Hướng dẫn học sinh giải các bài toán liên quan đến hàm số có sử dụng đồ thị của hàm số , nhằm nângcao chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ CÓ SỬ... Kết quả đạt được như trên là do sự

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ CÓ SỬ

I MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

2.2 Mục đích nghiên cứu 1

2.3 Đối tượng nghiên cứu 1

2.4 Phương pháp nghiên cứu 1

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề 2

2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ 2

2.3.2 Một số ví dụ cụ thể 3

Bài toán 1: Cho đồ thị của hàm số y f x  Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số f x 4 

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số f x  So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm đã chỉ ra 9

Bài toán 3: Cho đồ thị của hàm số f x  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17

3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghị 17

I MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây trường THPT Hậu Lộc 2 có rất nhiều chuyểnbiến tích cực về chất lượng giáo dục mũi nhọn cũng như đại trà, được thể hiệnqua các kỳ thi như kỳ thi Học sinh giỏi cấp Tỉnh các môn văn hóa; kỳ thi Tốtnghiệp THPT Kết quả đạt được như trên là do sự lãnh chỉ đạo của Chi bộ, bangiám hiệu Nhà trường thông qua một số công việc như: Bồi dưỡng, nâng caonăng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên; Ứng dụng công nghệ thông tintrong các tiết dạy; sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học; phátđộng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm; nghiên cứu các đề tài khoa học ứngdụng; tổ chức các hoạt động ngoại khóa; vận dụng kiến thức liên môn để giảiquyết các vấn đề thực tiễn; dạy học tích hợp qua các tiết dạy; … Một yếu tốkhông thể thiếu đó là sự nhiệt tình ủng hộ của toàn thể cán bộ giáo viên trongtrường; sự hăng say nghiên cứu khoa học của đội ngũ giáo viên; …

Đối với môn Toán, trong những năm gần đây hình thức thi có sự thay đổidẫn đến có rất nhiều đơn vị kiến thức giáo viên cần phải học tập, bồi dưỡng đổimới phương pháp thì mới đạt được hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho họcsinh Vì vậy mỗi giáo viên cần phải trau dồi kiến thức và phương pháp mới đểcho bài giảng trực quan, sinh động hơn nhằm gây hứng thú cho học sinh để các

em dễ tiếp cận hơn với những kiến thức mới Qua đó có thể phát triển tư duyToán học một cách toàn diện hơn

Sử dụng bảng biến thiên và đồ thị của hàm số để giải

quyết các bài toán liên quan đến hàm số đang là một xu hướng mới trong dạy học, chiếm một số lượng không nhỏ các câu hỏi trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT những năm gần đây cũng đã gây không ít khó khăn cho học sinh THPT đặc biệt các bài Toán

sử dụng bảng biến thiên và đồ thị của hàm số đạo hàm càng khó khăn gấp bội đối với học sinh Qua thực tế giảng dạy tôi nghĩ rằng nếu mình hệ thống lại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giảng dạy phù hợp tôi tin rằng sẽ có nhiều học sinh vượt qua được rào cản này và dần tự tin hơn khi gặp các bài Toán dạng này Với lý do như vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài

“Hướng dẫn học sinh giải các bài Toán liên quan đến hàm số có sử dụng đồ thị của hàm số f x  , nhằm nâng cao chất lượng ôn thi Tốt nghiệp THPT”

2.2 Mục đích nghiên cứu

- Rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị hàm số của hàm số

- Giải các bài toán có sử dụng đồ thị của hàm số f x 

2.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các dạng toán về hàm số có liên quan đến đồ thị

- Học sinh lớp 12A2, 12A8 trường THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa

2.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan

- Phương pháp điều tra, thống kê, phân tích.

