Hệ phương trình tuyến tính và hình học tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính là một trong các công cụ hữu hiệu của đại số tuyến tính và có nhiều ứng dụng không những trong các lĩnh vực của toán học và tin học như đại số, hình học, giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ NGUYỆT NGA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

VÀ HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan:

a Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS TS Trần Đạo Dõng

b Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố

c Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

Lê Thị Nguyệt Nga

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4

1.1 KHÔNG GIAN VECTƠ SỐ HỌC n - CHIỀU 4

1.1.1 Vectơ n - chiều và các phép toán 4

1.1.2 Không gian vectơ số học n – chiều 5

1.1.3 Tổ hợp tuyến tính – Hệ sinh 6

1.1.4 Sự phụ thuộc tuyến tính – Độc lập tuyến tính 7

1.1.5 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 9

1.1.6 Hạng của hệ vectơ………….……… ……… 12

1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH……… 17

1.2.1 Các khái niệm cơ bản……… 17

1.2.2 Dạng ma trận và dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính 19

1.2.3 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 21

1.2.4 Cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 22

1.2.5 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 25

CHƯƠNG 2 HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH 37

2.1 KHÔNG GIAN EUCLIDE CÁC BỘ SỐ THỰC n - CHIỀU 37

2.1.1 Không gian vectơ Euclide n 37

2.1.2 Không gian Euclide các bộ số thực n – chiều 43

2.1.3 Mục tiêu trực chuẩn trong không gian n 1

44

2.1.4 Phẳng tuyến tính k - chiều trong n1 k n 45

2.1.5 Ý nghĩa hình học tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 50

2.2 HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH CÁC BỘ SỐ THỰC n – CHIỀU … 51

2.2.1 Sự vuông góc của các phẳng……….51

2.2.2 Khoảng cách giữa các phẳng 55

2.2.3 Góc trong không gian n1 66

2.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ…… ……… 69

2.3.1 Các phép biến đổi trực giao 69

2.3.2 Các phép biến đổi đẳng cự……… 70

KẾT LUẬN……… 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nội dung giáo trình toán ở trường phổ thông là các tập hợp số, đa thức, phân thức, hàm số và phương trình, trong đó có phương trình bậc nhất Ở đó chỉ mới nghiên cứu cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Một trong những hướng mở rộng Toán học phổ thông là tổng quát hóa hệ phương trình bậc nhất, đó là hệ phương trình tuyến tính Ta sẽ thấy ở đây không đỏi hỏi một điều kiện nào về số phương trình, số ẩn Lý thuyết này rất quan trọng và được hoàn thiện nhờ vào khái niệm không gian vectơ

Hệ phương trình tuyến tính là một trong các công cụ hữu hiệu của đại

số tuyến tính và có nhiều ứng dụng không những trong các lĩnh vực của toán học và tin học như đại số, hình học, giải tích, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, quy hoạch tuyến tính mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt là trong kinh tế Thông qua các thuật toán giải đa dạng, hệ phương trình tuyến tính đã được ứng dụng để khảo sát các đối tượng hình học trong các không gian nhiều chiều

Với mong muốn tìm hiểu thêm về hệ phương trình tuyến tính và được

sự gợi ý của PGS TS Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “Hệ phương trình

tuyến tính và hình học tuyến tính” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của

mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm khảo sát hệ phương trình tuyến tính, cấu trúc tập nghiệm và các thuật toán giải tương ứng Từ đó ứng dụng để khảo sát các đối tượng hình học và tính chất của chúng trong không gian Euclide các bộ số

thực n - chiều

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của đề tài là hệ phương trình tuyến tính và

các tính chất hình học trong không gian Euclide các bộ số thực n - chiều

* Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là khảo sát thuật toán giải, cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và các đối tượng, tính chất hình học

trong không gian Euclide các bộ số thực n - chiều

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo các tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài

- Tổng quan tài liệu và thể hiện tường minh các kết quả đạt được trong luận văn

- Trao đổi, thảo luận các kết quả nghiên cứu tại các buổi seminar với giáo viên hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

* Ý nghĩa khoa học

- Tổng quan một số kết quả liên quan đến hệ phương trình tuyến tính

- Góp phần làm rõ cấu trúc của hình học tuyến tính thể hiện trên không

gian Euclide các bộ số thực n - chiều

* Ý nghĩa thực tiễn

Kết quả nghiên cứu có thể làm tài liệu tham khảo cho việc khảo sát các

đối tượng hình học trong không gian Euclide các bộ số thực n - chiều thông

qua công cụ hệ phương trình tuyến tính

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn bao gồm:

Phần mở đầu

Chương 1 Hệ phương trình tuyến tính

1.1 Không gian vectơ số học n - chiều

Tài liệu tham khảo

Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ (bản sao)

1.1 KHÔNG GIAN VECTƠ SỐ HỌC n - CHIỀU

1.1.1 Vectơ n - chiều và các phép toán

Định nghĩa 1.1.1 Một vectơ n - chiều x là một bộ n số thực có thứ tự

Hai vectơ n - chiều x ( x 1, x …, 2, x ), n y (y 1, y …, 2, y ) đƣợc gọi là n

bằng nhau, ký hiệu x y, nếu x i y i,i 1, n

Bộ n số không (0, 0, …, 0) gọi là vectơ không của n, ký hiệu

Tập hợp các vectơ n - chiều đƣợc ký hiệu n

Với mọi x ( x 1, x …, 2, x ), n y (y 1, y …, 2, y ) n n, , ta định nghĩa hai phép toán sau:

- Phép cộng hai vectơ n - chiều:

1.1.2 Không gian vectơ số học n – chiều

Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp tất cả các vectơ n – chiều n

với hai phép toán cộng vectơ và phép nhân một số thực với một vectơ có 8 tính chất đặc

trƣng ở trên đƣợc gọi là không gian vectơ số học n – chiều

Nhận xét 1.1.1 Trong toán học hiện đại, khái niệm không gian vectơ

đƣợc hiểu theo nghĩa rộng hơn Trong phạm vi luận văn này thuật ngữ không gian vectơ đƣợc sử dụng để chỉ không gian vectơ n

đƣợc gọi là không gian vectơ con của không gian vectơ n nếu L đóng kín đối với phép cộng

vectơ và phép nhân vectơ với một số, tức là x , y L, ta có:

Từ định nghĩa trên suy ra:

- Mọi không gian vectơ con L đều chứa vectơ không Hơn nữa, với

mọi vectơ x L, vectơ đối x L

- Giao của hai không gian vectơ con của n

là một không gian vectơ con

của n Tuy nhiên, hợp của hai không gian vectơ con nói chung không là không gian vectơ con

- Không gian vectơ con bé nhất chứa hai không gian vectơ con M và N của n

đƣợc gọi là tổng của M và N, ký hiệu M + N Hơn nữa, ta có

Vậy Span S là không gian con của ( ) n.

Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian vectơ n

ta nói hệ S sinh ra n hay S là một hệ sinh của n

1.1.4 Sự phụ thuộc tuyến tính – Độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.1.7 Trong n, hệ vectơ { 1, 2, , m} đƣợc gọi là:

- Phụ thuộc tuyến tính nếu có m số thực 1, 2, ., m không đồng thời bằng không sao cho 1 1 2 2 m m

- Độc lập tuyến tính nếu hệ không phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là nếu có

1 2 3 0

x x x , với 1 1, 2 1, 3 1

Định lý 1.1.2 Một hệ vectơ n – chiều phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

ít nhất một vectơ của hệ biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại

Chứng minh

Ta chứng minh Định lý này cho các hệ có từ hai vectơ trở lên Xét hệ

vectơ { 1, 2, , m}, m 2

tính qua các vectơ còn lại Không mất tính tổng quát, giả sử 1 biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại:

1 2 2 m m.Khi đó, ta có:

1 2 2

1 m m

Ta thấy tổ hợp tuyến tính ở vế trái có hệ số 1 1 0, do đó hệ vectơ { 1, 2, , m} phụ thuộc tuyến tính

đó tồn tại m số thực 1, 2, ., m với ít nhất một số khác không

i biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại

Do vectơ không biểu diễn tuyến tính (tầm thường) qua các vectơ n –

chiều bất kỳ nên từ định lý này ta suy ra hệ quả:

Hệ quả 1.1.1 Mọi hệ vectơ n - chiều chứa vectơ không đều phụ thuộc

tuyến tính

Định lý 1.1.3 Nếu một hệ vectơ { 1, 2, , m} chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì hệ phụ thuộc tuyến tính

Vậy hệ { 1, 2, , m} phụ thuộc tuyến tính

Từ Định lý ta suy ra các kết quả sau:

1.1.5 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.8 Cho L là một không gian vectơ con của n

Hệ vectơ { 1, 2, ., m } của L đƣợc gọi là một cơ sở nếu thỏa mãn hai điều

kiện:

- Hệ { 1, 2, , m} là độc lập tuyến tính;

- Mọi vectơ của L đều biểu thị tuyến tính qua hệ { 1, 2, , m}

Từ định nghĩa ta suy ra một số tính chất và khái niệm sau cho không gian vectơ n(các tính chất và khái niệm này cũng đúng đối với các không gian vectơ con của n

)

Định lý 1.1.4 Giả sử không gian vectơ n

sinh bởi một hệ n vectơ Nếu

Nếu m n, quá trình trên tiếp tục đến khi n Span { u 1, u ., 2, u } n

Khi đó, vì u n 1 là một vectơ trong n, u n 1 là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ {u 1, u ., 2, u }, điều này trái với giả thiết họ n S {u 1, u ., 2, u } m

Ta có hệ e = (1, 0, …, 0); 1 e = (0, 1, …, 0); ; 2 e = (0, 0, …, 1) là một n

cơ sở của n

nên suy ra n là không gian vectơ n - chiều

Nhận xét 1.1.2 Trong không gian vectơ n, mọi hệ vectơ S gồm n

vectơ độc lập tuyến tính đều là một cơ sở

Định lý 1.1.6 Nếu S {e 1, e ., 2, e } là một cơ sở của không gian n

Từ định lý này ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.10 Cho S {e 1, e 2, , e } là một cơ sở của không n

gian n Các số 1, 2, , n đƣợc xác định một cách duy nhất bởi công thức x 1 1e 2 2e n n e gọi là các tọa độ của vectơ x đối với một cơ sở

S

Vectơ ( 1, 2, , n) n được gọi là vectơ tọa độ của x đối với cơ

Định lý 1.1.7 Giả sử không gian n

có dim n = n < , khi đó trong không gian n đối với mọi hệ k vectơ độc lập tuyến tính { u ., 1, u }, k < n k

đều có thể bổ sung thêm n – k vectơ { u k 1, ., u } để được hệ { n u ., 1, u , k

Mâu thuẩn này chứng tỏ k 1 0 Vậy u1 k u k

Mà theo giả thiết hệ {u ., 1, u } độc lập tuyến tính nên k

1 k 0. Vậy hệ vectơ {u ., 1, u , k u } độc lập tuyến tính k 1

Lý luận tương tự như vậy, ta thu được cơ sở cần tìm

1.1.6 Hạng của hệ vectơ

Định nghĩa 1.1.11 Trong n, cho hệ vectơ S { 1, 2, ., m} Hệ

vectơ S được gọi là có hạng r nếu tồn tại một hệ con r vectơ độc lập tuyến tính của S và mọi hệ con có nhiều hơn r vectơ của S đều phụ thuộc tuyến tính

Nói cách khác, hạng của hệ vectơ là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ Ký hiệu: ( )r S , ta có ( ) r S m

Định lý 1.1.8 Hạng của hệ vectơ S { 1, 2, ., p} bằng số chiều

của không gian con sinh bởi họ S, tức là

Chứng minh

Đặt ( )r S p Trong hệ S có nhiều nhất p vectơ độc lập tuyến tính

1, 2, , p Khi đó với i p 1, p 2, , n ta suy ra hệ các vectơ { 1,

2, , p, i} phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại p 1 số i không đồng thời bằng 0 sao cho:

Vậy dimSpan S( ) p r S ( )

Định lý 1.1.9 Nếu hệ các vectơ { 1, 2, , m} trong n có hạng

bằng r thì mọi vectơ của hệ này đều biểu thị tuyến tính qua hệ con bất kỳ của

hệ có r vectơ độc lập tuyến tính

Chứng minh

i } độc lập tuyến tính Điều này mâu thuẫn

với giả thiết Vậy 0 0, ta có

Định lý 1.1.10 Hạng của một hệ vectơ không thay đổi nếu ta thêm vào

hệ một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của hệ, hoặc bớt đi một vectơ

là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại của hệ

Nhƣ vậy mọi vectơ của hệ {x, 1, 2, , m} biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ con của nó, do đó là một cơ sở của hệ vectơ {x,

1, 2, , m}

Điều này chứng tỏ mọi cơ sở của hệ vectơ {x, 1, 2, , m} đều là

cơ sở của hệ vectơ { 1, 2, ., m}, do đó hai hệ vectơ đó có hạng bằng

nhau

Định nghĩa 1.1.12 Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ vectơ đƣợc

gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

1 Đổi chỗ hai vectơ của hệ;

