Phân tích những lỗi thường gặp của học sinh khi tính nguyên hàm, tích phân trong chương III lớp 12 trường THPT quảng xương 4

Giáo viên không chỉ đơn thuần dạy phương pháp cho học sinh mà phải chỉ ra được những lỗi thường mắc của học sinh khi giải toán.. Trong khi đó bài toán tích phân là một trong những bài to

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong nhiều năm gần đây, nền giáo dục đang có nhiều thay đổi và chuyển biến rất mạnh mẽ như: Điều chỉnh nội dung môn học, giảm tải chương trình môn học, thay đổi cách đánh giá học sinh, thay đổi cách thi cử, thay đổi các tuyển sinh, thay đổi môn thi, thay sách giáo khoa, thay đổi ban học và sắp tới áp dụng trương trình giáo dục tổng thể chính sự chuyển biến đó đòi hỏi học sinh phải thay đổi cách học đồng thời kéo theo giáo viên cũng phải tự thay đổi cách dạy cho phù hợp Để làm được điều đó đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian

tự trau dồi chuyên môn mới đáp ứng được yêu cầu trong quá trình dạy học Giáo viên không chỉ đơn thuần dạy phương pháp cho học sinh mà phải chỉ ra được những lỗi thường mắc của học sinh khi giải toán Từ đó học sinh hiểu rõ nguồn gốc của vấn đề

Hơn nữa môn toán học là môn học vô cùng khó với nhiều học sinh Trong thâm tâm các em thường sợ học môn toán bởi các lí do như sau: Môn toán đòi hỏi tư duy cao, học sinh không chỉ nhớ kiến thức đã học mà còn phải biết vận dụng kiến thức đó một cách thành thạo Các em còn cho rằng môn toán là môn học khô khan, đơn thuần chỉ là các phép tính máy móc với những con số nên không tạo được hứng thú cho các em khi học Hơn nữa các em thấy học toán không có tác dụng nhiều cho học môn khác và không ứng dụng được nhiều vào cuộc sống Vì vậy, để nâng cao được chất lượng giáo dục nói chung, giáo dục môn toán nói riêng trước hết phải làm thông tư tưởng học sinh Từ đó các em có thái độ yêu thích môn toán và thấy được vai trò của môn toán với môn học khác

và cuộc sống

Đặc biệt trong các đề thi tốt nghiêp trung học phổ thông quốc gia hiện nay nội dung nguyên hàm, tích phân và các bài toán ứng dụng chiếm tỉ lệ rất cao do

đó nhu cầu giải quyết các bài toán tích phân là rất thiết yếu với đa số học sinh Trong khi đó bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến

sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần

mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến:

“ Phân tích những lỗi thường gặp của học sinh khi tính nguyên hàm, tích phân trong chương III lớp 12 trường THPT Quảng Xương 4 " để nghiên cứu.

Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của hội đồng khoa học trường THPT

Quảng Xương 4 và hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa để sáng kiến được hoàn chỉnh hơn

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Chỉ ra cho học sinh thấy những lỗi thường mắc phải khi tính tích phân và ứng dụng tính tích phân vào tính diện tích, thể tích Từ đó giúp học sinh hiểu đúng bản chất và nguồn gốc của vấn đề

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán tích phân Từ đó nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh

- Đề tài còn là tài liệu để học sinh và đồng nghiệp nghiên cứu và tham khảo

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Đề tài nghiên cứu cách tính tích phân và ứng dụng của tích phân (chương III, giải tích lớp 12)

- Đề tài chỉ ra những lỗi thường mắc của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục những lỗi đó

- Áp dụng cho học sinh lớp 12B và 12I trường THPT Quảng xương 4

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến nội dung của đề tài như các định nghĩa, các định lí và các quy tắc làm cơ sở lý thuyết cho quá trình làm đề tài

2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.

Điều tra thực nghiệm từ học sinh và các đồng nghiệp nhằm thu thập thông tin, bổ sung cho kết quả nghiên cứu để tăng độ tin cậy

3 Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

Các kết quả, số liệu thu được sẽ được thống kê, xử lý, so sánh nhằm thấy được hiệu quả của đề tài nghiên cứu

4 Phương pháp đối chứng.

So sánh chất lượng giáo dục trước khi thực nghiệm đề tài và sau khi thực nghiệm đề tài So sánh các đối tượng thực nghiệm đề tài với nhau (lớp 12B và 12I)

5 Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

Tìm hiểu chắt lọc các thông tin qua: Sách nâng cao, sách tham khảo, mạng internet

B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở pháp lí liên quan đến nguyên hàm và tích phân.

G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình"[2] Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra

nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm

để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này Những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó các em thường bế tắc khi thực hiện lời giải Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc: Phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các

em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải

Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy nội dung nguyên hàm - tích phân đó là năng lực của các em ở trong cùng một lớp hay giữa các lớp với nhau cũng không đồng đều, có sự phân hóa rất rõ nét gây khó khăn cho thực nghiệm đề tài chính vì vậy các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất khó hơn và phức tạp hơn dành cho các học sinh khá, giỏi

2 Cơ sở thực tiễn các kiến thức liên quan đến nguyên hàm và tích phân 2.1 Nguyên hàm

a Định nghĩa: [1]

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F' x = f x   

với mọi x thuộc K

b Định lí: [1]

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng

số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

+ Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số

Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là �f x dx 

Khi đó: � f x dx =F x +C    (C: hằng số)

c Tính chất của nguyên hàm [1]

Tính chất 1: �f' x dx =f x +C   

Tính chất 2: �kf x dx =k f x dx  �   (k là hằng số khác 0)

Tính chất 3: ���f x ±g x dx = f x dx ± g x dx   �� �   �  

d Sự tồn tại của nguyên hàm [1]

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

e Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp [3]

α+1

α+1

aα+1

�

1

dx =ln x +C

x

�

e dx =e +C

a

�

x

lna

m lna

�

cosx.dx =sinx+C

a

�

sinx.dx =-cosx+C

a

�

2 2

1

.dx = (1+tan x)dx=tanx+C

cos x

dx = tan(ax+b)+C

�

2 2

1

.dx= (1+cot x)dx =-cotx+C

sin x

dx =- cot x+C

�

f Phương pháp tính nguyên hàm

+ Phương pháp đổi biến số [3]

Định lí: Nếu �f t dt = F t +C    và t = u x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì �f u x u' x dx = F u x +C         

+ Phương pháp nguyên hàm từng phần [3]

Định lí: Nếu hai hàm số u = u x  và v = v x  có đạo hàm liên tục trên K thì �u x v' x dx = u x v x - u' x v x dx        �    

Hay viết gọn là �udv = uv- vdu�

2.2 Tích phân

a Định nghĩa tích phân [1]

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là

 

b

a

f x dx

�

Khi đó: b     b    

a a

b Tính chất của tích phân [1]

Tính chất 1: b   b  

kf x dx = k f x dx

Tính chất 2: b     b   b  

f x ± g x dx = f x dx ± g x dx

Tính chất 3: b   c   b  

f x dx = f x dx + f x dx

c Phương pháp tính tích phân

+ Phương pháp đổi biến số [3]

Cho hàm số f x  liên tục trên  a; b Giả sử hàm số x=φ t  có đạm hàm liên tục trên  ;  sao cho a = φ α  , b = φ β  và a�  t �b với mọi t� ; 

Khi đó: b   β      

aα

f x dx = fφ t φ' t dt

+ Phương pháp tích phân từng phần [3]

Định lý: Nếu u = u x  và v = v x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên

 a; b thì b          b b    

a

Hay viết gọn là

b a

u.dv = uv - vdu

II THỰC TRẠNG VỀ ÁP DỤNG NỘI DUNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Ở TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4

Hiện tại sau một số lần thi thử THPT quốc gia đa số học sinh khi gặp các bài toán về nguyên hàm - tích phân các em thường gặp phải những khó khăn nhất định Chính những khó khăn đó nhiều học sinh không vượt qua được nên rất dễ dẫn đến những lỗi và lựa chọn phương án sai, các lỗi đó thường là:

1 Những lỗi khi tính nguyên hàm mà học sinh vẫn thường mắc phải như:

- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm

- Vận dụng sai công thức nguyên hàm cơ bản

2 Những lỗi khi tính tích phân mà học sinh thường mắc phải như:

+ Các lỗi khi vận dụng công thức và tính chất tích phân

- Nhầm lẫn giữa công thức nguyên hàm và đạo hàm

- Nhớ nhầm công thức hàm hợp

- Nhớ nhầm tính chất tích phân

- Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn- Leibnitz

+ Các lỗi thường gặp khi đổi biến số

- Đổi biến mà không đổi cận

- Đổi biến mà không vi phân

- Đổi biến mà khó khăn khi đổi cận

- Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]

+ Các lỗi do biến đổi không tương đương

III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TẠI TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4

1 Các giải pháp chung.

a Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

b Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: Phân tích, so sánh, ;

- Kỹ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề;

- Phương pháp: Phương pháp giải toán

c Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn

sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay)

d Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng, phân tích, tổng hợp, đánh giá

- Giáo viên đánh giá học sinh

- Học sinh đánh giá học sinh

e Đổi mới phương pháp dạy học.

Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập

f Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra

kết quả mới, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.

2 Giải pháp cụ thể để giải quyết vấn đề tại trường THPT Quảng Xương 4

Trong quá trình thực tế giảng dạy tại trường trung học phổ thông Quảng Xương 4 tôi nhận thấy các em học sinh cho rằng nội dung nguyên hàm - tích phân là nội dung dễ nên các em rất chủ quan khi giải các bài tập Chính tâm lí chủ quan đó nên các em rất hay mắc các lỗi khi giải toán Sau đây là tổng hợp các ví dụ thực tế tôi giảng dạy mà đa số học sinh trường trung học phổ thông Quảng Xương 4 thường mắc lỗi khi giải toán

2.1 Những lỗi của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục

2.1.1 Lỗi không nắm vững định nghĩa nguyên hàm

 Ví dụ 1 Cho F x( )  xe x là một nguyên hàm của hàm f x( ) (  x 1)e x trên R

Từ đó nguyên hàm củag x( ) (  x 1)e xbằng:

A (x 2)e x B (x 2)e x C C (x 2)e x D (x 2)e x C

* Lời giải có sai lầm:

   1 ( 1) 2 2

Nên chọn A

* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm

* Lời giải đúng:

với C = C1 – C2 Nên đáp án đúng là B

 Ví dụ 2 Nguyên hàm �tanxdxbằng:

A ln cos x C B ln cos x C C ln sin x C D Không tồn tại

* Lời giải có sai lầm: tan sin

cos

x

2

x

* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm

2.1.2 Lỗi vận dụng sai bảng nguyên hàm cơ bản

 Ví dụ 3 Tính nguyên hàm  4

I �3x 1 dx 

A

5

5

x

C

  B (3 1) 5

6

x

C

  C (3 1) 5

9

x

C

  D (3 1) 5

15

x

C

* Lời giải có sai lầm:  4 3x 15

5



* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Học sinh vận dụng công thức x dxn xn 1 c

n 1





* Lời giải đúng:

Đặt 3x + 1 = t

 4 4 5 3x 15



* Bài tập tương tự.

Bài 1 Cho F x( )  xsinx là một nguyên hàm của hàm f x( ) sinx  xcosx trên

R Từ đó nguyên hàm củag x( ) (  x 1)cosxbằng:

A (x 1)sinx cos  x C B (x 1)sinx-cosx C

C (x 1)sinx cos  x C D (x 1)sinx+ cosx

Bài 2 Cho F x( )  xe2x là một nguyên hàm của hàm f x( ) (2  x 1)e2x trên R

Từ đó nguyên hàm củag x( ) (  x 1)e2xbằng:

4

x

x e B 1 2

4

x

x e C C 1 2

4

x

x e C D 1 2

4

x

x e

Bài 3 Tính nguyên hàm  3

I �2x 1 dx 

A

4

4

x

C

  B (2 1) 4

8

x

C

  C (2 1) 4

12

x

C

  D (2 1) 4

16

x

C

Bài 4 Tính nguyên hàm I �sin 3x.dx

A cos3

3

x C

 B cos3x C C cos3

3

x C

 D cos3

3

x C

Bài 5 Tính nguyên hàm I 1 dx

2x 1





�

A ln 2 1

2

x

C



 B ln 2x  1 C C ln 2 1

2

x

C



 D 2.ln 2x  1 C

2.2 Những lỗi của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục

2.2.1 Những lỗi khi vận dụng công thức tích phân và tính chất tích phân 2.2.1.1 Lỗi do nhầm lẫn giữa công thức nguyên hàm và đạo hàm

 Ví dụ 4 Biết

7

2

a

b

�   Trong đó ( ,a b Z� ) Tính S a b 

A 11 B 21 C 31 D 41

2

12

2 x 2





1 12 11

S    

+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên

quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này

+ Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ

bản Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?

1

7

2 2

38 3 41

2.2.1.2 Lỗi do nhớ nhầm công thức tích phân cơ bản của hàm hợp

 Ví dụ 5 Cho tích phân 2 5

0

a

b

�   Trong đó ( ,a b N� * ;và

b

a

tối giản) Tính S a b 

A 367 B 166 C 185 D 54

+ Lời giải có sai lầm:    

2 6 2

5



chọn A

+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm

của hàm hợp, đã dùng

α+1

α+1

α+1

aα+1

�

+ Lời giải đúng:    

2 6 2

5



(Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt t = 2x-1)

+ Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ

bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợi tưng ứng với u = ax+b Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?

2.2.1.3 Lỗi do nhớ nhầm tính chất tích phân

 Ví dụ 6 Cho tích phân

1

x 0

a b.e

I (x 2)e dx

c



�  Trong đó ( , ,a b c Z� ;và a ,,b c

đôi một nguyên tố cùng nhau) Tính S a b c  

A 2 B 3 C 4 D 5

+ Lời giải có sai lầm :

 

1

1

0



+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm

của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần

0

I  x 2 e  �e dx     e 2 e   3 2e

3; 2; 1 3 2 1 2

+ Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và

tích phân Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần

2.2.1.4 Mắc lỗi khi hàm số dưới dấu tích phân không liên tục trên khoảng tính tích phân.

 Ví dụ 7 Tích phân: I =  

2 0

2

) 1

(x

dx

bằng

A  2 B 1 C 0 D Không xác định

+ Sai lầm thường gặp:  

2

0

2

) 1

(x

dx

2

0

2

) 1 (

) 1 (

x

x d

1

1







x

2

0   2 chọn A

+ Nguyên nhân sai lầm :

Hàm số ( 1 ) 2

1





x

y không xác định tại x 1 0 ; 2 suy ra hàm số không liên tục trên  0 ; 2 nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên

+ Lời giải đúng

Hàm số ( 1 ) 2

1





x

y không xác định tại x 1 0 ; 2 suy ra hàm số không liên tục trên  0 ; 2 do đó tích phân trên không tồn tại nên chọn D

+ Chú ý với học sinh:

Khi tính f x dx

b a

) (

 cần chú ý xem hàm số y  f (x) có liên tục trên a; b

không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại

* Bài tập tương tự.

Bài 1 Cho tích phân 0   b

1

a 2 ln 2

I x ln x 2 dx

c





 �   Trong đó ( , ,a b c N� ;và a ,,b c

đôi một nguyên tố cùng nhau) Tính S a 2  b2 c2

A 30 B 40 C 50 D 60

Bài 2 Cho tích phân 2 

0

a

I 2x 1 sin xdx

b



�   Trong đó ( ,a b N� ;và b

a

tối giản) Tính S a b 

A 0 B 1 C 2 D 3

Bài 3 Cho tích phân 2 

0



�       Trong đó ( , ,a b c R� ) Tính

S a b c

A  2 B  1 C 0 D 1