Định lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng trên không gian vectơ tôpô

LỜI NÓI ĐẦUGiải tích là một môn học rất trừu tượng và luôn được xem là môn chuyênngành trong lĩnh vực toán học ở môi trường đại học, cao đẳng hiện nay.Với nhiều nội dung, giải tích được

MỤC LỤC

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Chương 1: Các định nghĩa và tính chất sơ cấp về không gian vectơ tôpô 4

§ 1.1 Các khái niệm cơ bản 4

§ 1.2 Tính tách được 14

§ 1.3 Ánh xạ tuyến tính liên tục 19

§ 1.4 Tính bị chặn và tính liên tục 23

§ 1.5 Không gian thương 26

Chương 2: Định lý cơ bản trên không gian tôpô 30

§ 2.1 Phạm trù Baire và định lý Banach-Steinhause 30

§ 2.2 Định lý ánh xạ mở 36

§ 2.3 Định lý đồ thị đóng 39

Kết luận 41

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích là một môn học rất trừu tượng và luôn được xem là môn chuyênngành trong lĩnh vực toán học ở môi trường đại học, cao đẳng hiện nay.Với nhiều nội dung, giải tích được nghiên cứu trên nhiều không gian khácnhau như: không gian metric, không gian tôpô, không gian định chuẩn,không gian Banach, Tính chất của mỗi không gian được thể hiện rõ ởcác định lý cơ bản của giải tích

Quan tâm đến vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy LươngQuốc Tuyển, em xin được trình bày các định lý cơ bản của giải tích trênkhông gian vectơ tôpô Do giới hạn về thời gian nên khuôn khổ luận vănchỉ trình bày hai định lý cơ bản, tên của hai định lý đó cũng chính là tên đề

tài của khóa luận: "Định lý ánh xạ mở và Định lý đồ thị đóng trên không gian vectơ tôpô".

Với mục đích trên, bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương

Chương 1: Các định nghĩa và tính chất sơ cấp về không gian vectơ tôpô.

Trong chương này, em xin nhắc lại một số khái niệm cơ bản về khônggian vectơ tôpô như: không gian vectơ, không gian tôpô, lân cận, khônggian vectơ tôpô, thông qua chứng minh nhiều mệnh đề để hiểu hơn về tậphút, tập cân, tập lồi, tập tuyệt đối lồi, , từ đó trình bày một số tính chất

sơ cấp về không gian tôpô là: tính tách được, ánh xạ tuyến tính liên tục,tính bị chặn và tính liên tục, cuối cùng là không gian thương

Chương 2 Định lý cơ bản trên không gian vectơ tôpô.

Bài đầu tiên trong chương này, em xin trình bày về phạm trù Baire,nội dung và chứng minh Định lý Banach-Steinhause Phần tiếp theo, emxin trình bày và chứng minh Định lý ánh xạ mở Cuối cùng nội dung khóaluận xin được trình bày và chứng minh Định lý đồ thị đóng

Do giới hạn về mặt thời gian và khuôn khổ của khóa luận nên một số nội

dung trình bày trong khóa luận em xin trích dưới dạng bổ đề, không chứngminh cụ thể, nhưng ở cuối khóa luận có trình bày một số tài liệu tham khảo.

Sau đây là một số ký hiệu được viết trong khóa luận

R, C lần lượt là tập hợp các số thực, số phức, N∗ là tập hợp các số

tự nhiên khác 0 Ánh xạ π −1 : X → GΛ là ánh xạ ngược của ánh xạ

π : GΛ → X Giả sử A, C là các tập con của không gian vectơ tôpô X Khi

đó, phần trong của A được ký hiệu là A hay intA, C là bao đóng của C0trong X, X \A là phần bù của A trong X.

