Phương trình siêu mặt bậc hai trong không gian euclide n chiều

Dùng phép biến đổi tọa độ trực chuẩn để tìm phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai.. Đề tài nghiên cứu về phương trình siêu mặt bậc hai trong không gian Euclide n chiều với những ki

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

- -

HỒ THỊ SƠ NI

PHƯƠNG TRÌNH SIÊU MẶT BẬC HAI

TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE N CHIỀU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

I Lí do chọn đề tài 1

II Phạm vi nghiên cứu 1

III Mục đích nghiên cứu 2

PHẦN II: NỘI DUNG 3

Chương 1: Cơ sở lí luận 3

I Một số kiến thức liên quan trong không gian vectơ Euclide 3

1 Không gian Euclide n chiều 3

1.1 Không gian vectơ: 3

1.2 Tích vô hướng trong không gian vectơ 3

1.3 Không gian vectơ Euclide 4

1.4 Không gian Affine 4

1.5 Không gian Euclide 5

1.6 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn trong V E 6

2 Các kiến thức liên quan trong không gian vectơ n- chiều: 7

2.1 Cơ sở, số chiều của không gian vectơ hữu hạn chiều: 7

2.2 Tọa độ của một vec tơ đối với một cơ sở và mối liên hệ với các cơ sở khác nhau: 7

2.3 Chéo hóa ma trận, ma trận trực giao, trị riêng, vec tơ riêng, dạng toàn phương: 8 II Giới thiệu chung về siêu mặt bậc hai trong E n 8

1 Định nghĩa siêu mặt bậc hai: 8

2 Phương trình chính tắc, phương trình chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai 9

2.1 Giới thiệu ba dạng chính tắc của siêu mặt bậc hai 9

2.2 Đưa phương trình tổng quát của siêu mặt bậc hai về dạng chính tắc 9

3 Phương chính của siêu mặt bậc hai trong E n 12

3.1 Định nghĩa: 12

3.2 Tính chất: 12

4 Phân loại siêu mặt bậc hai 14

4.2 Mặt bậc hai 18

III Khảo sát siêu mặt bậc hai Euclide dựa vào các bất biến của hàm đa thức bậc hai 26

1 Lập phương trình thu gọn hoặc nhận dạng đường bậc hai dựa vào bất biến 26

2 Lập phương trình thu gọn hoặc nhận dạng mặt bậc hai dựa vào bất biến 28

IV Tìm hiểu ứng dụng của siêu mặt bậc hai 31

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ THỰC TIỄN 32

I Tìm phương trình chính tắc, phương trình chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong E n 32

1 Dùng phép biến đổi tọa độ trực chuẩn để tìm phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai 32

1.1 Đường bậc hai 32

1.2 Mặt bậc hai 39

2 Dựa vào bất biến để nhận dạng siêu mặt bậc hai 49

2.1 Nhận dạng các đường bậc hai sau đây trong E2 dựa vào bất biến: 49

2.2 Nhận dạng các mặt bậc hai sau đây bằng bất biến 53

PHẦN III: KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn cô giáo Đinh Thị Văn đã nhiệt tình hướng dẫn và gợi mở những ý tưởng giúp em hoàn thành khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn Phòng thư viện trường Đại Học Sư Phạm- Đại Học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em có dủ tài liệu tham khảo để hoàn thành tốt khóa luận này

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người luôn ủng hộ và giúp đỡ em trong thời gian làm khóa luận này

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Hình học là môn học tư duy, trừu tượng, luôn gây khó khăn cho học sinh, sinh viên Do vậy cần có nhiều thời gian nghiên cứu, học tập

Đa số sinh viên học đều tất cả các môn hoặc chú ý đến các môn có số đơn

vị học trình cao, các môn có sự gắn bó logic với nhau chứ không có đủ thời gian nghiên cứu sâu một vấn đề nào đó

Hình học cao cấp là một bộ phận của hình học, nó cũng mang tính trừu tượng và phức tạp, nhưng thời gian đưa vào chương trình học không nhiều chỉ

có 45 tiết Do vậy, sinh viên không thể nắm rõ cả môn học Đặc biệt hình học trong không gian Euclide chúng ta đã được làm quen trong chương trình Phổ Thông, lên Đại Học được gặp lại nên không thể không so sánh hoặc tìm hiểu thêm về nó Ví dụ: Chúng ta bắt gặp các định nghĩa, khái niệm về ba đường Conic ( hình học lớp 11),hình trụ, hình nón ( hình học 12)…và các khái niệm siêu mặt bậc hai trong hình học cao cấp Chúng ta phải tìm hiểu xem chúng có mối quan hệ như thế nào và có những hỗ trợ gì trong việc giải toán phổ thông…Chính vì những lí do trên mà em đã chọn đề tài: “ Phương trình siêu mặt bậc hai trong không gian Euclide n chiều” nhằm giải quyết những khó khăn gặp phải trong chương trình học, cũng như chuẩn bị kiến thức đầy đủ hơn để đứng trên bục giảng sau này

II Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu siêu mặt bậc hai trong không gian E2, E3, một

số kiến thức liên quan cho việc tìm hiểu và giải một số kiến thức liên quan đến siêu mặt bậc hai như sau:

1 Chứng minh một số tính chất cơ bản

2 Tìm phương trình chính tắc và mục tiêu chính tắc của siêu mặt bậc hai bằng phép biến đổi tọa độ trực chuẩn

3 Nhận dạng siêu mặt bậc hai dựa vào bất biến

4 Tìm hiểu ứng dụng của siêu mặt bậc hai

III Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về phương trình siêu mặt bậc hai trong không gian Euclide n chiều với những kiến thức đưa ra giúp cho học sinh Phổ thông nhận dạng và giải nhanh một số bài toán tìm quỹ tích, tìm thiết diện, các bài toán về

3 đường Conic, hình nón, hình trụ…Bên cạnh đó nghiên cứu về siêu mặt bậc hai còn giúp cho sinh viên Đại học làm tốt các bài tập về siêu mặt bậc hai trong Hình học cao cấp Ngoài ra còn giúp chúng ta giải các bài toán về tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt và tính được diện tích, thể tích được giới hạn bởi các mặt một cách chính xác

PHẦN II: NỘI DUNG

Chương 1: Cơ sở lí luận

I Một số kiến thức liên quan trong không gian vectơ Euclide

1 Không gian Euclide n chiều

1.1 Không gian vectơ:

Xét tập V   mà mỗi phần tử ta qui ước gọi là một vectơ và trường số thực

¡ Với x y z V, ,  và k l,  ¡ tập V được gọi là một không gian vectơ trên trường ¡ thỏa mãn:

Phần tử 0 gọi là phần tử trung hòa của phép +

(5) Với mỗi v V tồn tại vectơ  x V sao cho:

1.2 Tích vô hướng trong không gian vectơ

Cho V là một không gian vectơ tùy ý Ánh xạ:

T: V V  ¡

 r ur r ur

Gọi là một tích vô hướng nếu thõa mãn bốn điều kiện sau:

1.3 Không gian vectơ Euclide

Không gian vectơ V nào đó xác định một tích vô hướng gọi là không gian vectơ Euclide Kí hiệu: V E

dim V  n dim V E n gọi là không gian vectơ Euclide n- chiều

1.4 Không gian Affine

Cho V là một không gian vectơ trên trường K, A  Các phần tử của A gọi

là điểm Kí hiệu: M, N, X, P… Giả sử mỗi cặp điểm có thứ tự M N,   A A

ta đặt tương ứng với mỗi vectơ v V Kí hiệu: 

V được gọi là không gian nền của A

* Các tính chất của không gian affine:

A V, ,  là không gian affine

a  M A thì MMuuuur   0r V

Chứng minh:

Thật vậy, với M M P, , A thì theo tiên đề ii ta có:

Theo tiên đề ii ta có: MNuuuurNMuuuurMMuuuur  0r MNuuuur NMuuuur

d Nếu MNuuuurPQuuur thì MPuuurNQuuur

uuuuruuuruuuur

1.5 Không gian Euclide

Không gian affine liên kết với không gian vectơ Euclide gọi là không gian Euclide Kí hiệu: E

:E E V E

   thỏa mãn hai điều kiện:



i  M E v V,r E, !  N E:M N, vr

dim V E  n dim E n

Ta gọi E là không gian Euclide n- chiều Kí hiệu: E n

Ví dụ:

* Mặt phẳng là không gian Euclide 2 chiều Kí hiệu: E2

* Không gian ba chiều OXYZ là không gian Euclide ba chiều Kí hiệu: E3, với tích vô hướng: a br r  a b cr r os a br r,

- Không gian E n có các tính chất của không gian A n

1.6 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn trong V E

e euur uur1 2, , ,enuur là hệ trực chuẩn thì: , 1 êu.i=j

2 Các kiến thức liên quan trong không gian vectơ n- chiều:

2.1 Cơ sở, số chiều của không gian vectơ hữu hạn chiều:

- Trong không gian hữu hạn chiều V mọi họ gồm n vectơ độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của V