- Quan sát tìm hiểu thực tế học tập của học sinh

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận

Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng Tuy nhiên hầu hết chúng

ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thứcvào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhómhành động nhất định nào đó

Trong hoạt động dạy học nói chung thì kỹ năng được thể hiện qua phương phápdạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình Trong môn toán ngoàinhững kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những yếu tố đặc thùcủa bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán kỹ năng đọc đồ thịcủa hàm số rồi liên hệ với các kiến thức liên quan đến đạo hàm cũng là một kỹnăng không phải ngoại lệ mà còn có xu hướng khai thác nhiều hơn trong đề thicác năm gần đây

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi cho lớp 12A2 và 12A6trường THPT Hậu Lộc làm một đề kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu trong 15phút và thu được kết quả như sau

2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề

2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ

* Định lý về tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên K

a) Nếu f x    0 x K thì hàm số f x đồng biến trên K  

b) Nếu f x    0 x K thì hàm số f x nghịch biến trên K  

Chú ý: Đồ thị của hàm số đồng biến trên khoảng a b là một đường đi lên; 

trên khoảng đó, đồ thị của hàm số nghịch biến trên khoảng a b là một; 

đường đi xuống trên khoảng đó (theo chiều từ trái sang phải)

* Định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số y f x  liên tục trên khoảng K x0  h x; 0 h và có đạo

hàm trên K hoặc trên K \ x0 , với h 0.

a) Nếu f x   trên khoảng 0 x0  h x; 0 và f x   trên khoảng0

x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x  

b) Nếu f x  trên khoảng 0 x0  h x; 0 và f x   trên khoảng0

x x0; 0 h

thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x  

Chú ý: Điểm x0 là điểm cực trị của hàm số yf x  khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu khi qua điểm x0

- Điểm x0 là điểm cực đại khi đạo hàm đổi dấu từ “+” sang “-“, là điểm cực

tiểu khi đạo hàm đổi dấu từ “-“ sang “+”

* Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

Cho hai đồ thị hàm số  C y: f x  và  C :y g x   Số nghiệm củaphương trình f x  g x  bằng số giao điểm của hai đồ thị  C và  C

O

x y

O

2.3.2 Một số ví dụ cụ thể

Bài toán 1: Cho đồ thị của hàm số y f x  Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số f x  

Phân tích bài toán: Bài toán này đối với học sinh có học lực khá giỏi thì quả là

khá đơn giản nhưng đối với những học sinh có học lực trung bình và yếu thì đây

là một bài toán không hề đơn giản Vì vậy để học sinh tiếp cận được dạng nàygiáo viên cần chỉ rõ phương pháp tư duy cho từ dạng toán

+) Để xét tính đơn điệu của hàm số f x ta phải “Tìm x để   f x  0,

  0,

  0

f x  , nằm ở miền nào thì f x   , khi nào thì 0 f x  0

+) Đối với câu hỏi “Chỉ ra điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, và đồ thị hàm số”

-a) Hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào?

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào?

Phân tích bài toán: Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng   ; 2 đồ thị hàm số

 

f x nằm phía dưới trục hoành nên f x  0,    x  ; 2; trên khoảng

2;1 và 1; đồ thị hàm số  f x  nằm phía trên trục hoành nên f x   0Đạo hàm f x   tại 0 x2;x nhưng đạo hàm chỉ đổi dấu chỉ qua 1 x  2

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị ta có f x   0 x  nên hàm số nghịch biến trên khoảng2

  ; 2; f x   0 x  2;1  1; và tại  x  ta có 1 f x   nên hàm0

số đồng biến trên 2; 

b) Dựa vào đồ thị ta có f x  từ âm sang dương khi qua x  nên hàm số đạt2

cực tiểu tại x  2

Lời bình: Đây là bài toán mở đầu để học sinh làm quen với cách đọc đồ thị

một ví dụ tương tự như sau

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x  xác định trên  , đạo hàm f x  có đồ thị nhưhình vẽ dưới đây

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

b) Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

 f  1 

f  2 f  3a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng 2;1 và 3;

b) Hàm số đã cho có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu nên có 3 điểm cựctrị

Lời bình: Qua hai ví dụ này học sinh đã phần nào nắm được kiến thức để học sinh nắm vững hơn tôi đã đưa thêm ví dụ như sau:

