Bài toán tồn tại và ứng dụng giải toán sơ cấp

Thời cổ Hi-lạp, thế kỷ thứ 4 trước công nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước.. Một số bài toán đòi hỏi để giải quyết nó phả

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN VŨ MINH HIẾU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2012

Trang 2

Chuyên nga ̀nh : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Ma ̃ số : 60.46.40

Người hướng dẫn khoa ho ̣c : PGS.TSKH.TRẦN QUỐC CHIẾN

Ma ̃ số : 60.46.40

Người hướng dẫn khoa ho ̣c : PGS.TSKH.TRẦN QUỐC CHIẾN

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Ca ́ c số liê ̣u và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Ta ́ c giả

Nguyễn Vu ̃ Minh Hiếu

Trang 4

MU ̣C LỤC

Trang TRANG PHỤ BÌA

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC HÌNH

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 4

1.1 Bài toán tổ hơ ̣p 4

1.2 Các da ̣ng bài toán tổ hơ ̣p 5

Chương 2 BÀI TOÁN TỒN TẠI 11

2.1 Bài toán tồ n ta ̣i 11

2.2 Nguyên lý Dirichlet 15

2.3 Nguyên lý Dirichlet đố i ngẫu 18

Chương 3 ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 25

3.1 Bài toán “tồ n ta ̣i” trong Số ho ̣c và Dãy số 25

3.2 Bài toán “tồ n ta ̣i” trong Đa ̣i số 36

3.3 Bài toán “tồ n ta ̣i” trong Hình ho ̣c 44

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

Trang 5

DANH MU ̣C CÁC HÌNH

Số hiê ̣u

hi ̀nh

2.1 Bản đồ tô bởi ít nhất bốn màu 13

2.3 Một lời giải bài toán cho ̣n 2n điểm với n = 12 15 2.4 Hình minh ho ̣a lời giải ví du ̣ 2.3 23 3.1 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 2.26 44 3.2 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 2.28 46 3.3 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 2.29 48 3.4 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 2.36 52 3.5 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 2.37 53 3.6 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 2.38 55 3.7 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 2.39 56 3.8 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 3.40 57 3.9 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 3.42 59 3.10 Hình minh ho ̣a lời giải bài toán 3.43 61

Trang 6

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Tổ hợp là ngành khoa ho ̣c xuất hiê ̣n khá sớm vào đầu thế kỷ 17, cho đến nay đã được áp du ̣ng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình

học, đa ̣i số , xác suất thống kê, quy hoa ̣ch thực nghiê ̣m, khoa ho ̣c máy tính,

hóa ho ̣c…Các bài toán tổ hơ ̣p đươ ̣c phân thành các da ̣ng: bài toán tồn ta ̣i, bài toán đếm, bài toán liê ̣t kê và bài toán tối ưu Bài toán tồn ta ̣i thường có nô ̣i dung hấp dẫn và khó giải quyết, thường xuyên xuất hiê ̣n trong các kỳ thi HSG quố c gia và quố c tế Mô ̣t công cu ̣ hữu hiê ̣u để giải quyết da ̣ng toán này là nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet tuy không khó nhưng để vâ ̣n du ̣ng đươ ̣c nó trong viê ̣c giải toán thì đòi hỏi phải hiểu nó mô ̣t cách sâu sắc và vâ ̣n

dụng nó mô ̣t cách linh hoa ̣t trong từng bài toán cu ̣ thể Hiê ̣n nay chưa có mô ̣t

tài liê ̣u trình bày mô ̣t cách hê ̣ thống kiến thức về bài toán tồn ta ̣i và ứng du ̣ng giải toán sơ cấp Chính vì lẻ đó tôi cho ̣n đề tài này nghiên cứu với mong muố n học tâ ̣p và tích lũy cho bản thân kiến thức về bài toán tồn ta ̣i và ứng

dụng giải toán sơ cấp, làm tài liê ̣u hữu ích trong viê ̣c giảng da ̣y bồi dưỡng ho ̣c sinh giỏi sau này

2 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứ u tài liê ̣u, giáo trình, các sách chuyên đề về bài toán tồn ta ̣i và ứng du ̣ng bài toán tồn ta ̣i giải toán sơ cấp

Bài toán tồn ta ̣i xuất hiê ̣n ở hầu hết các lĩnh vực của toán ho ̣c và có nhiều

cách giải khác nhau Luâ ̣n văn chỉ đề câ ̣p đến viê ̣c vâ ̣n du ̣ng nguyên lý Dirichlet để giải mô ̣t số bài toán tồn ta ̣i trong toán sơ cấp

Trang 7

3 MU ̣C ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Những bài toán tồn ta ̣i có nô ̣i dung rất hấp dẫn và khó giải quyết Vâ ̣n

dụng linh hoa ̣t nguyên lý Dirichlet là cách tốt nhất và hiê ̣u quả để giải quyết

các bài toán trên Viê ̣c nghiên cứu đề tài này giúp ho ̣c viên nắm vững kiến thứ c hơn về bài toán tồ n ta ̣i và nâng cao khả năng vâ ̣n du ̣ng nguyên lý Dirichlet để giải các bài toán tồn ta ̣i trong toán sơ cấp; nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo, các em ho ̣c sinh, các ba ̣n yêu toán mô ̣t tài liê ̣u tham khảo bổ ích trong việc da ̣y bồ i dưỡng và tham gia các kỳ thi HSG quốc gia và quốc tế Luận văn nhằm hê ̣ thố ng mô ̣t số kiến thức cơ bản về bài toán tồn ta ̣i Vâ ̣n

dụng nguyên lý Dirichlet để giải các bài toán tồn ta ̣i trong số ho ̣c, dãy số, đa ̣i số , hình ho ̣c

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Tham khảo các nguồn tài liê ̣u khác nhau có liên quan đến bài toán tồn ta ̣i

và ứng du ̣ng giải toán sơ cấp, phân tích tư liê ̣u thu thâ ̣p được đồng thời trao đổi, ho ̣c hỏi ở các đồng nghiê ̣p sau đó tổng hợp, hê ̣ thống la ̣i viết luâ ̣n văn

này

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Về mặt khoa ho ̣c, luâ ̣n văn hê ̣ thống các kiến thức về bài toán tồn ta ̣i và ứng du ̣ng giải toán sơ cấp phù hợp cho viê ̣c giảng da ̣y và ho ̣c tâ ̣p ở trường trung học phổ thông

Luận văn hoàn thành trở thành tài liê ̣u tham khảo bổ ích cho giáo viên, ho ̣c sinh ở trường trung ho ̣c phổ thông, sinh viên ở các trường đa ̣i ho ̣c và cao đẳng, các ba ̣n yêu toán, đă ̣c biê ̣t là các đối tượng da ̣y bồi dưỡng và tham gia

các kỳ thi ho ̣c sinh giỏi quố c gia và quố c tế

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu và kết luâ ̣n, nô ̣i dung luâ ̣n văn đươ ̣c trình bày trong ba chương

Trang 8

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP Trình bày sơ lược về bài toán tổ

hợp và các da ̣ng của bài toán tổ hợp

Chương 2 BÀI TOÁN TỒN TẠI Trình bày về bài toán tồn ta ̣i và nguyên

lý Dirichlet

Chương 3 ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP Trình bày các bài toán

“tồn ta ̣i” trong Số ho ̣c và Dãy số, bài toán “tồn ta ̣i” trong Đa ̣i số, bài toán “tồn

tại” trong Hình ho ̣c Khoảng hơn 40 bài toán với lời giải chi tiết hi vo ̣ng luâ ̣n văn sẽ là mô ̣t trong những tài liê ̣u tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm đến vấn đề này

Trang 9

Chương 1

ĐA ̣I CƯƠNG VỀ TỔ HỢP

Bài toán tồ n ta ̣i là mô ̣t da ̣ng của bài toán tổ hơ ̣p Trong chương này sẽ giới thiệu sơ lươ ̣c về bài toán tổ hợp và các da ̣ng bài toán tổ hợp

1.1 BÀI TOÁN TỔ HỢP

Tư duy tổ hợp ra đời từ rất sớm Vào thời nhà Chu Trung Quốc người ta

đã biết đến những hình vuông thần bí Thời cổ Hi-lạp, thế kỷ thứ 4 trước công nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước Nhà toán học Phitagor và học trò đã tìm ra nhiều số

có tính chất đặc biệt Một số bài toán đòi hỏi để giải quyết nó phải có nghệ thuật tổ hợp nhất định

Tuy nhiên, có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ 17 bằng một loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán học suất sắc như: Pascal, Fermat, Euler…

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ Vì vậy trong thời gian dài khi mà các ngành toán học như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân… phát triển như vũ bão thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học hữu hạn Từ khi có sự xuất hiện của máy tính, nhiều vấn đề tổ hợp được giải quyết trên máy tính, từ chỗ nghiên cứu các trò chơi tổ hợp đã trở thành ngành Toán học phát triển mạnh

mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học, tin học…

Bài toán tổ hơ ̣p rất đa da ̣ng đề câ ̣p đến nhiều vấn đề khác nhau của toán

học, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa ho ̣c và đời sống Lý thuyết tổ hợp nghiên cứ u viê ̣c phân bố các phần tử vào các tâ ̣p hơ ̣p (thông thường các tâ ̣p

hợp hữu ha ̣n), viê ̣c phân bố này phải thỏa mãn mô ̣t số điều kiê ̣n nhất đi ̣nh nào

Trang 10

đó tùy vào bài toán nghiên cứu Mỗi cách phân bố được xem là mô ̣t “cấu hình tổ hợp”

Cấu hi ̀nh tổ hơ ̣p: Cho các tâ ̣p hơ ̣p A1, A2, …, An Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của A1, A2,…, An được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R1, R2, …, Rm là các điều kiê ̣n ràng buô ̣c lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S Khi đó mỗi sắ p xếp các phần tử của A1, A2, …, An thỏ a mãn các điều kiê ̣n R1, R2, …,

Rm gọi là mô ̣t cấu hình tổ hợp trên các tâ ̣p A1, A2, …, An

Vi ́ du ̣ 1.1 Bài toán xếp khách của Lucas

Có mô ̣t bàn tròn, xung quanh có 2n ghế Cần xếp chỗ cho n că ̣p vơ ̣ chồng

vào bàn tròn sao cho các ông ngồi xen kẽ các bà và không có că ̣p nào ngồi gần nhau Có bao nhiêu cách xếp như vâ ̣y?

Ta có :

A là tâ ̣p hơ ̣p 2n ghế hay n că ̣p vơ ̣ chồng

S là sơ đồ sắp xếp chỗ ngồi của các că ̣p vơ ̣ chồng vào bàn tròn

R1 là điều kiê ̣n các ông ngồi xen kẽ các bà

R2 là điều kiê ̣n không có că ̣p vơ ̣ chồ ng nào ngồi ca ̣nh nhau

Mỗi cách sắp xếp các că ̣p vơ ̣ chồng vào bàn tròn thỏa các điều kiê ̣n R1, R2

là mô ̣t cấu hình tổ hợp

1.2 CÁC DẠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP

Những da ̣ng toán quan tro ̣ng mà lý thuyết tổ hơ ̣p đề câ ̣p đến là bài toán tồn

tại, bài toán đếm, bài toán liê ̣t kê, bài toán tối ưu tổ hợp Mỗi da ̣ng có mu ̣c tiêu riêng và cách giải quyết khác nhau

1.2.1 Ba ̀i toán tồn ta ̣i:

Bài toán tồ n ta ̣i là mô ̣t trong những da ̣ng toán cơ bản của lý thuyết tổ hơ ̣p

Mục tiêu của nó là chứng minh sự tồn ta ̣i hoă ̣c không tồn ta ̣i của mô ̣t cấu hình tổ hợp nào đó Bài toán này thường rất khó, viê ̣c cố gắng giải chúng đã thúc đẩy sự phát triển nhiều hướng nghiên cứu toán ho ̣c Có nhiều phương pháp để

Trang 11

giải quyết bài toán tồn ta ̣i, phổ biến là phương pháp phản chứng hoă ̣c dùng nguyên lý Dirichlet

Vi ́ du ̣ 1.2

Trong một cuộc thăm dò ý kiến về 10 vấn đề, mỗi người tham gia được phát một phiếu trả lời sẵn, trong đó mỗi một trong 10 vấn đề có 4 phương án trả lời và chọn đúng một phương án cho mỗi vấn đề đã nêu Chứng minh rằng

với 9.437.185 người được hỏi luôn tìm được 10 người trả lời giống hệt nhau

Lờ i giải:

Số phiếu trả lời có thể có trong cuộc thăm dò ý kiến về 10 vấn đề là :

410 = 1.048.576 Phân 9.437.185 đối tượng vào 1.048.576 nhóm , theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một nhóm có ít nhất 9.437.185 / 1.048.576  = 10 đối tượng

Vậy với 9.437.185 người được hỏi luôn tìm được 10 người trả lời giống hệt nhau

1.2.2 Ba ̀i toán đếm:

Mục tiêu của bài toán đếm là trả lời câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thỏ a mãn điều kiê ̣n cho trước?” Giải quyết tốt bài toán đếm giúp ta giải nhiều

bài toán khác nhau trong đánh giá đô ̣ phức ta ̣p tính toán của các thuâ ̣t toán và

tìm xác suất rời ra ̣c các biến cố Phương pháp chung để giải bài toán đếm là

dựa trên các nguyên lý đếm cơ bản (nguyên lý cô ̣ng, nguyên lý nhân, nguyên

lý bù trừ) Mô ̣t số bài toán đếm phức ta ̣p hơn đươ ̣c quy về bài toán con để sử

dụng đươ ̣c các nguyên lý đếm cơ bản hoă ̣c tìm ra hê ̣ thức truy hồi tổng quát

Vi ́ du ̣ 1.3 Bài toán tháp Hà Nô ̣i

Tương truyền rằng ta ̣i mô ̣t ngôi tháp ở Hà Nô ̣i có mô ̣t tấm đế bằng đồng trên đó có đă ̣t ba chiếc co ̣c bằng kim cương Lúc khai thiên lâ ̣p đi ̣a, trên co ̣c số 1, Phật tổ Như Lai đã xếp 64 chiếc đĩa bằng vàng có đường kính khác nhau sao cho các đĩa có đường kính lớn hơn xếp ở dưới, các đĩa ở phía trên càng ở

Trang 12

trên cao càng nhỏ dần Các nhà sư đươ ̣c yêu cầu chuyển tất cả các chiếc đĩa ở

cọc số 1 sang co ̣c số 2 với quy tắc sau:

- Mỗi lần chỉ đươ ̣c chuyển đi mô ̣t chiếc đĩa

- Trong quá trình di chuyển không được đă ̣t đĩa lớn lên trên đĩa nhỏ (do đó cần thiết phải có thêm chiếc co ̣c trung gian thứ 3) Giả sử mỗi lần chuyển mô ̣t chiếc đĩa mất mô ̣t giây Hỏi các nhà sư cần ít nhất là bao nhiêu năm để chuyển tất cả các chiếc đĩa ở co ̣c số 1 sang co ̣c số 2?

Lờ i giải:

Giả sử lúc đầu trên co ̣c số 1 có n chiếc đĩa Go ̣i un là số lần ít nhất để chuyển tất cả các chiếc đĩa ở co ̣c số 1 sang co ̣c số 2 Ta thử tính vài giá tri ̣ của

un

Vớ i n = 2, ta cần thực hiê ̣n ba bước chuyển sau:

- Chuyển đĩa bé sang co ̣c số 3

- Chuyển đĩa lớn sang co ̣c số 2

- Chuyển đĩa bé về co ̣c số 2

Vậy u2 = 3

Vớ i n = 3, ta cần thực hiê ̣n theo 3 giai đoa ̣n sau:

- Chuyển 2 đĩa ở phía trên sang co ̣c số 3 Như đã thấy ở trường hơ ̣p n =2,

ta cần 3 phép chuyển

- Chuyển đĩa lớn nhất sang co ̣c số 2

- Chuyển 2 đĩa ở co ̣c số 3 về co ̣c số 2 Như đã thấy ở trường hơ ̣p n = 2, ta cần 3 phép chuyển

Vậy ta cần 3 + 1 + 3 = 7 phép chuyển Do đó u3 = 7

Ta thiết lập hê ̣ thức truy hồi mà dãy (un) phải thỏa mãn Để chuyển đươ ̣c n chiếc đĩa theo quy tắc trên ta phải thực hiê ̣n theo 3 công đoa ̣n sau:

Trang 13

- Công đoạn 1: Chuyển (n – 1) đĩa ở phía trên chiếc đĩa lớn nhất sang co ̣c số 3 theo quy tắ c trên Ta cần un – 1 phép chuyển Chiếc đĩa lớn nhất vẫn giữ nguyên ở co ̣c số 1 khi di chuyển (n – 1) chiếc đĩa ở trên nó

- Công đoạn 2: Chuyển đĩa lớn nhất sang co ̣c số 2

- Công đoạn 3: Chuyển (n – 1) đĩa từ co ̣c số 3 về co ̣c số 2 và đă ̣t lên trên chiếc đĩa lớn nhất Ta cần un-1 phép chuyển Do vâ ̣y để chuyển n chiếc đĩa từ

cọc số 1 sang co ̣c số 2 ta cần un-1 + 1 + un-1 = 2un-1 + 1 Vậy ta có hê ̣ thức truy hồ i sau: un-1 = 2 un-1 + 1

Từ hê ̣ thức truy hồ i này ta có thể lâ ̣p đươ ̣c công thức của số ha ̣ng tổng quát

củ a dãy Bằng quy na ̣p dễ chứng minh được un = 2n – 1

Vớ i n = 64 thì u64 = 18.446.744.073.709.531.615

Đó là số lần chuyển đĩa mà các nhà sư phải thực hiê ̣n để hoàn thành công việc Nếu mỗi lần chuyển mô ̣t đĩa mất mô ̣t giây thì cần đến hơn 500 tỷ năm

các nhà sư mới chuyển tất cả 64 chiếc đĩa sang co ̣c số 2

1.2.3 Ba ̀i toán liê ̣t kê:

Bài toán liê ̣t kê đưa ra danh sách tất cả các cấu hình tổ hợp có thể có, khác

vớ i bài toán đếm là tìm kiếm mô ̣t công thức cho lời giải, bài toán liê ̣t kê cần

xác đi ̣nh thuật toán để theo đó có thể xây dựng đươ ̣c lần lươ ̣t tất cả các cấu

hình cần quan tâm Mô ̣t thuâ ̣t toán liê ̣t kê phải đảm bảo hai nguyên tắc: không

lặp la ̣i và không bỏ sót mô ̣t cấu hình nào

Vi ́ du ̣ 1.4

Liệt kê các tâ ̣p con k phần tử của tâ ̣p hợp n phần tử

Chẳng hạn cây tìm kiếm lời giải bài toán ứng với n = 5, k = 3 được thể hiện như sau:

Trang 14

Gố c

1 2 3

2 3 4 3 4 4

3 4 5 4 5 5 4 5 5 5

123 124 125 134 135 145 234 235 245 345

Cây liệt kê tổ hơ ̣p châ ̣p 3 từ {1, 2, 3, 4, 5}

1.2.4 Ba ̀i toán tối ưu tổ hơ ̣p:

Trong nhiều bài toán thực tế, các cấu hình tổ hợp được gán mô ̣t giá tri ̣ sử

dụng bằng số đánh giá giá tri ̣ sử du ̣ng của cấu hình đối với mô ̣t mu ̣c đích sử

dụng cu ̣ thể nào đó Khi đó xuất hiê ̣n bài toán: Hãy lựa cho ̣n trong số tất cả

các cấu hình tổ hợp chấp nhâ ̣n được có giá tri ̣ sử du ̣ng tốt nhất Các bài toán như vâ ̣y gơ ̣i là bài toán tối ưu tổ hợp Để giải quyết bài toán tối ưu tổ hợp người ta thường phương pháp duyê ̣t toàn bô ̣ Sau đây là mô ̣t số bài toán tối ưu tổ hợp kinh điển có nhiều ứng du ̣ng trong thực tế, giữ vai trò quan tro ̣ng trong việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết tối ưu hóa tổ hợp

Ba ̀i toán người du li ̣ch: Mô ̣t người du li ̣ch muốn tham quan n thành phố

T1, T2, …, Tn Xuất phát từ mô ̣t thành phố nào đó, người du li ̣ch muố n đi qua tất cả các thành phố còn la ̣i, mỗi thành phố qua đúng mô ̣t lần, rồi quay la ̣i thành phố xuất phát Biết cij là chi phí đi từ thành phố Ti đến thành phố Tj (i, j

= 1, 2, …, n), hãy tìm hành trình với tổng chi phí là nhỏ nhất (mô ̣t hành trình

là mô ̣t cách đi thỏa mãn điều kiê ̣n)

Ba ̀i toán cái túi: Mô ̣t nhà thám hiểm cần đem theo mô ̣t các túi có tro ̣ng

lươ ̣ng không quá b Có n đồ vâ ̣t có thể đem theo Đồ vâ ̣t thứ j có tro ̣ng lượng

aj và giá tri ̣ sử du ̣ng cj (j = 1, 2, …, n) Hỏ i nhà thám hiểm cần đem theo những đồ vâ ̣t nào để có tổng giá tri ̣ sử du ̣ng là lớn nhất?

Trang 15

Ba ̀i toán cho thuê máy: Mô ̣t ông chủ có mô ̣t cái máy để cho thuê Đầu

tháng ông ta nhâ ̣n đươ ̣c yêu cầu thuê máy của m khách hàng Mỗi khách hàng

i sẽ cho biết tâ ̣p Ni các ngày trong tháng cần sử du ̣ng máy (i = 1, 2, …, m) Ông chủ chỉ có quyền hoă ̣c từ chối yêu cầu của khách hàng i, hoă ̣c nếu nhâ ̣n thì phải bố trí máy phu ̣c vu ̣ khách hàng i đúng những ngày mà khách hàng

này yêu cầu Hỏi rằng ông chủ phải tiếp nhâ ̣n các yêu cầu của khách hàng thế

nào để cho tổng số ngày sử du ̣ng máy là lớn nhất

Ba ̀i toán phân công: Có n công viê ̣c và n thơ ̣ Biết cij là chi phí cần trả để thợ i hoàn thành cô ̣ng viê ̣c thứ j (i, j = 1, 2, …, n) Cần phải thuê thợ sao cho

các công viê ̣c đều hoàn thành và mỗi thơ ̣ chỉ thực hiê ̣n mô ̣t công viê ̣c, mỗi công việc chỉ do mô ̣t thợ thực hiê ̣n Hãy tìm cách thuê n công nhân sao cho tổng chi phí thuê thơ ̣ là nhỏ nhất

Ba ̀i toán lập li ̣ch: Mỗi mô ̣t chi tiết trong tổng số n chi tiết D1, D2, …, Dn cần phải lần lươ ̣t đươ ̣c gia công trên m máy M1, M2, …, Mm Thờ i gian gia công chi tiết Di trên máy Mj là tij Hãy tìm li ̣ch (trình tự gia công) các chi tiết trên các máy sao cho viê ̣c hoàn thành gia công tất cả các chi tiết là sớm nhất

có thể đươ ̣c Biết rằng, các chi tiết đươ ̣c gia công mô ̣t cách liên tu ̣c, nghĩa là quá trình gia công của mỗi mô ̣t chi tiết phải được tiến hành mô ̣t cách liên tu ̣c

từ máy này sang máy khác không cho phép có khoảng thời gian dừng khi chuyển từ máy này sang máy khác

Trang 16

Chương 2 BÀI TOÁN TỒN TA ̣I

Chương này trình bày về bài toán tồn ta ̣i, các bài toán tồn ta ̣i nổi tiếng trong lịch sử Phần cuối của chương trình bày mô ̣t cách hê ̣ thống kiến thức về nguyên lý Dirichlet

2.1 BÀI TOÁN TỒN TẠI (xem [3], [11])

Nếu như bài toán đếm thực hiê ̣n đếm bao nhiêu cấu hình tổ hợp có thể có,

bài toán liê ̣t kê là liê ̣t kê tất cả các cấu hình tổ hợp có thể có, bài toán tối ưu chỉ ra mô ̣t cấu hình tổ hợp tốt nhất (ở đây ta xem các cấu hình đã tồn ta ̣i) thì

bài toán tồn ta ̣i chứng minh sự tồn ta ̣i hay không tồ n ta ̣i mô ̣t cấu hình tổ hợp

nào đó

Bài toán tồn ta ̣i đươ ̣c nghiên cứu từ rất lâu Mô ̣t bài toán tồ n ta ̣i đươ ̣c xem như giải xong nếu hoă ̣c chỉ ra mô ̣t cách xây dựng cấu hình hoă ̣c chứng minh rằ ng chú ng không tồn ta ̣i Mo ̣i khả năng đều không dễ dàng.Viê ̣c cố gắng giải chú ng góp phần thúc đẩy sự phát triển của các ngành toán ho ̣c nói chung, lý thuyết tổ hợp nói riêng Sau đây là mô ̣t số bài toán tồn ta ̣i nỗi tiếng trong li ̣ch

sử

Ba ̀i toán về 36 sĩ quan: Bài toán này được Euler đề nghi ̣ với nô ̣i dung

như sau: Có mô ̣t lần người ta triê ̣u tâ ̣p từ 6 trung đoàn, mỗi trung đoàn 6 sĩ quan thuộc 6 cấp bâ ̣c khác nhau: thiếu úy, trung úy, thượng úy, đa ̣i úy, thiếu

tá, trung tá về tham gia duyê ̣t binh ở sư đoàn bô ̣ Hỏi rằng, có thể xếp 36 sĩ quan này thành mô ̣t đô ̣i ngũ hình vuông sao cho trong mỗi hàng ngang cũng như mỗi hàng do ̣c đều có đa ̣i diê ̣n của cả 6 trung đoàn và của 6 cấp bâ ̣c

Để đơn giản ta sẽ dùng các chữ cái in hoa A, B, C, D, E, F để chỉ phiên hiệu của các trung đoàn, các chữ cái in thường a, b, c, d, e, f để chỉ cấp bâ ̣c

Trang 17

Bài toán này có thể tổng quát hóa nếu thay 6 bởi n Trong trường hơ ̣p n = 4

một lời giải của 16 sĩ quan là:

gọi “ hình vuông la tinh trực giao”

Euler đã mất rất nhiều công sức để tìm ra lời giải cho bài toán 36 sĩ quan thế nhưng ông đã không thành công Vì vâ ̣y, ông giả thuyết là cách sắp xếp như vâ ̣y không tồn ta ̣i Giả thuyết này đã được nhà toán ho ̣c Pháp Tarri chứng minh năm 1901 bằng cách duyê ̣t tất cả mo ̣i khả năng xếp Euler căn cứ vào sự không tồ n tại lời giải khi n = 2 và n = 6 còn đề ra các giả thuyết tổng quát hơn

là không tồ n ta ̣i hình vuông trực giao cấp 4n + 2 Giả thuyết này đã tồn ta ̣i hai thế kỷ, mãi đến năm 1960 ba nhà toán ho ̣c Mỹ là Bore, Parker, Srikanda mới chỉ ra đươ ̣c mô ̣t lời giải với n = 10 và sau đó chỉ ra phương pháp xây dựng

hình vuông trực giao cho mo ̣i n = 4k + 2 với k >1

Tưởng chừng bài toán chỉ mang ý nghĩa thử thách trí tuê ̣ con người thuần

tú y như mô ̣t bài toán đố Nhưng gần đây, người ta phát hiê ̣n những ứng du ̣ng quan trọng của vấn đề trên vào quy hoa ̣ch, thực nghiê ̣m và hình ho ̣c phản xa ̣

Trang 18

Ba ̀i toán 4 màu: Có nhiều bài toán mà nô ̣i dung của nó có thể giải thích

đươ ̣c với bất kỳ ai, lời giải của nó ai cũng cố gắng thử tìm nhưng khó có thể

tìm đươ ̣c Ngoài đi ̣nh lý Fermat thì bài toán bố n màu cũng là mô ̣t bài toán như

vậy Bài toán có thể được phát biểu như sau: Chứng minh rằng mo ̣i bản đồ đều có thể được tô bằng 4 màu sao cho không có hai nước láng giềng nào la ̣i

bi ̣ tô bởi cùng mô ̣t màu Trong đó, mỗi nước trên bản đồ được coi là mô ̣t vùng liên thông, hai nước được go ̣i là láng giềng nếu chúng có chung đường biên giớ i là mô ̣t đường liên tu ̣c

Hi ̀nh 2.1 Bản đồ tô bởi ít nhất bốn màu

Con số 4 màu không phải là ngẫu nhiên Người ta đã chứng minh đươ ̣c rằ ng mọi bản đồ đều được tô bởi số màu lớn hơn 4, còn số màu ít hơn 4 thì không thể tô được, chẳng ha ̣n bản đồ gồm bốn nước như hình 2.1 không thể

tô đươ ̣c với số màu ít hơn 4

Bài toán này xuất hiê ̣n vào những năm 1850 từ mô ̣t lái buôn người Anh là Gazri khi tô bản đồ hành chính nước Anh đã cố gắng chứng minh rằng nó có thể tô bằng 4 màu Sau đó, năm 1852, ông đã viết thư cho De Morgan để thông báo về giả thuyết này Năm 1878, Keli trong mô ̣t bài báo đăng ở tuyển

tập các công trình nghiên cứu của Hô ̣i toán ho ̣c Anh có hỏi rằng bài toán này đã được giải quyết hay chưa? Từ đó bài toán trở lên nổi tiếng, trong suốt hơn

một thâ ̣p kỷ qua, nhiều nhà toán ho ̣c đã cố gắng chứng minh giả thuyết này

4

1

2

3

Trang 19

Tuy vậy, mãi tới năm 1976 hai nhà toán ho ̣c Mỹ là K Appel và W Haken

mớ i chứng minh đươ ̣c nó nhờ máy tính điê ̣n tử

Ba ̀i toán hình lục giác thần bí: Năm 1890 Clifford Adams đề ra bài toán

hình lu ̣c giác thần bí sau: Trên 19 ô lu ̣c giác (như hình 2.2) hãy điền các số từ

1 đến 19 sao cho tổng theo 6 hướng của lu ̣c giác là bằng nhau (và đều bằng 38) Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối cùng Adams cũng tìm được lời giải Sau đó vì sơ ý đánh mất bản thảo ông đã tốn thêm 5 năm để khôi phu ̣c la ̣i Năm

1962 Adams đã công bố lời giải đó Nhưng thâ ̣t không thể ngờ được đó là lời giải duy nhất

Hi ̀nh 2.2 Hình lu ̣c giác thần bí

Ba ̀i toán chọn 2n điểm trên lưới nn điểm: Cho mô ̣t lưới gồm n x n

điểm Hỏi có thể cho ̣n trong số chúng 2n điểm sao cho không có ba điểm nào đươ ̣c cho ̣n là thẳng hàng? Hiê ̣n nay người ta mới biết được lời giải của bài toán này khi n15 Hình 2.3 cho mô ̣t lời giải với n = 12

Trang 20

Hi ̀nh 2.3 Mô ̣t lời giải bài toán cho ̣n 2n điểm với n = 12

Đến nay, trong toán sơ cấp bài toán tồn ta ̣i có mă ̣t hầu khắp các lĩnh vực số học, dãy số, đa ̣i số, hình ho ̣c…Đây là mô ̣t da ̣ng toán hay và khó nên thường xuyên được khai thác trong các kỳ thi ho ̣c sinh giỏi quốc gia và quốc tế Bài toán tồn ta ̣i có nhiều phương pháp giải, phổ biến nhất là phương pháp

dù ng nguyên lý Dirichlet

2.2 NGUYÊN LÝ DIRICHLET (xem [3])

Nguyên lý Dirichlet ở da ̣ng đơn giản nhất đươ ̣c phát biểu đầu tiên bởi G.Lejeune Dirichlet (1805 – 1859), một nhà toán ho ̣c Đức gốc Pháp Nó được biết đến vớ i tên go ̣i nguyên lý chuồng và thỏ hay nguyên lý chim bồ câu Nguyên lý này có nhiều ứng du ̣ng, sử du ̣ng nó ta có thể chứng minh đươ ̣c nhiều kết quả sâu sắc của toán ho ̣c Dùng nguyên lý Dirichlet ta có thể giải quyết hiệu quả mô ̣t số lượng lớn các bài toán tổ hợp, đă ̣c biê ̣t bài toán tồn ta ̣i Nguyên lý này trong nhiều trường hơ ̣p người ta dễ dàng chứng minh đươ ̣c sự tồ n tại mà không đưa ra được phương pháp tìm được vâ ̣t cu ̣ thể, nhưng trong thực tế nhiều bài toán chỉ cần chỉ ra sự tồn ta ̣i là đủ.Ta có thể phát biểu nguyên lý Dirichlet như sau:

Trang 21

2.2.3 Nguyên ly ́ Dirichlet mở rô ̣ng

Giả sử A1, , Ak là các tập con của tập hữu hạn S

Nếu mỗi phần tử của S chứa trong ít nhất r tập con Ai, thì

i

A s

Trang 22

Phân 201 điểm vào 50 ô vuông , theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một nhóm có ít nhất 201/50 = 5 điểm Mỗi ô vuông này nội tiếp trong đường tròn bán kính 1/5  2/2 m mà (1/5  2/2)2 = 1/50 < 1/49 = (1/7)2.Do đó luôn tồn tại 5 điểm ở trong vòng tròn bán kính 1/7 m

Vi ́ du ̣ 2.2

P = (a1 – a2)(a1 – a3)(a1 – a4)(a1 – a5)(a2 – a3)(a2 – a4)(a2 – a5)(a3 – a4)(a3 –

Lờ i giải:

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong n + 1 số nguyên tuỳ ý, luôn tồn tại hai

Lại theo nguyên lí Dirichlet trong 5 số đã cho có ít nhất ba số có cùng tính chẵn, lẻ Chỉ có hai trường hợp sau xảy ra:

Trường hợp 1: Nếu ít nhất có 4 số có cùng tính chẵn lẻ, thì từ 4 số này có

thể lập nên 6 hiệu khác nhau cùng chia hết cho 2, do đó tích của chúng chia

Trường hợp 2: Nếu có đúng 3 số có cùng tính chẵn lẻ Không giảm tổng

cũng chia hết cho 2: a1 − a2, a1 − a3, a2 − a3, a4 − a5

Mặt khác, trong 5 số đã cho có ít nhất hai hiệu chia hết cho 4, vì thế trong

Trang 23

(a1 − a2)(a1 − a3)(a2 − a3)(a4 − a5) M 25, tức là P M 25

2.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI NGẪU (xem [3])

2.3.1 Nguyên ly ́ Dirichlet đối ngẫu hữu ha ̣n phần tử

Trước hết ta nhắc lại Nguyên lý Dirichlet: Nếu xếp n đối tượng vào m cái

hộp và n k

m  thì tồn tại một hộp chứa ít nhất k + 1 đối tượng

Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu được phát biểu như sau:

Nguyên lí Dirichlet đối ngẫu: Cho tập hữu hạn S ≠  và S1, S2, …, Sn là các tập con của S sao cho | S1 | + | S2 | + … + | Sn| > k | S | Khi đó, tồn tại một phần tử xSsao cho x là phần tử chung của k+1 tập S

i (i=1,2,…,n) Ta sẽ chứng minh hai nguyên lý này tương đương nhau

xS thì (xi,Sj) được phân vào hộp i với mọi i = 1, 2, …, m và j = 1, 2, …, n

Khi đó, theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại hộp i có ít nhất k + 1 phần tử Từ đó

suy ra tồn tại phần tử xi là phần tử chung của k + 1 tập Sj ( j = 1, 2, … n)

Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu suy ra Nguyên lý Dirichlet: Kí hiệu n phần

tử là xj, j = 1, 2, …, n Ta phân bố các phần tử xj, j = 1, 2, …, n vào m hộp Hi,

i = 1, …, m Kí hiệu S = {Hi| i = 1, 2, …, m}, Sj= {Hi | j  Hi},j = 1, 2, …, n Hiển nhiên | Sj | = 1,j = 1, 2, …, n và | S | = m

Trang 24

Suy ra | S1 | + | S2 | + … + | Sn | = n > k.m > k |S|

Theo Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu tồn tại phần tử Hi chung của k + 1 tập

Sj ( i = 1, 2, … n), tức là tồn tại hộp Hi chứa ít nhất k + 1 phần tử

2.3.2 Nguyên ly ́ Dirichlet đối ngẫu vô ha ̣n phần tử

Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng: Trong mục này ta kí hiệu

d(I) là độ dài của khoảng I  R

Định lý 2.3

Cho A là một khoảng giới nội, A

1, A2, … , A

n là những khoảng con của A,

k là số tự nhiên thỏa mãn: k d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(An) Khi đó tồn tại ít nhất k + 1 khoảng Ai (i = 1, 2, …, n) có điểm trong chung

Chứng minh: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Trường hợp k = 1 được chứng minh ở định lý 2.2

Giả sử định lí đúng với k, ta phải chứng minh nó cũng đúng với k + 1 Cho A1, A2, … , An các khoảng con của A thỏa mãn:

(k + 1).d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(An) (2.3)

Trang 25

Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại điểm trong chung của k + 2 khoảng A

Vì có tất cả k+1 tập A'i từ bao hàm thức trên ta được:

(k1) (d A)d A( ' )d A( ' )  d A( ' )k (2.9) Nếu lấy (2.4) trừ đi (2.9) ta có :

Trang 26

Bây giờ ta giả thiết với n  có ít nhất k+2 tập hợp thỏa (2.5) có k 2điểm trong chung Ta phải chứng minh rằng từ :

(k + 1).d(A) < d(A

1) + d(A

2) + … + d(A

n) + d(An+1) (2.12) Suy ra có ít nhất k+2 tập hợp trong dãy A1, A2, …, An+1 có điểm trong chung Thật vậy ta đặt:

A'i = Ai \ An + 1 (i = 1, 2, … , n) (2.13)

''i

i  An+1 (i = 1, 2, … , n) (2.14)

(k1) ( ')d A d A( ' )d A( ' )  d A( ' )nHoặc là: k d A ( ) d A( '' )1 d A( '' ) 2  d A( '' )n

Cộng hai vế lại và do (2.17),(2.18) ta có:

d A k d A d A d A  d A (2.21) Cộng hai vế (2.21) với k ( )d A và từ (2.17), (2.18) ta có:

(k + 1).d(A) d(A1) + d(A2) + … + d(An)+d(An+1) Điều này trái với (2.12) nên một trong hai bất đẳng thức (2.19),(2.20) phải

có ít nhất một bất đẳng thức đúng

Trang 27

Giả sử (2.19) đúng Theo giả thiết quy nạp đối với n từ (2.19) suy ra ít nhất k + 2 tập hợp trong dãy A'1, A'2, … , A'n có điểm trong chung Từ (2.13) suy ra rằng kết luận cũng đúng cho dãy A

1, A

2, … , A

n Giả sử (2.20) đúng Từ giả thiết quy nạp đối với k suy ra k + 1 tập hợp trong A"1, A"2, … , A"

n có điểm trong chung và cùng với (2.14) chỉ ra rằng tồn tại một điểm mà nó là điểm trong k+1 tập hợp A

1, A2, … , A

n và cả của A

n+1 Như vậy từ (2.12) suy ra k + 2 tập hợp trong dãy A

1, A

2, … , A

ncó điểm trong chung Suy ra kết luận đúng với n + 1 Từ phương pháp quy nạp, suy ra điều phải chứng minh

Tập phần tử là bề mặt giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín :

Trong mục này ta kí hiệu S(A) là diện tích bề mặt A

Tập phần tử là khối trong không gian ba chiều giới hạn các mặt cong phẳng: Trong mục này ta kí hiệu V(A) là thể tích khối A

Trang 28

A B

Định lý 2.6

Nếu A là một khối giới hạn bởi các mặt cong phẳng, còn A A1, 2, , A là ncác khối sao cho A i  A i( 1,2, , )n và V A( )V A( )1 V A( 2)  V A( n), thì ít nhất có hai khối trong số các khối trên có điểm trong chung

Định lý 2.7

Cho A là một khối giới hạn bởi các mặt cong phẳng, A A1, 2, , A là các n

khối thỏa mãn A i  A i( 1,2, , )n , còn k là số tự nhiên thỏa

Trong một hình vuông có ca ̣nh là 1 chứa mô ̣t số đường tròn Tổng đô ̣ dài

củ a chúng là 10 Chúng minh rằng tồn ta ̣i mô ̣t đường thẳng cắt ít nhất 4 trong những đường tròn đó?

Lờ i giải:

Hi ̀nh 2.4 Hình minh ho ̣a lời giải ví du ̣ 2.3

Ta chọn mô ̣t ca ̣nh hình vuông rồi chiếu vuông góc các đường tròn xuống

cạnh đó (xem hình 2.4) Ta có, hình chiếu của mô ̣t đường tròn bán kính R xuố ng AB và có mô ̣t đoa ̣n thẳng đô ̣ dài 2R Vì vâ ̣y trên hình vuông đã cho ̣n

Trang 29

có những đoa ̣n thẳng chiếu xuố ng với tổng đô ̣ dài là 10 Mà

103

  Nên theo

nguyên lý Dirichlet đố i ngẫu (đi ̣nh lý 2.3) suy ra có mô ̣t điểm M nào đó thuô ̣c

AB là điểm trong chung của ít nhất 4 đoa ̣n thẳng đã chiếu xuống Khi đó, đường thẳng đi qua M vuông góc với AB cắt ít nhất 4 trong những đường tròn

Kí hiê ̣u M là số mă ̣t có ca ̣nh lớn nhất của khối đa diê ̣n Giả sử mă ̣t M có k

cạnh Khi đó có k mă ̣t có ca ̣nh chung với M, nên đa diê ̣n có ít nhất k+1 mă ̣t

Vì là mă ̣t có số ca ̣nh nhiều nhất bằng k, nên mo ̣i mă ̣t của đa diê ̣n có số ca ̣nh nhận mô ̣t trong các giá tri ̣ 3,4, k 

Đa diê ̣n có ít nhất k + 1 mă ̣t, mà mỗi mă ̣t số ca ̣nh của nó nhâ ̣n 1 trong k–2 giá tri ̣ Vì thế theo nguyên lý Dirichlet suy ra có ít nhất hai mă ̣t của đa diê ̣n có

cù ng số ca ̣nh

Trang 30

Chương 3 ỨNG DU ̣NG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Trong toán sơ cấp, bài toán tồ n ta ̣i xuất hiê ̣n hầu hết ở tất cả các lĩnh vực số học, đa ̣i số , hình ho ̣c… Các bài toán loa ̣i này thường rất khó khăn trong việc tìm lời giải Cũng chính vì thế mà nó thường xuyên xuất hiê ̣n trong các

kỳ thi cho ̣n ho ̣c sinh giỏi quố c gia và quố c tế Tuy nhiên ta có thể sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải quyết một số lượng lớ n bài tập tương đối hiệu quả, đơn giản và dễ hiểu Sau đây là mô ̣t số bài toán “tồn ta ̣i” trong số ho ̣c và dãy số , hình ho ̣c, đa ̣i số

3.1.BÀI TOÁN “TỒN TẠI” TRONG SỐ HỌC VÀ DÃY SỐ

3.1.1 Ba ̀i toán “tồn ta ̣i” trong Số ho ̣c

Bài toán “tồ n ta ̣i” trong số ho ̣c tương đố i phổ biến, đă ̣c biê ̣t là các bài toán về tính chia hết, số chính phương, số nguyên tố… Chúng ta xét mô ̣t số bài toán tiêu biểu sau:

Ba ̀i toán 3.1

Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kì luôn có thể chọn ra được hai số

mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100

chúng chia hết cho 100

Trang 31

Bài toa ́ n 3.2

Cho 10 số nguyên dương u 1 , u 2 , … ,u 10 Chứ ng minh rằng tồn ta ̣i các số c i

 {-1, 0, 1}, i = 1,10, không đồ ng thời bằng 0 sao cho số 10

1

i i i

1,1024 Rõ ràng có tất cả 210 = 1024 số A j , j = 1,1024 như vậy Khi chia 1024

số A j này cho 1023 thì theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 số A k , A h , kh sao

mặt khác do A k  A h nên c i không thể đồ ng thờ i bằng không,i = 1,10

Như thế ta đã chứng minh được sự tồn ta ̣i của 10 số c i  {-1, 0, 1} không

đồng thời bằng không, sao cho 10

1

i i i

14 2 43 và những số dư khi chia

dãy số trên cho n Vì dãy số đã cho gồm n phần tử, nên số dư dương khác

Trang 32

nhau khi chia chú ng cho n có n – 1 phần tử Có thể giả thiết không có mô ̣t số

nào trong dãy trên chia hết cho n vì nếu ngược la ̣i thì bài toán đã được giải Khi đó sẽ có hai số trong chúng, ví du ̣: 111 111

Từ đó ta có a1- a2 M15 Mặc khác, a1, a2 cù ng lẻ nên a1- a2 M2 Do (2,15) = 1 nên suy ra a1- a2M30

Xét 7 số còn la ̣i: Theo nguyên lý Dirichlet tồn ta ̣i 4 số đồ ng dư với nhau theo mod 3 Đem 4 số này chia cho 5 có 2 khả năng xảy ra:

Kha ̉ năng 1: Nếu trong 4 số này có hai số chẳng ha ̣n (go ̣i là a3, a4 ) mà a3a4(mod 5) Từ đó suy ra a3 – a4M5 Rõ ràng a3 – a4M3 và a3 – a4M2 Vì (5, 3, 2) = 1 nên ta có a3 – a4M30 Lấy 2 số bất kỳ (ngoài a1, a2, a3, a4 đã cho ̣n) thì

do a5, a6 lẻ (do nguyên tố ), nên a5 + a6 M2

Từ đó suy ra: (a1- a2)(a3 - a4)(a5 + a6) M30.30.2 = 1800

Kha ̉ năng 2: Nếu 4 số này khi chia cho 5 các số dư khác nhau là {1, 2, 3,

4}

Trang 33

Giả sử a5 1(mod 5), a6  4(mod 5), ta có : a5 + a65(mod 5), suy ra a5+a6M5 Vớ i hai số còn la ̣i a3, a4 thì rõ ràng a3 – a4M3 (theo cách cho ̣n 4 số trên) Do a3, a4, a5, a6 lẻ nên a5 + a6M2, a3 – a4M2

Từ đó suy ra a5 + a6 M10 và a3 – a4M6

Vậy (a1- a2)(a3 - a4)(a5 + a6) M 30.10.6 = 1800

Tó m la ̣i, luôn tồn ta ̣i 6 số a1, a2, a3, a4, a5, a6 phân biệt sao cho:

(a1- a2)(a3 - a4)(a5 + a6) M 1800

tố ) là số chính phương khi và chỉ khi tất cả các số mũ đều chẵn Với mỗi số đã

1, 2, , n

2

sắp thứ tự gồm n số 0 và 1 Theo lý thuyết tổ hợp, tất cả n -bộ như vậy có số

hai số trong chúng có cùng bộ sắp xếp gồm số 0 và 1 giống nhau Giả sử các

Trang 34

Gọi a là số tự nhiên mà trong biểu diễn thâ ̣p phân của các số đó không có

các chữ số 0, 1, 2, 3 Rõ ràng các số a như vâ ̣y là vô ha ̣n Ta xét dãy số sau đây :

1987 11

19  số khác nhau cho 1 11 1987

19 Theo nguyên lý Dirichlet sẽ

có ít nhất hai số khi chia cho 19111987 có cùng số dư Giả sử hai số đó là: ,

Ba ̀i toán 3.7

Cho trước 20 số tự nhiên 1 a1 < a2 < a3 < …< a20 không vượt quá 70 Chứ ng minh rằng giữa các hiê ̣u aj – ak (j > k) luôn tìm đươ ̣c ít nhất 4 hiê ̣u bằng nhau

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	1,16 MB