Ký hiệu Bổ đề.[1] nghĩa là bổ đề được tham khảo từ tài liệu [1] ở danhmục tài liệu tham khảo

Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn đến thầyLương Quốc Tuyển, thầy đã giới thiệu, cung cấp tài liệu và tận tình hướngdẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này Đồng thời em cũng xin bày tỏlòng cảm ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô giáo trong Khoa Toán,Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã dạy bảo em tận tình trongsuốt bốn năm học của em tại trường Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình

và tất cả bạn bè trong lớp 08CTT2 đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện

để em có thể hoàn thành khóa luận và quá trình học của mình

Dù đã cố gắng nhưng do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều,kiến thức còn hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót

về mặt nội dung và cách trình bày Vì vậy, em rất mong nhận được nhữnglời chỉ bảo quý báu của quý thầy cô và những góp ý của bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Mỹ Hương

CHƯƠNG I

CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT SƠ CẤP VỀ

KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

§ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1 Định nghĩa Gọi Φ là trường số thực hoặc là trường số phức Một

không gian vectơ trên Φ là một tập E khác rỗng, trong đó có một phép cộng E × E → E và một phép nhân vô hướng Φ × E → E thỏa mãn

vô hướng)

(7) (λµ)x = λ(µx) (Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong

trường các số vô hướng)

(8) 1.x = x (Phần tử đơn vị của trường Φ có tính chất của phần tử đơn

vị với phép nhân vô hướng)

Với mọi x, y, z ∈ E, với mọi λ, µ ∈ Φ.

1.1.2 Định nghĩa Cho τ là một họ gồm các tập con nào đó của X Ta

nói τ là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn ba tính chất

(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ.

(ii) Nếu U, V ∈ τ thì U ∩ V ∈ τ.

(i) Giao hữu hạn các phần tử của τ cũng là phần tử của τ

(ii) Hợp tùy ý các phần tử của τ cũng là phần tử của τ

1.1.3 Định nghĩa.

(i) Tập mở, tập đóng, lân cận Cho không gian tôpô (X, τ ).

(a) Mọi tập thuộc τ được gọi là tập mở, tập có phần bù là tập mở được gọi là tập đóng.

(b) Với mỗi điểm x ∈ X, tập V ⊂ X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V

(c) Họ U các lân cận của điểm a được gọi là một cơ sở lân cận của điểm a nếu với mọi lân cận U của điểm a đều tồn tại tập V ∈ U sao cho V ⊂ U

(ii) Điểm trong, điểm ngoài, phần trong và bao đóng Cho không gian tôpô (X, τ ), x ∈ X và tập A ⊂ X.

(a) x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở G sao cho

x ∈ G ⊂ A Ngược lại, x được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ X\A.

(b) Phần trong của tập A ký hiệu là intA hoặc A, là tập tất cả các0điểm trong của A Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn nhất chứa trong A.

(c) Bao đóng của tập A ký hiệu A, là tập đóng bé nhất trong X chứa A.

(iii) Tập hợp trù mật Trong không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A = X.

Nếu intA = ∅ thì A được gọi là tập thưa (hay tập không đâu trù mật) (iv) Tập thuộc phạm trù Cho không gian tôpô X.

• Tập con F ⊂ X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất trong X nếu

F bằng hợp đếm được các tập không đâu trù mật Ký hiệu,

F = ∪∞

i=1

A i

Trong đó, A i là tập không đâu trù mật trong X, i = 1, 2,

• Tập con F của X được gọi là thuộc phạm trù thứ hai trong X nếu

F không thuộc phạm trù thứ nhất.

Nhận xét.

(i) Hợp tất cả các tập thuộc phạm trù thứ nhất là thuộc phạm trù thứ nhất (ii) Bao đóng của tập hợp thuộc phạm trù thứ hai trong X cũng thuộc phạm trù thứ hai trong X.

1.1.4 Định nghĩa Cho X là không gian vectơ trên trường Φ (Φ là trường

số thực hoặc là trường số phức) Ta nói rằng tôpô τ trên X tương thích với cấu trúc đại số trên X nếu các phép toán đại số trên X (cộng và nhân vô

hướng) đều liên tục theo tôpô đó, nghĩa là

(a) Với mọi x, y ∈ X, với mọi lân cận W của điểm x + y, tồn tại lân cận

U của x và lân cận V của y sao cho U + V ⊂ W

(b) Với mọi x ∈ X, với mọi α ∈ Φ, với mọi lân cận W của αx, tồn tại một lân cận U của điểm x và số r > 0 sao cho βU ⊂ W ,với mọi β ∈ Φ mà

|β − α| < r.

1.1.5 Định nghĩa Không gian vectơ X trên trường Φ được gọi là không

gian vectơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính) nếu trên đó đã cho một tôpô τ tương thích với cấu trúc đại số trên X sao cho mỗi điểm của X là

một tập con đóng.

1.1.6 Định nghĩa Cho ánh xạ

f : X → Y

x 7→ f(x) = y Ánh xạ f được gọi là

(i) Đơn ánh khi và chỉ khi với mọi x1, x2 ∈ X, x1 ̸= x2 suy ra f (x1) ̸= f(x2)

(ii) Toàn ánh khi và chỉ khi với mọi y ∈ Y suy ra tồn tại x ∈ X sao cho

y = f (x).

(iii) Song ánh khi và chỉ khi f vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh.

(iv) Liên tục tại x nếu với mọi U là lân cận của f (x), tồn tại lân cận V của x sao cho f (V ) ⊂ U.

(v) Đồng phôi khi và chỉ khi f (x) vừa song ánh, vừa liên tục và ánh xạ ngược f −1 (x) cũng liên tục.

1.1.7 Bổ đề.[1] (phần 1.7 trang 8) Giả sử X là không gian vectơ tôpô.

Khi đó, với mọi a ∈ X, với mọi α ∈ Φ mà α ̸= 0, ta có

(a) Phép tịnh tiến cho bởi f (x) = x + a, với mọi x ∈ X;

(b) Phép vị tự cho bởi g(x) = αx, với mọi x ∈ X

(iii) Tập con V của không gian vectơ tôpô X được gọi là đối xứng nếu

−x ∈ V, với mọi x ∈ V

1.1.8 Hệ quả Giả sử a ∈ X, α ∈ Φ, α ̸= 0 Khi đó,

(i) Tập A ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi a + A mở.

(ii) U là lân cận của 0 ∈ X khi và chỉ khi αU là lân cận của điểm 0.

1.1.9 Định nghĩa

Ta gọi một cơ sở lân cận B của điểm 0 trong không gian vectơ tôpô X là

cơ sở địa phương của X.

1.1.10 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) là không gian vectơ tôpô, B là một

cơ sở của tôpô τ Dãy {x n } ⊂ X được gọi là τ dãy-Cauchy nếu với mỗi tập

V ∈ B tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N ∗ sao cho x

n − x m ∈ V, với mọi m, n ≥ n0

1.1.11 Định nghĩa.

(a) Không gian metric là một cặp (X, d) trong đó, X là một tập hợp,

d : X × X → R là một hàm xác định trên X × X thỏa mãn các điều

kiện sau

(i) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 tương đương với x = y (Tiên đề đồng

nhất);

(ii) d(x, y) = d(y, x) (Tiên đề đối xứng);

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Tiên đề tam giác);

Với mọi x, y, z ∈ X.

Hàm d được gọi là metric trên X Mỗi phần tử của X được gọi là điểm của không gian X, số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y.

Không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X

đều hội tụ

(b) Cho không gian metric X, x0 ∈ X, r > 0 Đặt

(i) S (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) < r } được gọi là hình cầu mở tâm x0,

bán kính r.

(ii) S (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r.

Lưu ý.[1] (phần 1.28 trang 21)

(i) Metric d ở trên X được gọi là bất biến nếu

d(x + z, y + z) = d(x, y), với mọi x, y ∈ X.

(ii) Nếu d là metric bất biến trên không gian vectơ tôpô X, thì

d(nx, 0) ≤ nd(x, 0), với mọi x ∈ X, với mọi n ∈ N ∗

1.1.12 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian vectơ tôpô X.

Khi đó,

(i) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X, tồn tại λ > 0 sao cho

x ∈ αA, với mọi α ∈ Φ mà |α| ≥ λ.

(ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A, ta có αx ∈ A, với mọi

α ∈ Φ mà |α| ≤ 1.

(iii) Tập con A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1] ta có

λx + (1 − λ)y ∈ A.

(iv) Tập A được gọi là tuyệt đối lồi nếu A vừa lồi vừa cân.

(v) Tập A được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận V của điểm 0 ∈ X, tồn tại số δ > 0 sao cho A ⊂ tV , với mọi t > δ.

1.1.13 Mệnh đề.

Giả sử A là tập con của không gian vectơ tôpô X Khi đó,

(a) A tuyệt đối lồi khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ X, với mọi α, β ∈ Φ mà

|α| + |β| ≤ 1, ta có αx + βy ∈ A.

(b) Nếu A là tập tuyệt đối lồi khác rỗng, thì với mọi λ, µ ∈ Φ, mà |λ| ≤ |µ|,

Tiếp theo ta chứng minh A là tập cân Thật vậy, giả sử x ∈ A, α ∈ Φ

mà |α| ≤ 1 Lấy y bất kỳ, β = 0 Khi đó, nhờ giả thiết điều kiện đủ

ta suy ra

αx = αx + βy ∈ A.

Do vậy, A là tập hợp cân.

Từ chứng minh trên ta suy ra A là tập tuyệt đối lồi Hơn nữa,

Giả sử A tuyệt đối lồi, x, y ∈ A, α, β ∈ Φ mà |α| + |β| ≤ 1 Ta cần chứng minh rằng αx + βy ∈ A Thật vậy,

(+) Nếu α = 0 hoặc β = 0 thì từ tính cân của A ta suy ra

(+) Nếu µ = 0, thì λ = 0 Do vậy, λA = {0} = µA.

(+) Nếu µ ̸= 0, thì do |λ| ≤ |µ| nên

λ µ ≤ 1 Suy ra với mọi x ∈ A ta

có λ

µ x ∈ A, kéo theo λA ⊂ µA, với mọi x ∈ A.

(c) Giả sử A là tập tuyệt đối lồi, A ̸= ∅ Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp theo n Với n=2, giả sử λ1, λ2 ∈ Φ Khi đó,

1.1.15 Định nghĩa (Không gian compact) Cho X là một không gian

tôpô Một họ {G α } α ∈I các tập mở của X được gọi là phủ mở của X

nếu ∪

α ∈I

G α = X.

Không gian X được gọi là compact nếu phủ mở {G α } α ∈I tồn tại tập con

hữu hạn J ⊂ I sao cho {G α } α ∈J cũng là phủ mở của X.

Tập K ⊂ X được gọi là tập compact nếu không gian con K cùng với tôpô cảm sinh trên X là không gian compact, nghĩa là với mọi phủ của K gồm các tập con mở trong không gian con K đều tồn tại phủ con hữu hạn.

1.1.16 Định nghĩa Giả sử X là không gian vectơ tôpô trên trường Φ.

(a) X được gọi là không gian lồi địa phương, nếu nó có một cơ sở địa

phương B sao cho mọi phần tử của B là các tập hợp lồi.

(b) X được gọi là không gian bị chặn địa phương, nếu nó có một lân cận

(c) X được gọi là không gian chính quy nếu với mọi x ∈ X, với mọi tập đóng F ⊂ X sao cho x /∈ F , luôn tồn tại các lân cận mở U của x,

V của F sao cho U ∩ V = ∅.

(d) X được gọi là T3-không gian nếu X là T1-không gian và X là không

gian chính quy

1.1.18 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô, Y ⊂ X.

Khi đó, họ U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V, V ∈ τ} là một tôpô trên Y , tôpô U được gọi là tôpô cảm sinh sinh bởi tôpô τ trên Y

Không gian tôpô (Y, U) được gọi là không gian con của không gian tôpô (X, τ ).

1.1.19 Bổ đề Nếu X là T2-không gian và là không gian compact địa phương thì X là không gian chính quy.

§ 1.2 TÍNH TÁCH ĐƯỢC 1.2.1 Bổ đề Giả sử W là một lân cận của 0 trong không gian vectơ

tôpô X Khi đó, tồn tại một lân cận đối xứng U của 0 sao cho

U + U ⊂ W

Chứng minh.

Nhờ tính liên tục của phép toán cộng tại điểm (0, 0) ∈ X × X nên với lân cận W của điểm 0 trong X, tồn tại các lân cận V1, V2 của 0 ở trong X sao cho V1 + V2 ⊂ W Đặt

U = V1 ∩ V2 ∩ (−V1)∩ (−V2)

Khi đó, U là lân cận cần tìm

Nhận xét.[1] (phần 1.10, trang 9)

Áp dụng Bổ đề 1.2.1 khi thay W bởi U ta suy ra, tồn tại một lân cận V

của 0 sao cho

V + V + V + V ⊂ W

Bởi vì 0∈ V nên ta cũng suy ra V + V + V ⊂ W

1.2.2 Định lý Giả sử K và C là các tập con của không gian vectơ

tôpô X, K là tập compact, C là tập đóng và K ∩ C = ∅ Khi đó, tồn tại lân cận V của điểm 0 sao cho

(K + V ) ∩ (C + V ) = ∅.

Chứng minh.

- Nếu K = ∅, thì kết luận của Định lý 1.2.2 là hiển nhiên.

- Nếu K ̸= ∅, thì với điểm bất kỳ x ∈ K, vì K ∩ C = ∅ nên suy ra

x ∈ X\C kéo theo −x + X\C là lân cận của 0 Nhờ Hệ quả 1.1.8 và Nhận xét ở Bổ đề 1.2.1 ta suy ra tồn tại lân cận đối xứng V x của điểm 0

trong X sao cho

V x + V x + V x ⊂ −x + X\C.

Cộng hai vế của bao hàm thức trên cho x ta được

x + V x + V x + V x ⊂ X\C.

Suy ra (x + V x + V x + V x)∩ C = ∅ Do V x đối xứng nên ta có

1.2.3 Hệ quả Với các giả thiết của Định lý 1.2.2, tồn tại lân cận V của

điểm 0 sao cho

(K + V ) ∩ (C + V ) = ∅.

Suy ra

V ∩ (C + V ) = ∅.

Vì C ⊂ C + V nên từ kết quả trên ta có V ∩ C = ∅ Do vậy, V ⊂ U.

1.2.5 Định lý Giả sử X là một không gian vectơ tôpô Khi đó,

(a) Nếu A ⊂ X và B là một cơ sở lân cận bất kỳ của 0 ∈ X thì

Trước tiên ta chứng minh rằng A ⊂ B Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ A

và bất kỳ V ∈ B Khi đó, x − V là một lân cận của điểm x Vì x ∈ A nên (x − V ) ∩ A ̸= ∅ Suy ra tồn tại a ∈ (x − V ) ∩ A, kéo theo tồn tại v ∈ V sao cho a = x − v Do đó, x = a + v ∈ A + V với mọi

V ∈ B Bởi vậy, A ⊂ B.

Tiếp theo ta chứng minh rằng B ⊂ A Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ B và lân cận bất kỳ U của x Khi đó, U − x là lân cận của 0 nên tồn tại

V ∈ B sao cho −V ⊂ U − x, kéo theo x − V ⊂ U Mặt khác, vì

x ∈ B nên x ∈ A + V Suy ra (x − V ) ∩ A ̸= ∅, kéo theo U ∩ A ̸= ∅.

Vì x ∈ A, y ∈ B nên U ∩ A ̸= ∅, V ∩ B ̸= ∅, nghĩa là tồn tại

a ∈ A ∩ U, tồn tại b ∈ B ∩ V Khi đó, ta có a + b ∈ (A + B) ∩ W Vậy, x + y ∈ A + B Do vậy, A + B ⊂ A + B.

(c) Lấy bất kỳ α, β ∈ Φ Ta cần chứng minh rằng

αY + βY ⊂ Y , với mọi α, β ∈ Φ.

Thật vậy, trước hết ta thấy,

∗ Nếu α = β = 0 thì αY = βY = {0} Do đó, αY + αY = {0} = Y

∗ Nếu α ̸= 0 hoặc β ̸= 0 thì nhờ Bổ đề 1.1.7 ta có αY = αY

và βY = βY

Mặt khác, vì Y là không gian con của X nên với mọi α, β ∈ Φ ta có

αY + βY ⊂ Y , suy ra αY + βY ⊂ Y

Vì thế nhờ khẳng định (b) của Định lý 1.2.5 ta có

αY + βY = αY + βY ⊂ αY + βY ⊂ Y

Vì vậy Y là không gian con của X.

1.2.6 Định lý Giả sử X là không gian vectơ tôpô Khi đó,

(a) Mỗi lân cận của 0 ∈ X chứa một lân cận cân của 0.

(b) Mỗi lân cận lồi của 0 ∈ X chứa một lân cận lồi, cân của 0.

αV Khi đó, W là một lân cận cân của 0 và W ⊂ U.

(b) Giả sử U là lân cận lồi của điểm 0 ∈ X Đặt A = ∩

|α|=1

αU Ta có U

là lân cận của 0 ∈ X nên theo (a) tồn tại lân cận W của 0, W ⊂ U.

Mà α −1 W = W, với mọi α ∈ Φ sao cho |α| = 1.

Suy ra α −1 W = W ⊂ U kéo theo W ⊂ αU, với mọi α ∈ Φ sao cho

|α| = 1 Suy ra W ⊂ A.

Vì vậy, A là lân cận của 0 và0 A0 ⊂ U.

Lại có, A là giao của tất cả các tập lồi nên A lồi, suy ra A là tập lồi.0Mặt khác, lấy tùy ý λ ∈ Φ, |λ| ≤ 1, thì tồn tại 0 ≤ r ≤ 1, |β| = 1,

β ∈ Φ sao cho λ = rβ Ta có

§ 1.3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X, Y là các không gian vectơ tôpô trên cùng

một trường Φ, ánh xạ Λ : X → Y được gọi là tuyến tính nếu

Λ(αx + βy) = αΛ(x) + βΛ(y), với mọi x, y ∈ X, với mọi α, β ∈ Φ Một ánh xạ tuyến tính Λ : X → Φ được gọi là phiếm hàm tuyến tính.

(b) (i) Giả sử A là một không gian con lồi, chứng minh Λ(A) cũng lồi.

Thật vậy, vì A là tập lồi nên với mọi x, y ∈ A, với mọi α ∈ [0, 1],

ta có

αx + (1 − α)y ∈ A Mặt khác, x, y ∈ A, suy ra Λ(x), Λ(y) ∈ Λ(A)

Vì vậy, với mọi Λ(x), Λ(y) ∈ Λ(A), với mọi α ∈ [0, 1], ta có

α Λ (x) + (1 − α) Λ (y) = Λ (αx) + [Λ (1 − α)] y

= Λ [αx + (1 − α) y] ∈ Λ (A) (ii) Với mọi x ∈ A suy ra Λ(x) ∈ Λ(A) Vì A là tập cân nên với mọi

x ∈ A ta có, αx ∈ A, với mọi α ∈ Φ mà |α| ≤ 1 Suy ra,

αΛ(x) = λ(αx) ∈ Λ(A).

(Vì A là không gian con thỏa tính nhân số vô hướng.)

Do vậy, Λ(A) cân.

(c) (i) Giả sử B là một không gian con lồi của Y , chứng minh Λ −1 (B)

lồi Thật vậy, vì B là không gian con lồi của Y nên với mọi Λ(x), Λ(y) ∈ B, α ∈ [0, 1] ta suy ra x, y ∈ Λ −1 (B) Ta có,

αΛ(x) + (1 − α)Λ(y) ∈ B suy ra Λ(αx) + Λ[(1 − α)y] ∈ B.

Suy ra, Λ[α(x) + (1 − α)y] ∈ B hay Λx + (1 − Λ)y ∈ Λ −1 (B).

Vậy, Λ−1 (B) lồi.

(ii) Giả sử B là một không gian con cân của Y , chứng minh Λ −1 (B) cân Thật vậy, vì B là không gian con cân của Y nên với mọi Λ(x) ∈ B suy ra x ∈ Λ −1 (B) Ta có, αΛ(x) ∈ B, với mọi α ∈ Φ

mà |α| ≤ 1 Suy ra, Λ(αx) ∈ B Hay, αx ∈ Λ −1 (B).