2 Nhân một vectơ của hệ với một số k 0;

3 Cộng vào một vectơ của hệ tích của một vectơ khác trong cùng hệ đó với một số bất kỳ

Định lý 1.1.11 Các phép biến đổi sơ cấp đối với một hệ vectơ không

làm thay đổi hạng của hệ

Hạng của hệ vectơ {k 1, 1, 2, ., m} bằng hạng của hệ vectơ {k 1, 2, ., m} do vectơ 1 biểu diễn tuyến tính đƣợc qua các vectơ của

3 Từ hệ vectơ { 1, 2, , m} cộng vào vectơ 1 tích của vectơ 2với số k 0, ta đƣợc hệ vectơ: { 1 k 2, 2, , m}

Nhân vectơ 1 của hệ đã cho với một số k 0 ta đƣợc hệ vectơ

{k 1, 2, , m}

Áp dụng định lý trên ta thấy cả hai hệ đều có hạng bằng hạng của hệ vectơ: { 1 k 2, 1, 2, , m}

Thật vậy, hạng của hệ vectơ { 1 k 2, 1, 2, ., m} bằng hạng của

hệ { 1, 2, , m} do vectơ 1 k 2 biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của

hệ { 1, 2, , m}:

1 k 2 1 k 2 0 3 0 m.Hạng của hệ vectơ { 1 k 2, 1, 2, ., m} bằng hạng của hệ { 1 k 2, 2, , m} do vectơ 1 biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ

1 1 k 2 k 2 0 3 0 m

Từ đó hai hệ vectơ { 1, 2, ., m}, { 1 k 2, 2, ., m} có hạng bằng nhau Vậy phép biến đổi sơ cấp thứ ba không làm thay đổi hạng của hệ vectơ

Ví dụ 1.1.4 Tính hạng của hệ vectơ S {x 1, x 2, x 3, x 4, x } 5 3với

x (1, 2, 3), x2 (2, 3, 4), x3 (3, 5, 7), x4 (1, 1, 1), x5 (0, 1, 2)

Giải

Ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trực tiếp trên các vectơ của

hệ để xác định hạng của hệ vectơ S Tuy nhiên, để đơn giản cách tính toán, ta

chuyển về ngôn ngữ ma trận với chú ý rằng các phép biến đổi sơ cấp nêu trên

có thể định nghĩa cho các hàng (cột) của ma trận và Định lý 1.1.11 vẫn đúng cho trường hợp các hàng (cột) của ma trận

Lập ma trận A với năm hàng là năm vectơ tọa độ của các vectơ đã cho

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2.1 Cho hệ phương trình gồm m phương trình, n ẩn số có

dạng:

do của phương trình thứ

Hệ phương trình (1.2.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát

và có thể viết gọn hơn dưới dạng:

Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1.2.1) là một

bộ n số thực có thứ tự ( 1, 2, ., n) sao cho khi thay x i i (i 1, )n

vào tất cả các phương trình của hệ (1.2.1) ta được các đẳng thức đúng

Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính được gọi là tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính đó

- Nếu hệ (1.2.1) có một nghiệm duy nhất thì gọi là hệ xác định

- Nếu hệ (1.2.1) có nhiều nghiệm thì gọi là hệ không xác định

- Nếu hệ (1.2.1) không có nghiệm thì gọi là hệ vô nghiệm

Định nghĩa 1.2.3.Hai hệ phương trình tuyến tính

Nhận xét 1.2.1. Các phép biến đổi sau đây là phép biến đổi tương đương:

a) Thay đổi thứ tự các phương trình của hệ (1.2.1);

b) Loại khỏi hệ (1.2.1) các phương trình có hệ số của các ẩn và hệ số

tự do đều bằng 0;

c) Nhân hai vế của một phương trình với một số k 0;

d) Cộng hai vế của một phương trình vào các vế của một phương trình khác

1.2.2 Dạng ma trận và dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính

Cho hệ phương trình tuyến tính (1.2.1)

Theo phép toán nhân hai ma trận và định nghĩa hai ma trận bằng nhau ta

có thể viết hệ phương trình tuyến tính (1.2.1) dưới dạng ma trận như sau:

Hệ thức (1.2.3) gọi là dạng vectơ của hệ phương trình (1.2.1)

