Nghiên cứu và ứng dụng phần mềm toán học trong dạy và học thống kê

Trong EXCEL, ta có thể tính được ma trận nghịch đảo của một ma trận không suy biến với các phần tử là các số, song với các phần tử bằng chữ thì máy không làm được việc đó.. CHƯƠNG 1 TỔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HỒ THỊ LỆ SƯƠNG

NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC

TRONG DẠY VÀ HỌC THỐNG KÊ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hướng dẫn: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng, Năm 2012

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào

Người viết luận văn

Hồ Thị Lệ Sương

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

MỤC LỤC ii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 4

1.1 XÁC SUẤT 4

1.1.1 Những khái niệm cơ bản về xác suất 4

1.1.2 Xác suất của biến cố 6

1.1.3 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 9

1.1.4 Phân vị xác suất 11

1.1.5 Một số phân phối xác suất quan trọng 12

1.1.6 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 14

1.2 THỐNG KÊ 19

1.2.1 Lý thuyết mẫu 19

1.2.2 Các tham số đặc trưng 20

1.2.3 Ước lượng 23

1.2.4 Kiểm định giả thiết 29

CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU VỀ MAPLE 33

2.1.CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN 33

2.1.1 Nhập biểu thức 33

2.1.2 Toán tử, hàm và hằng 34

2.2 PHÉP GÁN VÀ TÍNH TOÁN 36

2.2.1 Định danh 36

2.2.2 Phép gán 36

2.2.3 Biến tự do và biến ràng buộc 37

2.2.4 Sử dụng dấu nháy 37

2.3 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN 38

`2.3.1 Hàm khai triển expand 38

2.3.2 Hàm phân tích factor 39

2.3.3 Hàm normal 40

2.3.4 Hàm simplify 41

2.3.5 Đơn giản căn thức 43

2.4 HÀM TRONG MAPLE 44

2.4.1 Hàm 1 biến 44

2.4.2 Hàm nhiều biến 44

2.4.3 Phân biệt hàm và biểu thức 45

2.4.4 Chuyển đổi hàm và biểu thức 46

2.5 ĐỐI TƯỢNG TRONG MAPLE 46

2.5.1 Các biểu thức cơ bản 46

2.5.2 Biểu thức dãy 48

2.5.3 Tập hợp và danh sách 49

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG MAPLE TRONG DẠY THỐNG KÊ 51

3.1 THƯ VIỆN THỐNG KÊ 51

3.1.1 Tổng quan về gói stats[statevalf] 51

3.1.2 Tổng quan về gói stats[describe] 53

3.1.3 Tổng quan về gói stats[statplots] 59

3.2 CÁC BÀI TOÁN THỐNG KÊ 63

3.2.1 Bài toán 1 (Ước lượng khoảng kỳ vọng) 63

3.2.2 Bài toán 2 (Ước lượng khoảng phương sai) 66

3.2.3 Bài toán 3 (Kiểm định kỳ vọng) 71

3.2.4 Bài toán 4 (Kiểm định phương sai) 75

KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong những năm gần đây, với sự phát triển của Công nghệ thông tin, nhiều phần mềm hỗ trợ cho việc tính toán đã xuất hiện và càng ngày càng được hoàn thiện Việc sử dụng phần mềm tính toán để xử lý số liệu đã tỏ ra những tính hiệu quả trong việc đổi mới cách dạy và học một số môn học Toán

Các phần mềm này ngoài việc tính toán trên số, còn có một khả năng rất mạnh là tính toán trên ký hiệu (symbolic) Không phải phần mềm tính toán nào cũng có thể cộng 2a với 3a cho kết quả 5a, hay lấy đạo hàm một biểu thức giải tích Trong EXCEL, ta có thể tính được ma trận nghịch đảo của một ma trận không suy biến với các phần tử là các số, song với các phần tử bằng chữ thì máy không làm được việc đó

Mặt khác, môn Xác suất thống kê được đánh giá là một môn khó với cả người dạy lẫn người học Câu hỏi đặt ra là: làm thế nào để việc dạy và học môn Xác suất thống kê trở nên thuận lợi hơn? Có hiệu quả hơn?

Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng hầu hết các nội dung của môn Toán không những trong nhà trường phổ thông mà còn trong các trường đại học và cao đẳng Với khả năng tính toán, minh họa của mình, Maple là công cụ rất tốt, giúp cho giáo viên, học sinh và sinh viên thuận lợi cho việc tìm hiểu

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Tổng hợp và phân tích theo cấu trúc logic của các tài liệu thu thập

6 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN

- Tính hệ thống: người học có thể điều chỉnh nhận thức của mình trong hệ thống kiến thức để nắm được vấn đề, điều hòa những mâu thuẫn giữa sự hoang mang bối rối trước vấn đề mới và tính tò mò muốn khám phá

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận văn gồm có các chương như sau :

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

CHƯƠNG 2 GIỚI THIỆU VỀ MAPLE

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG MAPLE TRONG DẠY THỐNG KÊ

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Xác suất và thống kê đóng vai trò rất quan trọng trong hầu hết mọi lĩnh vực của thế giới hiện đại, từ khoa học, công nghệ, đến kinh tế, chính trị, đến sức khoẻ, môi trường,… Các nhà toán học coi xác suất là các số trong khoảng [0,1], được gán

tương ứng với một biến cố mà khả năng xảy ra hoặc không xảy ra là ngẫu nhiên Ở

chương này gồm một số khái niệm cở sở của lý thuyết xác suất thống kê

1.1 XÁC SUẤT

1.1.1 Những khái niệm cơ bản về xác suất

Định nghĩa 1.1.1.1 Khi quan sát một hiện tượng tự nhiên hay làm một thí nghiệm

và chú ý đến kết quả của hiện tượng hay thí nghiệm đó Khi đó ta nói rằng đã thực

hiện một phép thử

- Kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp

- Tập hợp gồm tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian các biến cố

sơ cấp Ta thường dùng:

 để ký hiệu biến cố sơ cấp;

 để ký hiệu không gian biến cố sơ cấp;

Một hàm tập hợp P :F  ¡ được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện: (1) Với mọi AF ,0P( ) 1A 

(2) ( ) 1P  

(3) Nếu A1, , A n F đơi một khơng giao nhau ((A A i j)   , i j) thì

1 1

( n) ( )n

n n





 U

Để minh hoạ ta xét một phép thử cĩ khơng quá đếm được các kết quả đơn giản nhất: 1, , 2 Theo trên, mỗi k được gọi là một biến cố sơ cấp cịn tập hợp

  1, , 2 

 

là khơng gian các biến cố sơ cấp

Ví dụ 1.1.1.1 Một xúc xắc gieo liên tiếp n lần Đĩ là một phép thử với khơng gian

mẫu được mơ tả bởi tập:

cố A xảy ra khi cĩ một kết quả nào đĩ của A xảy ra

 được gọi là biến cố chắc chắn, cịn tập rỗng là biến cố khơng thể

Biến cố A B     : A hoặc B được gọi là hợp (hay tổng) của A và

B

Biến cố A B     : A và B được gọi là giao (hay tích) của A và B Biến cố này cịn được viết là AB

Biến cố A B \    : A và B được gọi là hiệu của A và B

Biến cố A  : A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A

 Mối quan hệ giữa các biến cố

Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu biến cố này xảy ra thì biến

cố kia khơng xảy ra

Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu cĩ sự xảy ra của biến cố A thì

cĩ sự xảy ra của biến cố B

Biến cố A và B được gọi là hai biến cố bằng nhau nếu biến cố A kéo theo biến cố B và ngược lại

1.1.2 Xác suất của biến cố

Giả sử A là biến cố của phép thử nào đĩ Mặc dù, khi tiến hành phép thử một lần, ta khơng thể nĩi trước biến cố A cĩ xuất hiện hay khơng nhưng ta thừa nhận rằng: cĩ một số (kí hiệu P(A)) đo khả năng xuất hiện A

Định nghĩa 1.1.2.1.( Định nghĩa xác suất theo cổ điển)

Giả sử phép thử cĩ n biến cố đồng khả năng cĩ thể xảy ra, trong đĩ cĩ m trường hợp đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A Khi đĩ xác suất của A, ký hiệu P(A) được định nghĩa bằng cơng thức sau:

số trường hợp thuận lợi cho A( )

số trường hợp có thể xảy ra

m

P A

n

 

Ví dụ 1.1.1.2 (Bài tốn ngày sinh) Một nhĩm gồm n người Tìm xác suất để cĩ ít

nhất hai người cĩ cùng ngày sinh(cùng ngày và cùng tháng)

Giải: Gọi S là tập hợp các danh sách ngày sinh cĩ thể của n người và E là biến

cố cos ít nhất hai người trong nhĩm cĩ cùng ngày sinh trong năm

Ta cĩ E là biến cố khơng cĩ hai người bất kỳ trong nhĩm cĩ cùng ngày sinh

Định nghĩa 1.1.2.2(Định nghĩa xác suất theo thống kê)

Thực hiện phép thử n lần Giả sử biến cố A xuất hiện m lần Khi đĩ m được gọi

Định nghĩa 1.1.2.3(Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học)

Xét một phép thử cĩ khơng gian các biến cố sơ cấp  được biểu diễn bởi hình học  cĩ độ đo (độ dài, diện tích, thể tích) hữu hạn khác 0, biến cố A được biểu diễn bởi miền hình học A Khi đĩ xác suất của biến cố A được xác định bởi:

độ đo miền A( )

độ đo miền

Đặc biệt, nếu các Ai đôi một xung khắc thì

( i) ( )i

I I

Ví dụ 1.1.1.2.(Bài toán hai người gặp nhau)

Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điểm xác định vào khoảng từ 19 giờ đến 20 giờ Mỗi người đến (chắc chắn sẽ đến) điểm hẹn trong khoảng thời gian trên một cách độc lập với nhau, chờ trong 20 phút, nếu không thấy người kia đến sẽ bỏ đi Tìm xác suất để hai người gặp nhau

Giải: Gọi x,y là thời gian đến điểm hẹn của

mỗi người và A là biến cố hai người gặp nhau x, y

là 1 điểm ngẫu nhiên trong [19,20], ta có 19 x 20

19 y 20

Để hai người gặp nhau thì x y 20(phút)=1/3(giờ)

Diện tích của miền =1

Diện tích của miền A bằng 1 2 2 5 .

1.1.3 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

Ở phần này trình bày định nghĩa biến ngẫu nhiên và cấu trúc của nó Đặc trưng

cơ bản của biến ngẫu nhiên là hàm phân phối Khái niệm độc lập của biến ngẫu nhiên (đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất) Các phân phối quan trọng nhất (nhị thức, Possion, chuẩn,…) cũng được xét đến

Định nghĩa 1.1.3.1 Cho không gian xác suất ( F, ,P) Hàm số X ¡ được :gọi là biến ngẫu nhiên nếu X là hàm đo được trên - đại số Borel , tức là với mọi

1( )={ : ( ) }

a ¡ X     F

Định lý 1.1.3.1 Giả sử X: R Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

a) X là biến ngẫu nhiên

được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

Hàm phân phối có các tính chất sau:

i) đơn điệu x y F x( )F y( )

ii) liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm

iii) lim ( ) 0, lim ( ) 1

Định nghĩa 1.1.3.3 Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập

hợp các giá trị của X có hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử

Bảng phân bố xác suất của X

Định nghĩa 1.1.3.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu

hàm phân phối của nó liên tục, tương đương với tồn tại một hàm số :f ¡ ¡ khả

tích không âm sao cho với mọi t¡ ,

7 1051; (loại)

