Một vài áp dụng của phép biến đổi laplace trong phương trình vi tích phân

− − − TRƯƠNG THỊ BÍCH VÂN MỘT VÀI ÁP DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Cử Nhân Toán - Tin KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn Th.S NGUYỄN HOÀN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

TRƯƠNG THỊ BÍCH VÂN

MỘT VÀI ÁP DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG PHƯƠNG TRÌNH

VI TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Cử Nhân Toán - Tin

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2013

Mục lục

1.1 Phép biến đổi Laplace 7

1.2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 8

1.2.1 Tính chất tuyến tính 8

1.2.2 Tính chất vị tự 9

1.2.3 Tính chất trễ 10

1.2.4 Tính chất dịch chuyển ảnh 10

1.2.5 Ảnh của đạo hàm 11

1.2.6 Ảnh của tích phân 12

1.2.7 Đạo hàm và tích phân 12

1.2.8 Tích chập 13

1.2.9 Công thức Duhamel 14

1.3 Phép biến đổi Laplace ngược 15

1.3.1 Tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace ngược 15 1.3.2 Định lí dịch chuyển thứ nhất 16

1.3.3 Định lí dịch chuyển thứ hai 17

1.3.4 Đạo hàm của ảnh 17

1.3.5 Tích phân của ảnh 19

2 Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi tích phân 21 2.1 Phương trình vi phân 21

2.2 Phương trình tích phân 262.3 Phương trình vi tích phân 30

3 Áp dụng phép biến đổi Laplace đối với các phương trình

3.1 Phương trình dạng y0(t) = αy(t − h) + f (t) 333.2 Phương trình dạng y00(t) = α.y(t − h) + f (t) 363.3 Phương trình dạng y0(t) = αy(t) + βy(t − h) + f (t) 393.4 Phương trình dạng

Lời nói đầu

Toán học là một ngành khoa học không chỉ phục vụ cho chính nó, mà

nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngànhkhoa học khác Phương trình vi phân, phương trình tích phân là một trongnhững nội dung nghiên cứu của bộ môn toán giải tích, đặc biệt trong cácphương trình toán - lý Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm,

do còn nhiều bài toán cần giải quyết, việc giải phương trình vi phân vẫnthu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiêncứu ứng dụng

Biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân và cùng với biến đổiFourier là hai phép biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giảicác bài toán vật lý Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạpnhư đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số Vìvậy nó đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trìnhđạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuấthiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu,dao động điều hòa, các hệ cơ học Bởi vì qua biến đổi Laplace các phươngtrình này có thể chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn Giải

ra nghiệm là các hàm ảnh, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lạihàm gốc

Nhờ các tính chất có lợi của phép biến đổi Laplace, người ta đã áp dụng

nó để giải các phương trình hàm, phương trình vi phân thường, phươngtrình sai phân, đạo hàm riêng Cùng một quan điểm như vậy, khóa luận

đã áp dụng phép biến đổi Laplace để tiếp cận đến cách giải của phươngtrình vi phân có chậm (hay là các phương trình vi sai phân) Cho đến nay,

việc giải các phương trình vi phân có chậm vẫn luôn thôi thúc các nhàtoán học và nghiên cứu tìm ra những cách giải mới Việc sử dụng phépbiến đổi Laplace đối với phương trình vi phân có chậm là một cách tiếpcận rất thú vị Ví dụ, giải phương trình đơn giản sau:

Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương và một phụ lục

• Chương 1 Cơ sở lý thuyết về định nghĩa, các tính chất của phép biếnđổi Laplace và phép biến đổi Laplace ngược

• Chương 2 Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình

vi phân, phương trình tích phân

• Chương 3 Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải các phương trình viphân có chậm với các dạng cụ thể

• Phụ lục trình bày bảng các biến đổi Laplace

Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn HoàngThành người đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luậnnày

Tôi xin tỏ lòng cám ơn đến ban chủ nhiệm, các thầy cô và các cán bộkhoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng đã nhiệt tìnhgiảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chếnên khi thực hiện khóa luận không tránh khỏi những sai sót Tôi mongnhận được sự góp ý và những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc.Xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 27 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Trương Thị Bích Vân

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa 1.1 Ta gọi hàm phức tùy ý f (t) của biến thực t là hàm gốcnếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:

(i) f (t) = 0 khi t < 0

(ii) f (t) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục trên toàn trục trừ nhữngđiểm gián đoạn loại I tại một số điểm hữu hạn trên [a, b] với a, b ∈ R