- Xét họ S u u1 2, , ,u pV Số tối đa các vectơ độc lập tuyến tính có thể rút

ra từ S gọi là hạng của họ S và kí hiệu là r S 

- V là một vectơ, S u u1 2, , ,u pV thì W=span S  là một không gian con của V có số chiều bằng hạng r của S và mọi họ r vectơ độc lập tuyến tính rút

n gọi là các tọa độ của v đối với cơ sở S

Vectơ  v sc c1 2, , ,cn là một vectơ trong ¡ n và được gọi là vectơ tọa độ của v đối với S Vectơ  v s viết ở dạng cột dẫn đến ma trận:

 

1 2

c c

2.3 Chéo hóa ma trận, ma trận trực giao, trị riêng, vec tơ riêng, dạng toàn phương:

- Giả sử A là một ma trận vuông cấp n, số  gọi là trị riêng của A nếu phương trình:

n Ax= x,x   ¡ có nghiệm xx x1 2, , ,xn0,0, ,0

Vectơ x 0 gọi là vectơ riêng ứng với trị riêng 

- Cho ma trận vuông A Nếu tồn tại một ma trận khả đảo P sao cho P AP t là

ma trận chéo thì nói ma trận A chéo hóa được và nói ma trận P làm chéo hóa

ma trận A

- Ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu A A t  1

- Biểu thức của dạng toàn phương trong cơ sở S chỉ chứa các số hạng bình phương: 2 2 2

1 1 2 2

n n

   gọi là dạng chính tắc của nó trong cơ sở S

II Giới thiệu chung về siêu mặt bậc hai trong E n

1 Định nghĩa siêu mặt bậc hai:

Tập hợp các điểm M x x 1 2, , ,x nE n có tọa độ đối với cơ sở trực chuẩn thỏa mãn: Ax+2 a  0

0

t t

2 Phương trình chính tắc, phương trình chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai 2.1 Giới thiệu ba dạng chính tắc của siêu mặt bậc hai

Siêu mặt bậc hai có một trong ba dạng chính tắc sau:

1

r x

i i i

i i i

'

x x x xn

' 1 0 0

i n

i  i  i 1,r

'' 1

r

b X i i mX

r i

i j với i j

 Từ (2) suy ra (3) ta dùng phép tịnh tiến mục tiêu nên kết quả ta vẫn được một mục tiêu trực chuẩn

Tính chất:

Mỗi siêu mặt bậc hai trong không gian Euclide có ít nhất một phương trình chính tắc Hai phương trình chính tắc của cùng một siêu mặt bậc hai trong không gian Euclide là giống nhau

3 Phương chính của siêu mặt bậc hai trong E n

Thật vậy, vectơ cr là phương chính của siêu mặt bậc hai khi và chỉ khi

   

A c   c        c*A c   c* c

Do cr  0 nên    c* c 0

Vậy    c*A c   0  0

Vectơ cr  0 gọi là phương tiệm cận của (S) nếu    c*A c 0

o Siêu phẳng kính liên hợp với phương chính cr thì có phương vuông góc với cr

Chứng minh:

Thật vậy, nếu cr không phải là phương tiệm cận của (S) nghĩa là    c*A c 0

thì siêu phẳng kính liên hợp với phương cr có phương trình:

       c*A c  a* c 0

Vì cr là phương chính của (S) nên A c     c

Do đó, cr là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng kính có phương trình trên

o Siêu phẳng kính chính: siêu phẳng kính liên hợp với một phương chính gọi là siêu phẳng kính chính

Tính chất:

Nếu   là siêu phẳng kính chính của (S) liên hợp với phương vr thì urvr

Suy ra phép đối xứng trực giao qua biến (S) thành (S’)

n Hay các vectơ e euur uur1 2, , ,enuur là những phương chính của (S)

4 Phân loại siêu mặt bậc hai

 Hyperbol nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng

 Cặp đường thẳng song song

o 2 1

2

x a

  Cặp đường thẳng ảo song song

o 2 0

2

x a

 Cặp đường thẳng trùng nhau

Trong 9 loại đường bậc hai nêu trên ta chú ý đến 3 đường Conic đã được học ở chương trình phổ thông Sau đây là các định nghĩa liên quan:

+ Parabol là quỹ tích những điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cố định F và một đường thẳng cố định D( không qua F)

 Mặt Elipxôit có được bằng cách thực hiện phép co mọi điểm của

Elipxôit tròn xoay trục quay Ox: 2 2 2 1

một vòng xung quanh trục ảo Oy)

