Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toán.. Ron Larson and Robert P.Hosterler, Houghton Mifflin Company Boston New York..[r]
Trang 1MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG
Ths Cao Ngọc Châu Phòng GD&ĐT Can Lộc, Hà Tĩnh
Trong chương trình toán ở THCS khái niệm đa thức đã được trình bày Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toán Trong bài này tôi xin giới thiệu một số ứng dụng của đa thức đối xứng vào việc giải quyết một số bài toán đại số sơ cấp một cách đơn giản
I/ Cơ sở lý thuyết
1/ Định nghĩa: Một đa thức 3 ẩn x,y,z được gọi là đa thức đối xứng nếu
nó không thay đổi giá trị khi ta thay thế một cách tuỳ ý các ẩn x,y,z cho nhau
Ví dụ 1: a, Các đa thức sau là đa thức đối xứng
x+y, x.y, x2y+xy2, x2+y2, x5+y5, x2+y2+z2, x3+y3+z3-3xyz,
b, Các đa thức sau không phải là đa thức đối xứng:
x-y, x2-y2,x3-3y2+2xy,
2/ Đa thức đối xứng cơ bản
a, Với đa thức hai ẩn có hai đa thức đối xứng cơ bản:
δ1=x + y , δ2= xy
b, Với đa thức ba ẩn có ba đa thức đối xứng cơ bản
δ1=x + y +z , δ2=xy+xz+yz , δ3= xyz
3/ Biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng cơ bản
a, Đối với đa thức hai ẩn việc biễu diễn tương đối đơn giản,
Ví dụ 2: x2y + xy2=xy(x+y)=δ1δ2, x2+y2=(x+y)2-2xy = δ12− 2 δ2,
x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y) = δ13− 3 δ1δ2,
b, Đối với đa thức ba ẩn việc biểu diễn phức tạp hơn, nhưng ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định
+, Đa thức 3 ẩn viết dưới dạng đầy đủ
f (x , y , z)=t1x a1y b1z c1
+t2x a2y b 2 z c2+ +tm x a m y b 1m z c m, trong đó hạng tử
t i x a i y b 1 i zci có bộ số mũ là (a i , b i , c i) với i=1 , m
Ví dụ3: f (x , y , z)=x3
+y3
+z3− 3 xyz=x3y0z0
+x0y3z0x0y0z3− 3 xyz
+, Phương pháp biểu diễn:
Chọn hạng tử cao nhất giả sử là t i x a i y b 1 i zcicó bộ số mũ là (a i , b i , c i) Viết tất cả các bộ số mũ (d i , m i , n i) thoã mãn d i+m i+n i=a i+b i+c i và
d i ≥m i ≥ n i.
- Giả sử f (x , y , z) có dạng
1 1
δ d2− m❑ δ1m2− n2
δ3n2 1
+ +k t δ d t − m❑ δ2m t −n t
δ3n t
f (x , y , z)=k1δ d1−m11 δ2m1− n1δ3n1
+k2
¿
¿
Cho x,y,z tuỳ ý ta tìm được k1, k2, ,k t
Trang 2Ví dụ 4: Biểu diễn đa thức sau: f (x , y , z)=x3+y3+z3 qua các đa thức đối xứng cơ bản
- Hạng tử cao nhất là x3 có bộ số mũ (3,0,0)
- Viết tất cả các bộ số mũ: (3,0,0),(2,1,0),(1,1,1)
Giả sử có:
x3
+y3
+z3
=k1δ13 − 0 δ20 − 0 δ30