(iii) Tăng không quá nhanh, ∃M > 0, s ≥ 0, ∀t, |f (t)| < M.es.t

Định nghĩa 1.2 Hàm F (p) của biến phức p = a + ib với Rep = a > 0,

pL(f (2t), p) = 1

2L(f (t),p

2) =

12

e− 3pp2

= e

− 3 p

p

p2 + 41.2.4 Tính chất dịch chuyển ảnh

t

0 − t cos(t))

= 1

2(sin(t) − t cos(t))1.2.9 Công thức Duhamel

Từ công thức biến đổi của tích chập, ta có công thức Duhamel:

= L (f ∗ g0) + Lf.g (0)

Định nghĩa 1.3 Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa :

Ví dụ 1.7 L(sin(at), p) = a

p2 + a2

⇒ L−1( a

p2 + a2) = sin(at)

1.3.1 Tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace ngược

Giống như phép biến đổi Laplace thuận, phép biến đổi Laplace ngượccũng có tính chất tuyến tính

12.(p + 1)



L−1 1

2.(p − 1) +

12.(p + 1) =

Ví dụ 1.11 L(eaxcos(bx)) = p − a

(p − a)2 + b2 (Rep > a)L(eaxsin(bx)) = b

(p − a)2 + b2 (Rep > a)L(eaxsinh(bx)) = b

(p − a)2 − b2 (Rep > a)L(eaxcosh(bx)) = p − a

Chứng minh (Dùng phương pháp quy nạp)

Ví dụ 1.14 L



1 − e−tt



= ln



1 + 1p



Phương pháp chung:

• Biến đổi Laplace hai vế của phương trình ban đầu

• Giải phương trình đại số đó tìm được hàm ảnh của ẩn hàm

• Biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc

Chú ý: Từ đây ta hiểu L(y(t), p) = L(y(t))

Bài tập 2.1 Giải phương trình sau:

y00(t) + y(t) = 2 cos(t) với y(0) = 0; y0(0) = −1

Lấy Laplace hai vế phương trình trên, ta có:

L(y00(t) + y(t), p) = L(2 cos(t), p)



− L−1



1(p2 + 1)2



= t sin(t) − sin(t) = (t − 1) sin(t)

Bài tập 2.2 Giải phương trình sau:

y00(t) + y(t) = 1 với y(0) = y0(0) = 0

Bài tập 2.3 Giải phương trình sau:

y0(t) − y(t) = t2et với y(0) = 2

L(y(t)) = −p

2 + p + 1p(p − 1)2

= (p − 1)

2 − 2p(p − 1) + pp(p − 1)2

= 1

p − 1 +

1(p − 1)2

L(z(t)) = 2p − 3

(p − 1)2

= 2(p − 1) − 1(p − 1)2

Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta có:

L(y0(t)) − L(y(t)) = L(et)

⇔ pL(y(t)) − y(0) − L(y(t)) = 1



= t.et

Bài tập 2.7 Giải phương trình sau:

y00(t) + y(t) = cos(t), y(0) = y0(0) = 0

Giải:

Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta có:

L(y00(t)) + L(y(t)) = L(cos(t))

⇔ p2L(y(t)) − py(0) − y0(0) + L(y(t)) = p

p2 + 1

0 + 1

2s sin(t)

t 0

Từ đó, ta dùng phép biến đổi Laplace ngược sẽ tìm được hàmy(t) cần tìm.

Bài tập 2.8 Giải phương trình sau:

Lấy Laplace hai vế phương trình trên ta được:

L(y(t)) = L(e−t) + L(sin(t)).L(y(t))

Biến đổi Laplace ngược, ta có:

p + a

Biến đổi Laplace ngược ta được:

Vậy y(t) = e−at

Bài tập 2.10 Giải phương trình sau:

Lấy Laplace hai vế của phương trình trên, ta có:

L(y(t), p) = L(sin(t), p).L(y(t), p)

Lấy Laplace hai vế của phương trình trên, ta có:

L(y(t), p) = L(cos(t), p).L(y(t), p)

Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta có:

L(y(t)) = L(sin(t)) + L(et)L(y(t))

Lấy Laplace hai vế phương trình, ta có:

L(y00, p).L(y, p) = L(t.e−at, p)

⇔ (p2.L(y, p) − p.y(0) − p.y0(0)).L(y, p) = p2.(L(y, p))2 = 1

Lấy Laplace hai vế phương trình trên, ta được:

L(y0(t)) = L(αy(t)) + βL(K(s))L(y(t)) + L(f (t))

⇔ pL(y(t)) − y(0) = αL(y(t)) + βL(K(t))L(y(t)) + L(f (t))

⇔ (p − α − βL(K(t)))L(y(t)) = L(f (t)) + y(0)

⇒ L(y(t)) = L(f (t)) + y(0)

p − α − βL(K(t))

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta tìm được hàm y(t)

Bài tập 2.15 Giải phương trình sau:

p − 1 +

√52

Ta có:

A p2 − p − 1

+ B.p p − 1 +

√52

!