1.1.5 Một số phân phối xác suất quan trọng

Định nghĩa 1.1.5.1 (Phân phối nhị thức)

Tiến hành một dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng ở mỗi phép

thử là p, 0  Giả sử X là số lần thành cơng trong n phép thử đĩ Rõ ràng, X là p 1biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị S {0,1, , }n và

Định nghĩa 1.1.5.2 (Phân phối Poisson)

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với tham số ( 0)

   nếu X có miền giá trị ¥ {0,1,2, }và ( )

Định nghĩa 1.1.5.3 (Phân phối chuẩn)

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với các tham số , ( 0)

    (còn viết X N: ( , ) 2 ), nếu hàm mật độ của nó có dạng

2 2

( ) 2

Định nghĩa 1.1.5.4 (Phân phối khi bình phương)

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối khi bình phương n bậc tự

do nếu có hàm mật độ

Phân vị khi bình phương

Phân vị khi bình phương mức  với n bậc tự do, ký hiệu 2( )n , là giá trị của biến ngẫu nhiên X có phân phối khi bình phương thỏa mãn P X( 2( )n )

Định nghĩa 1.1.5.5 (Phân phối Student)

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Student n bậc tự do nếu

n

n n

1.1.6 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Trong nhiều trường hợp, ta không thể biết hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Vì thế cần phải biết một số đặc trưng bằng số của phân phối Phần này trình bày các số đặc trưng quan trọng nhất và các tính chất của nó

Định nghĩa 1.1.6.1 Giả sử là một biến ngẫu nhiên xác định trên một không gian

1/ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị D= x x1, 2, ,x n với xác

suất tương ứng p p1, 2, , pn, khi đó

1

E(X)=

n

i i i

1

1 1

Tính chất của phương sai

 D X ( ) 0 với mọi đại lượng X;

 D(c)=0, với c không đổi;

 D(cX)=c 2 E(X), với c không đổi;

 D(X)=E(X 2 )-[E(X)] 2 ;

 Nếu X và Y độc lập thì (D X Y)D X( )D Y ( )

Mệnh đề 1.1.6.2

1/ Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có thể nhận các giá trị x x1, , ,2 xn

với xác suất tương ứng p p1, , ,2 p n thì

1 nÕu 2 3 ( )

b)

3 3

( )

E X   x dx  x 

2

19 5( ) 0,08

Định nghĩa 1.1.6.4 Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Xmod là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó phân phối đạt giá trị lớn nhất

Nhận xét :

 Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc thì Xmod là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất, còn đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì Xmod là giá trị của X mà tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại

 Một biến ngẫu nhiên có thể có một hoặc nhiều Mod

''( ) 2 (2 2 ) ''(1) 2 0

Định nghĩa 1.1.6.5 Med (số trung vị) của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Xmed là giá trị

của biến ngẫu nhiên mà tại đó giá trị của hàm phân phối bằng 1

2, nghĩa là 1

e nÕu x>0 2

1.2 THỐNG KÊ

Thống kê toán học có thể coi là ngành khoa học chuyên thu thập, tổ chức, sắp

xếp, tổng hợp, phân tích và rút ra các kết luận từ dữ liệu thực nghiệm

Trong thống kê, việc tổng hợp ngẫu nhiên mẫu X ,X , ,X1 2 nđược thực hiện dưới dạng hàm G f X X ( , , , )1 2 X n với X X1, , ,2 X nlà giá trị của mẫu ngẫu nhiên Khi đó G được gọi là thống kê

1.2.1 Lý thuyết mẫu

Trong thực tế, muốn kết luận về một đặc tính nào đó của các phần tử của một tập hợp các đối tượng cùng loại thì phải dựa vào những thông tin thu nhận được từ các đối tượng để phân tích, nghiên cứu