Vậy Λ−1 (B) cân.

1.3.3 Bổ đề [1](phần 1.16, 1.17 trang 13, 14)

(i) Λ −1(0) = {x ∈ X : Λ(x) = 0} = N (Λ) là một không gian con của X (ii) Giả sử X, Y là các không gian vectơ tôpô trên cùng một trường Φ Nếu ánh xạ tuyến tính Λ : X → Y là liên tục tại điểm 0, thì nó liên tục.

1.3.4 Định lý Giả sử Λ : X → Φ là phiếm hàm tuyến tính khác không Khi đó, các điều kiện sau là tương đương

• Chứng minh (a) suy ra (b).

Giả sử Λ là phiếm hàm tuyến tính liên tục, Λ ̸= 0.

Vì N (Λ) = Λ −1(0), {0} đóng trong Φ nên N (Λ) đóng trong X.

• Chứng minh (b) suy ra (c).

Giả sử N (Λ) đóng, vì Λ ̸= 0 nên tồn tại x ∈ X để Λ (x) ̸= 0

Suy ra, x / ∈ N (Λ) hay X ̸= N (Λ) Từ giả thiết N (Λ) đóng suy ra

N (Λ) không trù mật trong X.

• Chứng minh (c) suy ra (d).

Giả sử N (Λ) không trù mật trong X Khi đó, X\N (A) ̸= ∅.

Vì X \N (A) ̸= ∅ và là tập mở, X\N (Λ) ∩ N (λ) = ∅ nên tồn tại

x ∈ X và một lân cận V của 0 trong X sao cho

(x + V ) ∩ N (Λ) = ∅ (*) Nhờ Mệnh đề 1.3.2, Λ(V ) là tập cân của trường vô hướng Φ Hơn nữa, ta có Λ(V ) là tập bị chặn trong Φ Vì nếu ngược lại Λ(V )

không bị chặn Khi đó, vì Λ(V ) không bị chặn nên với mọi α ∈ Φ, tồn tại β ∈ Λ(V ) sao cho |β| > |α| Vì Λ(V ) cân nên |β| ∈ Λ(V ) và

α = α

|β| |β| ∈ Λ (V ).

Suy ra Λ (V ) = Φ Do Λ (x) ∈ Φ nên −Λ (x) ∈ Φ = Λ(V ) Do đó tồn tại y ∈ V sao cho Λ(y) = −Λx Từ đó ta có Λx + Λy = 0 suy ra

x + y ∈ N (Λ) Nhưng x + y ∈ V + x nên suy ra

x + y ∈ (x + V ) ∩ N (Λ) (điều này dẫn đến mâu thuẫn với (*)) Vậy Λ(V ) bị chặn.

• Chứng minh (d) suy ra (a).

Giả sử Λ bị chặn trên lân cận V nào đó của điểm 0 Khi đó, tồn tại

M > 0 sao cho |Λx| < M, với mọi x ∈ V

Với ε > 0 và bé tùy ý, chọn U = ε

M V Khi đó, U là một lân cận của

điểm 0 Nhờ tính tuyến tính của Λ ta suy ra |Λx| < ε, với mọi

x ∈ U Điều này chứng tỏ rằng Λ liên tục tại điểm 0 Từ Định lý

1.3.3 suy ra Λ liên tục

1.3.5 Định nghĩa

1.1.16 Định nghĩa Giả sử X không gian vectơ tôpô trường...

Không gian tôpô (Y, U) gọi không gian không gian tôpô (X, τ ).

1.1.19 Bổ đề Nếu X T2 -không gian không gian compact địa phương X khơng gian quy.... X : Λ(x) = 0} = N (Λ) không gian X (ii) Giả sử X, Y không gian vectơ tôpô trường Φ Nếu ánh xạ tuyến tính Λ : X → Y liên tục điểm 0, liên tục.

1.3.4 Định lý Giả sử Λ : X →