Hướng dẫn học sinh kỹ năng sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải một số bài toán hình tọa độ phẳng lớp 10

Về mặt thực tiễn Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT Nguyễn Quán Nhophần hình học phẳng ở lớp 10 Tôi thấy đa số học sinh chưa có tinh thần tự giác,sáng tạo trong học tập

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

1.1.1 Về mặt lý luận

Toán học là một trong những môn khoa học góp phần đào tạo nên những con

người toàn diện, hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của con ngườilao động trong thời đại đổi mới

Để nâng cao chất lượng giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học, phát huytính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh đó cũng là một quá trình trăn trở củanhà giáo dục, đòi hỏi người thầy phải có một trình độ lành nghề cao, hiểu rõ tâm

lý lứa tuổi của học sinh, để từ đó có biện pháp giáo dục thích hợp nhằm nângcao chất lượng giáo dục Cần phải dạy các em hoạt động độc lập, sáng tạo pháthuy tính tích cực trong học tập, khắc phục lối truyền thụ một chiều, cách học thụđộng có tư tưởng ỷ lại Do vậy cần phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rènluyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lạiniềm vui, hứng thú học tập của học sinh

Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho học sinh những tri thức,

kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực Góp phần pháttriển năng lực trí tuệ, hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách laođộng khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyêncho học sinh

1.1.2 Về mặt thực tiễn

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT Nguyễn Quán Nhophần hình học phẳng ở lớp 10 Tôi thấy đa số học sinh chưa có tinh thần tự giác,sáng tạo trong học tập, gặp vấn đề khó thì ỷ lại gây cản trở việc đào sâu suynghĩ Bên cạnh đó có bộ phận học sinh có tinh thần tự giác cao, ham học hỏi tìmtòi, ngoài việc tiếp thu kiến thức trên lớp các em còn tìm thêm kiến thức trongcác tài liệu tham khảo nhưng kết quả đạt được chưa cao đó là vì các em chưabiết biết đặt tình huống có vấn đề từ những kiến thức cơ bản hay bài toán đãbiết, các em mới dừng lại ở việc cố gắng giải quyết một bài toán mà chưa suynghĩ đến việc giải một bài toán là giải quyết một lớp bài toán liên quan Vớimong góp một phần nào đó khắc phục hiện trạng trên Tôi trình bày đề tài :

“Hướng dẫn học sinh kỹ năng sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải một số bài toán hình tọa độ phẳng lớp 10”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích phục vụ cho việc dạy học hình học tọa

độ phẳng trong chương trình THPT

- Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Một số dạng toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến một đườngthẳng trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thửTHPT.

- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ýkiến làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài

- Thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, củng cố bài học, hướngdẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh giá

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến.

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông, đặc biệt là môn Toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu đượctrong đời sống mỗi người

Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trongchương trình học của học sinh Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó là bộmôn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tựnhiên của con người Nó có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện tưduy, suy luận logic, đem lại niềm vui, hứng thú, hình thành nhân cách tốt đẹpcho người lao động trong thời đại mới Hình học tọa độ phẳng là một mảng kiếnthức khó đối với học sinh THPT Để giải quyết được một bài toán hình phẳnghọc sinh phải vận dụng các tính chất hình phẳng ở cấp 2 Rất nhiều học sinh xácđịnh đây là phần khó và không học phần này Học sinh chưa liên hệ từ lý thuyếtđến bài tập Để phát huy được sự tìm tòi sáng tạo và năng lực tư duy của họcsinh, giáo viên cần hệ thống bài tập và giải quyết theo từng mảng kiến thức.Trong đó bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là bài toánquan trọng trong hình học lớp 10

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Thuận lợi:

- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học

và yêu thích môn học

- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện đề tài

- Được sự động viên của BGH và sự động viên góp ý kiến của đồng nghiệp.2.2.2 Khó khăn:

Đa số học sinh còn chưa tập chung học môn hình học đặc biệt là phần bàitoán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, có tư tưởng sợ họcphần này Đứng trước những bài toán hình học này học sinh thường lúng túngkhông xác định được đường lối, phương pháp giải, nhiều học sinh không tránhkhỏi tâm trạng hoang mang, mất phương hướng Các em cho rằng nhiều dạngtoán như thế thì làm sao nhớ hết các dạng toán và cách giải các dạng toán đó,nếu bài toán không thuộc dạng đã gặp thì không giải được Một số học sinh cóthói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, dẫn đến cách giảikhông phù hợp hoặc mất phương hướng giải quyết Với thực trạng đó để giúp

học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học phẳng nói chung

và phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong hìnhhọc phẳng lớp 10 nói riêng người giáo viên khi dạy hình học cần tạo cho họcsinh thói quen định hướng lời giải, cần phải làm gì, giả thiết bài toán cho ta biếtđiều gì, đặc biệt khai thác tính chất đặc trưng hình học của bài toán để tìm lờigiải

Học sinh được hoạt động trong học tập, lĩnh hội kiến thức một cách tự

nhiên, biết đặt ra tình huống có vấn đề và cố gắng giải quyết vấn đề

Tạo cho học sinh cách giải quyết vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau,không dừng lại ở việc giải quyết vấn đề một cách đơn lẻ mà giải quyết vấn đềmột cách có hệ thống, suy nghĩ để giải quyết triệt để vấn đề

Cuối cùng học sinh cần phải trả lời được các câu hỏi sau:

- Làm thế nào để phát hiện công cụ thích hợp cho việc giải bài toán đã cho?

- Dựa vào cơ sở nào để lựa chon đúng các kiến thức đã biết để giải bài toán

đã cho?

- Biến đổi bài toán như thế nào để có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc?

- Bài toán nào có thể lựa chọn phương pháp tính khoảng cách từ một điểm

đến một đường thẳng để giải?

2.3.2 Tổ chức thực hiện.

Bước 1: Nhận dạng bài toán

Đứng trước một bài toán hình học phẳng, học sinh phải hiểu được yêu cầucủa đề bài, phải biết được mình đang làm việc với bài toán ở mức độ nào, cầnphải vận dụng kiến thức, tính chất hay phát hiện dấu hiệu nào đó đã biết

Bước 2: Vẽ hình, phát hiện tính chất đã biết và vạch ra hướng giải quyết.

Đây là khâu quan trọng và khó đối với cả thầy và trò trong giải bài toánhình học phẳng Học sinh phải huy động các kiến thức có liên quan đến bài toánrồi lựa chọn trong đó những kiến thức gần gũi nhất, có khả năng tiếp cận tốtnhất đến bài toán, mò mẫm dự đoán Vạch ra các hướng giải quyết có thể để từ

đó lựa chon cách giải phù hợp, biết loại bỏ các hướng không phù hợp, đặc biệtbiết phát hiện tính chất quen thuộc để áp dụng

Người giáo viên cần động viên tất cả học sinh tham gia một cách tích cực

và tự giác bằng các câu hỏi gợi ý, thông minh, phù hợp với trình độ của họcsinh Tiến hành khéo léo là nghệ thuật dạy học của người thầy

Bước 3: Giải bài toán nhận được.

Sau khi vạch được hướng giải quyết, giáo viên cần đòi hỏi học sinh phảithể hiện trên văn bản và chỉ chấp nhận đánh giá học lực của học sinh dựa trên

bài làm của các em hoặc cho các em ghi nhớ tính chất, dấu hiệu đặc trưng đểvận dụng vào làm bài thi trắc nghiệm.

Bước 4: Kiểm tra kết quả và phân tích sai lầm.

Cần rèn luyện học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải của bài toán, xétxem có sai lầm hay thiếu sót gì không Việc kiểm tra nên được tiến hành thườngxuyên

Khả năng mắc sai lầm của học sinh trong giải bài toán hình học phẳng lànhiều Vì vậy phân tích sai lầm của học sinh cũng là một hoạt động đặc biệtquan trọng và lí thú đối với người giáo viên

Bước 5: Mở rộng bài toán.

Nhiều giáo viên không chú trọng bước này, như vậy đã không tận dụnghết khả năng của học sinh, mọi định hướng trong khi giải toán, để phát triểnnăng lực, trí tuệ của học sinh Mở rộng bài toán làm cho học sinh quen và có ýthức sử dụng những quy tắc suy đoán như tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệthóa … cho học sinh thấy sự phong phú, hấp dẫn của một bài toán, một lớp bàitoán có cùng cách giải và không cùng cách giải, đồng thời khuyến khích họcsinh tập dượt sáng tạo toán học

Trong sáng kiến này Tôi trình bày ba bài toán:

Bài toán 1: Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong một số bài toán hình tọa độ phẳng khi cho điểm đã có tọa độ và thỏa mãn tính chất nào đó.

Trong một số bài toán về đa giác phẳng cho 1 điểm có tọa độ ở các vị trínhư đỉnh đa giác, tâm, trọng tâm, trung điểm, điểm chia đoạn thẳng … thì khigiải có thể nghĩ đến tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giảicho nhanh và dễ hiểu

Trong sáng kiến kinh nghiệm này các công thức được sử dụng để giải bàitoán khoảng cách như:

Cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0 ( với a2 b2  0) vàđiểm M(x0; y0) Khoảng cách từ M đến d bằng d M d( ; ) ax0 2by0 2 c



Các công thức tính diện tích hình vuông, chữ nhật, hình thang, đặc biệt làcông thức tính diện tích tam giác ABC liên quan đến khoảng cách

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ 0xy, cho hình vuông ABCD,

gọi M, N là trung điểm của AB, CD Biết M(1; 2), đường thẳng BN có phươngtrình: 3x + 4y – 3 = 0 Tìm tọa độ A, B biết xB < 0

Định hướng

M(1; 2) có vị trí đặc biệt là trung điểm đoạn thẳng AB và đường thẳng BN

đã cho phương trình nên ta đi tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng BN

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a, ta có:

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ 0xy, cho hình vuông ABCD

có A(1; 1), M thuộc cạnh CD sao cho MD = 2MC; biết phương trình đườngthẳng BM là x + 3y – 19 = 0 Tìm tọa độ C, biết C thuộc đường thẳng d: x – y =

0 [1]

Định hướng

Cho tọa độ A là một trong các đỉnh của hình vuông và biết phương trìnhđường thẳng MB nên ta tính d(A; BM), mặt khác đã tham số hóa tọa độ C nênhướng đến việc tính độ dài AC tức là tính độ dài cạnh hình vuông

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a

 S∆ABM = S ABCD SADM  SBCM

H

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật

ABCD có diện tích bằng 3, đường thẳng AB có phương trình: 3x y 0, trọngtâm ∆ BCD là G1;2 Tìm tọa độ A biết yB > 0.

Định hướng

Bài toán cho tọa độ G có vị trí đặc biệt là trọng tâm ∆BCD và cho phươngtrình đường thẳng AB nên có thể tính d(G; AB) Vì cho diện tích hình chữ nhậtnên sẽ liên quan đến độ dài các cạnh, từ khoảng cách vừa tính sẽ suy ra độ dàicác cạnh

Hướng dẫn giải

H 1

A

G

Điểm M biết tọa độ nên nếu tính được đoạn AM ta sẽ gắn AM vào tam

giác vuông AMH với cạnh MH d M AN ,  ta dễ dàng tính được Như vậy nếubiết thêm một yếu tố về cạnh hoặc về góc trong tam giác vuông này thì ta sẽ tínhđược độ dài AM Do các cạnh của tam giác AMH đều có thể biểu diễn thôngqua độ dài cạnh hình vuông nên ta sẽ nghĩ ngay tới việc tính góc A nhờ định lícosin trong tam giác Do đó ta sẽ có lời giải cụ thể như sau:

(Các bạn có thể đặt AB a , ở đây ta đặt AB 6a để việc biểu diễn các độ dàikhác được đơn giản)

A

B

IGH

A

B

IGH

Khi đó áp dụng Pitago ta được: AM  3 5 ;a MN  5a và AN  2 10a

Trong ΔAMN ta có: AMN ta có:

5 2

Mặt khác I là trung điểm của AC và BD nên suy ra C3;0 , D   1; 2

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A1;2 có góc

Khi đã tìm được điểm B ta dễ dàng viết được phương trình của BC và AC

và suy ra tọa độ điểm C

1 3 2

Khi đó BC đi qua 1 3 5; 3

Vì BCAC C nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

Trong một số bài toán tính diện tích của tam giác, tứ giác thường hay

sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng thì giảibài toán nhanh và chính xác Vì vậy trong sáng kiến kinh nghiệm này Tôi chủyếu sử dụng công thức này

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho ABCcân tạiA(1;3); đỉnh B, C thuộc đường thẳng x – y – 4 = 0 Xác định tọa độ B, C biếtdiện tích của ABC bằng 12 và x  B 2

Định hướng

Điểm A biết tọa độ và BC biết phương trình nên tính d(A;BC) Vấn đề cònlại là tính BC theo một tham số nào đó Để ý giả thiết cân tại A nên chân đườngcao H hạ từ A xuống BC cũng là trung điểm BC, mà H tìm được tọa độ từ đó cóđược BC = 2BH và sử dụng công thức diện tích

ABC

S  BC d A BC 2(4 t) 18 122  2  2

6

t t

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(5;5) và

phương trình đường thẳng chứa cạnh BC: x + y - 8 = 0 Biết đường tròn ngoại

A

BB

CH

tiếp tam giác ABC đi qua hai điểm M(7;3); N(4;2) Tính diện tích tam giácABC.

Định hướng

Để tính diện tích tam giác ABC ta cần biết tọa độ các đỉnh A, B, C Biết 2 điểm

M, N thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp ABC, nếu ta có thể tìm thêm được 1điểm thuộc (I) thì lập được phương trình đường tròn (I) và sẽ tìm được tọa độcác đỉnh A,B,C Tìm điểm K đối xứng với H qua BC thì K thuộc (I) Điểm Kchính là “mấu chốt” của bài toán

Đường thẳng HK đi qua điểm H(5;5) và vuông góc

với BC nên có phương trình x - y = 0

Tọa độ trung điểm J của HK là nghiệm của hệ:

(4;4) (3;3)

0 0 8

K J y

6 6 9 9

0 4

8 4 16

0 6

14 9 49

c b c

b a

c b a

c b a

Phương trình đường tròn (I): x2 + y2 -10x - 8y + 36 = 0

Tọa độ điểm B,C là nghiệm của hệ : 

2 2

y x y x y x

 B(6;2); C(3;5) hoặc B(3;5); C(6;2)  BC  3 2

Phương trình đường thẳng HK là phương trình đường thẳng AH

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : ( 6 ; 6 )

0 36 8 10 0

2

y x y x y x

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), đường

phân giác trong góc A có phương trình: x - y - 1 = 0, tâm đường tròn ngoại tiếptam giác ABC là 2;3

Trong bài toán này vẫn cho phương trình đường phân giác trong góc Anhưng không biết điểm nằm trên hai cạnh AB hoặc AC (khác điểm A), vậy sửdụng giả thiết phương trình đường phân giác trong như thế nào? Kéo dài phângiác trong góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D

ta có D là điểm chính giữa cung BC  IDBC Phương trình đường tròn ngoạitiếp ABC ta lập được, suy ra tọa độ điểm D và lưu ý BCID Sử dụng tiếp giảthiết thứ hai để tìm phương trình cạnh BC

Hướng dẫn giải

Gọi D là giao điểm của đường phân giác trong góc A với đường tròn (C)ngoại tiếp ABC Ta có IA25, đường tròn (C) có tâm I và bán kính IA nên cóphương trình: 2 3 2 25

x y x

Ta có BAD DAC nên D là điểm chính giữa cung BC  IDBC

( ; 2)2

Vậy phương trình đường thẳng BC là 3x + 4y = 0 hoặc 3x + 4y - 16 = 0

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A 2; 4 , B 0; 2      vàtrọng tâm G thuộc đường thẳng 3x y 1 0    Hãy tìm tọa độ của C biết rằng tamgiác ABC có diện tích bằng 3

Hướng dẫn giải

1 3

x t

ì =ïï

íï = + ïî

Kiến thức sử dụng: Đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm Ibán kính R khi và chỉ khi d(I; ) = R.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): 2 2

8 6 0

x y  x y Viết phương trình tiếp tuyến

 của (C) biết:

a  song song với đường thẳng d: 3x 2y 5 0 

b  vuông góc với đường thẳng d: 2x y   1 0

Ta thấy: đường tròn (C) có tâm I(4; -3) và bán kính R = 5

a Vì  song song với đường thẳng d: 3x 2y 5 0  nên  có dạng:

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài:

3x 2y 6 5 13 0   và 3x 2y 6 5 13 0  