Tuy nhiên, khi nghiên cứu các đối tượng thì hoặc do số lượng phần tử của tập hợp đó rất nhiều hoặc do điều kiện về thời gian, kinh phí, không cho phép ta nghiên cứu tất cả các phần tử của tập hợp đó được Khi đó ta phải chọn ngẫu nhiên

ra một bộ phận các phần tử đại diện để nghiên cứu, tập hợp các phần tử đại diện được chọn ra đó được gọi là tập hợp mẫu

Việc chọn tập mẫu như thế nào để mẫu đó đại diện trung thực, cung cấp thông tin đầy đủ và chính xác là một vấn đề đặt ra cho người nghiên cứu

2/ Mẫu ngẫu nhiên có kích thước n là tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập

n

1 2

X ,X , ,X được lập thành từ biến ngẫu nhiên X trong tổng thể nghiên cứu và có cùng xác suất

Người ta có thể coi một mẫu ngẫu nhiên có kích thước n X ,X , ,X1 2 n là một điểm của không gian Rn Không gian Rn này gọi là không gian mẫu

Một số phương pháp chọn mẫu

Tùy theo yêu cầu của vấn đề nghiên cứu mà người nghiên cứu có thể đưa ra phương pháp chọn mẫu cho phù hợp, với mỗi phương pháp chọn mẫu khác nhau sẽ cho các loại mẫu khác nhau Tuy nhiên việc chọn mẫu phải mang tính đại diện ngẫu nhiên Trong thực tế, người ta hay sử dụng một số cách chọn mẫu đơn giản và phổ biến trong các lĩnh vực khác nhau sau đây :

 Mẫu ngẫu nhiên hoàn lại : là mẫu được chọn từ tập tổng quát N phần tử bằng cách chọn ngẫu nhiên ra một phần tử thứ nhất X1 khảo sát, ghi nhận kết quả, sau đó trả lại tập tổng quát và tiếp tục lặp lại như vậy, chọn ngẫu nhiên phần tử thứ hai X2, thứ ba X3, …, Xn, cuối cùng ta thu được tập mẫu (X1, X2, …, Xn) Xác suất mỗi phần tử được chọn ra là như nhau và bằng 1/N

 Mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại : là mẫu được chọn từ tập tổng quát N phần

tử bằng cách chọn ngẫu nhiên ra một phần tử thứ nhất X1 khảo sát, ghi nhận kết quả, sau đó không trả lại tập tổng quát và tiếp tục lặp lại như vậy, chọn ngẫu nhiên phần tử thứ hai X2, thứ ba X3, …, Xn, cuối cùng ta thu được tập mẫu (X1, X2, …,

Xn) Xác suất mỗi phần tử được chọn ra là không như nhau

 Mẫu đặc trưng : là mẫu được chọn bằng cách phân loại tập tổng quát theo đặc trưng và từ các bộ phận đặc trưng chọn mẫu theo hai kiểu mẫu ngẫu nhiên hoàn lại và mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại rồi hợp nhất lại ta được mẫu (thường dùng khi số lượng phần tử tập tổng quát lớn)

 Phép thử độc lập : là mẫu được chọn bằng cách thực hiện các phép thử (quan sát) độc lập và lấy các kết quả của nó ta được tập mẫu

i i

là trung bình mẫu

Khi n lớn ta có thể xem đó là kỳ vọng mẫu

Nếu mẫu ngẫu nhiên X ,X , ,X1 2 n có mẫu cụ thể x x1, 2, ,x n thì X sẽ

x n

x và x được gọi là trung bình mẫu cụ thể

 Nếu mẫu cụ thể cho dưới dạng tần số :

k

i i

k k

i i

n x n

n x

n x n x n x x

* 1

k

i i i k i i

x

n x n

n

nx

X X n



2)( , 

n

là phương sai chưa điều chỉnh và gọi

2 ' 2

n

là phương sai có điều chỉnh

Nếu mẫu ngẫu nhiên X ,X , ,X1 2 n có mẫu cụ thể x x1, 2, ,x n thì S S2, '2 sẽ

s và s s2, '2 được gọi là phương sai

và phương sai điều chỉnh mẫu cụ thể

 Nếu mẫu cụ thể cho dưới dạng bảng tần số :

thì các phương sai mẫu được tính :

