Bộ 8 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 cấp trường có đáp án

b Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của... Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc

BỘ 8 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 9 CẤP TRƯỜNG CÓ ĐÁP ÁN

UBND HUYỆN HỒNG NGỰ

TRƯỜNG THCS-THƯỜNG THỚI HẬU A

ĐỀ THAM KHẢO HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG TRƯỜNG

MÔN :TOÁN 9 Năm học : 2020 – 2021 Thời gian :120 phút ( không kể thời gian phát đề )

a Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức xác định

b Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của

ĐÁP ÁN ĐỀ THAM KHẢO HSG TOÁN 9 Câu 1: (4điểm)

a a

0.5đ 0.5đ 0.5đ

b Do với a>0 và a ≠ 1 nên P <0 Khi và chỉ khi

0.5 0.5 0.5

A

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

****************** Môn : TOÁN – Lớp 9 (Thời gian 120 phút) PHẦN I: Thí sinh chỉ ghi kết quả vào bài làm:

Câu 1: Giá trị biểu thức: T  5  3  29 12 5  là:

Câu 2: Tính giá trị biểu thức N  x2019  3 x2020  2 x2021

Câu 4: Tìm số nguyên dương n để n +1 và 4n+29 là số chính phương

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB=1; 𝐴̂ =1050 ; 𝐵̂=600.Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE=1 Vẽ ED//AB(D∈AC)

PHẦN II: Thí sinh trình bày bài làm vào tờ giấy thi

Câu 7: Giải phương trình

x x

x x

233

13

Câu 8: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

c) Giả sử BC = 2a là độ dài cố định Tính giá trị nhỏ nhất của: BD2 + CE2

Câu 10: Cho ba số thực x,y,z dương thỏa mãn xyyz zx 2xyz1 Chứng minh:

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN

3 a chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho a m = + 5 3 (1) b chia

cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho b n = + 5 2 (2) Từ (1) và (2)

Xét 1 ≤ x <

3

5 Thì (*)

- 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

 x =

8

3 (loại)

Xét x ≥

3

5 Thì (*)3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

x =

-5

2 (Loại)

Vậy phương trình có nghiệm x

C B

A

34

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

AB.AC = AH.BC  30.40 = AH.50  AH = 24cm

Vậy GTNN của BD2 + CE2 bằng a2 khi ABC vuông cân tại A

10

Xét

2 2 2 2 2 2

x y y z z x VT

Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề

b) Tính giá trị của A khi x17 12 2

x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = 0 Hãy tính giá trị của biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012

Bài 4.(7,0 điểm)

Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD

a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC

b) Tính độ dài phân giác AD?

Bài 5: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau:

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020

b) Tính giá trị của A khi x17 12 2 (1 điểm)

0.5

Bài 2 (4 điểm)

a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1) 0.25

0.5

0.25 0.25

b) Biểu thức

2 2

Bài 3 (4điểm) Giải phương trình

0.25 0.5 0.5 b).Ta có x2+2y+1 = 0 (1); y2+2z+1 = 0 (2)

0.5

0.75

0.5

Bài 4 (7 điểm)

Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp ABC

Gọi E là giao điểm của AD và (O)

a) Ta có :  ABD ~ CED (g –g)



CD

AD ED

DB 

  

b

DC c

DB

c b

a b

c

DC DB

ac

 và DC =

c b

ab

 AD2 = bc - 2

2)(b c

bc a



0.5 0.5

1 0.5 0.5 0.5

1

0.5

0.5 0.5

PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN

TRƯỜNG THCS GIA HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN LỚP 9

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm 05 câu; 01 trang)

Câu 1: (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của A khi x 6 2 5

c) Với giá trị nào của x thì 1

A đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?

Câu 2: (4,0 điểm)

1.Cho a b; là hai số dương thỏa mãn: 2 2

6

a b  Chứng minh: 2

3(a    6) (a b) 2

2 Cho hàm số: y x 2m1; với m tham số

a, Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O

b, Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục O x; Oy,

H là hình chiếu của O trên AB Xác định giá trị của m để 2

2

OH 

Câu 3: (4,0 điểm)

a Giải phương trình: x 1 2 x   2 x 1 5 x2

b Giải phương trình nghiệm nguyên: 2

2008 2009 2010 0

x xy x y 

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB

sin MBAsin MABsin MCDsin MDC

b Chứng minh: 2

OK  AH RAH

c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn nhất

Câu 5: (2,0 điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh

x y  y z z x 

……… HẾT.………

Họ và tên thí sinh: ……… SBD: ………

Họ và tên giám thị 1: ……… Chữ ký: ………

Họ và tên giám thị 2: ……… Chữ ký: ………

PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN

TRƯỜNG THCS GIA HÒA HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020

MÔN: TOÁN LỚP 9

Thời gian làm bài: 150 phút

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

I Hướng dẫn chung

1 Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó

2 Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau

3 Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm

4 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm

đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất

5 Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải

đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm

6 Tuyệt đối không làm tròn điểm

II Hướng dẫn chi tiết

Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0)

