữ số” được chia thành các dạng sau:
Dạng 1: Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước
Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích cấu tạo số
Trong dạng 2, các bài tập được chia thành 5 loại nhỏ:
- Loại 1: Viết thêm một số chữ số vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa các chữ số của một số tự nhiên
- Loại 2: Xóa đi một số chữ số của một số tự nhiên
- Loại 3: Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó
- Loại 4: Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó
- Loại 5: Các bài toán về số tự nhiên và tích các chữ số của nó
Dạng 3: Tìm số theo điều kiện cho trước về chữ số
Dạng 4: Các bài toán về xét chữ số tận cùng của số
Các dạng toán của chuyên đề về “số và chữ số”
2.3.1 Dạng 1: Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước
Ví dụ 1: Cho bốn chữ số 0; 3; 8; 9 a Viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ các số đã cho b Tìm số lớn nhất, số bé nhất
Bài giải a Chọn chữ số 3 làm chữ số hàng nghìn ta có 6 số thoả mãn đầu bài: 3089; 3098; 3809; 3890; 3908; 3980
Nhìn sơ đồ trên ta thấy: cứ 1 chữ số đã cho ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn thỏa mãn điều kiện của đầu bài
Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn nên trong 4 số 0; 3; 8; 9 chỉ có ba số đứng vị trí hàng nghìn (3; 8; 9)
- Chọn chữ số hàng nghìn là 8 ta viết được 6 số
- Chọn chữ số hàng nghìn là 9 ta viết được 6 số
Vậy có tất cả các số thỏa mãn đầu bài là: 6 x 3 = 18 (số)
Cách 2: Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau:
Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện đề bài (vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn)
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn)
Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm)
Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó là chữ số còn lại khác hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục)
Vậy, số các số viết được là:
3 x 3 x 2 x 1 = 18 (số) b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất ( trong 4 chữ số đã cho) Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại Vậy chữ số hàng trăm bằng 8
Chữ số hàng chục là chữ số lớn nhất trong 2 chữ số còn lại Vậy chữ số hàng chục bằng 3
Tương tự, ta nhận được số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là 3089
Ví dụ 2: Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số Biết rằng số đó chia hết cho 2; 5; 9
Số để chia hết cho 2 và 5 phải có chữ số tận cùng bằng 0
Vì số cần tìm phải chia hết cho cả 9 nên tổng chữ số ở hàng trăm và hàng chục phải chia hết cho 9 Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng trăm Nên các chữ số ở hàng trăm và hàng chục của các số thỏa mãn các yêu cầu của đầu bài chỉ có thể là: 9 – 0; 1 – 8; 8 – 1; 2 – 7; 7 – 2; 3 – 6; 6 – 3; 5 – 4; 4 – 5
Vậy có 9 số thỏa mãn đầu bài là: 900; 180; 810; 270; 720; 360; 630; 450; 540
Ví dụ 3: Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tiên để được một số tự nhiên Hãy xóa đi
15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được: a Số lớn nhất b Số bé nhất
Bài giải a Viết 15 số lẻ liên tiếp ta được số tự nhiên:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Để xóa đi 15 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên phải là chữ số 9 Vậy trước hết ta xóa 4 chữ số đầu tiên của số trên là 1; 3; 5 và 7 như sau: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Số còn lại là:
Ta phải xóa tiếp 15 – 4 = 11 chữ số của số coàn lại để được số lớn nhất Để sau khi xóa ta nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai giữ lại kể từ bên trái phải giữ là chữ số 9 Vậy ta xóa như sau: 9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 21 23 25 27
Ta phải xóa tiếp 11 – 9 = 2 chữ số còn lại để được số lớn nhất Chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2 Để được số lớn nhất sau khi xóa hai chữ số, ta phải xóa hai chữ số là 1 và hai như sau: 9 9 2 1 2 3 25 27 29 hoặc 9 9 2
Vậy số lớn nhất cần tìm là 9 923 252 729 b Lập luận tương tự câu a ta được số cần tìm là 1 111 111 122
Ví dụ 3 : từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số chia hết cho 11?
Các số chia hết cho 11 lập được từ ba số trên có thể là số có ba chữ số hoặc là số có hai chữ số
Các số có hai chữ số chia hết cho 11 là 11; 22; 33
Các số có ba chữ số chia hết cho 11 là 121; 132; 231
Vậy số các số cần phải tìm là: 3 + 3 = 6 (số)
2.3.2 Dạng 2: Các bài toán cấu tạo số
Loại 1: Viết thêm một số chữ số vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa các chữ số của một số tự nhiên
- Khi ta thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên thì số đó tăng thêm một số đơn vị là:
Số mới – số ban đầu
- Khi ta thêm chữ số a (hoặc ab, abc…) vào bên phải của một số tự nhiên thì ta được số mới, số này gấp 10 lần (hoặc 100, 1000…lần) số ban đầu và thêm a (hoặc ab, abc…) đơn vị
- Khi ta thêm chữ số vào giữa các chữ số của một số tự nhiên thì số đó tăng thêm một số đơn vị là:
Số mới – số ban đầu
Ví dụ 4 : Khi viết thêm số 12 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó gấp lên 26 lần Tìm số có hai chữ số đó
Gọi số cần tìm là ab Viết thêm 12 vào bên trái ta được số 12ab
Cách 1: Theo đề bài ta có:
1200 + ab = ab x 26 ab x 26 – ab = 1200 ab x (26 – 1) = 1200 ab x 25 = 1200 ab = 1200 : 25 ab = 48
Vậy số cần tìm là 48
Cách 2: Theo đề bài ta có:
Ta có sơ đồ sau: ab
Dựa vào sơ đồ ta có số cần tìm là: 1200 : (26 – 1 ) = 48
Ví dụ 5 : Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tăng lên 4106 đơn vị Tìm số có ba chữ số đó
Cách 1: Gọi số cần tìm là abc
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải ta được số abc2
Theo đề bài ta có: abc2=abc + 4106 abc x 10 + 2 = abc + 4106 abc x 10 – abc= 4106 – 2 abcx ( 10 – 1) = 4104 abc x 9 = 4104 abc = 4104 : 9 abc = 456
Vậy số cần tìm là 456
Cách 2: Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên thì số đó gấp lên 10 lần và 2 đơn vị Ta có dơ đồ sau:
Dựa vào sơ đồ ta có số cần tìm là
Ví dụ 6 : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó gấp lên 10 lần, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì nó gấp lên 3 lần
Gọi số cần tìm là ab
Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số 0a b Theo đề bài ta có: abx 10 = 0a b
Vì ab x 10 có tận cùng là 0, do đó b = 0 Vậy số cần tìm có dạng a0 Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số a00 ta được số 1 00a Theo đề bài ta lại có:
Vậy số phải tìm là 50
Loại 2: Xóa đi một chữ số của một số tự nhiên
- Khi ta bớt chữ số ở bên trái của một số tự nhiên thì số đó giảm đi một số đơn vị là:
Số ban đầu – số mới
- Khi ta bớt chữ số a (hoặc ab, abc…) ở bên phải một số tự nhiên thì ta được số mới, số mới bằng số ban đầu bớt a (hoặc ab, abc…) đơn vị, rồi giảm đi 10 lần (hoặc 100, 1000…lần)
- Khi bớt chữ số của một số tự nhiên ở bất kỳ hàng nào thì số đó giảm đi một số đơn vị là:
Số ban đầu – số mới
Ví dụ 7 : Khi xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số tự nhiên có bốn chữ số thì số đó giảm đi 4455 đơn vị Tìm số có bốn chữ số đó
Gọi số cần tìm là abcd
Xóa đi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị ta được số ab
