Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên để giải bài toán về nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp

Một trong những bàitoán khó là bài toán về hàm số hợp như: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số hợp, tìm số điểm cực trị của hàm số hợp, tìm số nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp,bài toán

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Từ năm 2017 đến nay, đã có 4 năm môn Toán được Bộ Giáo dục và Đào tạo

tổ chức thi THPT Quốc gia và thi Tốt nghiệp THPT bằng hình thức trắc nghiệm.Trong 4 năm qua, thầy và trò trên cả nước đã dần làm quen và thích nghi với đề thitrắc nghiệm môn Toán Trong quá trình học tập và giảng dạy, các thầy cô và các

em học sinh đã gặp rất nhiều khó khăn khi gặp phải nhiều bài toán trắc nghiệmhay, lạ và khó, đa dạng về hình thức, phong phú về nội dung Một trong những bàitoán khó là bài toán về hàm số hợp như: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số hợp, tìm

số điểm cực trị của hàm số hợp, tìm số nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp,bài toán tương giao giữa đồ thị của các hàm số hợp v.v…

Hôm nay tôi xin trao đổi cùng đồng nghiệp về một trong các bài toán này

qua đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên để

giải bài toán về nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp”.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài tập trung vào nghiên cứu các dạng toán và lời giải một số bài toán vềnghiệm của phương trình có chứa hàm số hợp trong đề thi THPT Quốc gia và Tốtnghiệp trung học phổ thông môn Toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp khảosát thực tế, thu thập thông tin và phương pháp thống kê, xử lý số liệu Cụ thể cácbước nghiên cứu được tiến hành như sau:

Bước 1: Tìm hiểu, thu thập thông tin các bài toán về hàm số hợp có trongcác đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng như các đề thi thử của các trườngTHPT trên toàn quốc

Bước 2: Xây dựng nguồn đề và cho học sinh lớp 12 làm thử nghiệm

Bước 3: Hướng dẫn cho học sinh các phương pháp giải

Bước 4: Tổ chức thực nghiệm và kết luận về tính hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Khái niệm “Hàm số hợp” đã được học trong chương trình Đại số và Giảitích lớp 11 vì vậy học sinh đã biết khái niệm và đạo hàm của hàm số hợp; chính vìvậy các em có thể tính được đạo hàm của hàm số hợp và xét được tính đơn điệucủa hàm số hợp Về đồ thị của hàm số, các em học sinh đã được học khái niệm,cách vẽ, các phép biến đổi đồ thị cơ bản trong chương trình Đại số lớp 10 và cácbước khảo sát vẽ đồ thị của một số hàm cơ bản trong chương trình Đại số và Giảitích lớp 12 Vì vậy về cơ sở lý thuyết, các em học sinh lớp 12 đã có đủ kiến thứccăn bản để giải các bài toán về đồ thị và về nghiệm của phương trình có chứa hàm

số hợp

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi khảo sát học sinh lớp 12 về kiến thức hàm số hợp; làm bài khảo sát

về đồ thị hàm số hợp thì kết quả thu được rất đáng báo động Đa số các em khôngnhớ khái niệm về hàm số hợp, nhầm lẫn khi tính đạo hàm của hàm số hợp, khôngphác họa được đồ thị của một số hàm số hợp đơn giản và hầu hết gặp khó khăn khigiải các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về tương giao của đồ thị hàm

số hợp với trục hoành hoặc với đồ thị hàm số khác

Kết quả khảo sát 43 học sinh lớp 12A2 và 40 học sinh lớp 12 A3 trườngTHPT Triệu Sơn 1 như sau:

Nội dung câu hỏi

Số lượng học sinh trả lời đúng

Câu 2 Nhắc lại công thức tính đạo hàm của hàm số hợp 25

Câu 3 Nhắc lại các phép biến đổi đồ thị cơ bản 08

Câu 4.(Câu 35 Mã 101 đề thi THPT Quốc gia năm học

g x = f x + +x

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

02

2.3 Các sáng kiến đã áp dụng để giải quyết vấn đề

: Giữ nguyên đồ thị (C) phía bên trên trục Ox, sau đó lấy đối xứngphần phía dưới trục Ox qua trục Ox

4 Số nghiệm của phương trình

+ Số nghiệm của phương trình f x( ) = 0

là số điểm chung của đồ thị hàm số

( )

y= f x

với trục hoành

+ Số nghiệm của phương trình f x( ) =g x( )

là số điểm chung của đồ thị hàm số

( )

y= f x

với đồ thị hàm số y=g x( )

.+ Số nghiệm của phương trình f u x( ( ))= 0

là tổng số nghiệm của các phương trình:

.

Cách giải:

-Bước 1: Đặt u x( )=t

, tìm miền giá trị của t và mối tương quan của t với x (với

mỗi t sẽ cho ta bao nhiêu giá trị x thuộc miền xác định)

- Bước 2: Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

, ta tìm được sốnghiệm và miền xác định của nghiệm t

- Bước 3: Với mỗi nghiệm t vừa xác định được ta suy ra số nghiệm x tương ứng

Ví dụ 1: [4] Cho hàm số bậc ba y= f x( )

có đồ thị là đường cong trong hình bên Số nghiệmthực phân biệt của phương trình f x f x( 3 ( ))+ = 1 0

là

0 ( ) 0 ( ) 0

có đúng hai nghiệm trên ¡ \ 0{ }

có đúng 6 nghiệm

Ví dụ 2 Cho hàm số y= f x( )

có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thuộc khoảng (0; π)

của phương trình f (sinx) = − 4

là

1;0 0;1

số nghiệm của phương trình f f x( ( ) ) = 1

Khẳng định nào sau đây là đúng?

+) Xét f x( ) = ∈ −t1 ( 1;0)

, ta có đường thẳng 1

y t= cắt đồ thị hàm số y= f x( )

tại 3điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt

+) Xét f x( ) = ∈t2 ( )0;1

, ta có đường thẳng 2

y t= cắt đồ thị hàm số y= f x( )

tại 3điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt

+) Xét f x( ) = >t3 2

, ta có đường thẳng 3

y t= cắt đồ thị hàm số y= f x( )

tại 1 điểmnên phương trình có 1 nghiệm

Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: m= + + =3 3 1 7

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (1 3 − x)= 6

có một nghiệm âm Vậy chọn A.

Nhận xét: Dạng 1 là một dạng toán rất phổ biến và cũng rất thú vị; đây không

phải là một dạng toán quá khó, chỉ cần học sinh chịu khó rèn luyện một chút thìcác em hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán này Sau đây là một số bài tậptương tự

Bài 1 Cho hàm số f x( )

có bảng biến thiên như sau: [5]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 5f x( 2 − 4x) =m

có ítnhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)

Bài 2 Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên

Số nghiệm phân biệt của phương trình f f x( ( ) ) = 1

là

Bài 3 Cho hàm số f x( )

liên tục trên ¡ có đồ thị y = f x( )

như hình vẽ bên Sốnghiệm thực của phương trình f (2 + f ( )ex ) = 1

A 9 B 6 C 5 D 4

Bài 6 Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số giá trị nguyên của tham số mđể phương trình 8f e( )x =m2 − 1

có hai nghiệm thựcphân biệt là

Bài 7 Cho hàm số y= f x( )

có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x( )− =m 0

có 4 nghiệmphân biệt

.

Cách giải:

- Bước 1: Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y= f x'( )

, ta suy ra bảng biếnthiên của hàm số y= f x( )

- Bước 2: Từ bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

, ta tìm được số nghiệm và miềnxác định của nghiệm t trong phương trình f t( ) =m.

- Bước 3: Với mỗi nghiệm t vừa xác định được ta suy ra số nghiệm x tương ứng

Bước 1 Dựa vào đồ thị hàm số y= f x′( )

ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số

( )

như sau:

Bước 2 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình f x( ) =m

có tối đa hai nghiệmdương

Bước 3 Từ đó suy ra phương trình f x( )2 =m

có tối đa 4 nghiệm

Ví dụ 2 Cho hàm số y= f x( ) =ax4 +bx3 +cx2 + +dx e

với

( , , , ,a b c d e∈ ¡ )

Biết hàm số( )

2 2

có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) và

(2) lần lượt có 2 nghiệm phân biệt

1 2

Vậy có 2 giá trị nguyên m thoả mãn bài toán

Nhận xét: Dạng 2 là một dạng toán rất thú vị và khá khó đối với nhiều học sinh;

vì vậy học sinh cần phải có tư duy hàm tốt và rèn luyện nhiều thì mới có thể giảiquyết được bài toán này Sau đây là một số bài tập tương tự

1

− 2

− 3

− 1

2 3

4 5

y

4

2 2

là hàm số đa thức bậc 5, có f ( )1 = 0

và đồ thị hàm số y= f x′( )

đốixứng qua đường thẳng x=1 như hình dưới đây

Biết phương trình f x( + = 1) m

có nghiệm x∈ −[ ]1;1

khi và chỉ khi m∈[ ]a b;

Khi đó a b+ bằng

A

1 5

−

1 5

1 3

3 Dạng 3: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

Giải bài toán liên quan đến phương trình f u x( ( )) =m f u x; ( ( )) =m

.

Cách giải:

- Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số g u x= ( )

Từ đó xác định được miền giátrị của hàm số g u x= ( )

- Bước 2: Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

, ta suy ra được đồthị của hàm số y= f x( );y= f x( ) .

- Bước 3: Từ đồ thị của hàm số y= f x( );y= f x( )

, ta suy ra số nghiệm củaphương trình f u x( ( ))=m f u x; ( ( )) =m

Dựa vào đồ thị, phương trình f x( ) =m

có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốmđể phương trình f x( 2 + = 1) m

có 6nghiệm phân biệt

Cứ mỗi nghiệm t>1

cho được hai nghiệm x, do vậy để phương trình f x( 2 + = 1) m

có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f t( ) =m

cần có 3 nghiệm t>1

Dựa bảng biến thiên của hàm y= f t( )

ở trên ta có điều kiện 3< <m 10

, mặt khác mnguyên nên m∈{4;5;6;7;8;9}

.Vậy có 6 giá trị nguyên mthỏa mãn bài toán

Ví dụ 3 Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [− π π ;2 ]

khi và chỉ khi phương trình

Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn bài toán

Nhận xét: Dạng 3 là một dạng toán khó đối với nhiều học sinh vì các em phải xử

lý bài toán liên quan đến đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối; vì vậy họcsinh cần phải tư duy tốt và thành thạo các phép biến đổi đồ thị của hàm chứa dấutrị tuyệt đối Để giải quyết được dạng toán này học sinh cần rèn luyện nhiều hơnnữa các bài tập tương tự như các bài tập sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

, liên tục trên mỗi khoảng xác định

và có bảng biến thiên như sau:

'

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình f x( ) =m

có 4 nghiệm phân biệt

Về phía học sinh nhất là các em học sinh khá giỏi, thì đa số các em rất hứngthú với chuyên đề này; vì đây là một nội dung khó và được đề cập rất ít trong sáchgiáo khoa nhưng lại xuất hiện nhiều trong các đề thi thử và đề thi chính thức của

Bộ Giáo dục và Đào tạo

Sau khi áp dụng đề tài này cho lớp thực nghiệm 12A2, tôi đã cho các em làmmột bài kiểm tra 90 phút với 30 câu về các dạng toán đã đề cập đến trong đề tàivới cấu trúc mức độ đề là 5-3-2-1 thang điểm 10 thì kết quả thu được như sau:Mức điểm đạt được Số lượng học sinh đạt được Phần trăm

3.1- Kết luận.

Mỗi thầy (cô) giáo phải luôn phấn đấu là một tấm gương tự học và sáng tạo

để học trò noi theo, vì vậy trong quá trình giảng dạy và đặc biệt là trong giai đoạnđổi mới giáo dục hiện nay thì người thầy càng phải luôn nỗ lực trong việc học hỏi,đổi mới phương pháp, tìm tòi cái hay cái mới để truyền thụ cho học trò Đây có lẽcũng là tiêu chí của một người thầy mà xã hội đang mong muốn Ý thức được điều

đó nên bản thân tôi và đồng nghiệp ở trường THPT Triệu Sơn 1 luôn phấn đấukhông ngừng để ngày càng là điểm tựa vững trãi cho học trò vươn xa hơn; ngàycàng giảng dạy được cho các em nhiều những bài toán hay, giúp các em tự tin hơnkhi bước vào các kì thi quan trọng của cuộc đời học sinh

3.2- Kiến nghị.

Trên đây là sáng kiến của tôi đã áp dụng cho lớp chủ nhiệm 12A2 của trườngTHPT Triệu Sơn 1 trong năm học 2020-2021 và bước đầu đã có kết quả rất khảquan, rất mong được sự quan tâm của đồng nghiệp

Rất mong các cấp lãnh đạo của nhà trường, của ngành tổ chức thêm các buổichuyên đề để giáo viên trao đổi về các phương pháp giảng dạy hay nhằm nâng caochất lượng giáo dục học sinh trong thời gian tới

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Người viết

Vũ Đoàn Kết

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

[2]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

[3]- Đại số lớp 10 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

[4]- Đề thi Tốt nghiệp THPT của Bộ GD&ĐT năm 2020 lần 1.

[5]- Đề thi Tốt nghiệp THPT của Bộ GD&ĐT năm 2020 lần 2.

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Vũ Đoàn Kết

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán– trường THPT Triệu Sơn 1

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A,

B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Kinh nghiệm dạy học sinh

yếu kém môn Toán

Sở GD&ĐT

1 2 Tạo hứng thú cho học sinh

khi học giới hạn và đạo

sinh lớp 12 giải nhanh trắc

nghiệm môn Toán

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 12.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt

động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT

CÔNG NHẬN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1

(*Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock;

** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12

SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HOẶC BẢNG BIẾN THIÊN

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA HÀM SỐ HỢP

(Font Times New Roman, cỡ 16-18, CapsLock, đậm)

Người thực hiện: Vũ Đoàn Kết Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

(Font Times New Roman, cỡ 15, đậm, đứng; mục Đơn vị công tác chỉ ghi đối

với các SKKN thuộc các bậc MN, cấp TH và THCS, các cấp/bậc khác không ghi)

THANH HOÁ NĂM 2021