Phép biến đổi tích phân dạng hankel, hankel hữu hạn, mellin và ứng dụng

MỘT SỐ ỨNG DỤNG 31 2.1 Ứng dụng của phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo hàm riêng.. 31 2.2 Ứng dụng của phép biến đổi Hankel hữu hạn cho phương trình đạo hàm riêng.. 33 2.3 Ứng dụn

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

MAI THỊ NGUYÊN PHƯỢNG

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL,

HANKEL HỮU HẠN, MELLIN

VÀ ỨNG DỤNGChuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng, 5/2013

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 4

Lời nói đầu 5

Chương 1 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 7 1.1 Một số hàm đặc biệt và tính chất của nó 7

1.1.1 Hàm Gamma và tính chất của nó 7

1.1.2 Hàm Beta và tính chất của nó 8

1.1.3 Hàm Bessel và tính chất của nó 9

1.2 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel 11

1.2.1 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel và ví dụ 11

1.2.2 Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Hankel 13 1.3 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn 16

1.3.1 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn và ví dụ 16

1.3.2 Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn 18

1.4 Phép biến đổi tích phân dạng Mellin 21

1.4.1 Phép biến đổi tích phân dạng Mellin và ví dụ 21

1.4.2 Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Mellin 23 Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 31 2.1 Ứng dụng của phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo hàm riêng 31

2.2 Ứng dụng của phép biến đổi Hankel hữu hạn cho phương trình đạo hàm riêng 33

2.3 Ứng dụng của phép biến đổi Mellin cho phương trình đạo hàm riêng, tích phân và tổng chuỗi 36

2.4 Bài tập 41Kết luận 43Tài liệu tham khảo 44

Lời cảm ơn!

Em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Đức Tuấn, là thầy hướng dẫn,

đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình trong suốtquá trình em thực hiện đề tài của mình Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy

cô khoa Toán, trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng đã tạo điềukiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn cũng như sự tận tình củacác thầy cô đã dạy bảo em trong suốt 4 năm học qua Đồng thời em cũngxin gởi lời cảm ơn đến bạn bè cùng khóa đã giúp đỡ em trong quá trìnhthực hiện luận văn

Lời nói đầu

Nhiều vấn đề trong kỹ thuật đưa đến việc giải một phương trình vi phânthường, phương trình đạo hàm riêng hay phương trình tích phân Như việcnghiên cứu sự đổi dạng của chùm tia sáng vô hạn trong môi trường đànhồi dẫn đến việc giải một phương trình vi phân thường:

đó, việc sử dụng các phép biến đổi tích phân để giải các phương trình kểtrên ra đời rất sớm và liên tục phát triển cho đến tận ngày nay Có vaitrò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết này phải kể đến trước hết là phépbiến đổi tích phân Fourier, Fourier sin, Fourier cosin, Hartley, tiếp theo là

phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổitích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, Cùng với lý thuyết phép biếnđổi tích phân, lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân cũngxuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ XX Tuy nhiên, cho đến trước những năm

50 của thế kỉ trước, không có nhiều tích chập của các phép biến đổi tíchphân được xây dựng Cho đến khi các kết quả của Kachivev V.A (1967)

và Thao N.x (1998) công bố về phương pháp kiến thiết xây dựng tích chậpsuy rộng thì một loạt các tích chập suy rộng mới của các phép biến đổitích phân khác nhau ra đời Nội dung của luận văn, ngoài phần mở đầu,kết luận, tài liệu tham khảo, gồm có 2 chương:

Chương 1: Trình bày các phép biến đổi tích phân Hankel, Hankel hữu hạn,Mellin và một số tính chất cơ bản của các phép biến đổi

Chương 2: Đưa ra các ứng dụng của các phép biến đổi trong việc giải cácphương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng Đặc biệt ứng dụng củabiến đổi Mellin trong việc giải tổng chuỗi

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Mai Thị Nguyên Phượng

e−ttx−1dt, x > 0 (1.1)Tích phân (1.1) là dạng hội tụ với mọi x trong đoạn [a, b] trong đó 0 <

a ≤ b < ∞, do đó hàm Γ(x) là một hàm liên tục với mọi x > 0 Tíchphân từng phần (1.1) cho ta tính chất cơ bản của hàm Gamma:

