Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 4 giải một số bài toán về phương trình mặt cầu để đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT

Bài tập về các bài toán dạng này trong sách giáo khoa và trong sách bài tập rất ít, không phong phú tài liệu đề cập và bàn sâu đến dạng toán phương trình mặt cầu hầu như không có nhiều t

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Theo Luật giáo dục tại điều 27 có đề ra mục tiêu cho giáo dục phổ thông

là: "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí lực, thể chất, thẫm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động, sáng tạo, hình thành nhân cách con người" [5] Hơn nữa còn nhấn mạnh các năng lực chuyên

môn trong đó có năng lực tính toán một trong những năng lực đặc thù của môn

Toán : 'Năng lực ngôn ngữ, Năng lực tính toán, Năng lực tìm hiểu tự nhiên và

xã hội, Năng lực công nghệ, Năng lực tin học, Năng lực thẩm mỹ, Năng lực thể chất) và các năng lực đặc biệt (năng khiếu")[4] Và đặc biệt trong Nghị quyết

29-NQ/TW được hội nghị lần thứ tám Ban Chấp hành trung ương khóa XI thông qua ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện GD&ĐT, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng Xã

hội Chủ nghĩa và hội nhập quốc tế đã chú trọng: " Năng lực và kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn" [4] Vì vậy học sinh được học về mặt cầu

và phương trình mặt cầu trong Chương trình, SGK HH 12 có ba đối tượng được nghiên cứu đó là: Đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu Các em có thể vận dụng

từ bài học để biết về các tính chất của mặt cầu Bởi trong đời sống hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều những đồ vật có dạng hình cầu như: Quả bóng, quả địa cầu Từ đó các em có thể vận dụng kiến thức vào thực tiễn

Việc phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù

hợp với từng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,

hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh

Theo công văn số 1318/BGDDT- QLCL của Bộ giáo dục và đào tạo chính thức công bố phương án thi tốt nghiệp THPT năm học 2021 Bộ giáo dục và đào tạo cũng đã công bố đề thi tham khảo bộ môn Toán học Theo phương án thi đã công bố, bộ môn Toán học sẽ tiếp tục được thi bằng hình thức thi trắc nghiệm khách quan, nội dung đề thi gồm 10% chương trình lớp 11 và 90% chương trình lớp 12 hiện hành Đặc biệt theo cấu trúc đề thi mà bộ đã công bố thì trong đề thi

bài phương trình mặt cầu được đề cập trong cấu trúc đề thi này

Bài tập về các bài toán dạng này trong sách giáo khoa và trong sách bài

tập rất ít, không phong phú tài liệu đề cập và bàn sâu đến dạng toán phương trình mặt cầu hầu như không có nhiều trên thị trường, vì thế học sinh khi học và

làm bài tập về dạng bài toán này rất lúng túng và làm sai nhiều Vì hầu như học sinh không nắm được các dạng toán về phương trình mặt cầu và một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong giải một số bài toán hình học

Để giúp học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 4 giải tốt một số bài

toán về “phương trình mặt cầu” trong quá trình học và ôn tập thi tốt nghiệp

THPT, tôi chọn đề tài: ''Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 4 giải một số bài toán về " phương trình mặt cầu " để đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp cho học sinh một số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh

có thể giải quyết các bài toán liên quan đến bài toán về " phương trình mặt cầu "

để đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT.

Tránh tình trạng khi các em gặp phải các bài toán loại này là lúng túng và không giải được Giúp học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp các

bài toán về " phương trình mặt cầu " .

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Là học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Quảng Xương 4

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

+) Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung

đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

- Đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm và đề thi tham khảo của Bộ giáo dục

và đào tạo

- Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 của Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa, đề thi khảo sát chất lượng khối 12 của các Trường THPT

+) Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình Hình học 12 bài toán ‘phương trình mặt cầu’ là một nội dung rất quan trọng, bài toán này thường xuyên được được ra trong các đề thi học kì và thi tốt nghiệp THPT

2.2 Thực trạng của học sinh giải các bài toán " phương trình mặt cầu " trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Khi gặp các bài toán liên quan đến bài toán ‘phương trình mặt cầu’, một số học sinh lúng túng, chưa biết cách giải, thường làm mò không có cơ sở toán học

- Khi gặp các bài toán liên quan đến bài toán ‘phương trình mặt cầu , một số học sinh thường bỏ qua, hoặc khoanh chừng

- Trong quá trình soạn giảng bài toán " phương trình mặt cầu " giáo viên chưa đưa ra được hệ thống các bài toán dạng này một cách hệ thống và đầy đủ

2.3 Các giải pháp thực hiện giải các bài toán " phương trình mặt cầu " nhằm giúp học sinh đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT

Triển khai đề tài trong buổi sinh hoạt tổ chuyên môn để tất cả các đồng chí giáo viên giảng dạy khối 12 trong tổ triển khai giảng dạy đồng loạt cho học sinh khối 12 để đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT khi có các câu hỏi

ra vào bài toán " phương trình mặt cầu "

(Hình ảnh triển khai chuyên đề:Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12

trường THPT quảng xương 4 giải một số bài toán về " phương trình mặt cầu " để

đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT )

Cách thức triển khai:

- Đầu tiên khi tiếp cận các bài toán, giáo viên giúp học sinh nắm được phương pháp giải, biết phải sử dụng công thức nào cho phù hợp Sau đó lập sơ

đồ giải, sử dụng máy tính cầm tay bấm như thế nào để ra được đúng kết quả cần tìm

- Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán liên quan đến bài toán ‘phương trình mặt cầu , trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về mặt tròn xoay, hệ tọa độ trong không gian Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh thực hành vận dụng [6]

Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ về các bài toán liên quan đến bài toán ‘phương trình mặt cầu ’ sát với thực tế đang giảng dạy ở trường cũng như sát với chương trình ôn tập thi tốt nghiệp trung học phổ thông 2021

2.3.1 Kiến thức toán có liên quan

- Các khái niệm về mặt tròn xoay hình học 12 [6]

- Các khái niệm hệ tọa độ trong không gian hình học 12 [7]

2.3.2 Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải

2.3.2.1 Các kiến thức cơ bản:

a Phương trình mặt cầu:

Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: x a 2  y b 2 z c 2 R2(1)

Dạng 2: x2  y2 z2 2ax + 2by+ 2cz + d =0a2 b2 c2  d 0 (2)

Khi đó: Mặt cầu có tâm I(-a; -b; -c), bán kính R a2 b2 c2  d

b Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng   Tính: d I   , 

Nếu: d I ,  R:   C ;

Nếu d I ,  R:   C tại 2 điểm phân biệt;

Nếu d I ,  R:  và  C tiếp xúc nhau,   gọi là tiếp tuyến của mặt cầu

c Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng

 P : Ax+By+Cz +D =0

Tính:  ,  

Aa +Bb +Cc+D A

d I P



Nếu:

1) d I P ,   R P:   C ;

2)d I P ,   R P:  C là đường tròn H r;  R2  d I P2 ;    với

H là hình chiếu của I trên (P)

Vậy đường tròn trong không gian có phương trình:

Ax + By + Cz + D =0





 3) d I P ,   R P:   , C tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C)

2.3.2.2 Các dạng toán:

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước (dạng pt (2)):

Cách 1: Đưa về dạng 1

Cách 2: Kiểm tra điều kiện a2 b2 c2  d  0 tâm và bán kính

Ví dụ:

Cho phương trình: x2  y2 z2  2m2x 4my +8m2  4=0 .Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu Khi đó tìm tập hợp tâm của họ mặt cầu đó

Lời giải:

Phương trình đã cho  x m 22 y 2m2 z2 m4  4m2 4

là phương trình mặt cầu  m4  4m2  4 m2  2 0  m 2

Khi đó tâm I m( 2;2 ;0)m Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và:

2

I I

y

x 

Vậy tập hợp tâm I là parabol

2

4

y

x  nằm trong mp(Oxy) bỏ đi 2 điểm: (2;2 2;0)

M và (2; 2 2;0).N 

Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước

Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu:

- Biết tâm: tìm bán kính;

- Biết bán kính: tìm tâm;

- Chưa biết tâm và bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với 2 mặt phẳng cho trước thường xác định tâm trước sau đó đi tìm bán kính

Bài 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)

với A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3)

Lời giải:

3 3 3

x y z

x y z

Bán kính mặt cầu: R d I ABC  ,   2 3  Phương trình mặt cầu:

x 42 x 32 x 22 12

Bài 2:

Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có phương trình: 4 3 20

y y





 tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16

Lời giải:

Đường thẳng (d) đi qua M(11; 0; -25) và có véc tơ chỉ

phương u  2;1; 2 .Gọi H là hình chiếu của I trên (d)

Ta có:

IH d I AB

u

 



Suy ra bán kính mặt cầu

2

2

AB

R IH   

Vậy phương trình mặt cầu: x 22y 32 z12 289.

Bài 3:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình

x y z

 P1 :x + y + z2 2  2=0;  P2 : 2x + y + z2 1=0 Lập phương trình mặt cầu có tâm

I nằm trên (d) và tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên

d

R

H B A

Lời giải:

Do I d  I t2 1;t2;2t3

Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng  d I P , 1  d I P , 2 

0

17

t









 Với t = 0  I11;2;3 ; R1 3   S1 : x 12  y 22 z 32 9

t  I   R 

 S2 :



Chú ý:

Nếu    P1  P2 :

1) d song song nhưng không cách đều  P và1  P hoặc nằm trên2  P hoặc 1  P2

: Không có mặt cầu thoả mãn.

2) d song song và cách đều  P và1  P : Có vô số mặt cầu thoả mãn.2

3) d không song song, không nằm trên P và1  P : Có 1 mặt cầu thoả mãn.2

Bài 4: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3;

1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2)

Lời giải:

IA IB

IC ID





Cách 2:

Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng

ax + 2by + 2cz + d =0 a

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:







 Kết luận: Phương trình mặt cầu là: x 12  y 12 z 22 4

Chú ý:

d

H

R

I

Bài toán : Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - 2 = 0 Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)

Cách giải bài toán này tương tự như cách 1 của bài toán trên.

Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu

Bài toán 1:

Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tại điểm A

Cách giải:

mp(P) đi qua A và nhận véc tơIA

làm véc tơ pháp tuyến

Bài toán 2:

Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết véc tơ pháp tuyến của (P) là: nA B C; ; 

Cách giải:

 P : Ax+By+Cz +D =0

Có: d I P ,    R

Aa +Bb +Cc+D A

R

  Tìm được D suy ra phương trình mp(P)

Chú ý:

Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:

- Biết  P song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho

trước

- Biết vuông góc với 1 đường thẳng cho trước

Bài toán 3:

Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu

(S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa

đường thẳng (d) cho trước

Cách giải:

- Xét đường thẳng (d) dưới dạng phương trình

tổng quát;

- Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua

(d);

- Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mp(P)

Bài toán 4:

Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) đi qua điểm C và:

1) Song song với đường thẳng (d) cho trước

2) Vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước

Cách giải:

1) Gọi:   Q  d C; ; a P  Q  a đi qua A và song song với d nên có pt xác định

Bài toán trở thành viết phương trình mp(P) đi qua a và tiếp xúc với mặt cầu (S)

2) Tương tự như trên với: d đi qua A và vuông góc với mp(Q).

Dạng 4: Đường tròn trong không gian

Bài toán 1

Tìm tâm và bán kính của đường tròn là giao của 2 mặt cầu (S), (S') có tâm lần lượt là I, I'; bán kính R, R'

Cách giải:

- Đưa pt đường tròn là giao của 2 mặt cầu về pt đường tròn là giao của mặt cầu (S) với một mặt phẳng (Q)

- Tâm của đường tròn là O II ' Q ; Bán kínhr  R2  d I P2 ;  

Bài toán 2

Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn sau biết tiếp tuyến kẻ từ A cho trước:

 

1

Ax + By + Cz + D =0







Cách giải:

Gọi B là tiếp điểm Để ý rằng B thuộc đường tròn nên toạ độ B thoả mãn (1) Lại có: Tiếp tuyến AB của đường tròn đồng thời là tiếp tuyến của mặt cầu tâm O nên:

 

                 

Từ (1) và (2) suy ra toạ độ B tiếp tuyến AB

Dạng 5: Ứng dụng của mặt cầu giải một số bài toán đại số

Bài 1:

Tìm m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm, hãy tìm nghiệm đó:

 

2 2 2 1

1





Lời giải:

Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là tọa độ điểm chung của:

mặt cầu (S): x2y2z21, (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = 1

và mặt phẳng   :2x y 2z m 0

Do đó hệ (1) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (S) và () tiếp xúc nhau

  ,( ) 2 2 2 1

2 ( 1) 2

m

3

m m





 

 Với m = 3 nghiệm của hệ là hình chiếu vuông góc H của O trên

(1): 2x – y + 2z – 3 = 0

Đường thẳng  qua O và vuông góc với (1) có phương trình  

2

2

x t

y t t R

z t









 



Giá trị của t tương ứng với điểm chung của (1) và  là t = 1

3 H

2 1 2

; ;

3 3 3



Với m = -3 Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của O trên (2): 2x – y + 2z + 3 = 0

 H’ 2 1; ; 2

3 3 3

Vậy khi m = 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là 2; 1; 2

khi m = - 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là 2; 1; 2

Bài 2: Giải hệ phương trình:

 

 

 

3 1

3 2

3 3

x y z











Lời giải:

Mặt cầu (S): x2  y2 z2 3có tâm là gốc tọa độ O(0 ; 0 ; 0) bán kính R = 3

và mp(): x + y + z – 3 = 0 tiếp xúc với nhau vì

 

Do đó hệ phương trình  

 

3 1

3 2

x y z





Dễ thấy nghiệm đó là x = y = z = 1 và nghiệm này cũng thỏa (3) Vậy hệ đã cho

có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa: x2y2z21 Tìm GTLN và GTNN của:

F x y z 

Lời giải:

Xét mặt cầu (S): x2y2z21, tâm O, bán kính R = 1 và mặt phẳng ():

2x2y z  9 = 0

Đường thẳng  qua O và vuông góc với () có phương trình  

2 2

x t

y t t R

z t









 



giá trị

tham số t tương ứng với giao điểm của  và (S) là t =  1

3

  và (S) cắt nhau tại 2 điểm: A 2 2; ; 1

3 3 3



  và B 2; 2 1;

3 3 3

 

 

 2

2 2

4 4 1

9

3 3 3

d A 

  

  

 2

2 2

4 4 1

9

3 3 3

d B 

   

  

Lấy M(x; y; z)  (S),  

 2

2 2

,( )

3

   Luôn có d A ,( ) d M ,( ) d B ,( )   2 1 4

3 F

   6 F 12

Vậy Fmin = 6 đạt khi x = y = 2

3 ; z =

1 3



Fmax = 6 đạt khi x = y = 2

3

 ; z = 1

3.

Bài tập vận dụng:

Bài 1:

Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d): 2 1

y y





cầu (S) có phương trình:x2  y2 z2 4x 6y +m=0 Tìm m để d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm M, N sao cho MN = 9

Bài 2:

Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x + 2y + z + 5 = 0 và I(1; 2; -2): a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu (C) và

mp (P) là đường tròn có chu vi bằng 8

b) CMR; mặt cầu (C) nói trên tiếp xúc với (d): 2x - 2 = y + 3 = z

c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C)

Bài 3:

Cho điểm M(0; 2; 0) và đường tròn (C): 2  22  12 9 

2

x + y + z =





 a) CMR: M nằm ngoài (C) Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) b) Từ M kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu (S) Tìm tập hợp các tiếp điểm

Bài 4:

Cho mặt cầu (S): x 22  y32 z32 5 và mp(P): x - 2y + 2z + 1 = 0 a) CNR: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn Lập phương trình đường tròn (C) là giao tuyến và tìm tâm, tính bán kính của đường tròn đó

b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tâm nằm trên mặt phẳng (Q):

x+y+z+3=0

Bài 5:

Cho 2 mặt cầu:   S1 : x 22  y32 z32 5