MỘT số GIẢI PHÁP GIÚP học SINH lớp 10 cơ bản DÙNG PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HÀM RỒNG -------SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 10 CƠ BẢN DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 10 CƠ BẢN

DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Người thực hiện: Lê Thị Bích Chức vụ: Giáo viên

SKKN (thuộc lĩnh vực môn): Toán

THANH HÓA, NĂM 2021

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Trang bị cho học sinh các kiến thức cần thiết 4

2.3.2 Phân tích cách đặt ẩn phụ và hướng dẫn giải qua một số bài toán 6

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… ….15

2.5 Bài học kinh nghiệm……… 15

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16

3.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 16

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Giải phương trình là nội dung kiến thức quan trọng, cơ bản đối với học

sinh trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh khối 10 Đối với những phươngtrình bậc nhất, bậc hai hoặc phương trình quy về bậc nhất, bậc hai đơn giản hầuhết học sinh đều nắm được cách giải cơ bản Tuy nhiên khi gặp các phương trình

vô tỷ thì phần lớn học sinh bị lúng túng, không tìm được hướng giải

Thực tế cho thấy trong những năm gần đây, trong các đề thi cao đẳng, đạihọc, các câu hỏi trắc nghiệm đều có liên quan, lồng ghép phương trình vô tỷ vàocác câu hỏi trắc nghiệm Trong khi đó chương trình học của sách giáo khoa lạikhông đề cập đến các dạng phương trình này hoặc nếu có thì chỉ dừng lại ở mức

độ quá đơn giản, không đáp ứng được trong các kì thi cao đẳng, đại học

Vậy làm thế nào để có thể giúp các em học sinh lớp 10 tiếp cận với cácphương trình đó và dần đi đến giải được các phương trình đã nêu ở trên

Cùng với xu hướng của nhà trường là cho học sinh chọn khối thi đại học

từ đầu năm lớp 10 và kết hợp với khả năng của học sinh trường THPT HàmRồng, tôi muốn cung cấp, bổ sung thêm cho các em một số cách giải nhữngphương trình dạng này bằng cách dùng ẩn phụ Đây là một cách giải đòi hỏiphải có tư duy chặt chẽ, lôgic và có hiệu quả cao

Ở đây tôi không tham vọng là các em có thể giải được hết các phươngtrình này tuy nhiên phần nào đó học sinh biết cách định hướng, nhận biết, để đặtđược ẩn phụ và giải được một số dạng tương đối đơn giản

Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 10 cơ bản dùng phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ” làm đề tài nghiên cứu của

mình

1.2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giúp học sinh phát hiện được mối quan

hệ giữa các biểu thức trong phương trình, từ đó biết cách đặt ẩn phụ thích hợp đểđưa về giải các phương trình hoặc hệ phương trình quen thuộc

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 10 qua các năm giảngdạy từ trước đến nay

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Hệ thống lí thuyết, tổng hợp kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, quansát sai lầm, khó khăn của học sinh trong quá trình học tập, kiểm tra thống kê vàtham khảo sách báo đưa ra các dạng bài tập

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Ở chương trình lớp 10 chủ yếu là các phương trình chứa căn bậc hai, cănbậc ba Với những phương trình chứa căn cơ bản, đơn giản thì hầu như học sinhđều đã nắm được cách giải Bên cạnh đó, các em còn gặp nhiều phương trình vô

tỷ mà không có phương pháp giải cụ thể, mẫu mực, những phương trình nàythường được giải bằng cách đặt ẩn phụ Ẩn phụ ở đây được hiểu là ẩn khác với

ẩn đã cho của bài toán, ẩn phụ được hiểu theo đúng từ phụ (không là ẩn chính)Quy trình để giải bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ được tiến hànhnhư sau:

Bước 1: Xuất phát từ bài toán đã cho đặt ẩn phụ thích hợp rồi chuyển bàitoán đã cho thành bài toán đối với ẩn phụ

Bước 2: Tìm ẩn phụ rồi quay về tìm ẩn ban đầu

Tuy nhiên cái khó của bài toán là đôi khi các mối liên hệ giữa các đạilượng tham gia trong phương trình không dễ thấy, có khi chúng lại “ẩn nấp” khákín đáo làm cho người giải toán tưởng chừng là chúng không liên quan gì vớinhau Chính vì vậy đòi hỏi người làm toán phải có cách nhìn sáng tạo, logic mới

có thể tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố để đặt được ẩn phụ và giải phươngtrình

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sách giáo khoa chỉ đơn thuần đưa ra các ví dụ về giải các phương trìnhbậc hai, phương trình chứa căn bậc hai, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đốiđơn giản Ngay cả các phương trình chứa căn bậc hai, chứa dấu giá trị tuyệt đối

cơ bản cũng không đề cập đến cách giải tổng quát, vì vậy học sinh gặp rất nhiềukhó khăn khi đối mặt với các phương trình vô tỷ.

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán lớp 10, tôi nhận thấy, khi dạy vềgiải phương trình bậc nhất, bậc hai hoặc các phương trình quy về bậc hai đơngiản, đây là những phương trình cơ bản, học sinh đều nắm được cách giải Tuynhiên, khi gặp phương trình vô tỷ khác lạ trong phạm vi lớp 10 thì học sinh bị bếtắc, không định hướng được cách giải Các phương trình dạng này, phần lớn làphức tạp và hầu như không được giải theo cách phổ thông mà ở mỗi phươngtrình các biểu thức có mối liên hệ đặc biệt, đòi hỏi học sinh phải phát hiện được

và đặt ẩn phụ thích hợp để đưa về giải hệ phương trình quen thuôc

Thực tế chỉ có khoảng 5% - 10% học sinh biết cách giải theo cách đặt ẩnphụ đưa về phương trình hoặc hệ phương trình quen thuộc để giải, hầu hết các

em không hề nghĩ bài toán sẽ được giải theo cách này và không định hướngđược cách giải

Với sức ép của chương trình, qui chế chuyên môn, thời lượng thực hiệnchương trình sát sao, đã làm cho giáo viên chỉ đủ thời gian chuyển tải các nộidung trong sách giáo khoa, ít có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần

mở rộng chủ yếu ở các tiết phụ đạo, bồi dưỡng

Trong đề tài này, tôi tôi xin trình bày :

*) những kiến thức cớ bản nhất về phương trình và hệ phương trình

*) 2 dạng bài toán :

Dạng 1: Giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt một ẩn phụ

Dạng 2: Giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt nhiều ẩn phụ(hai, ba …ẩn)

và đưa về giải hệ phương trình

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Trang bị cho học sinh các kiến thức cần thiết

Giáo viên trang bị cho học sinh dưới dạng bảng hệ thống các kiến thức để

học dễ nhớ, dễ vận dụng

2.3.2 Phân tích cách đặt ẩn phụ và hướng dẫn giải qua một số bài toán

Phần này giới thiệu 2 dạng bài toán :

Dạng 1: Giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt một ẩn phụ

Dạng 2: Giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt nhiều ẩn phụ(hai, ba …ẩn) vàđưa về giải hệ phương trình

NỘI DUNG

2.3.1 Trang bị cho học sinh các kiến thức cần thiết

2.3.1.1 Các kiến thức cơ bản về giải phương trình chứa căn bậc hai.

 2

( ) 0( ( ) 0)

1 ( ) ( )

( ) ( )( ) 0

2.3.1.2 Các kiến thức cơ bản về giải hệ phương trình

3 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

- phương pháp thế, từ phương trình bậc nhất ta tính ẩn này theo ẩn kia

- Thế vào phương trình còn lại, tính được giá trị ẩn đó

- Suy ra giá trị ẩn còn lại

4 Hệ đối xứng loại I

Dạng:

( , ) 0( , ) 0

Đặt S = x + y; P = xy Đưa hệ (I) về dạng:

( ; ) 0( , ) 0

Với mỗi cặp nghiệm (S0; P0) của (II) thì x; y là nghiệm của phương trình:

5 Hệ đối xứng loại 2: cho hệ

( , ) 0( , ) 0

Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ ta được phương trình có dạng: (x -y) h(x; y) = 0

Hệ đã cho tương đương với hệ:

( ; ) 00( ; ) 0( ; ) 0

11 174

Đặt t 2x211x13, t � 0

Thay vào phương trình đã cho ta được phương trình t2   (*) 7 8 0t

Giải phương trình (*) ta được t 8

172

2.3.2.1.2 Phương trình có chứa f x( )� g x( ); f x g x( ) ( ) và f x( )g x( )k

Khi đó có thể đặt: t f x( )� g x( ) suy ra

2( ) ( )

1088 26368

, 6128

có thể giải bằng phương pháp trên với

Để tạo ra những phương trình dạng trên chúng ta phải chọn hệ số , ,a b csao cho

phương trình bậc hai at2   có nghiệm “ nghiệm đẹp”.bt c 0

x �

�

Vậy phương trình có hai nghiệm

5 372

x

nên 2x2 - 5x + 2 � 27 > 0 Nếu bình phương lần nữa ta thu được phương trình mới tương đương nhưng cóbậc 4 nên việc giải bị khó khăn

Để khắc phục điều đó, ta đi phân tích và phát hiện mối liên hệ giữa các biểu thức

có mặt trong hai vế của (*)

Mà dạng tổng quát của phương trình đó có dạng : au + bv =c uv

Khi đó do x� 5 nên x + 4 > 0, chia 2 vế của phương trình cho x + 4 ta được:

u u

4

x x 

Kết hợp điều kiện x�5 ta được nghiệm của phương trình: x = 8; x

5 612





2.3.2.2 Đặt nhiều ẩn phụ và đưa về giải hệ phương trình nhiều ẩn.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x2  3 10 x2 = 5 (1)

Nhận xét: Tổng của hai biểu thức dưới dấu căn không phụ thuộc vào x

(x2 + 3 + 10 – x2 = 0) nên bài toán được giải như sau

Giải

Điều kiện: 10 – x2 �0 �  10 � �x 10

Đặt

2 2

u v



�

� 

�(cả hai nghiệm đều thoả mãn *)

