Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong giải toán hình học không gian

Thiết diện của một đa diện với mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với một cạnh của đa diện .... Trong chương trình toán trung học phổ thông, hình học không gian là một trong nhữ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN HỒNG MINH

QUAN HỆ SONG SONG

VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả luận văn

NGUYỄN HỒNG MINH

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1 QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3

1.1 QUAN HỆ SONG SONG 3

1.2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC 6

1.3 LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 9

CHƯƠNG 2 QUAN HỆ SONG SONG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 10

2.1 CHỨNG MINH TÍNH SONG SONG CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 10

2.1.1 Chứng minh hai đường thẳng song song 10

2.1.2 Chứng minh hai mặt phẳng song song 13

2.1.3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 15

2.2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 18

2.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN 20

2.3.1 Thiết diện của một đa diện với mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với một cạnh của đa diện 20

2.3.2 Thiết diện của một đa diện với một mặt phẳng qua một điểm cho trước và song song với hai cạnh của đa diện 23

2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 29

CHƯƠNG 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 31

3.1 CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 31

3.1.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 31

3.1.2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 34

3.1.3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 35

3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN 38

3.2.1 Thiết diện qua một đỉnh và vuông góc với một cạnh của đa diện 38 3.2.2 Thiết diện chứa một cạnh và vuông góc với một mặt của đa diện 40 3.3 CÁC BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC 42

3.3.1 Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 42

3.3.2 Xác định góc giữa hai mặt phẳng 45

3.4 CÁC BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH 52

3.4.1 Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 52

3.4.2 Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 53

3.4.3 Xác định khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó 58

3.4.4 Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 59

3.4.5 Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 61

3.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 67

3.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP 69

KẾT LUẬN 76

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm Khi mới

ra đời, hình học là môn khoa học thực nghiệm nảy sinh từ việc đo đạc,tính toán các đại lượng về khoảng cách giữa các điểm, diện tích cácthửa ruộng, thể tích các thùng chứa, Thời cổ đại, con người đã tíchlũy được nhiều kiến thức hình học khá phong phú, chẳng hạn công thứcPy-ta-go, định lý Ta-lét, công thức tính thể tích hình chóp, Dần dần,hình học trở thành một khoa học suy diễn chặt chẽ, tức là thay vì dùngthực nghiệm để kiểm tra sự đúng đắn của các sự kiện hình học, người

ta chứng minh bằng lập luận dựa vào các tính chất hình học Ngày nay,hình học là một bộ phận không thể tách rời và là công cụ quan trọngtrong việc xây dựng nên những bộ môn toán học hiện đại, đồng thời cónhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác

Trong chương trình toán trung học phổ thông, hình học không gian

là một trong những môn học khó, trong đó quan hệ song song và quan

hệ vuông góc là những nội dung cơ bản Các phương pháp giải toánhình học không gian thường được dùng là: phương pháp vectơ, phươngpháp tọa độ, phương pháp dùng quan hệ song song, quan hệ vuông góc,phương pháp tổng hợp, Nhằm tìm hiểu quan hệ song song và quan hệvuông góc trong hình học không gian, tôi chọn đề tài "Quan hệ songsong và quan hệ vuông góc trong giải toán hình học khônggian" cho luận văn thạc sĩ khoa học của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Tìm hiểu quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình họckhông gian

- Nghiên cứu việc vận dụng quan hệ song song và quan hệ vuông gócvào giải toán hình học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình học không gian

- Các bài toán hình học không gian trong chương trình toán trung họcphổ thông

- Phương pháp giải toán hình học không gian bằng quan hệ song song

và quan hệ vuông góc

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu về hình học không gian có liên quanđến đề tài, đặc biệt các tài liệu về quan hệ song song và quan hệ vuônggóc

- Nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện đề tài

- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung luận văn được chiathành 03 chương:

Chương 1 Quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình họckhông gian

Chương này trình bày sơ lược quan hệ song song, quan hệ vuông góctrong hình học không gian, nhằm làm cơ sở cho các chương sau

Chương 2 Quan hệ song song trong giải toán hình học không gianChương này trình bày việc vận dụng quan hệ song song để giải một

số lớp bài toán hình học không gian

Chương 3 Quan hệ vuông góc trong giải toán hình học không gianPhần đầu chương này trình bày việc vận dụng quan hệ vuông góc đểgiải toán hình học không gian Phần cuối chương giới thiệu một số bàitoán được giải bằng cả hai quan hệ song song và quan hệ vuông góc

1.1 QUAN HỆ SONG SONG

Định nghĩa 1.1.1 Trong không gian, hai đường thẳng bất kỳ được gọi

là song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.Định lí 1.1.1 [11] Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm Anằm ngoài đường thẳng d Lúc đó tồn tại duy nhất một đường thẳng a

đi qua A và song song với đường thẳng d

ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song

Hệ quả 1.1.1 [7] Nếu hai mặt phẳng chứa lần lượt hai đường thẳngsong song với nhau và hai mặt phẳng đó cắt nhau theo một giao tuyếnthì giao tuyến này song song với cả hai đường thẳng trên hoặc trùng vớimột trong chúng

Hệ quả 1.1.2 [6] Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) thìbất kì mặt phẳng (Q) nào chứa d mà cắt (P ) thì sẽ cắt (P ) theo giaotuyến song song với d.