+ C.p p − 1 −

√52

!

= p2.(A + B + C) − p A + 1 +

√5

C = 5 −

√510

√5

10 .

1

p − 1 +

√52

⇒ y (t) = −1 + 5 +

√5

10 .e

1− √ 5

2 t+ 5 −

√5

10 .e

1+ √ 5



1

p2 + 1 +

p2 − 1(p2 + 1)2



⇒ y(t) = L−1



12



1

p2 + 1 +

p2 − 1(p2 + 1)2



= 1

2(sin(t) + t cos(t))

Bài tập 2.17 Giải phương trình sau:

C = 1 −

√24

(1− √ 2)t + 1 −

√2

4 .e

(1− √ 2)t

Chương 3

Áp dụng phép biến đổi Laplace đối với các phương trình vi phân có

chậm

Trong toán học, phương trình vi phân có chậm là một loại phương trình

vi phân trong đó các đạo hàm của hàm chưa biết tại một thời điểm nhấtđịnh phụ thuộc vào giá trị của nó tại thời gian trước

Để giải các phương trình này, ta có thể giải theo phương pháp từng bướchoặc phương pháp tính (Xem [1]) Tuy nhiên, trong chương này khóa luận

sẽ trình bày một cách tiếp cận khác để giải các phương trình vi phân cóchậm, đó chính là sử dụng phép biến đổi Laplace Việc sử dụng phép biếnđổi Laplace chuyển các phương trình vi phân có chậm này về các phươngtrình đại số của toán tử Laplace Sau đó, để tìm nghiệm của phương trình

vi phân có chậm, ta chỉ cần tìm Laplace ngược

⇔ (p − αe−ph)L(y(t), p) = L(f (t), p) + y(0)

⇒ L(y(t), p) = L(f (t), p) + y(0)

p − αe−ph

Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta sẽ tìm được hàm y(t)

Bài tập 3.1 Giải phương trình sau:

y0(t) − 2y(t − 1) = t với y(t) = 0; t ≤ 0

Bài tập 3.3 Giải phương trình sau:

y0(t) = y(t − 1) + sin(t); y(t) = 0, t ≤ 0

Giải:

(p − e−p)(p2 + 1)

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược:

y(t) = L−1



1(p − e−p)(p2 + 1)

⇔ p2L(y(t)) − py(0) − y0(0) = αe−phL(y(t)) + L(f (t))

⇔ (p2 − αe−ph)L(y(t)) = L(f (t)) + py(0) + y0(0)

⇒ L(y(t)) = L(f (t)) + py(0) + y

0(0)

p2 − αe−ph

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta tìm được hàm y(t)

Bài tập 3.4 Giải bài toán sau:

Bài tập 3.5 Giải phương trình sau:

y00(t) − y(t − 1) = δ(t) với y(t) = y0(t) = 0, t ≤ 0

Bài tập 3.6 Giải phương trình sau:

3.3 Phương trình dạng y0(t) = αy(t) + βy(t − h) + f (t)

Cách giải:

Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta được:

L(y0(t)) = αL(y(t)) + βL(y(t − h)) + L(f (t))

⇔ pL(y(t)) − y(0) = αL(y(t)) + βe−phL(y(t)) + L(f (t))

⇔ (p − α − βe−ph)L(y(t)) = L(f (t)) + y(0)

⇒ L(y(t)) = L(f (t)) + y(0)

p − α − βe−ph

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm hàm y(t)

Bài tập 3.7 Giải phương trình sau:

y0(t) = 2y(t) + y(t − 2) + 1 với y(t) = 0, t ≤ 0

Bài tập 3.8 Giải phương trình sau:

y0(t) = y(t) + y(t − 1) + t với y(t) = 0, t ≤ 0

Bài tập 3.9 Giải phương trình sau:

y0(t) = 2y(t) + y(t − 1) + sin(t) với y(t) = 0, t ≤ 0



Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta được:

L(y0(t)) = αL(y(t − h)) + L(K(t))L(y(t)) + L(f (t))

⇔ pL(y(t)) − y(0) = αe−phL(y(t)) + L(K(t))L(y(t)) + L(f (t))

⇔ (p − αe−ph − L(K(t)))L(y(t)) = L(f (t)) + y(0)

⇒ L(y(t)) = L(f (t)) + y(0)

p − αe−ph− L(K(t))

Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm hàm y(t)

Bài tập 3.10 Giải phương trình sau:

Lấy Laplace hai vế phương trình trên, ta được:

L(y00(t)) = αL(y(t)) + βL(y(t − h)) + L(f (t))

⇔ p2L(y(t)) − py(0) − y0(0) = αL(y(t)) + βe−phL(y(t)) + L(f (t))

⇔ (p2 − α − βe−ph)L(y(t)) = L(f (t)) + py(0) + y0(0)

⇒ L(y(t)) = L(f (t)) + py(0) + y

0(0)

p2 − α − βe−ph

Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm y(t)

Bài tập 3.13 Giải phương trình sau:

y00(t) = y(t) + y(t − 1) + t, y(t) = y0(t) = 0, t ≤ 0

Bài tập 3.14 Giải phương trình sau:

y00(t) = 2y(t) + y(t − 1) + cos(t), y(t) = y0(t) = 0, t ≤ 0

Bài tập 3.15 Giải phương trình sau:

y00(t) = y(t) + 2y(t − 1) + e2t, y(t) = y0(t) = 0, t ≤ 0

Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta được:

L(y0(t)) = αL(y(t)) + βL(y(t − h)) + L(K(t))L(y(t)) + L(f (t))

⇔ pL(y(t))−y(0) = αL(y(t))+βe−phL(y(t))+L(K(t))L(y(t))+L(f (t))

⇔ (p − α − βe−ph− L(K(t)))L(y(t)) = L(f (t)) + y(0)

⇒ L(y(t)) = L(f (t)) + y(0)

p − α − βe−ph− L(K(t))

Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm y(t)

Bài tập 3.16 Giải phương trình sau:

Bảng 3.1: BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE THÔNG DỤNG

√ πa

e−ap

p √ p

√ at)

√ πa

e−a

√ p

TT f(t) F(p)

√ at)

√ πa

eap

p √ p

√ at)

√ πa

ea

√ p

at (1 + 2at)

√ πt

p (p − a)32

π

1

p √ p

49 1 √aeaterf ( √

p(p − a)

e−app(1 − e −ap )

p − 1 p(e p − a) =

1 − e−pp(1 − ae −p )

[t] − 1

a − 1

1 p(e p − a) =

e−pp(1 − ae −p ); (a 6= 1)

Kết luận

Khóa luận đã thực hiện các công việc sau:

• Tổng hợp các kiến thức trong hàm phức và tìm hiểu về phép biến đổiLaplace

• Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải một số loại phương trình khácnhau như phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trìnhtích phân,

• Đặc biệt, sử dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình

vi phân có chậm

Do thời gian thực hiện không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khóa luậnvẫn còn nhiều thiếu sót Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài là tìm cáchgiải các phương trình vi phân có chậm khác, chẳng hạn như các dạng sau:

• y00(t) = αy0(t) + βy(t − h) + f (t)

• y00(t) = αy0(t) + βy(t) + γy(t − h) + f (t)

• y00(t) = αy0(t) + βy(t) + γy(t − h) +

t

R

0

K(s)y(t − s)ds + f (t)

Tài liệu tham khảo

[1] Clement E.Falbo, Some Elementary Methods for Sloving FunctionalDifferential Equations, Sonoma State University

[2] Doetch, Introduction to the Theory and Application of the LaplaceTransform, Springer, 1970

[3] Joe L.Schiff, The Laplace Transform, Springer, 1999

[4] Marc R.Roussel, Delay differential equations, 2005

[5] Doãn Tam Hòe, Phương trình vi phân, Nxb Giáo Dục, Hà Nội, 2005.[6] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội,2000

[7] Phan Bá Ngọc, Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace, Nxb GiáoDục, 1996

[8] Nguyễn Trọng Thái, Đỗ Xuân Lôi, Nguyễn Phú Trường, Bài tậpchuyên đề toán giải sẵn, Trường đại học Bách Khoa Hà Nội, Hà Nội,1972

[9] Nguyễn Kim Đính, Phép biến đổi Laplace, Nxb Khoa học và Kĩthật,1998

[10] Võ Đăng Thảo, Hàm phức và toán tử Laplace, Trường đại học KĩThuật TP.Hồ Chí Minh, 2000

[11] Vũ Tuấn, Đoàn Văn Ngọc, Phương trình vi phân, Nxb Giáo Dục, HàNội, 1992

vi phân có chậm,... 3

Áp dụng phép biến đổi Laplace phương trình vi phân có

chậm

Trong tốn học, phương trình vi phân có chậm loại phương trình

vi phân đạo hàm hàm... cơng vi? ??c sau:

• Tổng hợp kiến thức hàm phức tìm hiểu phép biến đổiLaplace

• Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải số loại phương trình khácnhau phương trình vi phân, phương trình