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B0; 2 m1

Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:

1(2 1)

A B

m m

0,25 2

4

(6,0điểm)

H K

D

C

A O

OK AH RAH

Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH

Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có

MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH

Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)

0,5 0,5 0,5 0,5

P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-abab

a) Tìm những giá trị của x để A có nghĩa ;

b) Rút gọn A

Bài 6 (3đ) Cho các hàm số: y = x + 2 , y = -x + 2

a) Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ đồ thị các hàm số trên ;

b) Chứng tỏ rằng x = 0 là hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số trên

Bài 7 ( 3đ) Cho hàm số y = ( m – 2)x + 3m +1 có đồ thị là (d)

a) Tìm m để (d) song song với đường thẳng y = 3x + 2 ;

b) Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng y = -x

Bài 8 (3đ) Cho tam giác ABC vuuông tại A, biết tỉ số hai cạnh AB và AC là 3 : 4 và cạnh

huyền là 125cm Tính độ dài các hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền

-Hết -

Bài 4 :(3đ) Giải phương trình :

Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = 1

Bài 5:(4đ) Cho biểu thức: A =

x x x x x x

1(

0)1(

0

x x x x

x x x

1

= 1 (x2 x)

x x x x







=  ( 1 )( 1 )

) 1 (

x x x

= ( x 1 )( x 1 ) = x – 1

Bài 6: (3đ)

a, Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ, đồ thị các hàm số :

y = x + 2 (d) ; y = -x + 2 (d’)

f(x)=x+2 f(x)=-x+2

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

=> O là trung tuyến của tam giác ABC

=> ABC vuông tại A

=> (d) (d’) Hay hai đồ thị trên vuông góc với nhau

3 22

AB

25

12516

916

UBND HUYỆN KIẾN THỤY

TRƯỜNG THCS NGŨ ĐOAN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1

MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC 2019-2020 Thời gian làm bài: 150 phút

là các đường thẳng (d1), (d2) và (m) Với những giá trị nào của tham số m để;

a) Đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) tại điểm có hoành độ âm ?

b) Đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d2) tại điểm có tung độ dương?

phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên

3.2 Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x;y0

x x

y

y

x

342 2 2

2

Bài 4: (3 điểm)

Gọi O là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M; CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J

4.1 Chứng minh I là trung điểm của AH

4.2 Cho BC = 2R, OM = x Tính AB, AH theo R và x

4.3 Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi

Bài 5: (1 điểm)

Cho đa giác đều 36 đỉnh Có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh đều là đỉnh của đa giác đều trên?

Hết

UBND HUYỆN KIẾN THỤY

TRƯỜNG THCS NGŨ ĐOAN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do - Hạnh phúc

ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1

MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC 2019-2020

điểm Bài 1 1.1

Điều kiện để (m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m0

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (m) là:

0,5x 3   mx  (m 0,5)x 3 Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5   0 hay m  0,5

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và (m) là:

6 x mx  (m 1)x 6 Với m = -1 PT vô nghiệm

Với m ≠ -1; ta có: 6

1

x m





6 1

m y

m

 

Vậy điều kiện cần tìm là: m > 0 hoặc m < -1

Có 10n11101 10n10n110n2 101

9

1 1 10

10 10

1 2

2

1 2

2

1 1

3

2 10

4 410

10 9 1

9 5 410

10 9 1

1 5 10

1 10 9 1

n n

n n

A

0,25 0,5

2 10

A nhưng A không chia hết cho 8 vì 5.10n1là số lẻ

Vậy A không là lập phương của một số

3.2

03

42 2 2

x x

y y

x

(1) Đặt

y x

0,25

0,25

0,5

0,25 Bài 4

4.1 c/m: I là trung điểm của AH

Trong tam giác CBM ta có HI//BM

nên:  1

CB

CH BM

HA

Chia (1) cho (2) theo từng vế ta

Vậy I là trung điểm của AH

4.2 Cho BC = 2R, OM = x Tính AB, AH theo R và x

Tam giác OBM vuông ở B nên: OB2OJ.OM

x

R OM

OB OJ

2 2

M

A

 