+k2δ12− 1 δ21 −0 δ30
+k3δ11 −1 δ21− 1 δ31
=k1δ13
+k2δ1δ2+k3δ3 Cho x=1, y=-2, z=1 ta được δ=0 , δ2=−3 , δ3=− 2⇒ k3=3
Cho x=1, y=1, z=0 ta được δ1=2 , δ2=1, δ3=0⇒8 k1+2 k2=2
Cho x=1, y=1, z=1 ta được:δ1=3 , δ2=3 , δ3=1⇒27 k1+9 k2+3=3
Từ đó suy ra: k1=1, k2=−3
Vậy x3+y3+z3=δ13−3 δ1δ2+3 δ3
II/ Một số ứng dụng
1 Chứng minh các hằng đẳng thức
Ví dụ 5: Cho x + y=1 , x3
+y3
=a , x5
+y5
=b
Chứng minh rằng: 5 a(a+1)=9 b+1
Giải: Ta có x3
+y3
= ¿
⇒ δ2=1− a
3 (1)
Mặt khác b=x5
+y5
+x2y3
+x3y2− x2y3− x3y2
(x3
+y3
)+y2
(x3
+y3
)− x2y2
(x + y )
¿ (x2+y2)(x3+y3)− x2y2(x + y )
(δ12−2 δ2)(δ13− 3 δ1δ2)− δ1δ22
(1 −2 δ2)(1 −3 δ2)−δ22
1+5 δ22−5 δ2=5 a2+5 a −1
9 theo(1)
Vậy: 9 b=5 a2+5 a −1 hay 9 b+1=5 a(a+1). Đpcm
2 Chứng minh các bất đẳng thức
Từ bất đẳng thức ¿¿
Từ BĐT trên ta vận dụng chứng minh các BĐT khác
Ví dụ 6: Chứng minh các BĐT
a, (ab+ac +bc ¿2≥3 abc (a+b+c )với a , b , c ∈ R
b, (a+b+c )(ab+ac +bc)≥ 9abc với a , b , c ∈ R+ ¿ ¿
Giải:
a, Từ δ12≥ 3 δ2 hay ¿
đặt x=ab , y=ac , z=bc
ta được ¿
b, Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với δ1δ2≥ 9 δ3 Do
a , b , cdương nên δ1, δ2,δ3>0 Từ các BĐT δ12≥ 3 δ2 và δ22≥ 3 δ1δ3 ta có
δ12δ22≥9 δ1δ2δ3 Suy ra δ12≥ 9 δ2δ3
Trang 33.Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức
f (x , y )=x3+3 x3y +2 x2y+3 x2 y2+ 2 xy2+3 xy3+y3 thành nhân tử
Giải: Ta có:f (x , y )=x3
+y3
+3 xy (x2
+y2 )+2 xy (x+ y)+3 x 2y2
¿δ13− 3 δ1δ2+3 δ2(δ12− 2δ2)+2 δ1δ2+3 δ22
¿ (x + y +3 y )(x2+y2+ xy).
4 Giải phương trình và hệ phương trình
Ví dụ 8: Giải phương trình
4
√x − 2+√3 − x =1
Giải: Đặt 4
√x − 2=u ,√43 − x=v Ta có: u , v ≥ 0
Khi đó ta có hệ:
u+v=1
u4+v4=1
⇒
¿
¿
Từ đó suy ra: δ2=0 hoặc δ2=2 Vì u=v=1 không xảy ra, nên δ2≠ 2
Vậy:
δ1=1
δ2=0
¿
¿
ta có
u=1 v=0
¿
¿
hoặc
u=0 v=1
¿
¿
Nếu: u=1, v=0 thì phương trình có nghiệm x=3
Nếu: u=0 , v=1 thì phương trình có nghiệm x=2
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình
Gi¶i hÖ:
3 17
x y
x y
Giải:
Ta đặt t1= x + y và t2= x y ta có hệ :
1
3
4 2 17
t
t t t t
3 ta có :
2
do đó x; y là các nghiệm của pt: u2 3 u 16 0 hoặc
Trang 4từ đó ta có:
1 2
x y
hoặc
2 1
x y
Tài liệu tham khảo
[1] Tạp chí toán học và tuổi trẻ Quyển 2, NXB Giáo dục, 2006
[2] Đậu Thế Cấp, Đai số sơ cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, 2004
[3] Ron Larson and Robert P.Hosterler, Houghton Mifflin Company Boston New York