Phương pháp xây dựng đồ thị hàm số trong chương trình trung học phổ thông

Tính cấp thiết của đề tài Trong chương trình Toán ở cấp Trung học phổ thôngTHPT, các bàitoán xây dựng đồ thị của một hàm số luôn là một chủ đề thú vị và hấpdẫn.. Ngoài phương pháp kinh đ

TỐNG THIÊN LONG

PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐTRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học :

TS LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng - Năm 2014

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Tống Thiên Long

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Bố cục đề tài 1

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ 3

1.1.1 Các tập hợp số 3

1.1.2 Ánh xạ 4

1.1.3 Hàm số một biến thực 6

1.2 HỆ TỌA ĐỘ 9

1.2.1 Hệ tọa độ Descartes 9

1.2.2 Hệ tọa độ cực 11

1.3 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 16

2.1 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ CỦA CÁC HÀM ĐA THỨC CƠ BẢN 16 2.1.1 Hàm đa thức bậc nhất 16

2.1.2 Hàm đa thức bậc hai 17

2.1.3 Hàm đa thức bậc ba 18

2.2 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ 26

2.2.1 Hàm số hữu tỷ bậc nhất trên bậc nhất 26

2.2.2 Hàm số hữu tỷ bậc hai trên bậc nhất 28

2.2.3 Đồ thị hàm phân thức y = Pn(x) Qm(x), Qm(x) 6= 0 30

2.3 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 33 2.3.1 Hàm số mũ 33

2.3.2 Hàm số Logarit 34

2.4 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 36 2.4.1 Đồ thị hàm số y = sin x 36

2.4.2 Đồ thị hàm số y = cos x 36

2.4.3 Đồ thị hàm số y = tan x 37

2.4.4 Đồ thị hàm số y = cot x 38

2.5 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM GIẢI TÍCH CÓ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 39

2.5.1 Đồ thị hàm số y = |f(x)| 39

2.5.2 Đồ thị hàm số y = f (|x|) 41

2.5.3 Đồ thị hàm số y = |f(|x|)| 42

2.5.4 Đường biểu diễn đường cong |y| = f(x) 43

2.6 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ NGƯỢC 45

2.7 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ PHỨC TẠP 46

2.7.1 Đồ thị hàm số y = f (x) ± g(x) 46

2.7.2 Đồ thị hàm số y = f (x).g(x) 49

2.7.3 Đồ thị hàm số y = f (x) g(x), g(x) 6= 0 51

2.8.1 Đồ thị hàm số y = −f(x) 54

2.8.2 Đồ thị hàm số y = f (−x) 55

2.8.3 Đồ thị hàm số y = −f(−x) 55

2.8.4 Đồ thị hàm số y = f (x) + b 56

2.8.5 Đồ thị hàm số y = f (x + a) 57

2.8.6 Đồ thị hàm số y = f (x + a) + b 58

2.8.7 Đồ thị hàm số y = p.f (x), p > 0, p 6= 1 59

2.8.8 Đồ thị hàm số y = f (kx), k > 0, k 6= 1 61

2.9 BÀI TẬP ÁP DỤNG 62

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCH-PAD (GSP) TRONG VIỆC XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ 75

3.1 GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) 75

3.1.1 Giao diện phần mềm GSP 76

3.1.2 Các công cụ cơ bản 76

3.1.3 Menu chính 78

3.2 ĐỒ THỊ TRONG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) 79 3.2.1 Hệ trục tọa độ trong GSP 79

3.2.2 Vẽ đồ thị hàm số trong GSP 80

3.2.3 Đạo hàm và tiếp tuyến đường cong trong GSP 82

3.3 ỨNG DỤNG BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) 85

KẾT LUẬN 97

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong chương trình Toán ở cấp Trung học phổ thông(THPT), các bàitoán xây dựng đồ thị của một hàm số luôn là một chủ đề thú vị và hấpdẫn Ngoài phương pháp kinh điển là dựa vào đạo hàm để từ đó xây dựngđược đồ thị của hàm số, thì ta còn có thể xây dựng được đồ thị của chúngthông qua các tính chất cơ bản và đặc thù của hàm số nhằm tạo một nétmới, và cũng là giới thiệu thêm một phương pháp xây dựng đồ thị củahàm số, để giúp cho giáo viên và học sinh ở cấp THPT có thêm một cáchnhìn nhận và lựa chọn trong việc tiếp cận với việc xây dựng đồ thị chohàm số Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, thầy giáo – TS Lê HảiTrung, tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp xây dựng đồ thị hàm sốtrong chương trình Trung học phổ thông” cho luận văn thạc sĩ củamình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất của hàm số, để từ đóxây dựng phương pháp vẽ đồ thị của chúng, đồng thời ứng dụng phần mềmGeometer’s Sketchpad (GSP) để vẽ đồ thị