 Mặt Hypebôlôit một tầng nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, các mặt phẳng tọa độ làm mặt phẳng đối xứng Giao tuyến của mặt Hypebôlôit

một tầng với các mặt phẳng tọa độ là các đường Elip, Hyperbol tương ứng

 Mặt Hypebôlôit hai tầng có được bằng cách thực hiện phép co thích

hợp mặt Hypebôlôit tròn xoay hai tầng: 2 2 2 1

   (Quay

Hyperbol một vòng xung quanh trục thực Ox)

 Mặt Hypebôlôit hai tầng nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, các mặt phẳng tọa độ làm mặt phẳng đối xứng giao tuyến của mặt Hypebôlôit hai tầng với các mặt phẳng tọa độ là các đường Hyperbol, đường Elip

quay một vòng xung quanh trục Ox

tạo nên) về mặt phẳng Oxy.Mặt nón bậc hai nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, giao tuyến của mặt nón bậc hai với các mặt phẳng tọa độ là các cặp đường thẳng thực hoặc ảo cắt nhau

Hình 2.5: Mặt Parabôlôit Eliptic

 Mặt Parabôlôit Elliptic có được bằng cách thực hiện phép co thích

hợp mặt Parabôlôit tròn xoay: y2 z2 2px ( Quay Parabol 2 2

0

y px z

 







quanh trục đối xứng của nó là trục Ox) về mặt phẳng Oxy với

phương trình của phép co sau:

X x

Y y b

Hình 2.6: Mặt Parabôlôit Hypebôlôit

 Mặt Parabôlôit Hypebôlôit có được bằng cách lấy hai Parabol

2 2 2 0

y a x z

 (II) giữ cố định Parabol (I) tịnh tiến

Parabol (II) sao cho đỉnh của nó chạy trên Parabol (I), mặt phẳng chứa Parabol (II) luôn song song với mặt phẳng Oxz và trục của Parabol (II) luôn song song với trục Ox Người ta chứng minh được mặt tạo thành là mặt Parabôlôit Hypebôlôit

 Giao tuyến của mặt Parabôlôit Hypebôlôit với các mặt phẳng tọa

độ là các Parabol tương ứng và cặp đường thẳng cắt nhau

o 1X2 0  Mặt trụ Eliptic

 Mặt trụ Eliptic được tạo nên bằng cách: Trong mặt phẳng Oxy lấy

luôn luôn song song với trục Oz và dựa lên Elip.Người ta gọi Elip

là đường chuẩn của mặt trụ

 Giao tuyến của mặt trụ Eliptic với các mặt phẳng tọa độ là đường Elip và các cặp đường thẳng song song

động luôn luôn song song với trục Oz và dựa lên Hyperbol Người

ta gọi Hyperbol là đường chuẩn của mặt trụ

 Giao tuyến của mặt trụ Hypebôlôit với các mặt phẳng tọa độ là đường Hyperbol và các cặp đường thẳng song song

o x2  2py Mặt trụ Parabôlôit

Hình 2.9: Mặt trụ Parabôlôit

 Mặt trụ Parabôlôit được tạo nên bằng cách: Trong mặt phẳng Oxy lấy Parabol có phương trình y2 2px và một đường thẳng l di động luôn luôn song song với trục Oz và dựa lên Parabol Người ta gọi Parabol là đường chuẩn của mặt trụ

 Giao tuyến của mặt trụ Parabôlôit với các mặt phẳng tọa độ là đường Parabol và các cặp đường thẳng trùng nhau

o x2a2 0 Cặp mặt phẳng song song

 Có thể xem cặp mặt phẳng song song là mặt trụ bậc hai có đường chuẩn là cặp đường thẳng song song nhau Giao tuyến của cặp mặt phẳng song song nhau và các mặt phẳng tọa độ là các cặp đường thẳng song song, cặp đường thẳng trùng nhau

o x2 0 hay y2 0 hay z2 0 Cặp mặt phẳng trùng nhau

 Có thể xem cặp mặt phẳng trùng nhau là mặt trụ bậc hai có đường chuẩn là cặp đường thẳng trùng nhau Giao tuyến của cặp mặt phẳng trùng nhau và các mặt phẳng tọa độ là các cặp đường thẳng trùng nhau

III Khảo sát siêu mặt bậc hai Euclide dựa vào các bất biến của hàm đa

  

+ Cặp đường thẳng song song nếu 0

Khi đó (S) là cặp đường thẳng trùng nhau

2 Lập phương trình thu gọn hoặc nhận dạng mặt bậc hai dựa vào bất biến

Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn cho mặt bậc hai (S) có phương trình:

2 2 2 0

1X 2Y 3Z

      Khi đó, (S) là một mặt nón thực hoặc mặt nón ảo Cụ thể: