MỘT số KINH NGHIỆM GIẢNG dạy PHÁT HUY TÍNH TÍCH cực của học SINH THÔNG QUA PHƯƠNG PHÁP GIẢI và SÁNG tác bài tập TOÁN THPT từ góc NHÌN bài TOÁN gốc

Từ đó thúc đẩy cuộc vận động đổi mới PPDH Toán là tổ chứccho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo.. Với những lý do trên đây tôi chọn nghiên c

I MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Để đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước việc dạyhọc không còn là việc truyền thụ tri thức khoa học, mà còn phải trang bị cho học sinh khảnăng tìm tòi, khám phá tri thức Cái cốt lõi của hoạt động học của học sinh là vừa ý thứcđược đối tượng cần lĩnh hội, vừa biết cách chiếm lĩnh cái lĩnh hội đó Mặt tích cực nàycủa học sinh quyết định chất lượng học tập

Việc giảng dạy môn toán trong nhà trường phải lấy phương châm biết “biến lạ thànhquen” và tập dượt cho học sinh biết “biến quen thành lạ “để rồi “biến lạ thành quen”trong quá trình giải toán Từ đó thúc đẩy cuộc vận động đổi mới PPDH Toán là tổ chứccho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo

Với những lý do trên đây tôi chọn nghiên cứu là: “Một số kinh nghiệm giảng dạy phát huy tính tích cực của học sinh thông qua phương pháp giải và sáng tác các bài tập toán THPT từ góc nhìn bài toán gốc”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp các đồng nghiệp và học sinh có thêm tài liệu tham khảo giúp giải quyếttốt các dạng bài toán để có kết quả bài thi học sinh giỏi, thi TN THPT Quốc gia đạt kếtquả cao

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu về tính tích cực của hoạt động học tập và thực tiễn giảng dạy ở các lớp,thông qua rút kinh nghiệm của từng lớp dạy với tinh thần tích cực hoá hoạt động học tậpcủa học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THPT

- Phạm vi nghiên cứu: Học sinh các lớp khối A, khối A1 gồm: 10C4, 10C5 năm học

2018 - 2019; lớp 11B4, 11B5 năm học 2019 - 2020, học sinh lớp 12A4, 12A5năm học

2020 - 2021 trường THPT Bỉm Sơn, thị xã Bỉm Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp quan sát sư phạm

- Phương pháp nêu vấn đề trong giảng dạy

Nhà sư phạm Đức – Diestsrwer nhấn mạnh: “Người thầy giáo tồi là người thầy giáomang chân lý đến sẵn, còn người thầy giáo giỏi là người thầy biết dạy học sinh đi tìmchân lý”.

Luật Giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm 2005) quy định: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạocủa học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp

tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đemlại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Tính tự giác, tích cực của người học từ lâu đã trở thành một nguyên tắc của giáo dục Nguyên tắc này không mới nhưng vẫn chưa được thực hiện một cách nghiêm túc ở

trong các nhà trường Tôi thực hiện SKKN dựa trên những định hướng sau:

2.1.1 Định hướng 1: Hệ thống các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng tích cực

hoá hoạt động của học sinh.

Quá trình dạy học nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dựa trênnguyên tắc phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh Thực chất đó là quátrình tổ chức, hướng dẫn học sinh tìm hiểu, phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở tựgiác và được tạo khả năng và điều kiện chủ động trong học tập Tác giả Nguyễn Bá Kim

- Dạy học không chỉ là nhằm mục đích là dạy nhứng tri thức, kiến thức, kỹ năng bộmôn mà quan trọng hơn cả là dạy việc học, cách học cho học sinh

- Quá trình dạy học bao gồm cả việc dạy học cách tự học thông qua việc để họcsinh tự hoạt động nhằm đáp ứng các nhu cầu của bản thân và của xã hội Nói cách khác,tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh là quá trình làm cho người học trở thành chủthể tích cực trong hoạt động học tập của chính họ

2.1.2 Định hướng 2: Hệ thống các biện pháp mang tính khả thi, phù hợp với điều

kiện thực tiễn của nhà trường THPT.

Tính khả thi là yếu tố quan trọng nhằm đáp ứng với điều kiện thực tiễn và yêu cầucủa dạy học.

2.1.3 Định hướng 3: Hệ thống các biện pháp phải phù hợp với đặc điểm nhận thức

của học sinh tức là phải đảm bảo tính vừa sứccủa học sinh.

“Sức” của học sinh, tức là trình độ năng lực của học sinh, nó không phải là cái bất biến

mà thay đổi trong quá trình học tập Việc dạy cho học sinh một mặt phải đảm bảo tính vừasức để có thể chiếm lĩnh được tri thức, kỹ năng, kỹ xảo nhưng mặt khác lại đòi hỏi khôngngừng nâng cao yêu cầu để phát triển năng lực học sinh Vì vậy, tính vừa sức ở những thờiđiểm khác nhau có nghĩa là sự không ngừng nâng cao yêu cầu học tập

2.1.4 Định hướng 4: Trong quá trình thực hiện các biện pháp cần đảm bảo sự thống

nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy với tính tự giác của trò.

Trong quá trình dạy học, thầy và trò cùng hoạt động, nhưng các hoạt động này cóchức năng khác nhau Hoạt động của thầy là thiết kế, điều khiển Hoạt động của trò làhọc tập tự giác và tích cực Vì vậy, đảm bảo sự thống nhất giữa hoạt động điều khiển củathầy và hoạt động học tập của trò chính là sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy vàtính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học tập của trò

2.2 Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Phương pháp giảng dạy Toán nhằm phát huy tính tích cực của học sinh tại trườngTHPT Bỉm Sơn còn có những hạn chế Trong một đơn vị lớp có nhiều đối tượng học sinhvới các khả năng nhận thức, tư duy khác nhau nên không thể cho học sinh thảo luận để pháthuy tối đa tính tích cực, chủ động trong học tập của mỗi em nhằm phát triển tư duy cho các

em Giáo viên Toán của trường chưa có nhiều kinh nghiệm trong vấn đề này

2.3 Những kinh nghiệm sư phạm nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trong dạy học giải bài tập toán THPT

2.3.1 Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu

tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tìnhhuống có vấn đề, như Rubintein nói: "Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huốnggợi vấn đề "Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề với mục đích làmcho vấn đề trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học sinh

Ví dụ 1: Sau khi học xong công thức cộng, yêu cầu học sinh tính các giá trị các hàm

số lượng giác của các cung không đặc biệt, chẳng hạn tính cos150

Tình huống trở thành có vấn đề khi học sinh nhận thấy 150 không phải số đo của cungđặc biệt và chưa biết thuật giải để giải trực tiếp bài toán đó Học sinh tích cực suy nghĩ,huy động tri thức, kỹ năng của mình tìm ra lời giải trên bằng cách: Biểu thị 150 qua haicung có số đo đặc biệt (150 = 600 - 450 = 450 - 300), từ đó áp dụng công thức cộng:

cos150 = cos(600 - 450) = cos600 cos450 + sin600 sin450

2

2.2

32

2.2

Để củng cố kiến thức có thể cho học sinh giải bài toán sau:

1

−

Ví dụ 2: Dựa vào kết quả sau:

x2sin2

1xcosx

x 4 sin 4

1 x 2 cos x 2 sin 2

1 x 2 cos x cos x

x8sin8

1x4cosx4sin4

1x4cosx2cosxcosx

Hãy nêu bài toán tổng quát và tính:

7

5 cos 7

3 cos 7 cos

Tình huống gợi vấn đề sẽ không xảy ra nếu ngay từ đầu giáo viên yêu cầu học sinhtính giá trị của biểu thức A, bởi nó không tạo điều kiện để học sinh có thể vượt qua đượcsau khi đã tích cực suy nghĩ

Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, học sinh dễ dàng nêu được bài toán tổng quát

2

1x2cos

x2cosxcosx

1 n

+

= Như vậy, ta đã biết công thức tính: cosx.cos2x.cos4x cos2 x bây giờ để tính giántrị biểu thức A ta làm thế nào?