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp xây dựng đồ thị các hàm số một biến cơbản và các hàm số phức tạp trong chương trình THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnh vực sauđây: Giải tích, Đại số,

5 Bố cục đề tài

Luận văn có cấu trúc như sau:

- Chương 1: Kiến thức cơ sở

- Chương 2: Xây dựng đồ thị của một số hàm số trong chương

trình Trung học phổ thông

- Chương 3: Ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP)trong việc xây dựng đồ thị của hàm số

- Kết luận và Tài liệu tham khảo

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

• Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản tronghình học ở bậc PTTH

• Hệ thống lại một cách hoàn chỉnh các phương pháp sơ cấp và phươngpháp toạ độ để giải các bài toán liên quan đến phép nghịch đảo

• Phát huy tính tự học, tư duy và sáng tạo của học sinh

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ

1.1.1 Các tập hợp số

Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp số tự nhiên là tập hợp bao gồm các số

0, 1, 2, 3, 4, 5, Ký hiệu: N Ta viết như sau:

Định nghĩa 1.1.5 Tập hợp các số thực là tập hợp bao gồm các số hữu

tỉ và các số vô tỉ (số vô tỉ là số biểu diễn bởi số thập phân vô hạn khôngtuần hoàn) Ký hiệu : R

Quan hệ giữa các tập hợp số: N∗ ⊂ N ⊂ Z ⊂Q ⊂R

1

Định lý 1.1.1 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [4].

1.1.2 Ánh xạ

Định nghĩa 1.1.6 Cho hai tập hợp X, Y Một ánh xạ f từ X đến Y làmột quy tắc cho ứng với mỗi x ∈ X một và chỉ một phần tử y ∈ Y, kýhiệu là:

Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ: f : X −→ Y là một toàn ánh nếu ảnh của

X là toàn bộ tập hợp Y Khi đó, người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên

Y, và viết là: f (X) = Y Hay ∀(y ∈ Y )∃(x ∈ X)[f(x) = y]

Định nghĩa 1.1.11 Cho ánh xạf : X −→ Y, nếu có ánh xạg : Y −→ Xsao cho

Định nghĩa 1.1.14 Tập giá trị của hàm số là tập hợp các giá trị của hàm

số tại mọi điểm x ∈ X Ký hiệu là E = {f(x)|x ∈ X} hoặc E = f (X).Định nghĩa 1.1.15 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b)

• (y = f(x) − đồng biến trên (a; b)) ⇋ ∀(x1, x2 ∈ (a; b) : (x2 >

Hình 1.5: Bảng biến thiên.

Định nghĩa 1.1.16 Cho hàm số y = f (x) xác định trên X

• (y = f(x) − hàm chẵn trên X) ⇋ ∀(x, −x ∈ X)[f(−x) = f(x)]

• (y = f(x) − hàm lẻ trên X) ⇋ ∀(x, −x ∈ X)[f(−x) = −f(x)].Định nghĩa 1.1.17 Hàm số f (x) gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại

Định nghĩa 1.1.19 Giả sử hàm số y = f (x) đơn điệu tăng (giảm) trên

D và miền giá trị E Hàm số ngược của f là:

f−1 : E −→ D

y 7−→ x = f−1(y) ⇔ y = f(x),

ký hiệu là y = f−1(x)

Định nghĩa 1.1.20 Giả sử hàm số f xác định trên tập hợpD và x0 ∈ D

1 Điểm x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại mộtkhoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và

f (x) < f (x0) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0}.Khi đó f (x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f

2 Điểm x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại mộtkhoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và

f (x) > f (x0) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0}.Khi đó f (x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Định nghĩa 1.1.21 Giả sử hàm f xác định trên tập hợp D

1 Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho

f (x) ≤ f(x0) với mọi x ∈ Dthì số M = f (x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kýhiệu là M = max

x ∈D f (x)

2 Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho

f (x) ≥ f(x0) với mọi x ∈ Dthì số m = f (x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, kýhiệu là m = min

x ∈D f (x).1.2 HỆ TỌA ĐỘ

1.2.1 Hệ tọa độ Descartes

Hệ tọa độ Descartes là hệ trục gồm 2 trục tọa độ vuông góc x′Ox và

y′Oy mà trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị −→i ,−→j sao cho độ dài của 2 vectơnày bằng nhau

Gốc tọa độ là điểm O(0; 0) Trục x′Ox gọi là trục hoành Trục y′Oy

gọi là trục tung

Hệ tọa độ Descartes có bốn góc phần tư Các mũi tên ở hai đầu mỗitrục nhằm minh họa rằng các trục này trải dài vô tận theo hướng các mũitên

Hình 1.6: Hệ tọa độ Descartes.