Nhận xét 1.2.2 Các phép biến đổi tương đương từ a) đến d) ở trên thực

chất là các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận mở rộng A

1.2.3 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Định lý 1.2.1 (Định lý Kronecker – Capelli) Hệ phương trình tuyến

tính (1.2.1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma

trận mở rộng A

Chứng minh

theo dạng vectơ (1.2.3) của hệ ta có:

Ta có B Span{ A 1, A …., 2, A } nên tồn tại n i , i 1,n sao cho

1 2

1 2 n n

Suy ra vectơ ( 1, 2, ., n) là một nghiệm của hệ (1.2.1)

1.2.4 Cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

a) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Định lý 1.2.2 Giả sử hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

1

0,

n

ik k k

a x i 1,m (1.2.4)

có hạng ma trận hệ số bằng k Khi đó tập hợp N các nghiệm của hệ (1.2.4) là 0

một không gian vectơ con (n – k) - chiều của không gian vectơ n Tập hợp các nghiệm này được gọi là không gian nghiệm của hệ thuần nhất (1.2.4)

Điều này chứng tỏ , t là các nghiệm của hệ (1.2.4) Nói cách khác, tập hợp tất cả các nghiệm là một không gian con của không gian n.

Khi r A k n thì không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất

(1.2.4) là một không gian con (n – k) - chiều của không gian n

Thật vậy, khi k < n hệ thuần nhất (1.2.4) có (n – k) - ẩn tự do Trong

không gian n, giả sử (x 1, x ., 2, x ) là các ẩn chính, ( k x k 1, x k 2, ., x ) là n

các ẩn tự do Khi đó mỗi bộ (n – k) số ( t k 1, , t ) bất kỳ gán cho các ẩn tự do n

bằng vectơ không khi và chỉ khi k k 1 k k 2 k n 0

Bây giờ xét một nghiệm bất kỳ của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với bộ số (t k 1, , t ) gán cho các ẩn tự do ( n x k 1, x k 2, , x ) n

Khi đó, có thể biểu thị dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm k 1, k 2, , n với các hệ số tương ứng (t k 1, , t ), tức là ta có: n

Định nghĩa 1.2.4 (Hệ nghiệm cơ bản)

Mỗi cơ sở {u 1, u ., 2, u n k} của không gian con nghiệm N của hệ 0

phương trình tuyến tính thuần nhất được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình này Khi đó, mỗi nghiệm ( 1, 2, , n) của hệ đều có thể biểu diễn tuyến tính duy nhất qua hệ nghiệm cơ bản {u 1, u ., 2, u n k}

b) Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ thuần nhất (1.2.6) gọi là hệ thuần nhất liên kết với hệ (1.2.5)

Định lý 1.2.3 Giả sử N là không gian con nghiệm của hệ thuần nhất 0

Giả sử 0

trong đó ( 1, …, n) N Ta có 0.( , …, ) = ( 0

, …, 0

)

Trong hệ thức (a) thay x bởi k kta có:

1.2.5 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

a) Phương pháp giải hệ Cramer

Định nghĩa 1.2.5.Xét hệ n phương trình n ẩn số:

3 2 2

Để giải hệ Cramer, ta có thể sử dụng dạng ma trận của hệ phương trình

tuyến tính: AX B. Do ma trận A khả nghịch nên hệ có nghiệm duy nhất:

X A B 1

Ngoài ra, có thể sử dụng phương pháp định thức thể hiện trong định lý sau đây

Định lý 1.2.4 (Quy tắc Cramer) Hệ Cramer có 1 nghiệm duy nhất và

nghiệm của hệ được xác định như sau:

trong đó D detA là định thức của ma trận hệ số, D là định thức suy ra từ i

định thức D bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do, i 1, n

Chứng minh

Xét dạng ma trận của hệ Cramer là AX B, với detA 0

DodetA 0 nênA có ma trận nghịch đảo 1

ij

1det

T nn

A với A là ij

phần bù đại số của phần tử aij của ma trận ;A , i j 1, n

Thay giá trị của 1

ij

1det

T nn

3 1 2

D A nên hệ đã cho là hệ Cramer và

hệ có nghiệm duy nhất đƣợc tìm nhƣ sau:

1 1

D

2 2

3 3

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (1, 1, 1)

Áp dụng quy tắc Cramer ta thu được kết quả sau

Định lý 1.2.5 Hệ n phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn số

1

0

n

ik k k

a x i 1, m (1.2.9) chỉ có nghiệm tầm thường (0, 0, …,0) khi và chỉ khi định thức A 0