Phân phối xác suất :

Giả sử X=(X1, X2, …, Xn) là mẫu ngẫu nhiên có luật phân phối chuẩn

1

( ) ( )

n i i

là độ lệch tiêu chuẩn mẫu và độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu

Nếu mẫu ngẫu nhiên X ,X , ,X1 2 n có mẫu cụ thể x x1, 2, ,x n thì '

1.2.3 Ước lượng

Giả sử khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên X và biết được phân phối của X thuộc một họ phân phối nào đó (chẳng hạn biết X có phân phối chuẩn hoặc biết X có phân phối Poisson, nhưng lại không biết các tham ẩn) Muốn xác định hoàn toàn phân phối của X ta phải xác định được các giá trị tham ẩn của phân phối đó

Trong trường hợp chưa biết gì về phân phối của biến ngẫu nhiên X thì việc biết được các giá trị đặc trưng của X cũng cho ta biết được nhiều thông tin Chính vì vậy, việc đi tìm các ước lượng cho các tham ẩn của phân phối hoặc ước lượng cho các giá trị đặc trưng của X là rất cần thiết

Bài toán ước lượng khoảng đối với biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Định nghĩa 1.2.3.1 Giả sử biến ngẫu nhiên X có luật phân phối xác suất đã biết

nhưng có tham số đặc trưng  chưa biết

Với số  khá bé cho trước, giả sử X ,X , ,X1 2 n là mẫu ngẫu nhiên kích thước n từ biến ngẫu nhiên X Nếu ta tìm được hai biến ngẫu nhiên µ1X ,X , ,X1 2 n

 là 1 và 2 thì ( 1,2) là khoảng tin cậy của tham số 

Một số khái niệm được sử dụng trong phần này :

 được gọi là mức ý nghĩa

1 được gọi là độ tin cậy 

2 1

  được gọi là độ dài của khoảng ước lượng

Thông thường khoảng tin cậy là khoảng đối xứng ( 1, 2) (  o  , o )

trong đó o là giá trị quan sát của mẫu cụ thể,  được gọi là độ chính xác (hay sai số) của ước lượng và khi đó độ dài khoảng ước lượng là 2

Mô tả phương pháp:

i) Từ biến ngẫu nhiên gốc lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n X ,X , ,X1 2 n ii) Chọn một thống kê G thích hợp chứa  : G=GX ,X , ,X1 2 n, có luật phân phối xác định

iii) Với  khá nhỏ cho trước, ta tìm được một cặp  1, 2 sao cho  1 2 Xác định các phân vị

iv) Thực hiện phép thử ta được mẫu cụ thể x x1, 2, ,x n, ta tính được giá trị

cụ thể 1và 2 Khi đó ( 1,2) là khoảng tin cậy của tham số 

Ước lượng khoảng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N( , ) 2 với tham số ( )

E X  chưa biết Ước lượng khoảng cho kỳ vọng là tìm ra  ( , ) 1 2 chứa  sao cho P (   1  2) 1    cho trước

o Trường hợp phương sai đã biết

Trong đó : S là độ lệch chuẩn điều chỉnh mẫu '

Lập luận tương tự như trên Khi đó, ta cũng tìm được khoảng ước lượng của kỳ vọng là (x;x)

Ví dụ 1.2.3.3 Dioxide Sulfur và Oxide Nitrogen là các hoá chất được khai thác từ

lòng đất Các chất này được gió mang đi rất xa, kết hợp thành axit và rơi trở lại mặt đất tạo thành mưa axit Người ta đo độ đậm đặc của Dioxide Sulfur ( /g m3)trong khu rừng Bavarian của nước Đức Số liệu cho ở bảng dưới đây :