Định lí 1.1.5 [11] Nếu hai mặt phẳng cùng song song hoặc chứa mộtđường thẳng và chúng cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song hoặctrùng với đường thẳng trên

Định lí 1.1.6 [11] Cho điểm A và hai đường thẳng a, b chéo nhau Lúc

đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng (P ) đi qua A sao cho (P ) song songhoặc chứa a và song song hoặc chứa b

Trong trường hợp nếu A thuộc một trong hai đường thẳng a hoặc b,thì Định lí 1.1.6 cho ta hệ quả quan trọng sau Nó cho phép chúng taxác định khái niệm mặt phẳng đi qua một đường thẳng và song song vớimột đường thẳng khác

Hệ quả 1.1.3 [11] Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau Lúc đó tồn taiduy nhất một mặt phẳng (P ) đi qua a và song song với b

Định lí 1.1.7 [11] Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P ).Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a thì b song song hoặcthuộc mặt phẳng (P ).

Hình 1.3

Hệ quả 1.1.4 [11] Cho một đường thẳng và một mặt phẳng song songvới nhau Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc mặt phẳng đãcho và song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó phải thuộcmặt phẳng này

Hình 1.4Định nghĩa 1.1.3 Trong không gian, hai mặt phẳng (P ) và (Q) đượcgọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

Định lí sau cho phép đưa việc chứng minh hai mặt phẳng song song

về chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Định lí 1.1.8 [4] Cho hai mặt phẳng (P ), (Q) Lúc đó (P ) và (Q)song song với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng (Q) tồn tại hai đườngthẳng a, b cắt nhau sao cho a và b đều song song với (P )

Định lí 1.1.9 [4] Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một vàchỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó

Định lí trên cho ta các hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.5 [4] Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ).Lúc đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua d và song song với (P )

Hệ quả 1.1.6 [4] Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặtphẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lí 1.1.10 [4] Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳngcắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến songsong với nhau

1.2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Định nghĩa 1.2.1 Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian

song song song với a và b

Định nghĩa 1.2.2 Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu

Định nghĩa 1.2.3 Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặtphẳng nếu đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trongmặt phẳng

Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P ) ta còn nói mặtphẳng (P ) vuông góc với a hoặc a và (P ) vuông góc với nhau và kí hiệu

a ⊥ (P ) hoặc (P ) ⊥ a

Định lí 1.2.1 [7] Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳngcắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc vớimặt phẳng ấy

Hệ quả 1.2.1 [7] Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm chotrước và vuông góc với một đường thẳng cho trước

Hệ quả 1.2.2 [7] Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm chotrước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Định nghĩa 1.2.4 Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P ) theo phương

l vuông góc với mặt phẳng (P ) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng(P )

Định lí 1.2.2 [7](Định lí ba đường vuông góc) Cho đường thẳng akhông vuông góc với mặt phẳng (P ) và đường thẳng b nằm trong mặtphẳng (P ) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông

Định nghĩa 1.2.5 Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P ) thì

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P ) thì góc giữa

Định nghĩa 1.2.9 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảngcách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Định nghĩa 1.2.10 Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b

và cùng vuông góc với mỗi đường ấy được gọi là đường vuông góc chung

Định nghĩa 1.2.11 Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳngchéo nhau tại I và J thì đoạn thẳng IJ gọi là đoạn vuông góc chung củahai đường thẳng đó.

Định nghĩa 1.2.12 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độdài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Nhận xét

1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cáchgiữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó màchứa đường thẳng còn lại

2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cáchgiữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Định nghĩa 1.2.13 Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu gócgiữa hai mặt phẳng đó là góc vuông

Định lí 1.2.3 [11] Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc vớinhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳngkia

Hệ quả 1.2.3 [7] Nếu hai mặt phẳng (P ), (Q) vuông góc với nhau và

A là một điểm nằm trong (P ) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuônggóc với (Q) sẽ nằm trong (P )

Hệ quả 1.2.4 [7] Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) vuông góc với nhauthì bất cứ đường thẳng a đi qua điểm A thuộc (P ) và vuông góc với giaotuyến của (P ) và (Q) sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q)

Hệ quả 1.2.5 [7] Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc vớimặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứba

Hệ quả 1.2.6 [7] Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng(P ) có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P )

1.3 LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆVUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGTính chất 1.3.1 [11] Mặt phẳng nào vuông góc với một trong haiđường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

Tính chất 1.3.2 [11] Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặtphẳng thì song song hoặc trùng nhau

Hình 1.5

Tính chất 1.3.3 [11] Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P ) song songvới nhau Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (P ) thì cũng vuônggóc với a

Tính chất 1.3.4 [11] Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùngvuông góc với một đường thẳng khác thì đường thẳng và mặt phẳng ấysong song với nhau hoặc đường thẳng ấy nằm trong mặt phẳng

Tính chất 1.3.5 [11] Đường thẳng nào vuông góc với một trong haimặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại

Tính chất 1.3.6 [11] Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đườngthẳng thì song song hay trùng nhau

2.1 CHỨNG MINH TÍNH SONG SONG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

2.1.1 Chứng minh hai đường thẳng song song

Để chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với nhauchúng ta thường dùng một trong các cách sau:

• Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng và sử dụngcác kiến thức về hình học phẳng để chứng minh

• Cách 2: Sử dụng các định lí, hệ quả về quan hệ song song trongkhông gian để chứng minh, cụ thể như sau:

⇒ a k b;

2.1.2 Chứng minh hai mặt phẳng song song

Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh:

- Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mặtphẳng kia, hoặc

- Chứng minh hai mặt phẳng phân biệt và cùng song song với một mặtphẳng khác

Bài toán 2.4 [14] Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khôngcùng nằm trên một mặt phẳng Trên các đoạn thẳng AC và BF , lần lượt

song với AB kẻ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại P và Q.

a) Chứng minh (F AD) k (BCE)

2.1.3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng chúng tathường dùng một trong các cách sau:

của DP Trong 4DP S có M I là đường trung bình nên SP k IM

2.2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Quan hệ song song giữa hai đường thẳng còn được dùng để xác địnhgóc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Cụ thể, để xácđịnh góc giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau, ta chọn một điểm cố định

Bài toán 2.7 [6] Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là trung

3 Tính góc giữahai đường thẳng AB và CD

Lời giải Vì ABCD là tứ diện nên AB và CD là các cạnh chéo nhau

Hình 2.7

Do đó để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các đườngthẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt nhau tại một điểm

Gọi P là trung điểm của AC Vì M , N lần lượt là trung điểm của BC và

CD nên M P , N P lần lượt là đường trung bình của 4ABC và 4ACD

3

Hình 2.8

Vì AI k CD và AI = CD nên AICD là hình bình hành.

Mặt khác AI = AD = a nên AICD là hình thoi

2

Vì DC k IB và DC = IB = a nên tứ giác BCDI là hình bình hành

2.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN

2.3.1 Thiết diện của một đa diện với mặt phẳng chứa mộtđường thẳng và song song với một cạnh của đa diện

Để tìm thiết diện của một đa diện với một mặt phẳng (P ) chứa mộtđường thẳng a cho trước và song song với một cạnh b của đa diện, chúng

ta thực hiện như sau:

• Bước 1: Gọi (Q) là một mặt của đa diện chứa cạnh b, sao cho(P ) ∩ (Q) 6= ∅ Tìm một điểm chung M của mặt phẳng (P ) và(Q) Khi đó ta có

• Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận.

Bài toán 2.9 [12] Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm của AD,

N là một điểm thay đổi trên BC Kí hiệu (P ) là mặt phẳng đi qua M N

và song song với CD Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng(P ) Tìm vị trí của điểm N để thiết diện là hình bình hành

Lời giải Bước 1: Ta có

Bước 2: Ta có (P ) ∩ (ABC) = N K, (P ) ∩ (ABD) = M H.

Bước 3: Vậy thiết diện là tứ giác M HN K

Vì M K k N H nên thiết diện là hình bình hành khi và chỉ khi M H k N K.Lúc đó M H và N K cùng song song với AB, mà K là trung điểm của

Bài toán 2.10 [14] Cho hình chóp S.ABCD, với ABCD là hình bìnhhành, M là trung điểm của SC, (P ) là mặt phẳng qua AM và song songvới BD Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P )

Lời giải Bước 1: Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD và I là giaođiểm của SO và AM Khi đó I ∈ (P ) ∩ (SBD)

(P ) ∩ (SAD) = AN ;(P ) ∩ (SCD) = N M.

2.3.2 Thiết diện của một đa diện với một mặt phẳng quamột điểm cho trước và song song với hai cạnh của một đadiện

Để tìm thiết diện của một đa diện với một mặt phẳng (P ) đi quađiểm M cho trước và song song với hai cạnh a, b của đa diện, ta thựchiện như sau:

• Bước 1: Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M và a Gọi (R) là mặtphẳng đi qua M và b Gọi M x = (P ) ∩ (Q) và M y = (P ) ∩ (R).Khi đó theo Hệ quả 1.1.2, M x k a và M y k b

• Bước 2: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của đa diện vớimặt phẳng (P )

• Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận

Bài toán 2.11 [8] Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang với

AD k BC, H là điểm bất kì thuộc AB và (P ) là mặt phẳng qua H vàsong song với AD và SB Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặtphẳng (P )

Lời giải Bước 1: Ta có

H ∈ (P ) ∩ (ABCD)

⇒ (P ) ∩ (ABCD) = Hx

Theo Hệ quả 1.1.2, Hx k AD và Hx cắt CD tại K

Khi đó (P ) ∩ (ABCD) = HK

Hình 2.11Tương tự ta có

H ∈ (P ) ∩ (SAB)

⇒ (P ) ∩ (SAB) = Hy

Theo Hệ quả 1.1.2, Hy k SB và Hy cắt SA tại I

Khi đó (P ) ∩ (SAB) = HI

Bài toán 2.12 [7] Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành.Gọi M là trung điểm của AB Kí hiệu (P ) là mặt phẳng qua M , songsong với BD và SA Xác định thiết diện cắt hình chóp bởi (P )

Lời giải Bước 1: Ta có

2.3.3 Thiết diện của đa diện với một mặt phẳng qua mộtđiểm cho trước và song song với một mặt của đa diện

Để tìm thiết diện của đa diện với mặt phẳng (P ) đi qua một điểmthuộc một cạnh của đa diện và song song với một mặt (Q) của đa diện,

ta thực hiện như sau:

• Bước 1: Gọi (R) là một mặt của đa diện có chứa điểm M Áp dụng

• Bước 2: Xác định giao tuyến với các mặt còn lại

• Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận

Bài toán 2.13 [13] Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang (AB k

CD, AB > CD) Gọi (P ) là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và songsong với mặt phẳng (SAD) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ).Lời giải Bước 1: Ta có

Bài toán 2.14 [13] Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuôngcạnh bằng a, tam giác SAB là tam giác đều Trên cạnh AD lấy điểm

M sao cho AM < AD Gọi (P ) là mặt phẳng qua M và song song với(SAB) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P )

Lời giải Bước 1:

2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M ,

N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC

a) Chứng minh rằng N G k (SCD)

b) Chứng minh rằng: GM k (SCD)

3 Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác ABD Gọi M làmột điểm trên cạnh BC sao cho M B = 2M C Chứng minh M G songsong với (ACD)

4 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Gọi M là trung điểm của BC.

Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi (P )

5 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a Gọi I là trung điểm của AC, J làmột điểm trên cạnh AD sao cho AJ = 2J D M là một điểm di độngtrong tam giác BCD sao cho mặt phẳng (M IJ ) luôn song song với AB.a) Tìm tập hợp điểm M

b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (M IJ )

a) Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (P )

b) Tính diện tích thiết diện theo a

đều cạnh a

b) Tìm tập hợp trung điểm của N P khi x thay đổi

của đáy (ABC), (P ) là mặt phẳng qua M và song song với các đường

3.1 CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

3.1.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cóthể sử dụng trực tiếp định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,hoặc áp dụng các tính chất, kết quả liên quan đến quan hệ vuông góc,

qua A và vuông góc với SC, (P ) lần lượt cắt SB, SC, SD tại H, I và

3.1.2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta có thể sửdụng trực tiếp định nghĩa đường thẳng vuông góc với đường thẳng, hoặc

áp dụng các tính chất, kết quả liên quan đến quan hệ vuông góc, cụ thểnhư sau:

Bài toán 3.3 [7] Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AB ⊥ CD

Từ (*) và (**) suy ra H là trực tâm 4BCD nên BC ⊥ DH

3.1.3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ta có thể sử dụngtrực tiếp định nghĩa mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng, hoặc áp dụngcác tính chất, kết quả liên quan đến quan hệ vuông góc, cụ thể như sau:

Bài toán 3.4 [3] Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi.Cạnh SA vuông góc với đáy Kí hiệu O là giao các đường chéo của hìnhthoi và H là hình chiếu vuông góc của O trên SC.

Chứng minh rằng nếu BD = 2OH thì (SBC) ⊥ (SDC)

Lời giải Ta có SA ⊥ (ABCD) suy ra SA ⊥ BD Mặt khác ABCD làhình thoi nên ta có BD ⊥ AC

Vậy góc giữa HB và HD vuông nên hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)

Bài toán 3.5 [14] Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (SAD) cùngvuông góc với (ABCD) Biết ABCD là hình vuông và SA = AD Gọi

M là trung điểm SC Chứng minh:

a) (SAC) ⊥ (SBD)

b) (SAD) ⊥ (SCD)

c) (SCD) ⊥ (ABM )