Cách 1: theo đề bài ta có abcd – ab = 4455 ab x 100 + cd – ab = 4455 cd + ab x 100 – ab = 4455 cd + ab x (100 – 1 ) = 4455 cd + ab x 99 = 4455 cd = 45 x 99 – ab x 99 cd = (45 – ab ) x 99
Ta nhận xét: Tích của 99 và một số tự nhiên là một số tự nhiên bé hơn 100 nên (45 – ab ) phải bằng 0 hay bằng 1
Nếu 45 – ab = 0 thì ab = 45 và cd = 00
Nếu 45 – ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99
Số cần tìm là 4500 và 4499
Cách 2: Theo đề bài ta có: abcd – ab = 4455
Ta viết lại phép tính như sau:
- Nếu phép cộng ở hàng chục không nhớ thì ab = 44 và abcd = 4455 +
- Nếu phép cộng ở hàng chục có nhớ thì ab = 45 và abcd = 4455 + 45 4500
Ví dụ 8 : Khi xóa đi chữ số hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó giảm đi 7 lần Tìm số có ba chữ số đó
Gọi số cần tìm là abc Xóa đi chữ số hàng trăm ta được số bc
Cách 1: Theo đề bài ta có: abc = 7 x bc
00 a + bc = 7 x bc a00 = 7 x bc – bc a00 = (7 – 1) x bc a00 = 6 x bc
Vì 6 chia hết hco 3 nên a00 chia hết cho 3 Do đó a chia hết cho 3
Mặt khác vì bc < 100 nên 6 x bc < 600 Từ đó suy ra a < 6
Vậy a = 3 (a 0) Thay vào ta tính được bc = 50
Vậy số cần tìm là 350
Cách 2: Ta có abc = bc x 7
- Nếu c = 0 thay vào ta có: ab 0 = b 0 x 7 ab = b x 7
Từ đó suy ra b = 0 hoặc b = 5, nhưng b không thể bằng 0
- Nếu c = 5 thay vào ta có:
Nếu b chẵn thì số trái là số lẻ, mà vế phải là số lẻ Vậy trường hợp c = 5 không xảy ra
Vậy số cần tìm là 350
Loại 3: Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó
Ví dụ 9 :Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó
Cách 1: Gọi số cần tìm là ab Theo đề bài ta có: ab = 5 x (a + b)
Từ đây ta suy ra b chia hết cho 5 Vậy b = 0 hoặc 5
Vậy số cần tìm là 45
Cách 2: Gọi số cần tìm là ab Theo đề bài ta có: ab = 5 x (a + b)
Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên b = 0 hoặc b = 5
- Nếu b = 0 thay vào ta có:
- Nếu b = 5, thay vào ta có:
Vậy số cần tìm là 45
Loại 4: Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó
Ví dụ 10 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương bằng 28 và dư 1
Gọi số phải tìm là ab và hiệu các chữ số của nó là c
Theo đề bài ta có: ab = c x 28 + 1
Vậy số cần tìm là 57 hoặc 85
Loại 5: Các bài toán về só tự nhiên và tích các chữ số của nó
Ví dụ 11 : Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó
Bài giải Cách 1: Gọi số cần tìm là abc
Theo đề bài ta có: abc = 5 x a x b x c
Vì 5 x a x b x c chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5 Vậy c = 0 hoặc 5
Nhưng c không thể bằng 0 , vậy c = 5 Số cần tìm có dạng ab 5 Thay vào ta có: abc = 5 x a x b x 5 a x 100 + b x 10 + 5 = 25 x a x b a x 20 + b x 2 + 1 = 5 x a x b
Vì 5 x a x b chia hết cho 5 nên a x 20 + b x 2 + 1 chia hết cho 5 Do đó bx2+1 chia hết cho 5 Suy ra b x 2 có tận cùng bằng 4 hoặc 9
Vì b x 2 là một số chẵn nên nó có tận cùng bằng 4
- Nếu b = 2 thì a25 = 5 x a x 2 x 5 Vế trái là số lẻ, mà vế phải là số chẵn Vậy trường hợp b = 2 không xảy ra
Vậy số cần tìm là 175
2.3.3 Dạng 3: Tìm số theo điều kiện cho trước về chữ số
- Dựa vào một số điều kiện nào đó của bài toán, ta thống kê tất cả các trường hợp có thể xảy ra với một đối tượng nào đó