Ước lượng khoảng phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N( , ) 2 với tham số

2

( )

D X  chưa biết Ước lượng khoảng cho phương sai là tìm ra ( , )  12 22 chứa 2

sao cho P  ( 12 2 22) 1    cho trước

o Trường hợp kỳ vọng đã biết

Chọn thống kê

2 2

Lập luận tương tự, thực hiện phép thử để có mẫu cụ thể x x1, 2, ,x n, tính được s '2

ta tìm được khoảng khoảng ước lượng phương sai là ( , )  12 22

1.2.4 Kiểm định giả thiết

Kiểm định giả thiết là một bài toán quan trọng trong đời sống cũng như trong thống kê, kiểm toán Ta thường gặp 1 cặp giả thiết đối nghịch nhau, bằng khả năng của mình, ta phải xác định xem giả thiết nào đúng

Trong phần này, giới thiệu một số khái niệm chung về kiểm định giả thiết thống kê và một số bài toán kiểm định đối với biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

1.2.4.1 Các khái niệm chung về kiểm định, giả thiết thống kê

o Khái niệm về giả thiết thống kê

Khi nghiên cứu lĩnh vực nào đó trong thực tế người ta thường đưa ra những nhận xét khác nhau về các đối tượng quan tâm Những nhận xét như vậy được coi là những giả thiết, chúng có thể đúng hoặc có thể sai Việc định tính đúng sai của giả thiết được gọi là kiểm định

Giả sử cần nghiên cứu tham số  của biến ngẫu nhiên X, người ta đưa ra giả thiết cần kiểm định H o:  o

Gọi H1là giả thiết đối lập của Ho thì H1:  o(    o,  o)

Nhiệm vụ của lý thuyết kiểm định giả thiết thống kê là kiểm định bằng thực nghiệm (thông qua mẫu cụ thể) tính đúng sai của giả thiết H

o Miền bác bỏ, các sai lầm và mức ý nghĩa của kiểm định giả thiết

Giả sử ta có một giả thiết H về một đặc tính nào đó của tổng thể được tác động bởi biến ngẫu nhiên X, ta lập mẫu ngẫu nhiên của X là (X X1, 2, ,X n), ta chọn thống kê µ µ

1 2

(X X, , ,X n)

  sao cho nếu H đúng thì µ có phân phối hoàn toàn xác định và với mẫu cụ thể thì giá trị của µ sẽ tính được µ được gọi là tiêu chuẩn kiểm định giả thiết H

Với bé tùy ý cho trước  (0,01;0,05)ta tìm miền W sao cho

µ

( W )

P  

W được gọi là miền bác bỏ,  được gọi là mức ý nghĩa của kiểm định

Thực hiện phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên (X X1, 2, ,X n), ta được mẫu cụ thể ( , , ,x x1 2 x n) Tính giá trị của µ tại ( , , ,x x1 2 x n), ta được $

1 2

( , , , )

được gọi là giá trị quan sát)

Nếu oWthì bác bỏ giả thiết H o, và thừa nhận giả thiết H1

Nếu oWthì chấp nhận giả thiết H o

 Sai lầm loại 2 : là sai lầm mắc phải khi ta thừa nhận giả thiết H o trong

khi H o là giả thiết sai

Xác suất mắc phải sai lầm loại 2 là P(µ W )



1.2.4.2 Bài toán kiểm định giả thiết của biến ngẫu nhiên

o Bài toán kiểm định giả thiết về kì vọng

Giả sử biến ngẫu nhiên X có ( )E X  chưa biết Ta đưa ra bài toán để kiểm 

định là

1

:: ( , )

Nếu Ho đúng thì U có phân phối chuẩn tắc, tức U N: (0,1)

Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tìm được miền bác bỏ W theo các giả thiết đối lập H1 sau :

Nếu H1:    o thì W  U( 1,)