A Phép tịnh tiến hệ tọa độ

Giả sử I là một điểm của mặt phẳng và (x0; y0) là tọa độ của điểm I

đối với hệ tọa độ Oxy Gọi IXY là hệ tọa độ mới có gốc là điểm I và

hai trục IX, IY theo thứ tự có cùng các vectơ đơn vị −→i ,−→j với hai trục

Ox, Oy

Giả sử M là một điểm bất kỳ của mặt phẳng Gọi (x; y) là tọa độ củađiểm M đối với hệ tọa độ Oxy và (X; Y ) là tọa độ của điểm M đối với hệtọa độ IXY

B Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ mới

Giả sử (C) là đồ thị của hàm số y = f (x) đối với hệ tọa độ Oxy đãcho Khi đó phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ Oxy là

y = f (x) Ta sẽ viết phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY

Giả sử M là một điểm bất kỳ của mặt phẳng, (x, y) và (X; Y ) là tọa

độ của điểm M, theo thứ tự, đối với hệ tọa độ Oxy và IXY

Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều Trong đó, mỗi điểm trên mộtmặt phẳng được biểu diễn bằng một góc và một khoảng cách.

Tọa độ cực của điểm M trên mặt phẳng là cặp số (r, θ) được xác địnhnhư sau:

• r ≥ 0 là khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O (gốc cực)

Hình 1.9: Mối liên hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độ Descartes.

1.3 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên X

Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M (x; y) trong mặt phẳngtọa độ Descartes vuông góc hoặc tọa độ cực Ký hiệu:

(C) = {(x; y)|x ∈ X, y = f(x)}

Công thức y = f (x) được gọi là phương trình của đồ thị

Nhận xét 1.3.1 3Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C):

1 Nếu f (x) là hàm số chẵn thì đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy Khi

đó trục Oy được gọi là trục đối xứng của đồ thị hàm số

2 Nếuf (x) là hàm số lẻ thì đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ O Khi

đó gốc O được gọi là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Nhận xét 1.3.2 4Đường thẳng x = a được gọi là trục đối xứng của đồthị y = f (x) ⇔ với phép biến đổi tọa độ:

Nhận xét 1.3.3 5Điểm I(a; b) được gọi là tâm đối xứng của đồ thị

y = f (x) ⇔ với phép biến đổi tọa độ:

Định nghĩa 1.3.2 6Hàm số y = f (x) được gọi là có điểm uốn tại điểm

M nằm trên đường cong có hoành độ x0 nếu nó thỏa mãn đồng thời haiđiều kiện:

i) f′′(x0) = 0;

ii) f′′(x) đổi dấu khi qua điểm M (x0; y0)

Chú ý 1.3.1 Điều kiện f ”(x0) = 0 chỉ là điều kiện cần để tồn tại điểmuốn có hoành độ x0

Ví dụ 1.3.1 Cho hàm số y = x4 Khi đó y′′ = 12x2

Mặc dù y′′(0) = 0 nhưng do y′′ ≥ 0, ∀x ∈ R

Suy ra đồ thị hàm số y = x4 không có điểm uốn

Định nghĩa 1.3.3 Cho đường cong (C) : y = f (x) và đường thẳng (D).Lấy điểm M bất kỳ thuộc (C) GọiH là hình chiếu vuông góc của M trên

Hình 1.11: Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.

Nhận xét 1.3.6 8Cho hàm phân thức y = f (x) = u(x)

v(x), ta có các nhậnxét:

1 Hàm phân thức có tiệm cận ngang nếu như deg u(x) = deg v(x) Khi

đó đường thằng y = a là tiệm cận ngang của hàm phân thức nếu:

lim

x →∞

u(x)v(x) = a

2 Hàm phân thức có tiệm cận đứng nếu như v(x) có nghiệm.

Giả sử x1, x2, x3, , xn là các nghiệm của v(x) Khi đó hàm phân thức

có k tiệm cận đứng x = xk, k = 1, 2, 3, , n bởi vì:

lim

x →x k

u(x)v(x) = ∞, với mọi k = 1, 2, 3, , n

3 Hàm phân thức có tiệm cận xiên nếu như deg u(x) = deg v(x) + 1 Khi

đó, ta có đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của hàm phân thứcvới:

a = lim

x →∞

u(x)v(x);

b = lim

x →∞



u(x)v(x) − ax



Hình 2.1

2a; +∞



• Nếu a < 0 thì hàm số đồng

biến trên khoảng −∞; − b

2a

vànghịch biến trên khoảng− b

2a; +∞



•Với a > 0: Parabol quay bề lõm lên trên (Hình 2.2a)