- Dựa vào các điều kiện còn lại của bài toán, ta kiểm tra các trường hợp được thống kê Chọn ra các trường hợp phù hợp với đề bài
Ví dụ 12 : Tìm số tự nhiên lẻ có hai chữ số, biết rằng tổng của các chữ số của nó bằng 9 và tích các chữ số của nó là số tròn chục có hai chữ số
Các số lẻ có hai chữ số, có tổng các chữ số bằng 9 là: 81, 27, 63 và 45
Ta có bảng sau: ab a x b Kết luận
vậy số phải tìm là: 45
+ Các số lẻ có hai chữ số và tích các số của nó là số tròn chục là: 25, 45, 65 và
+ Ta có bảng sau: ab a + b Kết luận
Vậy số cần tìm là 45
Ví dụ 13: Biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số lẻ có hai chữ số bằng 3 Nếu thêm vào số đó 3 đơn vị ta được số có hai chữ số giống nhau Tìm số đó
Bài giải Cách 1: Gọi số cần tìm là ab
Những số lẻ có hai chữ số mà hiệu giữa các chữ số của nó bằng 3 là: 41, 25,
Ta có bảng sau: ab ab + 3 Kết luận
Vậy số cần tìm là 41; 63 hoặc 85
Những số có hai chữ số giống nhau là 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99
Bớt mỗi số đi 3 đơn vị ta được các số : 8; 19; 30; 42; 52; 63; 74; 85; 96
Vì theo đề bài, số cần tìm là số lẻ và hiệu giữa hai số của số đó bằng 3 nên ta tìm được 3 số: 41, 63, 85
Các phương pháp thường dùng khi giải toán chuyên đề về số và chữ số 43 1 Phương pháp thử chọn
Phương pháp thử chọn dùng để giải các bài toán về tìm một số khi số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Phương pháp thử chọn có thể dùng để giải các bài toán về cấu tạo số tự nhiên, cấu tạo số thập phân, cấu tạo phân số và cả các bài toán có lời văn về hình học
Khi giải bài toán bằng phương pháp thử chọn ta thường tiến hành theo
Trước hết ta xác định các số thỏa mãn một trong các điều kiện mà đề bài yêu cầu (tạm bỏ các điều kiện còn lại) Để lời giải ngắn gọn và chặt chẽ ta cần cân nhắc chọn điều kiện để liệt kê sao cho các số liệt kê được theo điều kiện này là ít nhất
Bước 2: Kiểm tra và kết luận
Lần lượt kiểm tra mỗi số vừa liệt kê ở bước 1 có thỏa mãn điều kiện còn lại Số nào thỏa mãn là số phải tìm, số nào không thỏa mãn thì ta bỏ Bước kiểm tra kết luận thường được tiến hành trong một bảng
2.4.1.2 Ứng dụng phương pháp thử chọn để giải toán chuyên đề về số và chữ số
Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên lẻ có hai chữ số, biết rằng tổng của các chữ số của nó bằng 9 và tích các chữ số của nó là số tròn chục có hai chữ số
Số cần phải tìm thỏa mãn các điều kiện:
+ Là số lẻ có hai chữ số
+Có tổng các chữ số bằng 9
+ Có tích các chữ số là số tròn chục có hai chữ số
Trong bước thứ nhất ta có thể liệt kê các số thỏa mãn điều kiện thứ nhất và thứ hai hoặc liệt kê các số thỏa mãn điều kiện thứ nhất và thứ ba
Nếu chọn cách 1 ta có các số: 81, 27, 63, 45
Nếu chọn cách 2 ta có các số: 25, 45, 65, 85
Trong bước thứ hai ta lần lượt kiểm tra từng số vừa liệt kê với điều kiện còn lại rồi rút ra kết luận
+ Bước 1: ta liệt kê các bước thoả mãn điều kiện thứ nhất và thứ hai: là số lẻ có hai chữ số, có tổng các chữ số bằng 9 Vậy các số cần tìm có thể là: 81, 27,
+ Bước 2: Ta kẻ bảng các số vừa liệt kê và kết luận ab a x b Kết luận
vậy số phải tìm là: 45
+ Bước 1: Các số lẻ có hai chữ số và tích các số của nó là số tròn chục là: 25,
+ Bước 2: Ta có bảng sau: ab a + b Kết luận
vậy số cần tìm là 45
Ví dụ 2 : Chữ số hàng chục của một số tự nhiên có ba chữ số khác nhau gấp hai lần chữ số hàng đơn vị Nếu lấy tích chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị chia cho chữ số hàng trăm ta được thương là 8 Tìm số đó
Gọi số cần tìm là abc
Vì chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị nên số abc chỉ có thể là:
Ta có bảng sau: abc (b x c) : 8 Kết luận
Vậy số cần tìm là 142
Ví dụ 3: Tìm số chẵn có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 11 và tích các chữ số của nó là số tròn chục
Gọi số cần tìm là ab (a 0; a < 10; b < 10; b chẵn )
Vì ab là số chẵn có hai chữ số và tổng các chữ số là 11 nên ab chỉ có thể là các số: 92, 74, 56 và 38 mặt khác, tích các chữ số của nó là số tròn chục nên ta có bảng sau: ab a x b Kết luận
38 24 loại vậy số cần tìm là 56
Ví dụ 4: Các chữ số hàng trăm, hàng chục va hàng đơn vị của một số chẵn có ba chữ số theo thứ tự là ba số liên tiếp Tổng các chữ số của nó bằng 9 Tìm số đó?
Bài giải Gọi số cần tìm là abc
Vì abc là một số chẵn có ba chữ số theo thứ tự là ba số tự nhiên liên tiếp nên số abc chỉ có thể là: 234; 456; 678
Ta có bảng sau: abc a + b + c Kết luận
Vậy số cần tìm là 234
Bài 1: Các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của một số có ba chữ số theo thứ tự là ba số lẻ liên tiếp Khi bớt số đó đi 24 đơn vị ta được số có ba chữ số giống nhau và chia hết cho 5 Tìm số đó
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 11 và bớt số đó đi 3 thì được số có hai chữ số giống nhau
Bài 3: Tìm số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị và tổng các chữ số của nó là số có hai chữ số
Bài 4: Tìm số lẻ có hai chữ số biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số đó bằng 3 và tích các chữ số của nó là số có một chữ số Bài 5: Tìm số có bốn chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 30, chữ số hàng nghìn và hàng chục của số đó là hai số chẵn liên tiếp và nếu đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị thì số đó không thay đổi
Giải toán bằng đại số là việc dùng chữ hoặc từ để ký hiệu 1 số nào đó trong bài toán (không nhất thiết là số cần tìm) Rồi diễn đạt bài toán dưới dạng 1 biểu thức chứa chữ hoặc từ dựa vào mối quan hệ và điều kiện đã cho trong bài toán Sau đó tìm giá trị của chữ hoặc từ, dựa vào các quy tắc về thứ tự thực hiện các phép tính và quan hệ giữa các thành phần và kết quả trong một phép tính Để giải toán bằng phương pháp đại số ta thực hiện theo các bước:
- Bước 1: Dùng chữ thay cho số phải tìm và đặt điều kiện cho các chữ
- Bước 2: Viết biểu thức thiết lập mối quan hệ giữa số mới với số cần tìm
- Bước 3: Tính giá trị của chữ Ở bước này, chúng ta thường phân tích số rồi sử dụng các kiến thức cơ bản để biến đổi biểu thức từ phức tạp về đơn giản theo dạng a + x = b; a – x = b; a x X = b; a:x=b;…(trong đó x là số cần tìm; a, b là số đã biết)