Trong đĩ U là phân vị chuẩn tắc với mức ý nghĩa 

Với mẫu cụ thể, ta tính được giá trị quan sát là ( 0)

Kết luận : Nếu UoWthì bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận H1

Nếu UoW thì chấp nhận giả thiết Ho, bác bỏ H1

 Trường hợp 2 : ( ) 2 chưa biết

Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tìm được miền bác bỏ W giống trường hợp 1 Với mẫu cụ thể, ta tính được giá trị quan sát là ( 0')

Kết luận : giống trường hợp 1

 Trường hợp3 : ( ) 2 chưa biết

n 30, X có phân phối chuẩn

Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tìm được miền bác bỏ W theo các giả thiết đối lập H1 sau :

Nếu H1:    o thì W (T1(n 1), )

Trong đó T( 1)n là phân vị Student với mức ý nghĩa  và (n-1) bậc tự do

Với mẫu cụ thể, ta tính được giá trị quan sát là ( 0')

Kết luận : Nếu ToWthì bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận H1

Nếu ToW thì chấp nhận giả thiết Ho, bác bỏ H1

o Bài toán kiểm định giả thiết về phương sai

Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với phương sai D X 2chưa biết Ta đưa giả thiết để kiểm định H o:2o2 Khi đó, Ho sẽ nhận một trong các giả thiết đối lập là :

H   hoặc H1:2o2 hoặc H1:2o2Chọn thống kê

' 2

Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tìm được miền bác bỏ W theo các giả thiết đối lập H1 sau :

( 1),

W   n  Trong đó 2( 1)n là phân vị khi bình phương với mức ý nghĩa  và (n-1) bậc tự

do

Với mẫu cụ thể, ta tính được giá trị quan sát là

'2 2

Kết luận : Nếu o2Wthì bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận H1

Nếu o2W thì chấp nhận giả thiết Ho, bác bỏ H1

CHƯƠNG 2 GIỚI THIỆU VỀ MAPLE

Maple là phần mềm tính toán do hãng Maple Soft, một bộ phận chủ yếu của liên hợp công ty Waterloo Maple phát triển

Cho đến nay, Maple đã được phát triển qua nhiều phiên bản khác nhau và ngày càng hoàn thiện hơn

Với phần mềm Maple, ta có thể thực hiện tính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ chính xác cao Ngoài ra, có thể sử dụng các gói chuyên dụng của Maple để giải quyết các bài toán cụ thể

Sau khi khởi động Maple, trên màn hình xuất hiện cửa sổ làm việc của Maple với dấu nhắc [>

Maple làm việc theo chế độ thông dịch, người dùng viết lệnh và Maple thực hiện lệnh

2.1 CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN

Nhấn Enter để thực hiện lệnh trên dòng con trỏ

Nếu lệnh kết thúc bằng dấu (;) thì kết quả hiển thị trên màn hình

Nếu lệnh kết thúc bằng dấu (:) thì kết quả không hiển thị trên màn hình

Nhấn Shift+Enter để nối lệnh với các dòng lệnh tiếp theo

Ví dụ 2.1.1.1

>

>

>

 Thông báo lỗi: nếu biểu thức nhập có lỗi cú pháp, Maple sẽ thông báo lỗi syntax error… trỏ đến vị trí lỗi đầu tiên

Ví dụ 2.1.2.2

>

2.1.2.3 Tính toán giá trị thập phân của biểu thức

 Hàm evalf(<biểu thức số>,[<d>]) trả về giá trị thập phân của <biểu thức số> Tham số tùy chọn <d> nếu có, sẽ xác định số chữ số phần thập phân

Ví dụ 2.1.2.3

1/ >

>

 Biến Digits là biến hệ thống ấn định số chữ số có nghĩa

 Ký hiệu % chỉ biểu thức cuối cùng

Định danh bắt đầu bằng chữ cái và tiếp theo là chữ, số hoặc dấu nối…, không vượt quá 499 ký tự

Chú ý, Maple phân biệt chữ hoa và chữ thường