Có thể yêu cầu học sinh quan sát biểu thức A, hãy tìm cách biến đổi để đưa nó về bàitoán tổng quát

Ta có:

7

2 cos 7

5 cos

; 7

4 cos 7

3

Suy ra: A

7sin

7

4cos.7

2cos.7

cos7

sin7

4cos.7

2cos.7

cos

π

ππ

ππ

=ππ

sin 8

1

7 sin

) 7

sin(

8 1

7 sin 7

8 sin 8

1

= π

π

= π

π +

π

= π π

Hiển nhiên, bài tập này là một vấn đề vì học sinh chưa có một quy tắc nào có tínhchất thuật toán để giải phương trình trên

Bài tập tương tự: giải các phương trình

4

x 3 ( cos x

2cos4sin

2

2 2

x x

x x

2sin

12

sin22cot

Ví dụ: Sau khi học bài "Công thức lượng giác" có thể yêu cầu học sinh giải bài tập sau:

4

1 ) x 3 sin(

) x

π

2 Chứng minh rằng: Trong ∆ABC ta luôn có:

Cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin

2

C 3 sin 2

B 3 sin 2

A 3

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M=

CsB

sA

s

CnBnA

n

2 2

2

2 2

2

coco

co

sisi

si

+++ + Trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác

2.3.2 Sử dụng dạy học phân hoá như là một điều kiện tiến hành đồng loạt.

Dạy học phân hoá xuất phát từ sự biện chứng thống nhất và phân hoá từ yêu cầu đảmbảo thực hiện tốt các mục đích dạy học với tất cả học sinh, đồng thời khuyến khích pháttriển tối đa những khả năng cá nhân Là sự kết hợp giữa giáo dục diện “đại trà” với giáodục “mũi nhọn”, giữa “phổ cập” với “nâng cao” trong giảng dạy

Ví dụ 1: Bài tập phân hoá nhằm củng cố công thức biến đổi tổng thành tích

1) Biến đổi tổng thành tích các biểu thức sau:

1 ) b a cos(

b cos a cos E

b sin a cos D

x 3 sin x 2 sin x sin C

b 4 sin a 2 sin B

x cos x 2 cos A

+ + +

Bcos2

Acos4CcosBcosA

3) Tính:

9

7 cos 9

5 cos 9

cos

19

17 cos

19

5 cos 19

3 cos 19

cos

Ví dụ 2: Bài tập phân hóa nhằm củng cố bài "Phương trình lượng giác cơ bản"

1) Giải các phương trình sau:

a)

2

3 x

sin =

b)

2

2 x

3 cos = −

15 x 2 sin( − 0 = với -1200< x < 900b) sin 3 x = cos 2 x

2 x 5 ( n

e) cos3x.tan5x=sin7x

f)

x 4 sin

2 x

2 sin

1 x

cos

3) Giải và biện luận các phương trình:

a) (m - 1) sin x + 2 - m = 0 (m là tham số)

b) sin α cos x = 1 (α là tham số)c) ( m − 4 ) tan 2 x − m = 0

(m là tham số)

2.3.3 Xây dựng hệ thống bài toán gốc như là một cơ sở của kiến thức và kỹ năng

để giải các bài toán.

Theo quan điểm của cá nhân, một bài toán dù khó đến đâu cũng bắt nguồn từ bài toánđơn giản, có khi rất quen thuộc Vì vậy, hệ thống các bài toán gốc sẽ giúp cho học sinhtìm được chìa khoá để giải quyết vấn đề trong quá trình giải toán Vậy bài toán gốc là bàitoán thế nào? Bài toán gốc là bài toán thoả mãn một trong ba điều kiện sau:

- Kết quả của bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm lời giải các bài toán khác

- Phương pháp giải bài toán được sử dụng trong việc tìm lời giải cho bài toán khác

- Nếu thay đổi giả thiết, kết luận thì được bài toán mới

2.3.3.1 Xây dựng các bài toán gốc nhờ khai thác đẳng thức:

sin2a + cos2a = 1 với ∀a

Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức: sin4a + cos4a =

4

3a4cos4

3

+Bài toán 3: Chứng minh đẳng thức:

sin8a + cos8a=

64

35a4cos16

7a8cos64

1 cos

n si

6 6

− α + α

− α +

α

=

b) B = ( 2 sin6 α − 3 sin4α − 4 sin2 α ) + ( 2 cos6α − 3 cos4α − 4 cos2α )

Ví dụ 2: Giải phương trình: sin6 x+cos6 x =2(sin8x+cos8 x) (*)

Gặp bài toán này, vận dụng kết quả bài toán 2 và bài toán 3 phương trình sẽ đưa vềdạng quen thuộc đã biết cách giải

Ví dụ 3: a) Chứng minh đẳng thức:

x8cos128

5x4cos32

15128

63xcosx

b) Giải phương trình: sin10x + cos10x =

x x

=+

−

+

)4tan(

)

4tan(

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (**) có nghiệm

Ví dụ 5: Cho phương trình sin6 x + cos6 x= m sin2x

a) Giải phương trình khi m =

41b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

Ví dụ 6: Giải phương trình : sin8x+ cos8x = 2x

16

17 2cos

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin6x + cos6x = m (sin4x + cos4x)

2.3.3.2 Hệ thống bài toán gốc để giải các bài toán về hệ thức lượng giác trong tam giác.

Bài toán 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có:

a) sinA + sinB + sinC =

2

C2

B2

A

4cos cos cos

b) cosA + cosB + cosC = 1 +

2

C2

B2

A

4sin sin sin

c) tanA+tanB+tanC =tanA.tanB.tanC (với ∆ABC không vuông)

Bài toán 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có:

a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

b) cos2A + cos2B + cos2C = -1- 4cosA.cossB.cosC

c) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC

d) cos2A + cos2B + cos2C = 1- 2cossAcosBcosC

Bài toán 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có:

a)

2cot.2cot.2

cot2

cot2

cot2

2tan.2

tan2tan.2

tan2tan

Ví dụ 2: Chứng minh trong tam giác ABC ta có:

a) tanA+tanB+tanC≥3 3

b) tan2 A+tan2 B+tan2C ≥9, hãy xây dựng bài toán tổng quát

Ví dụ 3: Chứng minh trong tam giác ABC ta có:

33

12tan.2tan.2

Ví dụ 4: Chứng minh tam giác ABC vuông khi và chỉ khi:

cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0

Ví dụ 5: Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:

a)

9

3C

BA

CBA2

2 =+

(sin

sinsinsin

(*) b) sin6A + sin6B + sin6C = 0

c) sin10A + sin10B + sin10C = 0

d) sin2A + sin2B + sin2C = 2

đ) sin2A + sin2B + sin2C > 2

e) sin2A + sin2B + sin2C < 2

f) cos2A + cos2B + cos2C = 1

2.3.3.3 Xây dựng một số PT được giải bằng cách đưa về hệ phương trình

Ví dụ 1 Xét hệ phương trình đối xứng loại hai

Từ đó ta xây dựng các bài toán sau:

Bài toán 1 Giải phương trình ( 2)2

Giải: Đặt y = 2 – 3x2 ta có hệ phương trình

2 2

(x+1 3) ( x−2 9) ( x2− − =3x 5) 0.

Vậy nếu khi xây dựng bài toán, ta cố ý làm cho phương trình không có nghiệmhữu tỷ thì phương pháp khai triển đưa về phương trình bậc cao, sau đó đưa về phươngtrình tích sẽ gặp khó khăn.

Ví dụ 2 Xét một phương trình bậc hai có hai nghiệm là số vô tỷ

Ta có bài toán sau:

Bài toán 2 Giải phương trình ( 2 )2

8x−5 5x −1 = −8

Giải: Đặt 2y = 5x 2 - 1 Khi đó ta có hệ phương trình

2 2

 .Từ đó ta có bài toán sau.

Bài toán 3 Giải phương trình ( )3

3

162x+27 3= 8x − 3

Giải: Bằng cách đặt 6y=8x3− 3 ta có hệ trên và giải ra ta có nghiệm là

cos5 ; cos17 ; cos7

Ta mong muốn có một phương trình chứa ( )3

ax b+ và chứa 3 cx d+ , hơn nữa phươngtrình này được giải bằng cách đưa về hệ “gần” đối xứng loại hai (khi trừ theo hai vế hai

phương trình của hệ ta có thừa số x - y) Vậy ta xét hệ ( )

( )

3 3

Ta có bài toán sau:

Bài toán 4: Giải phương trình 3 x− =2 8x3−60x2+151x−128

Giải: Cách 1: Tập xác định R Phương trình được viết lại là

( )3

3 x− =2 2x−5 + −x 3 (1)Bằng cách đặt 2y− =5 3 x−2 Kết hợp với (1) ta có hệ phương trình

( ) ( )

3 3

−+

−

−+

52()52(

Với x = y thay vào (2) ta có phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

Phương trình (5) vô nghiệm

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.

Từ đó ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số như sau:

Xét hàm số f(t) = t 2 + t Vì f ’(t) > 0 trên R nên hàm f đồng biến trên R Do đó

f(2x - 5) = f(y) ⇔2x− =5 y Bởi vậy

+ Dấu bằng xảy ra khi a = b".

Từ bất đẳng thức này bằng cách hướng dẫn học sinh với cách nhìn với 3 số dương

Từ đó ta có thể phát triển các bài toán sau:

Bài toán 1 (Đề thi khối A năm 2005)

Cộng lại ta có điều phải chứng minh.

Chú ý: Nếu từ bài toán trên ta cho a + b + c = k > 0 thì có ngay bài toán tìm giá

Bài toán 7 Cho ba số dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài toán gốc: Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [−π π; ] của phương trình 3f (2sinx) + =1 0 là

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π π; ].

Từ bài toán này với cách hướng dẫn học sinh phát triển các bài toán sau:

Bài toán 1 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [−π π; ] của phương trình 3f (2 cosx)+ = 2 0 là

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π π; ].

Bài toán 2 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên

Phương trình 3f (cosx)− = 4 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn ;3

2

ππ

Đáp số: Chọn C

2.2.3.6 Xây dựng một số bài toán từ bài toán về đẳng thức logarit.

Bài toán gốc: Giả sử p q, là các số thực dương thỏa mãn log16 p=log20q=log25(p q+ ) .

logloglog

t

t

t

p q

− +

 

Từ bài toán này với cách hướng dẫn học sinh phát triển các bài toán sau:

Bài toán 1 Cho x y, là các số thực dương thoả mãn log9x=log6 y=log 24( x y+ ) Giá trị

t

x y

x + x = a+ b với a , b là hai số nguyên dương Tính a b+

tham số thực) Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của sao cho max[ ]0;1 f x( ) + min[ ]0;1 f x( ) = 2 Số

b/ Xét m≠1 ta có ( )

( )2

1 '

Suy ra f x( ) đơn điệu trên đoạn[ ]0;1 Ta có ( )0 ; 1( ) 1

2

m

f x m

m

 + > ⇔  < −

Từ bài toán này với cách hướng dẫn học sinh phát triển các bài toán sau:

Bài toán 1 Xét hàm số f x( ) = x2 +ax b+ , với a, blà tham số Gọi M là giá trị lớn nhấtcủa hàm số trên [−1;3] Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a+ 2b

20 48