Ví dụ 3: Cho hàm số ( )f x có đồ thị f x( ) như hình vẽ bên Số điểm cực trị củahàm số ( )f x là

a) Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số f x  



  f  3a) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3

b) Hàm số đạt cực đại tại x  và đạt cực tiểu tại điểm 1 x  nên hàm số có 23điểm cực trị

Lời bình: Qua bài toán này học sinh đã làm quen với việc đọc đồ thị của hàm

số đạo hàm để giải quyết một số bài toán đơn giản Từ đây giáo viên mở rộng bài toán này đối với hàm số hợp đơn giản

Ví dụ 4: (Mở rộng từ Ví dụ 1) Cho hàm số y f x  xác định trên  , có đồthị hàm số f x  như hình vẽ sau:

x

y

O

-

-Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số

  1 

g x f  x

Phân tích bài toán: Đối với bài toán dạng hàm hợp giáo viên cần hướng dẫn

học sinh tính đạo hàm và giải phương trình f u   0

Hàm số đạt cực tiểu tại x 3

Lời bình: Đối với học sinh khi làm bài này giáo viên cần biết học sinh đang gặp khó khăn ở phần nào? Vì vậy để học sinh giải quyết được thì giáo viên cần hướng dẫn tỉ mỉ một số phần sau:

-Phân tích bài toán: Cũng như bài tập trên ta cũng làm bài này bằng cách lấy

đạo hàm của hàm số hợp rồi xét dấu đạo hàm suy ra kết quả

Do x  là nghiệm kép của phương trình 1 f x   nên 0 x  là các nghiệm2

Hàm số đạt cực đại tại x  , đạt cực tiểu tại 0 x  và 1 x  suy ra hàm số có 31điểm cực trị

Lời bình: Bài toán này có thể mở rộng thêm bằng cách cho hàm số hợp phức tạp hơn nữa.

Ví dụ 6: Cho hàm số yf x  liên tục trên  có đồ thị hàm số yf x  như

32

g x f x  x  x

x y

O

b) Tìm số điểm cực trị của hàm số g x 

Phân tích bài toán: Bài toán này có mức độ khó hơn nhiều so với bài toán ở ví

dụ 1 và ví dụ 2 Tuy nhiên nếu dạy cho học sinh lối tư duy nâng cao dần thì họcsinh sẽ phán đoán được cách giải, tạo sự hứng thú, kích thích trí tò mò của họcsinh, cho học sinh thấy được vẻ đẹp của toán học

Lời giải: Ta có g x  f x  x 3;g x   0 f x   x 3

x y

và 0;2 ; hàm số đồng biến trên các khoảng  2;0 và 2;

b) Hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại nên có 3 điểm cực trị

Lời bình: Qua các bài toán này phần nào hình thành cho học sinh hệ thống bài toán về hàm số, nâng cao tư duy về hàm số, khái quát được một số dạng toán về hàm số Từ đó có thể tự tìm hiểu thêm các bài toán cùng dạng và ở mức độ khó hơn nữa.

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số f x  như hình vẽ sau:

x y

O

b) Tìm đạt cực đại, cực tiểu của hàm số f x 

c) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số

Bài 2 Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số f x  như hình vẽ sau:

b) Tìm khoàng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số

   2 1

g x f x 

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số f x  So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm đã chỉ ra

Phân tích bài toán: Đối với dạng toán này ngoài việc đọc được đồ thị hàm số

học sinh cần nhớ kỹ khái nệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x  liên tục trên  có đồ thị hàm số yf x  như

O

-

-Phân tích bài toán: Đối với dạng toán này trước tiên giáo viên cần hướng dẫn

học sinh xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên Sau đó hướng dẫn học sinh vận

so sánh các giá trị của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số g x đồng biến trên khoảng   2; 

nên suy ra được g 2 g 4

Đặt h x  3f x   x33x So sánh h  1 và h 1

Lời giải

Xét h x  3f x   x33x với x   3; 3

Ta có h x  3f x   3x23

  0

h x   f x  x2  1

03

x x

Phân tích bài toán: Đối với bài toán này học sinh sẽ găọ nhiều khó khăn khi bài

toán cho thêm giả thiết f 1  f  3 f  2  f  6 , vì vậy giáo viên cầnhướng dãn kỹ cách khai thác giả thiết này

Lời giải

Từ đồ thị hàm số f x  ta có bảng biến thiên trên đoạn 1;6 như sau :

Quan sát bảng biến thiên ta thấy min 1;6 f x  f  2

.Mặt khác vì f  3  f  2 nên

Bài 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm và liên tục trên  Biết rằng đồ thị

hàm số y f x  như hình 2 dưới đây

So sánh g 1 và g 2

Bài 2: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  liên tục trên đoạn

Phân tích bài toán: Đối với bài toán này cần chỉ rõ cho học sinh cách chuyển

phương trình về phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số trong đó mộthàm là f x  hàm còn lại là đồ thị của hàm số đã biết, từ đó suy ra giao điểmcủa hai đồ thị và dấu của đạo hàm

Từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  0

Lời bình: Đây là một bài toán ở mức độ vừa phải tuy nhiên học sinh cần phải hiểu rõ bản chất của bài toán thì mới có thể tiếp tục nâng cao hơn kỹ năng làm các bài toán nâng cao hơn Từ bài toán này có thể mở rộng cho các bài toán khác như sau

Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm số   yf x 

như hình vẽ

Biết rằng f 1  f  3 f  2  f  6 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhấtcủa hàm số trên 1;6

Phân tích bài toán: Đối với bài toán này học sinh sẽ găọ nhiều khó khăn khi bài

toán cho thêm giả thiết f 1  f  3 f  2  f  6 , vì vậy giáo viên cầnhướng dãn kỹ cách khai thác giả thiết này

Lời giải

Từ đồ thị hàm số f x  ta có bảng biến thiên trên đoạn 1;6 như sau :

Quan sát bảng biến thiên ta thấy min 1;6 f x  f  2

.Mặt khác vì f  3  f  2 nên

Lời bình: Bài toán này đối với đồ thị hàm bậc bốn trùng phương thì thế nào?

Ta đi vào tìm hiểu ngay ví dụ tiếp theo

Đặt h x  3f x  x33x Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên  3; 3

Lời giải: Xét h x  3f x   x3 3x với x   3; 3

Ta có h x  3f x   3x23

Vẽ đồ thị hàm số y f x  và y x 2  trên cùng hệ trục tọa độ1

Dựa vào đồ thị ta có: h x  0 f x  x2 1

03

x x

Bảng biến thiên của hàm số h x 

Vậy max3 ; 3 h x  h 3 3f  3 , min 3; 3 h x  h 3 3f  3

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  Hàm số y f x  có

đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;0

Bài 2: Cho hàm số yf x có đạo hàm liên tục trên  Đồ thị hàm số

 

x y

O

-

-Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x  f x   4x2021 trênđoạn 2;1

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Qua nghiên cứu và giảng dạy thực tế trên lớp và khảo sát chất lượng 12A2trường THPT Hậu Lộc 2 và kiểm tra đối chứng với lớp không áp dụng phươngpháp này tôi thấy có hiệu qua được cải thiện rõ rệt như sau:

thông cảm và góp ý để bản sáng kiến kinh nghiệm của tôi dần được hoàng thiệnhơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

3.2 Kiến nghị

Xin đề xuất đến Nhà trường và các cơ quan quản lý giáo dục có nhiều hội thảokhoa học hơn để nghiên cứu và đưa được những nghiên cứu khoa học của cácgiáo viên có nhiều kinh nghiệm vào áp dụng rộng rãi trên các trường phổ thôngnhằm nâng cao chất lượng đạo tào hơn nữa

Người viết SKKN

Lê Văn Hùng

Tài liệu tham khảo

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12

[2] Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao

[3] Sách BT giải tích 12

[4] Sách BT Giải tích 12 nâng cao

[5] Báo Toán học và tuổi trẻ

[6] Mạng Internet

[7] Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia môn Toán lần 1, 2 (Bộ GD&ĐT)

[8] Đề thi thử THPT Quốc Gia các trường trên toàn quốc