2

2 2

2

2 2

2 2

2

x

R x

R

x

R R

OJ OB

R x x

AB   với x>R Tam giác ABC vuông ở A nên:

x

R AC

x

R R

x x

R R AB BC AC

2

2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

44

R R x x R

BC

AC AB AH

2

2

2

2 2

2

R x x

R

AH   với x>R

4.3 Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi

Qua hình vẽ ta thấy AH có thể đạt GTLN bằng R, nên ta chứng minh:

23

Bài 5 Gọi  O là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều

Vì đa giác có 36 đỉnh nên có 18 đường chéo qua O, ta gọi chúng là các

đường chéo lớn

Cứ 2 đương chéo lớn tạo thành một hình chữ nhật nên số hình chữ nhật tạo

được là 18.17:2=152 hình

0,25 0,25

0,25 0,25

Hết

UBND HUYỆN ĐẠ HUOAI

Câu 4:(1,5đ) Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH (H thuộc BC); M là điểm tùy ý thuộc đoạn

thẳng BH Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AH tại N Chứng minh : CN MA

Câu 7: (1,25đ) Phân tích đa thức thành nhân tử : x2  x 12

Câu 8:(2,0đ) Giải phương trình: x24x 5 2 2x3

Câu 9:(1,5 đ) Cho hàm số y f x( )  2x a  3 Tìm a biết f( 2)   5

Câu 10: (1,5 đ) Tìm giá trị lớn nhất của A = x28x1

Câu 11:(1,75đ) Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ đường cao AH ( H thuộc BC) Phân giác của góc B

cắt AC tại D Chứng minh: AD AC AH DC

Bài 12: (3,0 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM Gọi số đo của ACB là  , số

đo của AMBlà  Chứng minh rằng:  2

sincos  1 sin

UBND HUYỆN ĐẠ HUOAI

CN đi qua N nên CN là đường cao thứ 3 của AMC=> CN  AM 0,5 đ

a a a

Ta có:  2 2 2

sincos sin cos 2sincos   1 2sincos 0,5 đ

Ta chứng minh: 2sincossin

Kẻ đường cao AH ( H thuộc BC)

0,25 đ 0,5 đ

.sin os

.sin os

2

AB AC AH BC AH c

BC BC BC BC BC

AH AH c

Lưu ý: Nếu học sinh có cách trình bày khác, chặt chẽ giám khảo tự phân bước và cho điểm

Đề bài : I Phần ghi kết quả ( thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1 : Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất, a  0 sao cho a chia hết cho 6 và 1000a là số chính phương

Câu 2 : Cho a, b > 0 thỏa mãn 3(a2 + b2) = 10ab Tính giá trị của biểu thức P =

b a

b a

32

23





Câu 3 : Hai số tiếp theo của dãy số 1;2;3;5;7;10;13;17;21… trên là ?

Câu 4 : Tính giá trị của f(x) = (x3 + 6x - 5)2019 biết x = 3 3

17 3 17

Câu 5 : Tìm các cặp số tự nhiên x ; y thỏa mãn : x2 + y3 -3y2 =65-3y

Câu 6 : Cho tam giác ABC có A = B + 2.C và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp.Tìm độ dài các cạnh AB ; BC ; CA ?

Câu 7 : Cho biểu thức B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2018 + 2018 Tính giá trị biểu thức B khi

x =

1 2

1 2

2

1





Câu 8 : Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x2 + 2y +1 = y2 + 2z + 1 = z2 + 2x + 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức A = x20 + y25 + z2020

Câu 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 20y2 – 6xy = 150 – 15x

Câu 10 : Với giá trị nào của a , b thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) với f(x) = x3 + ax +

b và g(x) = x2 – 4

II Tự luận : Thí sinh trình bày bài làm vào tờ giấy thi

Câu 1: a) Biết a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức :

2 2 2 2

2 2 2

2 2

b a c

ca a

c b

bc c

b a

ab B

3 6 2

3

2

2 2 2

x x

Câu 3: Cho tam giác ABC, phân giác AD Trên nửa mặt phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia

Cx sao cho BCx =

2

1 BAC Cx cắt AD tại E, I là trung điểm của DE Chứng minh :

a) ABD đồng dạng với CED b) AE2 > AB.AC

c) 4AB.AC = 4AI2 – DE2 d) Trung trực của BC đi qua E