Trường hợp 1:

23

u v

u v

�   � �

�  

�

Chú ý: Bài toán trên vẫn có thể giải theo cách bình phương hai vế, tuy nhiên

cách giải này không hiệu lực lắm vì lời giải phức tạp, học sinh phải bình phươnghai lần và đưa về giải phương trình bậc 4 (may mắn đây là phương trình trùngphương, học sinh đã biết cách giải) Như vậy nếu nhận biết được mối quan hệgiữa các biểu thức trong phương trình và đặt ẩn phụ như đã trình bày ở trên, bàitoán trở nên rõ ràng và đơn giản hơn nhiều

Ví dụ 2: Giải phương trình 3 x = (x -3)9 3 + 6 (1)

Chú ý: Rõ ràng bài toán này không thể giải theo cách lập phương hai vế Ta đặt

ẩn phụ như sau: Đặt

3 93

Vậy phương trình (1) trở thành hệ:

3 3

66

Nhận xét: Lập phương của biểu thức thứ nhất cộng với bình phương của biểu

thức thứ hai là một số không đổi (không phụ thuộc vào x)

u v

Hướng dẫn: Bài toán này tương tự bài toán 3

u v

7 88

11

1

x u

x x

0 (*)

0 1

11

2

x x

Ví dụ 6: Giải phương trình:

8x 1 3x 5 7x 4 2x2

Nhận xét: (8x + 1)2 - (3x -5)2 = (7x +4)2 – (2x -2)2

Do đó ta đặt ẩn phụ như sau:

Từ phương trình hai của hệ ta có: (u +v)(u-v) = (z + t)(z-t)

Mặt khác u + v > 0 vì u; v � 0 và u; v không đồng thời bằng 0 nên:

u – v= z- t (*)

Từ phương trình thứ nhất của hệ và (*) ta suy ra: u = z

=> 8x  1 7x4

� x = 3 (thoả điều kiện u; v; t; z�0)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

x2  1 x 1 (1)

Giải

Cách 1: Điều kiện: 1�۳x 0 x 1

(1) � x  1 1 x2

Điều kiện có nghiệm: 1x2 � �0 1� � x 1

Vậy điều kiện để giải phương trình là:  � �1 x 1

11

1 5

1 5

22

x

x x

x x

1

(2)1

Nhận xét: Cách giải 1 có vẻ phổ thông hơn nhưng rõ ràng kém hiệu lực vì nếu

thay phương trình (1) bởi phương trình: x2  x a a a, � thì phương trình1bậc 4 hữu tỉ thu được có dạng: x4 -2ax2 – x + a2 – a = 0

Trong khi đó với cách giải thứ 2 ta thu được hệ:

Cách giải tương tự như giải hệ 2 đã nêu ở trên

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.5 Bài học kinh nghiệm

Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, rút ra kinh nghiệm được là bước đầuhọc sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, thành thạo vận dụng kiến thức nàythực hiện kĩ năng giải bài toán cơ bản, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng,khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm rèn kỹnăng cho học sinh

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy khối 10,khối và luyện thi đại học trong ba năm gần đây Trong quá trình học chuyên đềnày, học sinh thực sự thấy vững vàng hơn, tự tin hơn và biết vận dụng linh hoạthơn khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thíchmôn toán, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu

Sau một thời gian nghiên cứu, thực hiện trên các lớp dạy khối 10 qua cácnăm và được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp đề tài hoàn thành đã đạt đượcnhững yêu cầu đặt ra ở phần đặt vấn đề.

Tìm hiểu và đưa ra hệ thống lí thuyết và bài tập tương đối đầy đủ có lời giảichi tiết

Phần lớn bài tập đưa ra phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh khá THPT

-Đa số học sinh tỏ ra tự tin khi giải quyết các bài tập về giải phương trìnhkhi được tiếp cận với phương pháp đặt ẩn phụ được nêu trong sáng kiến kinhnghiệm

Do kinh nghiệm còn hạn chế nên bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót,rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đọc và đồng nghiệp để bài viếtđược hoàn thiện hơn

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 07 tháng 05 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinhnghiệm của mình viết, không sao chép nộidung của người khác

Người viết SKKN

Lê Thị Bích

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Toán nâng cao Đại số 10(NXBGD) Tác giả: Nguyễn Huy Đoan.

[2] Phương pháp giải toán Đại số 10(NXB TP Hồ chí Minh)

[3] Bồi đưỡng Đại số 10(NXB Đại học quốc gia Hà Nội) Tác giả Phạm Quốc Phong [4] Dùng ẩn phụ để giải toán(NXBGD) Tác giả: Nguyễn Thái Hoè

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH

NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH XẾP LOẠI TỪ C

TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Bích

Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Hàm Rồng

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Một số phương pháp hướng

dẫn học sinh lớp 12 trường

THPT quảng Xương I trả lời

nhanh câu hỏi trắc nghiệm

nhận dạng đồ thị hàm số

Ngành giáo dục