•Với a < 0: Parabol quay bề lõm lên trên (Hình 2.2b)

Hàm số đạt cực trị bằng −∆

4a khi x = − b

2a

C Một số tính chất của hàm đa thức bậc hai:

Tính chất 1 Hàm số luôn có hai miền đơn điệu khác nhau là

2a làm trục đối xứng

Chứng minh Thật vậy, bằng phép tịnh tiến về gốc I



− b2a; −∆

4a

,với công thức:

- Nếu (2.1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có hai cực trị.

- Nếu (2.1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đơn điệu trênmiền xác định

• Đạo hàm cấp hai: y′′ = 6ax + 2b,

•Trường hợp 1 : Khi a > 0 và ∆′ ≤ 0 thì hàm số đồng biến trên R

Bảng 2.3a

•Trường hợp 2 : Khi a > 0 và ∆′ > 0 thì hàm số có cực đại và cực tiểu

Bảng 2.3b

•Trường hợp 3 : Khi a < 0 và ∆′ ≤ 0 thì hàm số nghịch biến trên R.

Với a < 0 và ∆′ ≤ 0 Với a < 0 và ∆′ > 0

C Một số tính chất của hàm đa thức bậc ba:

Tính chất 1 Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi a > 0 và ∆′ ≤ 0.Tính chất 2 Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi a < 0 và ∆′ ≤ 0.Tính chất 3 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi b2 − 3ac > 0.Giả sử hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại x1, x2 Khi đó,thực hiện phép chia đa thức y cho y′ ta được: y = y′.h(x) + Ax + B

a < 0 trong các tiếp tuyến của đồ thị.

Chứng minh Thật vậy, do y′ = 3ax2 + 2bx + c nên hệ số góc k củatiếp tuyến tại x = x0 là:

k = y′(x0) = 3ax20 + 2bx0 + c = 3a



x0 + b3a



= 0

− b3a; 0

nằm trên trục hoành

2.1.4 Hàm trùng phương

Với hàm số y = ax4 + bx2 + c, a 6= 0, ta lần lượt có:

Tập xác định là R

A Cực trị và chiều biến thiên:

• Đạo hàm cấp một: y′ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

Phương trình y′ = 0 hoặc có một nghiệm (a.b ≥ 0), hoặc có ba nghiệmphân biệt Do đó, hàm số hoặc chỉ có một cực trị hoặc có ba cực trị

• Đạo hàm cấp hai: y′′ = 12ax2 + 2b

Do đó, hàm số hoặc có hai điểm uốn hoặc không có điểm uốn

•Trường hợp 1 : a > 0 và ab > 0

Bảng 2.4a

có hai nghiệm phân biệt  b

2a ≥ 0

.Tính chất 7 Đồ thị hàm trùng phương nhận trục tung làm trục đốixứng

1

Nội dung này được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [2].

Tính chất 8 Phương trình trùng phương:

Đặt t = x2 với t ≥ 0, phương trình (2.5) có dạng:

• Nếu (2.6) có nghiệm t0 ≥ 0 thì (2.5) có nghiệm x = ±√t0

• (2.5) có nghiệm duy nhất ⇔(2.6) có nghiệm t1 ≤ 0 = t2

• (2.5) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (2.6) có nghiệm t1 < 0 < t2 hoặc

0 < t1 = t2

• (2.5) có ba nghiệm phân biệt ⇔ (2.6) có nghiệm 0 = t1 < t2

• (2.5) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ (2.6) có nghiệm 0 < t1 < t2

• (2.5) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔ (2.6) cónghiệm 0 = t1 < t2 và t2 = 9t1

2.2 XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ



A Tiệm cận và chiều biến thiên

Đạo hàm: y′ = ad − bc

cx + d

- Nếu M = ad − bc > 0 thì hàm số đồng biến trên miền xác định

- Nếu M = ad − bc < 0 thì hàm số nghịch biến trên miền xác định

2.2.2 Hàm số hữu tỷ bậc hai trên bậc nhất

Vậy phương trình y′ = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt

Do đó hàm số hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị

• Với a > 0 và phương trình y′ = 0 vô nghiệm:

C Một số tính chất của hàm hữu tỷ bậc hai trên bậc nhất:2

Tính chất 2 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình

y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −e

d.Khi đó:

• Giá trị cực trị của hàm số tại x0 là y(x0) = 2ax0 + b

• Phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm

số có dạng y = 1

d(2ax + b).Tính chất 3 Hàm số có hai cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình

y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác−e

d và phương trình ax2+ bx + c = 0

vô nghiệm

Tính chất 4 Hàm số có hai cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình

y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác−e

d và phương trình ax2+ bx + c = 0

có hai nghiệm phân biệt

Tính chất 5 Đồ thị hàm số nhận giao điểm I của hai đường tiệm cậnlàm tâm đối xứng

Chứng minh Thật vậy, dời trục bằng cách tịnh tiến về gốc I(x0; y0),với công thức dời trục là:

Thay x, y vào phương trình hàm số ta được Y = F (X)

Hàm số này là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng

Tập xác định của hàm phân thức là tập hợp tất cả các số thực trừ cácnghiệm (nếu có) của Qm(x).

Để xây dựng đồ thị hàm phân thức y = Pn(x)

Qm(x), Qm(x) 6= 0, ta cần xemxét các vấn đề sau:

Qm(x)

• Giao điểm của đồ thị hàm phân thức với trục hoành

Giao điểm của đồ thị hàm phân thức với trục hoành (nếu có) là điểm

có tọa độ (x0; 0) với x0 là nghiệm của Pn(x)

• Xét giá trị của hàm đa thức trên các khoảng

Khi vẽ đồ thị hàm phân thức, trước tiên ta đánh dấu các tiệm cận đứng,giao điểm của đồ thị với trục hoành Sau đó chọn một số c ∈ R bất kỳnằm giữa các điểm đã đánh dấu trên trục hoành Khi đó, ta xem xét giátrị của hàm phân thức là dương hay âm tại điểm x = c Nếu hàm phânthức đạt giá trị dương thì đánh một dấu trên trục hoành Nếu hàm phânthức đạt giá trị âm thì đánh một dấu dưới trục hoành

• Xét phần bên trái và bên phải ở vô cực của đồ thị

Cho axn, bxm lần lượt là số hạng có bậc cao nhất của y = Pn(x) và

Qm(x)

Ta nhận xét rằng phần bên trái và bên phải ở vô cực của đồ thị hàm

y = Pn(x) trông gần giống như của đồ thị hàm số y = axn

Tương tự thì phần bên trái và bên phải ở vô cực của đồ thị hàm

y = Qm(x) trông gần giống như của đồ thị hàm số y = bxm

Do đó phần bên trái và bên phải ở vô cực của đồ thị hàm phân thức

Để vẽ đồ thị hàm phân thức y = Pn(x)

Qm(x), ta đánh dấu các giao điểmcủa đồ thị với trục hoành (nếu có), các tiệm cận đứng (nếu có) Xác địnhcác điểm mà tại đó hàm phân thức đạt giá trị dương (hoặc âm) trong cáckhoảng giữa của các giao điểm của đồ thị với trục hoành và tiệm cận đứng.Tiếp theo, ta đánh dấu đồ thị hàm phân thức axn

bxm Phần bên trái vàbên phải ở vô cực của đồ thị hàm phân thức y = Pn(x)

Qm(x) sẽ trông gầngiống như của đồ thị hàm y = ax

n

bxm.Cuối cùng, ta xây dựng đồ thị hàm phân thức y = Pn(x)

Qm(x) một cáchhợp lý bằng cách dựa vào các dữ kiện mà ta đã xem xét trước đó Để rõhơn, ta xét một ví dụ sau đây

Ví dụ 2.2.1 Hãy xây dựng đồ thị hàm số y = x

3 − 2x2 + x − 2

x2 − x − 6 Lời giải Ta xét: x2 − x − 6 = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = 3

Do đó, tập xác định: D = R\ {−2; 3}

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x = −2 và x = 3

Ta xét: x3 − 2x2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 2

Do đó, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (2; 0)

Xét giá trị của hàm phân thức tại các điểm x = c bất kỳ thuộc cáckhoảng giữa các điểm đã được đánh dấu trên trục hoành

2.3.1 Hàm số mũ

Với hàm số: y = ax, với 0 < a 6= 1, ta lần lượt có:

Tập xác định: D = R

A Tiệm cận và chiều biến thiên

Đạo hàm: y′ = ax ln a Suy ra hàm số đơn điệu với mọi x

Giới hạn, tiệm cận:

•Khi a > 1: