Một số giải pháp giúp học sinh phát triển năng lực tư duy thông qua giải quyết bài toán tỉ số thể tích khối đa diện trong chương trình hình học 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY THÔNG QUA GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH K

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY THÔNG QUA GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRONG

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh

pháp………

2.3.2.1 Giải pháp 1: Phát triển năng lực tư duy thông qua giải bài

toán tìm tỉ số thể tích của các khối đa diện dựa vào công

10 11 12

và vận dụng công thức tỉ số thể tích trong khối lăng trụ

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp phòng

GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C

trở

lên………

19

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán là môn học đượcnhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học khônggian thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, đặc biệt làhình học không gian tổng hợp trong đó có nội dung về thể tích khối đa diện Họcsinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo, khả năng tư duy trong quá trình giảitoán và năng lực giải bài toán còn hạn chế Trong nhiều năm dạy học học sinhlớp 12 và học sinh ôn thi Cao đẳng, Đại học, tôi nhận thấy rằng khi bắt gặp đềthi có nội dung về thể tích khối đa diện các em thường cảm thấy lúng túng khigiải quyết vấn đề, nhiều em còn cho rằng đây là câu khó nhất trong đề thi vàmong gì đạt được điểm ở câu hỏi này Một số em khá thì rất quyết tâm giảiquyết nhưng đôi khi cũng không biết bắt đầu từ đâu? Đôi khi trong một sốtrường hợp các em chưa linh hoạt sử dụng các công thức thể tích như Vkhối chóp =

1

3 Sđáy.h hay Vkhối lăng trụ =Sđáy.h (với h là chiều cao của khối chóp hay khối lăngtrụ) và khai thác các bài toán tỉ số thể tích, vận dụng bài toán tỉ số thể tích trongmột số trường hợp còn rất hạn chế

Nội dung kiến thức về thể tích khối đa diện, trong đó có bài toán về tỉ sốthể tích có một vai trò quan trọng trong chương trình hình học 12 và là nội dungkhông thể thiếu của đề thi trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi tốt nghiệp THPTQuốc gia Mặt khác đây cũng là năm thứ hai liên tiếp mà toàn ngành giáo dụcgặp rất nhiều khó khăn khi dịch Covid 19 bùng phát vào dịp nghỉ lễ 30/4-1/5,nhiều nơi học sinh phải học online để phòng chống dịch Do đó cần xây dựngnội dung, phương pháp nhằm giúp các em có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo,phát triển tư duy, giải quyết tốt các bài toán về thể tích

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thácnhiều chuyên đề về thể tích khối đa diện Trong SKKN này tôi xin chia sẻ :

‘‘Một số giải pháp giúp học sinh phát triển năng lực tư duy thông qua giải

quyết bài toán tỉ số thể tích khối đa diện trong chương trình hình học 12 ”.

Nội dung tỉ số thể tích khối đa diện có tầm quan trọng và hay trong chươngtrình hình học lớp 12 nên đã có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiềuthầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu và học tập Tuy nhiên việc đưa rahướng tiếp cận, quy lạ về quen và phát triển năng lực giải bài toán, phát triểnnăng lực tư duy liên quan đến nội dung này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đápứng được cho người đọc Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này làcần thiết, làm các em hiểu sâu hơn về bài toán và yêu thích chủ đề thể tích khối

đa diện Qua đó giúp các em học sinh có định hướng và cách nhìn dễ dàng hơn,phát triển được năng lực tư duy

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắmđược cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, chuyển phức tạp thành đơn giảnđồng thời giúp cho học sinh một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơbản để học sinh có thể giải quyết tốt các bài toán, các dạng toán, đặc biệt là các

bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao về nội dung tỉ số thể tích của khối đadiện nhằm đạt được kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia Từ đógiúp các em phát triển năng lực tư duy và năng lực giải quyết các bài toán.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chúng tôi tập trung nghiên cứu về công thức thể tích khối chóp, thể tíchkhối lăng trụ, tỉ số thể tích của các khối đa diện liên quan; nghiên cứu về phươngpháp tách khối đa diện thành nhiều khối đa diện và vận dụng tỉ số thể tích trongmột số trường hợp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi của đề tài, chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp như:phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá;phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải; phương phápquy lạ về quen

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung của hình học 12[1] Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận,liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới Các tiết dạybài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đếnkhó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tínhtích cực của học sinh Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắtnhững kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năngvận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lờigiải Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt, phát triển năng lực giảiquyết các bài toán Tại trường THPT Quảng Xương II, trong quá trình giảngdạy nội dung về thể tích khối đa diện cho học sinh 12, tôi thấy kỹ năng giải bàitoán của học sinh còn yếu, đặc biệt là bài toán liên quan đến tỉ số thể tích củacác khối đa điện Mặt khác trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của cáckhối lăng trụ và khối chóp theo công thức lại gặp khó khăn do không xác địnhđược đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích cáckhối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích củahai khối đa diện Do đó cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một cách dễdàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúphọc sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo

và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệmkhách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra, đánh giá và

kỳ thi THPT Quốc gia

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung về thể tích khối đa diện, trong đó đề cập đến tỉ số thể tích là nộidung không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia Trong những năm gần đây,nội dung này được đề cập trong đề thi THPT Quốc gia với nhiều mức độ khácnhau, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, với nhiều cách tiếp cận Học sinhthường gặp khó khăn khi phải tách khối đa diện, sử dụng các công thức tỉ số thểtích đã biết Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn và phát triểnnăng lực tư duy trong quá trình giải bài toán, người giáo viên cần tạo cho họcsinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu đặc trưng của bài toán để tìmlời giải, học sinh phải được quy lạ về quen

Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán về tỉ số thểtích của các khối đa diện cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh cóđiều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân,

tự tin giải quyết được những câu khó trong đề thi, nắm vững các dạng toán, cócác giải pháp, hướng xử lý cho từng kiểu câu hỏi

Vậy với đề tài này, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càngvận dụng tốt các kiến thức để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài toán tỉ

số thể tích của các khối đa diện một cách chính xác và nhanh nhất Đặc biệt là

áp dụng những giải pháp để làm những câu hỏi dưới hình thức trắc nghiệm,những câu hỏi khó Từ đó tạo cho học sinh sự tự tin và trang bị cho học sinh

kiến thức và các giải pháp giải quyết bài toán tỉ số thể tích khối đa diện để hoànthành tốt kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.

2.3.1.2 Một số công thức tính diện tích đa giác.

- Cho tam giác ABC thì

Đặc biệt:

1.2

ABC

nếu  ABC vuông tại A,

2 3 4

2.3.2.1 Giải pháp 1: Phát triển năng lực tư duy thông qua giải bài toán tìm

tỉ số thể tích của các khối đa diện dựa vào công thức tính thể tích [1], [9]

Trong trường hợp này, học sinh phải biết so sánh đường cao, diện tích mặtđáy của các khối chóp, khối lăng trụ Qua đó không những học sinh biết sử dụnglinh hoạt các công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ mà còn biết đánhgiá các yếu tố liên quan, biết sử dụng các công thức tính diện tích

Ví dụ 1: Nếu một khối chóp có độ dài đường cao tăng lên 3 lần, diện tích đáy

tăng lên 4 lần thì thể tích khối chóp tăng lên bao nhiêu lần?

Hướng dẫn:

Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp ban đầu, khi đó 3h

và 4S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp mới.

1 .3

h S V

Vậy thể tích khối chóp tăng lên 12 lần

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC và M là trung điểm của cạnh BC Tìm tỉ số thể

Chúng ta có thể điều chỉnh vị trí điểm M bất kỳ trên cạnh BC, hướng giải

quyết vẫn không thay đổi

Gọi F là hình chiếu vuông góc của S lên mặt

phẳng (ABC) Nhận thấy hai khối chóp đã

cho cùng đường cao SF Vậy ta có:

Ví dụ 3: Cho khối chóp S.ABC và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM=3CM

Tìm tỉ số thể tích

.

3 4

Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABC; gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB,

BC sao cho AM=3BM và BN=2CN Tìm tỉ số thể tích

.

M

N

Chúng ta cũng làm tương tự với khối chóp tứ giác

Ví dụ 5: Cho khối chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là điểm

thuộc đoạn thẳng BD sao cho BD=4BM Tìm tỉ số thể tích

.

ABC BMN CAN BMN CAN

ABC ABC ABC

Trong trường hợp tìm tỉ số thể tích các khối lăng trụ, học sinh cũng hìnhthành kỹ năng , quy lạ về quen và đưa ra hướng giải quyết tương tự

Ví dụ 6: Nếu tăng độ dài cạnh của khối lập phương lên 3 lần thì thể tích khối lập

phương tăng lên bao nhiêu lần?

Hướng dẫn:

Gọi a là độ dài cạnh của khối lập phương ban đầu, khi đó 3a là độ dài cạnh của

khối lập phương sau khi tăng 3 lần

Vậy thể tích khối lập phương tăng lên 27 lần

Ví dụ 7: Cho khối lăng trụ ABC A B C Gọi E, F lần lượt thuộc các cạnh BC ' ' '

và

' '

' ' ' ' '

ABE A B F ABC A B C

E

F

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên

mặt phẳng (ABCD) Nhận thấy hai khối

chóp đã cho cùng đường cao SH Ta có:

Nhiều trường hợp ta phải lập tỉ số thể tích giữa khối chóp và khối lăng trụ.Trong trường hợp đó, học sinh cũng tiếp cận bài toán một cách tương tự.

Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ ABC A B C Gọi N là trung điểm của ' ' ' ' ' B C và M

trên cạnh AA sao cho ' AM 3MA' Tìm tỉ số thể tích

' ' ' ' '

M A B N ABC A B C

Bài toán 1: Cho khối chóp tam giác S ABC Trên ba cạnh SA SB SC, , lần lượtlấy ba điểm A B C', ', ' khác với S (Các điểm A B C', ', ' có thể trùng với các điểm

, ,

A B C) Khi đó ta có công thức tỉ số thể tích:



' ' '

Ví dụ 9: Cho khối chóp tam giác S.ABC Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SA, SB

sao cho SM=2MA, SN=3NB Tìm tỉ số thể tích

.

A

B

C M

N

Ví dụ 10: Cho khối chóp tam giác S.ABC Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SA, SB

sao cho SM=2MA, SN=3NB Tìm tỉ số thể tích .

N

2.3.2.3 Giải pháp 3: Phát triển năng lực tư duy bằng cách xây dựng và vận dụng công thức tỉ số thể tích trong khối chóp tứ giác [3], [4], [5], [9].

Trong giải pháp này, học sinh sử dụng Bài toán 1 để xây dựng công thức

tỉ số thể tích trong khối chóp tứ giác với đáy là hình bình hành, học sinh đượcrèn luyện, phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết bài toán, quy lạ vềquen

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các

cạnh bên SA, SB, SC, SD lấy các điểm ', ', ', ' A B C D không trùng với S sao cho

D' C'

.4

abd cbd acd abc hay a c b d   (3)

Ví dụ 11: Cho khối chóp tam giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành Gọi

M thuộc cạnh SA sao cho SM=3MA và N là giao điểm của SB và mặt phẳng

Trong giải pháp này, học sinh sử dụng các kỹ năng đã có, các công thức tỉ

số thể tích đã biết để thiết lập công thức tỉ số thể tích trong khối lăng trụ tamgiác, sau đây chúng ta xét bài toán 3

Bài toán 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C Gọi M, N, P lần lượt thuộc các ' ' '

cạnh AA BB CC Khi đó ', ', '

' ' '

1

3 ' ' CC'

ABC MNP ABC A B C

1

3 ' ' CC'

ABC MNP ABC A B C

Ví dụ 12: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C Gọi M, N lần lượt thuộc các ' ' '

cạnh AA BB sao cho ', ' AM 2MA BN', 3NB' Tìm tỉ số thể tích ' ' '

ABCMN ABC A B C

Trong giải pháp này, học sinh sử dụng các kỹ năng đã có, các công thức tỉ

số thể tích đã biết để thiết lập công thức tỉ số thể tích trong khối hộp, sau đâychúng ta xét bài toán 4

Bài toán 4: Cho khối hộp ABCD A B C D Gọi M, N, P, Q lần lượt thuộc các ' ' ' '

suy ra.

ABCD MNPQ ABCD A B C D

Giáo viên tổ chức một vài buổi thảo luận trong đó giáo viên giao nhiệm vụ

cho từng nhóm chuẩn bị trước ở nhà, nên chia thành 5 nhóm và năng lực học tập

ở các nhóm là tương đương nhau

Nhiệm vụ chung là: Tìm tỉ số thể tích, tìm thể tích khối đa diện dựa vào đánh giá

Ta có OI là đường trung bình của

tỉ số thể tích, vận dụng tỉ số thể tích cho các bài toán liên quan.

Nhóm 1: Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ để lập tỉ số

Nhóm 5: Sử dụng công thức tỉ số thể tích trong khối hộp (5) để lập tỉ số thể tích.

Buổi thảo luận được tiến hành theo trình tự như sau:

- Đầu tiên một nhóm lên trình bày, phát kết quả của nhóm cho các nhóm

thưởng điểm cao hoặc những món quà ý nghĩa để khích lệ học sinh.

- Giáo viên nhận xét từng học sinh trong sự chuẩn bị và tiếp thu kiến thức

Buổi thảo luận tiếp theo thì yêu cầu của các nhóm trao đổi vai trò cho nhau

2.3.3 Một số bài tập tham khảo

vuông góc với đáy ABC , Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; mặt phẳng ( ) qua AG và song song với BC và cắt SB, SC lần lượt tại M, N Tìm tỉ số thể

V và tính thể tích của khối chóp S.AMN.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA a  3 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB

và AC Tìm tỉ số thể tích

.

S MNBC

S ABC

V

V và tính thể tích khối chóp S.MNBC.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD Tìm tỉ số thể tích

.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5 cm,

đường chéo AC=4cm Đoạn thẳng SO=2 2cm và vuông góc với đáy với O là

giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi M là trung điểm của cạnh SC Giả

sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tìm tỉ số thể tích

.

EBC FB C ABC A B C

V

Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung

điểm của SC Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia khối chóp thành 2

phần Tính tỉ số thể tích 2 phần này

Câu 7: Cho khối chóp S.ABC Gọi M trên cạnh BC sao cho CM=3BM và S’ là

trung điểm của đoạn thẳng SC Tìm tỉ số thể tích

Câu 8: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD Một mặt phẳng (P) qua A, B và

trung điểm M của SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi

mặt phẳng đó

thẳngAA Tìm tỉ số thể tích '

' ' ' ' ' '

M A B C ABC A B C

V

Câu 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các cạnh

SA, SC lấy các điểm A’, C’ sao cho

1'3

nhỏ nhất của k?

Câu 11: Cho khối chóp S.ABC và M là trung điểm của cạnh BC Gọi F là hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) và N thuộc đoạn SF sao cho

SN=2NF Tìm tỉ số thể tích

.

N ABM

S ABC

V

Câu 12: Cho khối chóp tam giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành Gọi M,

N lần lượt thuộc cạnh SA, SB sao cho SM=4MA, SN=3NB Tìm tỉ số thể tích

Câu 13: Cho khối chóp S.ABC; gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB,

BC sao cho AM=3BM và BN=2CN Tìm tỉ số thể tích

.

S BMN

S ABC

V

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy

ABC là tam giác đều cạnh a Gọi M là trung điểm của BC, mặt phẳng qua A