Γ(x) = [−e−ttx−1]∞0 + (x − 1)

Z ∞ 0

exp(−u2)u2x−1du, x > 0 (1.4)

Ví dụ 1.1.1 Với x = 12, ta tìm được:

Γ(x) = 2

Z ∞ 0

exp(−u2)du = 2

√π



=

√π

Tương tự, chúng ta tính được các giá trị của Γ 52
, Γ 72
Γ 2n+12

Hàm Gamma cũng được định nghĩa bởi các giá trị âm của x có dạngnhư (1.2):



= Γ

−1 2

−3 2

= 43

√π

1.1.2 Hàm Beta và tính chất của nó

Hàm Beta biểu thị bởi B(x, y) được định nghĩa bởi một tích phân sau:

B(x, y) =

Z 1 0

tx−1(1 − t)y−1dt, x > 0, y > 0 (1.8)Hàm Beta là một hàm đối xứng:

Theo (1.8) và thay đổi biến 1 − t = u ta nhận được:

B(x, y) =

Z 1 0

ux−1(1 + u)−(x+y)du =

Z ∞ 0

uy−1(1 + u)−(x+y)du

Vài kết quả quan trọng được ghi nhận dưới đây thì không cần chứng minh:

Chuỗi này hội tụ với mọi x

Hàm Bessel y = Jv(x) thỏa mãn phương trình Bessel sau:

x2y00 + xy0 + (x2 − v2)y = 0 (1.11)Khi v không phải số thực dương và khác không, Jv(x) và J−v(x) là 2 hệđộc lập và nghiệm chung chung của phương trình Bessel là:

trong đó A và B là các hằng số tùy ý

Tuy nhiên khi v = n (với n là số thực dương và khác không), Jn(x) và

J−n(x) có mối quan hệ như sau:

x2

n+2r

x2



Jv−1(x) − Jv+1(x) = 2Jv0(x) (1.21)Tích phân hàm Bessel Jv(x) có dạng:

Jn(x) = 1

π

Z π 0

n(pa) − qJn(pa)Jn0(qa)] (1.24)

Và đây là các tích phân liên quan đến hàm Bessel áp dụng cho biến đổiHankel

1.2 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel

1.2.1 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel và ví dụ

Chúng ta giới thiệu định nghĩa biến đổi Hankel từ biến đổi Fourier vànghịch đảo trong không gian 2 chiều của nó như sau:

rdr

Z 2π 0

iZ ∞ 0

i

˜

Định nghĩa 1.2.1 (Phép biến đổi Hankel của hàmf (r)).f˜n(κ)được gọi

là biến đổi Hankel của f (r) được định nghĩa là:

Hn{f (r)} = ˜fn(κ) =

Z ∞ 0

rJn(κr)f (r)dr (1.33)Giả sử rằngf (x, y) = f (r, θ) = einθf (r) với (1.32) thì nghịch đảo biến đổiFourier (1.28) trở thành

einθf (r) = 1

2π

Z ∞ 0

κdκ

Z 2π 0

exp[iκr cos(θ − φ)]F (κ, φ)dφ

2π

Z ∞ 0

κ ˜fn(κ)dκ

Z 2π 0

Định nghĩa 1.2.2 Phép biến đổi Hankel ngược Nghịch đảo biến đổiHankel được xác định:

H−1 n

κJn(κr) ˜fn(κ)dκ (1.35)Định nghĩa 1.2.3 Công thức tích phân Hankel:

f (r) =

Z ∞ 0

κJn(κr)dκ

Z ∞ 0

pJn(κp)f (p)dp (1.36)Công thức này được sử dụng để xác định biến đổi Hankel và nghịch đảocủa nó

Ví dụ 1.2.1 Biến đổi Hankel bậc 0 của r−1exp(−ar) là

˜

f (κ) = H0{1

r exp (−ar)} =

Z ∞ 0

re−arJ1(κr)dr = q κ

(κ2 + a2)32

1.2.2 Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Hankel

rJn(κr)f (ar)dr = 1

a2

Z ∞ 0

rf (r)g(r)dr =

Z ∞ 0

κ ˜f (κ)dκ

Z ∞ 0

rJn(κr)g(r)dr

Hoán vị thứ tự phép lấy tích phân

=

Z ∞ 0

rg(r)dr

Z ∞ 0

κJn(κr) ˜f (κ)dκ =

Z ∞ 0

Chứng minh Theo định nghĩa ta có:

Hn{f0(r)} =

Z ∞ 0

rJn(κr)f0(r)dr,

tích phân từng phần ta được:

= [rf (r)Jn(κr)]∞0 −

Z ∞ 0

f (r)Jn(κr)dr − κ ˜fn−1(κ) (1.43)Tiếp theo, chúng ta sử dụng tiêu chuẩn về mối quan hệ giữa các hàm Besselsau:

 Z ∞ 0

rf (r){Jn−1(κr)+Jn+1(κr)}dr]

= − κ ˜fn−1(κ) + κ



n − 12n

h

˜

fn−1(κ) + ˜fn+1(κ)i

= κ2n

 h

(n − 1) ˜fn+1(κ) − (n + 1) ˜fn−1(κ)i

Đặc biệt, khi n = 1 thì (1.40) được thỏa mãn

Tương tự, áp dụng (1.39) ta có kết quả sau:

Chứng minh Theo định nghĩa (1.44) ta có:

Hn



1r

ddr



rdfdr

Jn(κr)



ddr



rdfdr



dr

−

Z ∞ 0

− κ

Z ∞ 0

n2

r2[rf (r)]Jn(κr)dr

= − κ2

Z ∞ 0

ddr



rdfdr



= H0



1r



1r

ddr



rdfdr

1.3 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn

1.3.1 Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn và ví dụ

Cũng như vấn đề về các khoảng hữu hạn −a < x < a dẫn đến chuỗiFourier, các vấn đề trên các khoảng hữu hạn 0 < r < a, trong đó r là tọa

độ hình trụ, dẫn đến các đại diện chuỗi Fourier-Bessel của hàm f (r) mà

có thể được ghi trong các định lý sau đây:

Định lý 1.3.1 Nếu f (r) được định nghĩa trong 0 ≤ r ≤ a và

˜

fn(ki) =

Z a 0

Jn0(aki) = Jn−1(aki) = −Jn+1(aki), (1.51)

đó là mối quan hệ tiêu chuẩn giữa Jn0(x), Jn−1(x) và Jn+1(x)

Chứng minh Chúng ta viết chính thức chuỗi Bessel mở rộng củaf (r) nhưsau:

k1, k2, của hàm Bessel Jn(aki)

Nhân (1.52) với rJn(aki), lấy tích phân cả hai vế từ 0 đến a, sau đó sửdụng tính chất trực giao của hàm Bessel,

Z a 0

rf (r)Jn(rki)dr = ci

Z a 0

rJn2(rki)dr = a

2

2 J

2 n+1(aki)

Thay các giá trị ci vào (1.52) ta được (1.50)

Định nghĩa 1.3.1 Phép biến đổi Hankel hữu hạn bậc n của một hàm

f (r) được kí hiệu là Hn{f (r)} = ˜fn(ki) và được xác định bởi

Hn{f (r)} = ˜fn(ki) =

Z a 0

Biến đổi Hankel hữu hạn bậc 0 và nghịch đảo của nó được xác định:

H0{f (r)} = ˜f0(ki) =

Z a 0

với điều kiện f (r) hữu hạn tại r = 0.

Khi n = 1, chúng ta có biến đổi Hankel hữu hạn của đạo hàm

Hn{f0(r)} =

Z a 0

rJn(kir)f0(r)dr,

tích phân từng phần ta được:

= [rf (r)Jn(kir)]a0 −

Z a 0

Hn{f0(r)} = (n − 1)

Z a 0

f (r)Jn(kir)dr − kif˜n−1(ki) (1.68)Tiếp theo, chúng ta sử dụng tiêu chuẩn về mối quan hệ giữa các hàm Besselsau:

 Z a 0

rf (r){Jn−1(kir)+Jn+1(kir)}dr]

= − kif˜n−1(ki) + ki



n − 12n

h

h

(n − 1) ˜fn+1(ki) − (n + 1) ˜fn−1(ki)

i

Đặc biệt, khi n = 1 thì (1.64) được thỏa mãn.

Tương tự, áp dụng (1.63) ta có kết quả sau:

Hn{f00(r)} =ki

2n [(n − 1)Hn+1{f0(r)} − (n + 1)Hn−1{f0(r)}] (1.70)

=k

2 i



rdfdr

Jn(kir)



ddr



rdfdr



dr

−

Z a 0

− ki

Z a 0

r2[rf (r)]Jn(kir)dr

= − akif (a)Jn0(aki) − ki2

Z a 0

1.4 Phép biến đổi tích phân dạng Mellin

1.4.1 Phép biến đổi tích phân dạng Mellin và ví dụ

Phép biến đổi Mellin và nghịch đảo của nó xuất phát từ phép biến đổiFourier phức tạp và nghịch đảo của Fourier Chúng được định nghĩa nhưsau:

Những thay đổi của các biến số exp(ξ) = x và ik = c − p, trong đó c làmột hằng số, trong kết quả (1.76) và (1.77) ta thu được

G(ip − ic) = √1

2π

Z ∞ 0

Bây giờ chúng ta viết √1

2πx−cg(log x) ≡ f (x) và G(ip − ic) ≡ ˜f (p) để xácđịnh biến đổi Mellin của f (x) và biến đổi Mellin ngược

Định nghĩa 1.4.1 Phép biến đổi Mellin và biến đổi Mellin ngược củahàm f (x) là:

M{f (x)} = ˜f (p) =

Z ∞ 0

Ví dụ 1.4.1 Nếu f (x) = e−nx trong đó n > 0 thì

M e−nx = ˜f (p) =

Z ∞ 0

Ví dụ 1.4.3 Biến đổi Mellin của hàmf (x) = cos(kx) và g(x) = sin(kx).

Γ(p)

kp cos

pπ2

M{f (ax)} =

Z ∞ 0

tp−1f (t)dt =

˜

f (p)

ap

Định lý 1.4.2 Nếu M{f (x)} = ˜f (p) thì:

M[xaf (x)] = ˜f (p + a) (1.89)Chứng minh Theo định nghĩa, chúng ta có:

M{xaf (x)} =

Z ∞ 0

xp−1xaf (x)dx

=

Z ∞ 0

tpa −1f (t)dt = 1

a

˜

f pa



=

Z ∞ 0

xp−11

xf



1x

đó là tích phân từng phần:

M[f0(x)] = [xp−1f (x)]∞0 − (p − 1)

Z ∞ 0

xpf0(x)dx

đó là tích phân từng phần:

= [xpf (x)]∞0 − p

Z ∞ 0

xp−1f (x)dx = −p ˜f (p)

Lập luận tương tự để chứng minh các kết quả (1.106) và (1.107)

Định lý 1.4.6 (Biến đổi Mellin của vi phân)

n

f (x)



= (−1)npnf (p).˜ (1.109)Chứng minh Theo định nghĩa, ta có:

M

"



x ddx

f (t)dt



= −1p

Chứng minh Chúng ta viết

F (x) =

Z x 0

f (t)dt,

để F0(x) = f (x) với F (0) = 0 Áp dụng (1.102) với F (x) định nghĩa là:

M{f (x) = F0(x), p} = −(p − 1)M

Z x 0

f (ξ)g(x

ξ)

dξξ

f (ξ)g(x

ξ)

dξξ



=

Z ∞ 0

xp−1dx

Z ∞ 0

f (ξ)g(x

ξ)

dξξ

=

Z ∞ 0

f (ξ)dξξ

Z ∞ 0

f (ξ)dξξ

Z ∞ 0

(ξη)p−1g(η)ξdη

=

Z ∞ 0

ξp−1f (ξ)dξ

Z ∞ 0

xp−1dx

Z ∞ 0

f (xξ)g(ξ)dξ, (vixξ = η),

=

Z ∞ 0

g(ξ)dξ

Z ∞ 0

Lưu ý rằng trong trường hợp này, các toán tử◦ không giao hoán Rõ ràng,đặt x = s,

M−1{ ˜f (1 − p)˜g(p)} =

Z ∞ 0

g(st)f (t)dt

Đặt g(t) = e−t và g(p) = Γ(p)˜ chúng ta có biến đổi Laplace của f (t):

