Phương pháp giúp học sinh giải quyết bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm hợp, hàm ẩn tại trường THCS và THPT nghi sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN TẠI TRƯỜNG THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN TẠI

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN

Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Anh Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

MỤC LỤC

1 Mở đầu 3

1.1 Lí do chọn đề tài 3

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Cơ sở thực tiễn 5

Phương pháp giải: 5

- Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình ( giao điểm của đồ thị và trục hoành) 5

- Bước 2: Xét dấu ( phần đồ thị nằm phía trên mang dấu dương, phần đồ thị nằm phía dưới mang dấu âm) 5

- Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số Suy ra kết luận 5

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 5

B Hàm số đồng biến trên khoảng 5

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 5

D Hàm số đồng biến trên khoảng 5

5

6

2.3 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 16

3 Kết luận, kiến nghị 17

3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghị 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Từ năm 2017 môn toán trong kì thi THPT Quốc Gia được áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Trong đề thi thường xuất hiện một số dạng toán tính đơn điệu của hàm số liên quan đến hàm hợp, hàm ẩn Khi mới xuất hiện các dạng toán này thường ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao, do đó gây sự lúng túng nhất định cho học sinh, thậm chí cả giáo viên Một số dạng toán thường xuất hiện trong đề thi như: Xét tính đơn điệu của hàm ẩn, hàm hợp khi biết bảng biến thiên, đồ thị của hàm số sơ cấp Sau nhiều năm dạy các khóa học sinh lớp

12 thi THPT Quốc Gia, tôi nhận thấy cần phải đúc rút ra một số dạng toán và cách giải quyết nó một cách đơn giản nhất phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm

của kì thi Do đó tôi mạnh dạn viết sáng kiến “Phương pháp giúp học sinh giải

quyết bài toán xét tính đơn điệu của hàm hợp, hàm ẩn trong kì thi THPT Quốc Gia tại trường THCS và THPT Nghi Sơn” để giúp giải quyết một số khó khăn

mắc phải của học sinh khi gặp dạng toán này

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh lớp 12 tiếp cận và khai thác triệt để một số dạng toán về hàm số hợp và hàm số ẩn Nhằm nâng cao tính tự nhiên tiếp cận kiến thức thi THPT QG trong phần hàm số cũng như nâng cao chất lượng bài thi của học sinh trường THCS và THPT Nghi Sơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Một số dạng toán tính đơn điệu của hàm hợp, hàm ẩn trong chuyên đề

ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết; Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin; Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Tính đơn điệu của hàm số

2.1.1.1 Định nghĩa:1

Gọi K là khoảng ( )a b hoặc đoạn ; [ ]a b hoặc nửa khoảng ; [a b; , ;) (a b và hàm số]

( )

f x xác định trên K.

Hàm số y= f x( ) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x x1, 2∈K x: 1< x2

( )1 ( )2

f x f x

⇒ < Hàm số y= f x( ) nghịch biến(giảm) trên K nếu

1, 2 : 1 2

x x K x x

∀ ∈ < ⇒ f x( )1 > f x( )2 .

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu

trên K

1 Tài liệu tham khảo [4]

2.1.1.2 Định lí 12:

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên ( )a b ;

• Nếu f x′( ) > ∀ ∈0, x ( )a b; thì hàm số f x đồng biến trên ( ) ( )a b ;

• Nếu f x′( ) < ∀ ∈0, x ( )a b; thì hàm số f x nghịch biến trên ( ) ( )a b ; 2.1.1.3 Định lí 23: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K )

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên ( )a b ;

• Hàm số f x đồng biến trên ( ) ( )a b; ⇔ f x′( ) ≥ ∀ ∈0, x ( )a b; và phương trình f x′( ) =0 có hữu hạn nghiệm thuộc ( )a b ;

• Hàm số f x nghịch biến trên ( ) ( )a b; ⇔ f x′( ) ≤ ∀ ∈0, x ( )a b; và phương trình f x′( ) =0 có hữu hạn nghiệm thuộc ( )a b ;

(Chú ý: Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm “rời nhau”)

2.1.1.4 Định lí 3:4 (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K )

• Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ) ( )a b và ; f x( )

liên tục trên nửa đoạn [a b thì ; ) f x sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến)( )

trên nửa đoạn [a b ; )

• Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ) ( )a b và ; f x( )

liên tục trên nửa đoạn (a b thì ; ] f x sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến)( )

trên nửa đoạn (a b ; ]

• Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ) ( )a b và ; f x( )

liên tục trên đoạn [ ]a b thì ; f x sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên( )

đoạn [ ]a b ;

2.1.2 Đạo hàm của hàm hợp 5

2.1.2.1 Hàm số hợp

Cho hàm số y = f x( ) có tập xác định X , tập giá trị T và hàm số

( )

y g u= có tập xác định Y chứa tập T Khi đó với mỗi giá trị x X∈ ta có một

giá trị xác định y cho bởi g Khi đó y g u= ( )=g f x( ( )) và ta nói y là một hàm

số h theo biến số x với ( ) h x =g f x( ( )) Hàm số ( )h x gọi là hàm số hợp của

hàm số f và g theo thứ tự này.

2.1.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y g f x= ( ( )) Đặt ( )

( )

u f x

y f u

=



 =

 khi đó y x'= y u' 'u x

2 Tài liệu tham khảo [4]

3 Tài liệu tham khảo [4]

4 Tài liệu tham khảo [4]

5 Tài liệu tham khảo [4]

2.2 Cơ sở thực tiễn

2.2.1 Dạng 1: Xác định khoảng đơn điệu của hàm số y = f x( ) khi biết đồ thị

hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f x'( )

Phương pháp giải:

- Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình '( ) 0f x = ( giao điểm của đồ thị

và trục hoành)

- Bước 2: Xét dấu '( )f x ( phần đồ thị nằm phía trên Ox mang dấu dương,

phần đồ thị nằm phía dưới Ox mang dấu âm)

- Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f x( ) Suy ra kết luận

Ví dụ 16:Cho hàm số y = f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm

số y = f x'( ) như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây sai

A Hàm số y= f x( ) nghịch biến

trên khoảng (−1;0)

B Hàm số y= f x( ) đồng biến trên

khoảng (1;+∞)

C Hàm số y = f x( ) nghịch biến

trên khoảng (−∞;2)

D Hàm số y = f x( ) đồng biến trên

khoảng (2;+∞)

Lời giải:

Cách 1:

Từ đồ thị hàm số y= f x'( )ta thấy

'( ) 0

f x < với ∀ ∈ −∞x ( ;2) (phần đồ thị hàm số y= f x'( ) nằm phí dưới

trục hoành)

'( ) 0

f x > với ∀ ∈x (2;+∞) (phần đồ thị hàm số y= f x'( ) nằm phía trên

trục hoành)

Từ đó ta suy ra hàm số y = f x( ) đồng biến trên khoảng (2;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;2)

Chọn đáp án B

Cách 2:

2

x

f x

x

= −



= ⇔  = (trong đó x= −1là nghiệm kép)

f x = +x x−

Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f x( )là:

6 Tài liệu tham khảo số [2]

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án B

Bình luận:7

+ Khi quan sát đồ thị nhiều học sinh hấp tấp nên nhầm lẫn giữa đồ thị hàm số y= f x'( ) là đồ thị hàm số y= f x( ) Vì vậy giáo viên nên lập bảng

biến thiên để khắc phục sự nhầm lẫn cho học sinh.

+ Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh về vấn đề mối liên quan giữa dấu của '( ) f x và đồ thị hàm số y= f x'( )

Ví dụ 28: Cho hàm số y= f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số ( )g x = −2020 ( ) 2021f x + đồng biến trên khoảng nào

A (−∞ −; 1) B (5;+∞) C (− −3; 1) D (−1;5)

Lời giải

Ta có '( )g x = −2020 '( )f x

Hàm số đồng biến ⇔ g x'( ) 0> ⇒ −2020 '( ) 0f x > ⇔ f x'( ) 0<

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x'( ) 0< ⇔ ∈ −∞ − ∪ −x ( ; 3) ( 1;5)

Chọn đáp án D

2.2.2 Dạng 2: Xác định khoảng đơn điệu của hàm số y = f u u u x( ),( = ( )) khi

biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f x'( )

Phương pháp giải

Cho đồ thị hàm số y = f x'( ) hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y= f u( )

 Đọc đồ thị hàm số y = f x'( ) đề cho và xác định

f x > ⇔ ∈x

f x < ⇔ ∈x

Suy ra

f u > ⇔ ∈u

f u < ⇔ ∈u

 Tính đạo hàm '( )y x =u x f u'( ) '( ) ;

 Giải bất phương trình '( ) '( ) 0f u u x > ⇔ (Quan sát đồ thị suy ra miền nghiệm);

 Lập bảng biến thiên của y= f u( ), suy ra kết quả tương ứng

7 Tài liệu tham khảo [1]

8 Ví dụ của tác giả

(Có thể thay thế bước 2 bằng giải phương trình '( ) '( ) 0f u u x = và dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm '( )f x đã cho để xét dấu trực tiếp biểu

thức 'y )

Ví dụ 39: Cho hàm số ( )f x có bảng xét dấu '( ) f x như hình bên dưới

Hàm số y = f(3 2 )− x nghịch biến trên khoảng

A (4;+∞) B ( 2;1)− C (2;4) D (1;2) Lời giải

1

x

f x

x

− < < −



> ⇔  >

'( ) 0 3

x

f x

x

< −



< ⇔ − < <

Tính đạo hàm của hàm ' ( 2) '(3 2 )y = − f − x

Giải bất phương trình ' 0y > ⇔ −( 2) '(3 2 ) 0f − x > ⇔ f '(3 2 ) 0− x <

3 2 3 3

− < − >

− < − < > >

Lập bảng biến thiên

Kết luận từ bảng biến thiên suy ra đáp án B.

Cách khác:

Dựa vào bảng biến thiên có ( )

3

1

x

x

= −





′ = ⇔  = −

 =



(các nghiệm của phương trình

đều là nghiệm bội lẻ vì '( )f x đổi dấu liên tiếp khi qua các môc x=1,x=2,x=3 )

Chọn f x′( ) (= +x 3) (x+1) ( x−1) .

Tính đạo hàm của hàm ' ( 2) '(3 2 )y = − f − x .

9 Tài liệu tham khảo [2]

( )

3

1

x

x

=





′

 =



Bảng xét dấu g x′( )

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm sốy = f(3 2 )− x nghịch biến trên các khoảng

(−2;1)

Bình luận:

+ Ví dụ 1 có thể cho bảng biên thiên hay cho đồ thị hàm '( ) f x thì đều có cách giải như nhau Từ bảng biến thiên hoặc từ đồ thị suy ra miền âm hay dương của hàm '( ) f x để từ đó suy ra miền âm hay dương của '( ) f u

Ví dụ 4: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( )f x′ trên ¡ và đồ thị của hàm số

y = f x′ như hình vẽ Hàm số g x( ) = f x( 2 −2x−1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A (−∞;1) B.

(1;+ ∞)

C ( )0;2 D (−1;0)

Lời giải

Từ đồ thị hàm số '( )f x ta thấy '( ) 0 f x ≤ ⇔ ≤x 2 và '( ) 0f x > ⇔ >x 2

Ta có:g x'( ) =(2x−2) '(f x2 −2x−1)

Tìm x sao cho

f x − x− ≤ ⇔ x − x− ≤ ⇔ x − x− ≤ ⇔ − ≤ ≤1 x 3

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D.

Cách 2

2

x

f x

x

= −



′ = ⇔  = (Trong đó x = −1 là nghiệm kép)

f x = +x x−

Tinh đạo hàm g x'( ) =(2x−2) '(f x2 −2x−1)

( 2 ) (2 2 )

( ) ( 2 ) (2 2 )

Cho

1 0

1 3

x x

x x

=



 =





= ⇔ =

 = −



 =



(Trong đó có x=0;x =2 là nghiệm kép)

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D.

Bình luận:

+ Căn cứ vào đồ thị hàm số y = f x'( ) có dạng như đồ thị hàm đa thức bậc 3 cắt trục hoành tại điểm x=2 và tiếp xúc tại điểm x= −1 nên ta chọn hàm ( ) (2 )

f x = +x x− Khi đó hàm số y g x= '( )= f x'( 2 −2x−1) là một hàm đa thức ta có thể xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu của hàm dạng tích thương các đa thức.

Ví dụ 5 Cho hàm số y= f x( ) Đồ thị hàm số y= f x′( ) như hình bên dưới

Hàm số g x( ) = f ( x2 +2x+2) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A (−∞ − −; 1 2 2 ) B (−∞;1 ) C (1;2 2 1 − ) D (2 2 1;− +∞).

Lời giải.

Ta có x2 +2x+ > ∀ ∈2 0, x ¡

Dựa vào đồ thị, suy ra ( )

1

3

x

x

= −





′ = ⇔  =

 =



2

1

x

+

+ +

Giải phương trình

theo do thi ' 2 2

2

1 0

1 0

1 nghiem boi ba

1 2 2

f x

x x

x

x

x

+ =

 + =



= −





⇔  = − −

 = − +



Lập bảng biến thiên

và ta chọn A.

Bình luận:

+ Với g x( ) = f ( x2 +2x+2) có chứa căn nên ta chỉ chọn cách giải thứ 2

vì cách giải thứ nhất giải nhiều bất phương trình chứa căn khá phức tạp + Hàm f '( x2 +2x+2) không phải là hàm dạng tích thương các đa thức vậy làm thế nào để xét dấu các biểu thức trên các khoảng cụ thể? Cách xét dấu g x′( ) như sau: Ví dụ xét trên khoảng (− − +1; 1 2 2) ta chọn x=0. Khi

đó ( ) 1 ( )

2

g′ = f′ < vì dựa vào đồ thị f x′( ) ta thấy tại x= 2∈( )1;3

thì f′( )2 <0. Các nghiệm của phương trình g x′( ) =0 là nghiệm bội lẻ

nên qua nghiệm đổi dấu hoặc hàm phức tạp ta nên thử tương tự ở tất cả các khoảng

2.2.3 Dạng 3: Xác định khoảng đơn điệu của hàm số y = f x( )−h x( ) dựa vào

đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số '( ) f x

Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị của hàm '( )f x Phương pháp giải

Cho đồ thị hàm số y= f x'( ), hỏi tính đơn điệu của hàm số y g x= ( ), trong

đó ( )g x = f x( )−h x( )

 Tính 'y =g x'( ) ;

 Căn cứ đồ thị hàm y= f x'( )⇒ Các điểm cực trị của hàm '( )g x Xét

phần đồ thị hàm '( )f x và '( ) h x Nếu '( ) f x nằm trên '( ) h x thì hàm số

đồng biến, nếu '( )f x nằm dưới '( ) h x thì hàm số nghịch biến

 Lập bảng biến thiên của hàm số y g x= ( ) hoặc trực tiếp xác định khoảng đồng biến nghịch biến dựa vào đồ thị và suy ra kết quả bài toán

Ví dụ 6 Cho hàm số y = f x( ) với đạo hàm f x′( ) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số g x( ) =3f x( ) − +x3 3x2 −3x+2021 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hàm số y g x= ( ) đồng biến trên khoảng ( )1;2

B Hàm số y g x= ( ) đồng biến trên khoảng (−1;0)

C Hàm số y g x= ( ) đồng biến trên khoảng ( )0;1

D Hàm số y g x= ( ) nghịch biến trên khoảng (2;+∞)

Lời giải

Ta có:g x′( ) =3f x′( ) −3x2 +6x−3

Giải phương trình

g x′ = ⇔ f x′ − x + x− = ⇔ f x′ =x − x+

Xét tương giao của hai đồ thị hàm số: y= f x′( ) và y x= 2−2x+1

Quan sát đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y = f x′( )và đồ thị hàm số y x= 2 −2x+1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt , ,A B C có hoành độ lần lượt là x=0;x=1;x =2

( ) 2

0

2

x

x

=





′

⇒ = − + ⇔  =

 =



Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: chọn đáp án C.

Bình luận: Khi vẽ đồ thị ta để ý đến các điểm đặc biệt mà đồ thị ban đầu cho

tọa độ cụ thể

Ví dụ 7 Cho f x mà đồ thị hàm số ( ) y= f x′( ) như hình bên Hàm số

( 1) 2 2

y = f x− + x − x đồng biến trên khoảng

A ( )1;2

B (−1;0 )

C ( )0;1

D (− −2; 1 )

Lời giải

Tính đạo hàm của hàm y= f x( − +1) x2 −2x

Khi đó y′= f x′( − +1) 2x−2

Hàm số đồng biến khi y′ ≥0 ⇔ f x′( − +1) (2 x− ≥1) 0 1( )

Đặt t x= −1 thì ( )1 trở thành: f t′( ) + ≥2t 0⇔ f t′( ) ≥ −2t

Quan sát đồ thị hàm số y = f t′( ) và y= −2t trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó ta thấy với t∈( )0;1 thì đồ thị hàm số y = f t′( ) luôn nằm trên đường thẳng y = −2t

Suy ra f t′( ) + > ∀ ∈2t 0, t ( )0;1

Với 0< < ⇒ < − < ⇔ < <t 1 0 x 1 1 1 x 2 Do đó ∀ ∈x ( )1;2 thì hàm số

( 1) 2 2

y = f x− + x − x đồng biến Chọn đáp án A

Bình luận:

+ Đối với bài toán cho bảng biến thiên của hàm số ta có thể dựa vào các điểm trên đồ thị để xác định vị trí tương đối của các đường cong để suy ra dấu đạo hàm.

+ Đối với bài toán cho bảng xét dấu đạo hàm ta sẽ thử trực tiếp dấu của biểu thức

2.2.4 Dạng 4: Tính đơn điệu của hàm hợp có chứa tham số

“Tìm m để hàm số y = f x m( , ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( )a b;

”:

Phương pháp giải

+ Tính đạo hàm của hàm số y = f x m( , );

+ Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình '( , ) 0 f x m ≥ (hoặc

f x m ≤ ∀ ∈x a b

Bước 1: Cô lập tham số m, nghĩa là đưa bất phương trình '( , ) 0 f x m ≥

(hoặc '( , ) 0,f x m ≤ ∀ ∈x ( ; )a b ) về dạng ( )g x ≥h m( ) (hoặc

g x ≤h m ∀ ∈x a b )

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g x trên khoảng ( ) ( )a b ;

Bước 3: Từ bảng biến thiên ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

Ví dụ 8 Cho hàm số y = f x( ) có đồ thị như hình vẽ Tìm tất cả các giá trị của

tham số m để hàm số y= f (3x2 +2x m+ ) nghịch biến trên khoảng ( )0;1

Hướng dẫn giải:

+ Từ đồ thị hàm số y= f x( ) ta có dấu của y'= f x'( ) Cụ thể là đồ thị có dáng

đi xuống trên khoảng (−1;1) , đi lên trên hai khoảng (−∞ −; 1 ; 1;) ( +∞) nên

f x < ⇔ ∈ −x ; f x'( ) > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞0 x ( ; 1) (1; )

+ Tính đạo hàm của hàm y= f (3x2 +2x m+ ): y'=(6x+2) f ' 3( x2 +2x m+ )

+ Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ

thuật cô lập m, giải bài toán tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi

( )0;1

x∈

Lời giải

• Từ đồ thị hàm số y= f x( ) ta có f x'( ) ≤ ⇔ − ≤ ≤0 1 x 1.

• y'=(6x+2) f ' 3( x2 +2x m+ )

• Dễ thấy 'y có hữu hạn nghiệm, nên hàm số y= f (3x2 +2x m+ ) nghịch biến trên ( )0;1 ⇔ ≤ ∀ ∈y' 0 x ( )0;1 ⇔ f ' 3( x2+2x m+ ) ≤ ∀ ∈0, x ( )0;1

2

2

 + ≥ − − ∀ ∈



⇔ − ≤ + + ≤ ∀ ∈ ⇔  + ≤ − ∀ ∈



• Hàm số g x( ) =3x2 +2x đồng biến trên [0;1] nên hệ trên tương đương

( ) ( )

4

m m

m g

− − ≤ =

 − ≥ =  ≤ −



Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Binh luận:

+ Từ đồ thị hàm số y= f x( ), ta thấy bất phương trình f x'( ) ≤ ⇔ ∈ −0 x [ 1;1]

và suy ra nghiệm của f ' 3( x2 +2x m+ ) ≤0.

+ Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit,…

+ Nếu hàm số y = f x( ) có f x'( ) ≥ ∀ ∈0 x ( )a b; , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn

( );

x∈ a b thì hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng đó.

Ví dụ 9: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên ¡ và bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau: