Giới thiệu về đồ thị:

Sự đẳng cấu của đồ thị Đồ thị liên thông.. Chương 6..[r]

Trang 1

Giảng viên: ThS Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 6:

Đồ thị

Trang 2

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung (phần 2)

1 Sự đẳng cấu của đồ thị.

2 Đồ thị liên thông.

3 Chu trình và Đường đi Euler.

4 Chu trình và đường đi Hamilton.

5 Bài toán tô màu đồ thị.

Chương 6: Đồ thị 2

Trang 5

Cho 2 đồ thị đơn G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) .

G1 và G2 là đẳng cấu nếu tồn tại song ánh f sao cho:

 Hai đỉnh a và b là liên thông trong G1.

 Hai đỉnh f(a) và f(b) là liên thông trong G2.

Trang 6

Example

? )

(

? )

( )

(

) (

4

2

3 3

u f

v u

f

v u

f

Trang 8

Chứng minh sự không đẳng cấu

Các tính chất chung ( sự bất biến ) của 2 đơn đồ thị đẳng cấu:

Cùng số đỉnh.

Cùng số cạnh.

 Bậc của các đỉnh tương ứng của các đơn đồ

thị đẳng cấu phải giống nhau.

Trang 9

Example

Xác định 2 đồ thị sau có đẳng cấu không?

Trang 11

Đồ thị liên thông

Câu hỏi:

Có thể gửi thông điệp giữa 2 máy tính thông

qua đường truyền trung gian?

Có thể đi xe bus từ Barcelona sang

Manchester?

Trang 12

Khái niệm: Đường đi

PATH :

Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng hoặc có hướng.

Đường đi độ dài n (nguyên dương) từ u tới v là một dãy các cạnh {x0, x1}, {x1, x2},…,{xn-1, xn} sao

cho x0 = u và xn = v.

Trang 13

 Đường đi là chu trình (circuit):

 Bắt đầu tại u, kết thúc tại u (quay trở lại).

 Chu trình đơn : không chứa 1 cạnh quá 1 lần.

 Khi không quan tâm cạnh bội:

có thể k{ hiệu bằng dãy các đỉnh x 0 , x 1,…, x n .

Trang 14

Chương 6: Đồ thị

Trang 17

Example

Trang 18

Đồ thị (có hướng) liên thông

Tính liên thông mạnh (strong connectivity):

Nếu tồn tại đường đi giữa mọi cặp đỉnh u, v ( 2 chiều ).

Tính liên thông yếu (weak connectivity):

Nếu tồn tại đường đi giữa 2 đỉnh bất kz trên đồ thị vô hướng cơ sở ( underlying undirected graph ).

Trang 19

Example

Trang 21

Example

H có chu trình đơn độ dài 3 (v 1 , v 2 , v 3 , v 1 ).

G có chu trình đơn độ dài 3?

Trang 22

Đồ thị phân đôi ?

Trang 23

Đồ thị đẳng cấu ?

Trang 24

Đường đi Euler Đường đi Hamilton

Chương 6

Trang 25

Bài toán Kӧnigsberg

Challenge: có thể đi qua 7 cây cầu và quay về

chỗ cũ, mỗi cây cầu chỉ đi qua đúng một lần?

Question: Có một chu trình đơn trên đa đồ thị sao cho nó chứa tất cả các cạnh đúng một lần?

Trang 26

Bài toán Kӧnigsberg

Trang 29

Example

Trang 30

Điều kiện cần và đủ

Định l{ 1:

Một đa đồ thị liên thông có chu trình Euler nếu

và chỉ nếu mỗi đỉnh của nó đều có bậc chẵn

Định l{ 2:

Một đa đồ thị liên thông có đường đi Euler

nhưng không có chu trình Euler nếu và chỉ nếu

nó có đúng hai đỉnh bậc lẻ

Trang 31

Quay lại bài toán Kӧnigsberg

Challenge: có thể đi qua 7 cây cầu và quay về

chỗ cũ, mỗi cây cầu chỉ đi qua đúng một lần?

