Một số phương pháp giải bài toán nguyên hàm dạng trắc nghiệm thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM DẠNG TRẮC NGHIỆM THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM DẠNG TRẮC NGHIỆM THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI

TỐT NGHIỆP THPT

Người thực hiện: Lưu Thị Hương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2021

MỤC LỤC

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lý do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu….……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… 3

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Sử dụng nguyên hàm cơ bản……… 3

2.3.2 Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số………… 8

2.3.3 Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần ………11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………16

3 Kết luận và kiến nghị……… 18

3.1 Kết luận……… 18

3.2 Kiến nghị……… 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Đổi mới trong thi toán tự luận sang trắc nghiệm nảy sinh nhiều vấn đề Đặcbiệt phần lớn học sinh sử dụng máy tính giải bài toán trắc nghiệm nguyên hàm,tích phân Qua quá trình giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy học sinh mấtnhiều kiến thức cơ bản và chủ quan không học kĩ một số phần luyện thi tốtnghiệp, đặc biệt là phần nguyên hàm, tích phân Vì vậy muốn học sinh rèn luyệnđược tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán trắc nghiệm đòi hỏi người thầycần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều dạng toán đáp ứng với xu thế mới vàcách giải qua một bài toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động,

tư duy sáng tạo, phát triển bài toán và có thể đề xuất hoặc tự làm các bài toántương tự đã được nghiên cứu, bồi dưỡng

Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm trong các kỳ thi, đặc biệt

là kỳ thi tốt nghiệpTHPT, để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm vớithời gian ngắn mà không chỉ đơn thuần dùng máy tính Casio mà phải sử dụngcác kiến thức cơ bản một cách hợp lí, sử dụng một cách linh hoạt các phươngpháp giải nguyên hàm một cách nhanh nhất Muốn vậy phải bồi dưỡng năng lực

tư duy độc lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh và kỹ thuật tínhnhanh, trước tiên phải trang bị cho các em nền kiến thức cơ bản phổ thông vữngchắc, các khả năng giải các dạng bài tập Người giáo viên phải vận dụng cácphương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tích cực,xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực sự là nhucầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh Học sinh cầnxem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kếtnối giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán, bài toán chưa biết cách giải với bàitoán quen thuộc đã biết cách giải, biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từngtrường hợp riêng lẻ để giải một bài toán nhanh nhất

Với chút hiểu biết nhỏ bé của mình cùng niềm say mê toán học tôi viết đề tàisáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp giải bài toán nguyên hàm, dạngtrắc nghiệm thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT” mong muốn đượcchia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán và dạy toán với bạn bè trongtỉnh Hy vọng đề tài giúp ích một phần nhỏ bé cho quý thầy cô và các em họcsinh trong công tác giảng dạy và học tập

ỏi Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúphọc sinh giải một cách nhanh gọn một số bài tập nguyên hàm, tích phân Giúpcác em đạt hiệu quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Cách giải một số dạng nguyên hàm

Nghiên cứu phương pháp giải các bài toán thi tốt nghiệp TPHT theo nhiềucách.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu là phương pháp thống kê, lựa chọn

những bài toán hay, độc đáo, có cùng phương pháp giải sau đó phân tích, so

sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa để làm nổi bật phương pháp rút ra kết luận.Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm chiếm một phầnrất quan trọng Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa nhiều vàchỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương nhiều phương pháp

và kỹ thuật giải từng dạng cho học sinh Học sinh chỉ mới giải các bài toán theomột hướng nhất định nào đó Do đó các bài toán về nguyên hàm chưa khai thácđược hết cách giải Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc biệtmạng internet tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh định hướng giải một cáchnhanh nhất một bài toán là rất cần thiết để phù hợp với việc giải toán cho các kỳthi đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT rất cấp bách như hiện nay

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Dựa vào định nghĩa nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, cácphương pháp tính nguyên hàm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong quá trình giảng dạy cũng như đi dự giờ đồng nghiệp, tôi nhận thấynhiều học sinh hiện nay không quan tâm đến kiến thức cơ bản mà chỉ quan tâmđến việc sử dụng máy tính để bấm kết quả của bài toán nguyên hàm, tích phân.Qua kiểm tra lớp học, cho học sinh làm một số bài tập nguyên hàm mà họcsinh không bấm được máy tính thì kết quả học sinh làm bài kém

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.

Qua quá trình giảng dạy, tôi đã không ngừng tự tìm tòi, sáng tạo những bàitoán không sử dụng được máy tính Mục đích làm cho học sinh thấy sự cần thiếtcủa việc học kiến thức cơ bản, làm được các dạng toán nguyên hàm Ngoài ra,tôi cũng rút ra những kinh nghiệm trong các đề thi mẫu của bộ giáo dục, củađồng nghiệp trong cơ quan để đưa ra những dạng toán phù hợp, nằm trong mẫu

đề thi

Cách thức thực hiện:

- Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của Thầy giáo

+) Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chínhkhoá với các bài tập ở mức độ vừa phải Thầy giáo đưa ra các phương pháp giải

và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có được của bài toán Sau đócho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài toán ở mức độ đơngiản

+)Thực hiện một số buổi bồi dưỡng đối với những học sinh khá hơn ở mức

độ những bài toán cao hơn

- Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của thầy giáo

Hình thức này cũng cần được thực hiện liên tục trong quá trình học tập của học sinh, làm cho khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên

2.3.1 Sử dụng nguyên hàm cơ bản.

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)

g Tích của đa thức hoặc lũy thừa ¾¾ ¾PP ® khai triển.

g Tích các hàm mũ ¾¾ ¾PP ® khai triển theo công thức mũ.

g Bậc chẵn của sin và cosin Þ Hạ bậc:

x x



C

212



D

12

a b c d

Vậy a b c d    Đáp án D.5

Ví dụ 6 Cho ,a b R để ( )f x asinx b thỏa mãn:

2 0'(1) 2; ( ) 4

a b



Hướng dẫn:

2018(2 1)

Ví dụ 9 Cho f và g là hai hàm số theo x Biết  x [ ; ]; '( )a b f x g x'( )

2.3.2 Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau

Dấu hiệu Cách chọn

x= a + (b – a)sin2tHàm có mẫu số t là mẫu số

F   nên C =

3 Từ đó

12223025(0)

Ví dụ 2 Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm của hàm 2

1( )

t t

a x

0 , cos

2 2

, sin

0 , 2

, 2

, sin

t

a x

t t

t

a x

x a

x a x a

x a

Hướng dẫn:

Ta có: 2

111

A S  3 B S  3 C S 3 D S Hướng dẫn:

Đặt

1ln

sinuucosu cosuusinu  e x e x

- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng

- Nguyên hàm vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I

) 1 ln(

2

2

dx x

x x x

1 ln(

2

x

x x

Đặc biệt: Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm

Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số

f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex Tính a2 + b2 +c2 +d2

A 244 B 247 C 245 D 246

- Như vậy khi gặp dạng nguyên hàm này ta tính như thế nào?

- Cũng dùng nguyên hàm từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :

F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình

phương của các hệ số và chọn đáp án đúng

Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và

dẫn đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong quá trình giảng bài tôi đưa ra cách tính nhanh như vậy để có kết quả nhanh trong quá trình làm bài trắc nghiệm

Ví dụ 3: Cho hàm số f x  liên tục trên  Biết cos 2x là một nguyên hàm củahàm số f x ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ex là:

A  sin 2xcos 2x C B 2sin 2xcos 2x C

C 2sin 2x cos 2x C D 2sin 2x cos 2x C

Hướng dẫn:

Chọn C

Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x ex

nên f x ex cos 2x f x ex 2sin 2x

1

1 ln

2

2 2

2

2 2

x v

x

dx dx

x x x

x du

dx x

x dv

x x u

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm

3( 1) dxx

du dx1

1

3

x x

2

D  

7 3 4

A F x cosx sinx3 B F x   cosxsinx3

C F x  cosxsinx1 D F x   cosxsinx1

Câu 14 Cho F x   x 1e x là một nguyên hàm của hàm số   2 x

f x e Tìmnguyên hàm của hàm số   2x

- Đảm bảo tính khoa học chính xác

- Đảm bảo tính lôgic

- Đảm bảo tính sư phạm

- Đảm bảo tính hiệu quả

Khi trình bày tôi đã chú ý đến phương diện sau:

- Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh

- Phát huy được năng lực tư duy toán học của học sinh

Qua thực tế giảng dạy các lớp của trường THCS và THPT Như Xuân, các em rấthào hứng và sôi nổi trong việc đề xuất cách mới và bài toán mới Cụ thể kiểmtra khảo sát chất lượng học sinh khối 12 năm học 2020 – 2021 trước và sau khi

áp dụng sáng kiến như sau:

*)Trước khi giảng dạy:

Năm

Tổng số

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5Số

lượng

Tỷlệ

Sốlượng Tỷ lệ

Sốlượng Tỷ lệ2020

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5Số

lượng

Tỷlệ

Sốlượng Tỷ lệ

Sốlượng Tỷ lệ2020

-2021

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận

Nếu học sinh được biết một phương pháp mới có hiệu quả th́ì các em sẽ tựtin hơn trong giải quyết các bài toán dạng này và dạng tương tự Tuy nhiên mỗibài toán có nhiều cách giải, phương pháp giải này có thể dài hơn các phươngpháp khác nhưng nó lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận hơn cácphương pháp khác Hoặc là tiền đề cho ta sáng tạo một dạng bài tập khác Từvấn đề học sinh quá phụ thuộc máy tính khi giải toán tôi đã tìm ra giải pháp đểcác em có cái nhìn toàn diện vấn đề hơn Đó chính là cái hay, cái đẹp của toánhọc, khiến người ta say mê toán học

Tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối trong quá trình dạy và họcđối với học sinh THPT và đặc biệt đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với học sinhtrong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệpTHPT hiện hành Theo tôi khi dạyphần toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng giáo viên cần chỉ rõ các dạngtoán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn

3.2 Kiến nghị

- Tích cực trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, trao đổi kinh nghiệm, kiến thức,phương pháp không chỉ ở trong trường mà mở rộng ra cụm trường trong tỉnh vàcác tỉnh xung quanh, càng trao đổi nhiều thì mình càng thu được nhiều

- Rất mong các thầy cô giáo quan tâm, dựa vào trình độ của khối lớp để có thể

đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúpcho các em quen dần với các phương pháp này, góp phần nâng cao chất lượngdạy và học

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều

hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu họctập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập

- Cần tăng cường hơn nữa các buổi thảo luận khoa học để thống nhất cách dạy

và đưa ra các tài liệu tham khảo

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 18 – 05 – 2021Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung của

người khác

Lưu Thị Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO.

[1] Sách giáo khoa giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.

[2] Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục.

[3] Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục.

[4] Các bài giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất bản giáo dục.

[5] Tài liệu bồi dưỡng giáo viên (môn Toán học), Bộ giáo dục và đào tạo, Nxb Giáo dục.

[6] Đề thi ĐH môn toán các năm và đề thi minh họa năm 2020 của bộ GD và ĐT

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP

LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lưu Thị Hương

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS và THPT Như Xuân

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại

1 Rèn luyện kĩ năng và tư duy

sáng tạo cho học sinh khi sử

dụng tính đơn điệu của hàm

số để giải hệ phương trình

2 Rèn luyện kĩ năng và tư duy

sáng tạo cho học sinh THPT

thông qua việc xây dựng

một số bài toán tính nguyên

hàm không sử dụng máy

tính cầm tay