M−1{ ˜f (1 − p)Γ(p)} =

Z ∞ 0

xp−1f (x)g(x)dx

2πi

Z ∞ 0

Khi p = 1 thì kết quả trên sẽ trở thành (1.118)

Định lý 1.4.10 (Biến đổi Mellin đối với tổng chuỗi)

trong đó ξ(p, a) là hàm Hurwitz zeta được định nghĩa bởi:

Đây là điều cần chứng minh

Tương tự, theo tính chất (1.88) của biến đổi Mellin ta được:

Z ∞ 0

Ta có phương trình đặc trưng của phương trình (2.5) có dạng:

l2 + c2k2 = 0,

với ∆ < 0 nên nghiệm tổng quát của (2.5) là:

˜u(κ, t) = c1cos(cκt) + c2sin(cκt), (2.7)

từ (2.6) và (2.7) suy ra c1 = ˜f (κ), c2 = (cκ)−1g(κ).˜

Do đó, nghiệm tổng quát của hệ biến đổi này là:

˜u(κ, t) = ˜f (κ) cos(cκt) + (cκ)−1˜g(κ) sin(cκt) (2.8)Nghịch đảo biến đổi Hankel thu được nghiệm là:

u(r, t) =

Z ∞ 0

κ ˜f (κ) cos(cκt)J0(κr)dκ + 1

c

Z ∞ 0

˜g(κ) sin(cκt)J0(κr)dκ

e−aκJ0(κr) cos(cκt)dκ

= AaRe

Z ∞ 0

exp[−κ(a + ict)]J0(κr)dκ

= AaRe{r2 + (a + ict)2}−1/2 (2.12)

Ví dụ 2.1.2 (Sự phân phối hằng nhiệt trong một cố thể nửa vô hạn vớinguồn nhiệt ổn định.)

Ta đi tìm nghiệm của phương trình Laplace cho sự phân phối nhiệt độ

u(r, z) với nguồn nhiệt ổn định và đối xứng Q0q(r) như sau:

urr + 1ur+ uzz = −Q0q(r), 0 < r < ∞, 0 < z < ∞, (2.13)

Nghịch đảo biến đổi Hankel ta được tích phân chính xác là:

u(r, z) = Q0

Z ∞ 0

˜q(κ)

κ2 (1 − e−κz)J0(κr)dκ (2.16)

2.2 Ứng dụng của phép biến đổi Hankel hữu hạn

cho phương trình đạo hàm riêng

Ví dụ 2.2.1 (Nhiệt độ phân bố trong một xi lanh trụ tròn dài) Tìmnghiệm của phương trình dẫn nhiệt đối xứng theo trục

Z a 0

rJ0(rki)u(r, t)dr, (2.20)

hệ biến đổi với điều kiện biên trên trở thành:

f (t) exp{−κki2(t − τ )}dτ (2.23)Biến đổi nghịch đảo cho ta kết quả dạng:

u(r, t) =



2κa

f (τ ) exp{−κki2(t − τ )}dτ (2.24)Đặc biệt, nếu f (t) = T0 = const,

u(r, t) =



2T0a

Ví dụ 2.2.2 (Lưu lượng chất lỏng không ổn định trong một xi lanh tròndài đang quay) Chuyển động đối xứng theo trục không ổn định của mộtchất lỏng sền sệt trong một xi lanh tròn dài vô hạn có bán kính được chiphối bởi

u(r, t) = 0, t = 0, 0 < r < a (2.29)

Chúng ta giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng kết nối giữa Laplace và biếnđổi hữu hạn Hankel bậc 1 được xác định bởi

˜u(ki, s) =

Z ∞ 0

e−stdt

Z a 0

rJ1(kir)u(r, t)dr, (2.30)(biến đổi Laplace của hàm f(t) với số thực t > 0, số phức có Res > 0 códạng: L{ ¯f (s)} = R0∞e−stf (t)dt,)

trong đóki là nghiệm dương của phương trình J1(aki) = 0 Ứng dụng củabiến đổi kết nối cho ta:

s˜u(k¯ i, s) = −νi2u(k˜ i, s) − νa

2ΩkiJ10(aki)s(s + νk2

Biến đổi Laplace ngược cho thấy:

˜u(ki, t) = −a

Trong giới hạn t → ∞, phân rã thành phần vận tốc nhất thời về không

và cuối cùng trạng thái lưu lượng ổn định đạt được ở dạng sau:

Theo quy luật tự nhiên, điều này thể hiện sự xoay vòng không đều củabản thân chất lỏng bên trong xi lanh.

2.3 Ứng dụng của phép biến đổi Mellin cho phương

trình đạo hàm riêng, tích phân và tổng chuỗi

Ví dụ 2.3.1 Chứa đựng cách giải quyết về bài toán có giá trị biên

Z ∞ 0

Z 1 0

xp−1dx = A

p.

Kết quả của hệ biến đổi là

˜u(p, y) = A

p

sin pysin p , 0 < Re(p) < 1.

Biến đổi Mellin ngược ở đây là

sin py

trong đó u(p, y)˜ là tích phân nằm trong miền thẳng 0 < Re(p) = c < π.Tích phân (2.39) có cực điểm đơn tại p = nπ, n = 1, 2, 3, nằm bêntrong một đường viền bán nguyệt trong một mặt phẳng nữa bên phải

Ví dụ 2.3.2 Thế vị trong một Wedge vô hạn Tìm các thế vị φ(r, θ) thỏamãn phương trình Laplace

r2φrr + rφr+ φθθ = 0, (2.40)trong một Wedge vô hạn 0 < r < ∞, −α < θ < α như hình (2.1)

Hình 2.1: Một wedge vô hạn

với điều kiện biên

φ(r, θ) → 0 khi r → ∞ với θ nằm trong − α < θ < α (2.43)

Chúng ta áp dụng biến đổi Mellin cho thế vị φ(r, θ) xác định bởi

M[φ(p, θ)] = ˜φ(p, θ) =

Z ∞ 0

˜

Kết quả chung của phương trình là

˜φ(p, θ) = A cos pθ + B sin pθ, (2.46)

trong đó Avà B là các hàm của pvà α Các điều kiện biên (2.45) xác định

sin 2pα + ˜g(p)

sin p(α − θ)sin 2pα



=



12α



rnsin nθ(1 + 2rncos nθ + r2n), (2.48)

trong đó n = 2απ hay 2α = πn Ứng dụng của biến đổi Mellin ngược đối với(2.47) là

φ(r, θ) = M−1nf (p)˜˜ h(p, α + θ)o+M−1ng(p)˜˜ h(p, α − θ)o,

theo tính chất tích chập (1.114):

φ(r, θ) = r

ncos nθ2α

Z ∞ 0

ξn−1f (ξ)dξ

ξ2n − 2(rξ)nsin nθ + r2n

ncos nθ2α

Z ∞ 0

cos pα = ˜f (p)˜h(p, θ), (2.50)

trong đó ˜h(p, θ) = cos pθ

cos pα = M{h(r, θ)}.Ứng dụng biến đổi Mellin ngược đối với (2.50) và kết hợp với tính chấttích chập (1.114) mang lại kết quả sau

φ(r, θ) =

Z ∞ 0



=



rnα

g(ξ)k(xξ)dξ, (2.55)

với h(x) = M−1n˜h(p)o tồn tại Như vậy, vấn đề được chính thức giải

quyết Đặc biệt, nếu ˜h(p) = ˜k(p) thì (2.55) trở thành

f (x) =

Z ∞ 0

với ˜k(p)˜k(1 − p) = 1, (theo 2.54).