Chứng minh

Điều kiện cần: Nếu hệ thuần nhất (1.2.9) chỉ có nghiệm tầm thường

(0, 0, …, 0) thì hệ vectơ cột của ma trận A độc lập tuyến tính Vậy A 0

Điều kiện đủ: Nếu ma trận A của hệ thuần nhất (1.2.9) có định thức

0,

A khi đó hệ phương trình (1.2.9) là một hệ Cramer, do đó hệ chỉ có nghiệm duy nhất, đó là nghiệm tầm thường (0, 0, …, 0)

Định lý đã được chứng minh

Nhận xét 1.2.3 Định lý trên đối với hệ phương trình tuyến tính thuần

nhất có một vai trò rất quan trọng trong việc áp dụng

b) Phương pháp Gauss

Đối với các hệ phương trình tuyến tính có nhiều phương trình, nhiều ẩn

ta thường dùng phương pháp Gauss để giải Đó là phương pháp khử dần các

ẩn thể hiện như sau

Giả sử a11 0 (nếu a11 0 thì thay đổi thứ tự các phương trình), chia

hai vế của phương trình thứ nhất cho a Tiếp đó, nhân hai vế của phương 11

trình nhận được lần lượt với a21, a31,…, a rồi cộng vào hai vế tương m1

Hệ (H ) có số phương trình là p, vì có thể có một vài phương trình 2

giống nhau hoặc có phương trình có tất cả các hệ số đều bằng 0 được loại ra

khỏi hệ nên p m

- Bước 2:

Trong hệ (H ), giữ nguyên phương trình thứ nhất và tiếp tục biến đổi 2

như bước 1 đối với p – 1 phương trình còn lại, v.v… Nếu trong hệ ( H ) có 2

Cuối cùng ta được một hệ r phương trình có dạng bậc thang tương

đương với hệ (H ) sau: 1

Các trường hợp sau đây có thể xảy ra:

Trường hợp 1: Nếu trong quá trình gặp phương trình vô nghiệm dạng

tìm nghiệm bằng cách giải hệ từ dưới lên và thay dần các giá trị

x là các tham số (lấy giá trị tùy ý) và chuyển

các số hạng chứa các ẩn đó sang vế phải; rồi dùng phương pháp ở trường hợp

2 để giải đối với các ẩn

Trong thực hành, ta biến đổi hệ phương trình (H ) về hệ bậc thang (1 H ), 3

thay cho việc biến đổi các phương trình ta biến đổi các hàng và đổi chỗ các cột của ma trận mở rộng của hệ (H ) về ma trận mở rộng của hệ (1 H ) 3

Ví dụ 1.2.3 Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ

phương trình

Nghiệm tổng quát của hệ: ( 2a 3 ,b a, 2 ,b ) b với a, b

Từ nghiệm tổng quát cho (a 1, b 0); (a 0, b 1) Ta được một hệ nghiệm cơ bản (và cũng là một cơ sở của không gian nghiệm) là: (-2, 1, 0, 0); (-3, 0, -2, 1)

Ví dụ 1.2.4 Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất

3 3 2

4 4 2

2 4

A

Ta chọn x 1, x làm ẩn cơ bản và 4 x 2, x làm ẩn không cơ bản, ta có: 3

(*) tương đương với 1 4 2 3

Cho x2 1, x3 0 ta có nghiệm của hệ đã cho là (-2, 1, 0, 0)

Cho x2 0, x3 1 ta có nghiệm của hệ đã cho là (0, 0, 1, 2)

Vậy hệ nghiệm cơ bản của hệ đã cho là: (-2, 1, 0, 0) và (0, 0, 1, 2)

x x

Mọi nghiệm của hệ ba phương trình đầu đều là nghiệm của phương trình cuối cùng Do đó chỉ cần giải hệ gồm ba phương trình cuối cùng Hệ có nghiệm duy nhất (1, 2, -1)

Ma trận cuối cùng ứng với hệ phương trình

2

5 10 14

,2

Vì r A r A( ) nên hệ vô nghiệm

c) Phương pháp chung giải hệ phương trình tuyến tính

Để giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát

trường hợp sau đây có thể xảy ra:

- Nếu r A r A hệ đã cho vô nghiệm;

- Nếu r A r A r hệ đã cho có nghiệm;

theo phương pháp Cramer hoặc phương pháp khác

chọn ra r phương trình, r ẩn số sao cho trong r phương trình đã chọn hệ số của

r ẩn này lập thành định thức con khác 0 Các phương trình được chọn gọi là

2 2 1

3 3 1

2 5

11

x x x x