Trang 32

Xây dựng chu trình Euler

Input: G : đa đồ thị liên thông với tất cả các đỉnh bậc chẵn.

Output: C : chu trình Euler.

Khởi tạo:

C là một chu trình nào đó trong G.

Đồ thị H = G bỏ đi các cạnh thuộc C và các đỉnh cô lập.

while (H vẫn còn cạnh) do

C’ = một chu trình nào đó trong H mà đỉnh cuối thuộc C.

H = H bỏ đi các cạnh thuộc C’ và các đỉnh cô lập.

C = C ghép với C’ ở 1 đỉnh nào đó thích hợp.

end

Trang 34

Thanh đao của Mohammed

a, b, d, c, b, e, i, f, e, a

Trang 35

d, g, h, j, i, h, k, g, f, d

Trang 36

Trang 37

Trang 38

Chu trình và Đường đi Hamilton

Euler: chu trình và đường đi qua mọi cạnh đúng một lần.

Câu hỏi: có thể tạo chu trình

và đường đi qua mọi đỉnh

đúng một lần?

Trang 40

Example

Trang 41

Example

Trang 42

Không có điều kiện cần và đủ để xác định

sự tồn tại của đường đi hay chu trình

Hamilton.

Trang 43

Không có chu trình Hamilton nếu:

∃v∈V: deg(v) = 1

 Định l{ DIRAC : Đồ thị đơn G với n đỉnh (n ≥3) có

một chu trình Hamilton nếu

deg(v) ≥ n/2, ∀v ∈ V

 Định l{ ORE : Đồ thị đơn G với n đỉnh (n ≥3) có

một chu trình Hamilton nếu

deg(u) + deg(v) ≥ n, ∀ u,v ∈ V và (u, v)  E

Trang 44

Example – Gray Code

Được nêu ra bởi Frank Gray (1940s).

Phát biểu: gán nhãn các cung trên đường tròn

sao cho 2 cung cạnh nhau khác nhau đúng 1 bit.

Trang 45

Example – Gray Code

Giải quyết:

 Mô hình bài toán thành đồ thị n-cube Qn.

 Tìm chu trình Hamilton trong Qn.

 Q3.

Trang 46

Bài toán tô màu đồ thị

Chương 6

Trang 47

Khái niệm: Đồ thị phẳng

Planar graph

Đồ thị có thể vẽ trên mặt phẳng sao cho

(không phải tại điểm đầu mút).

Phép vẽ như vậy gọi là biểu diễn phẳng

( planar representation ) của đồ thị.

Trang 48

Đồ thị phẳng

Trang 49

 Mỗi nước tô 1 màu  Cần quá nhiều màu.

 Dùng ít màu hơn  Ít nhất là bao nhiêu?

Biểu diễn bản đồ thành đồ thị  Áp dụng LTĐT.

Trang 50

Tô màu đồ thị

Mô hình bản đồ thành đồ thị:

 Các quốc gia  các đỉnh.

 Hai quốc gia kề nhau  cạnh nối 2 đỉnh tương ứng.

 Lưu {: Hai quốc gia “chạm” nhau chỉ ở 1 điểm không

được coi là kề nhau.

 Đồ thị có được là đồ thị phẳng

Trang 51

 Số màu (sắc số: chromatic number) của một

đồ thị là số màu ít nhất cần để tô màu đồ thị

đó Ký hiệu:  (G )

Trang 53

Example

Trang 54

Example

Trang 56

Example

Trang 57

Example

Trang 58

Các bài toán về phân công công việc.

Lập chỉ mục thanh ghi (CPU).

Tiêu đề	Đồ Thị
Người hướng dẫn	ThS. Trần Quang Khải
Trường học	Toán Rời Rạc
Chuyên ngành	Toán Rời Rạc
Thể loại	Giáo Trình
Năm xuất bản	2011-2012

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	2,19 MB