SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHUYỂN ĐỔI CÁC GIẢ THIẾT THƯỜNG GẶP SANG QUAN HỆ VÉC TƠ ĐỂ GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG KH
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHUYỂN ĐỔI CÁC GIẢ THIẾT THƯỜNG GẶP SANG QUAN HỆ VÉC TƠ ĐỂ GIẢI TOÁN TỌA
ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 12
Người thực hiện: Lê Văn Phú
Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2021
Trang 2MỤC LỤC
đầu .1
tài .1
cứu .1
cứu .1
cứu .1
1
luận .1
2.2 Thực trạng trước khi áp dụng đề tài ………
……… 2
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề ………… .3 2.3.1 Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng……….
…… 3
2.3.2 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng
……… 6
2.3.3 Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng liên quan đến
……… … 8
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường………
……… 13
nghị 13
luận 13
2.Kiến nghị……… ……… …13
Trang 3I MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian, là chương cuối cùng của Hình học 12 và luôn có mặt trong đề thi THPT Quốc gia, chiếm 14% số điểm trong bài thi Nó được rải đều trong 4 mức độ của đề thi hiện nay
Tọa độ trong không gian là chương có nhiều công thức, dạng bài tập phong phú nhưng các bài tập của phần này thường được hỏi rất trọng tâm
“không mang tính đánh đố học sinh”, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản, vận dụng một số yếu tố then chốt, sẽ có kết quả khả quan khi tiếp cận các loại bài tập của chương này
Hiện nay, nhiều giáo viên và học sinh hiện nay vẫn phân dạng, phân loại, tạo nên nhiều bài tập trong chương học này, dẫn tới, mất nhiều thời gian để giảng dạy, học sinh không tránh khỏi lúng túng, không làm chủ được nội dung kiến thức Hơn thế, khi tiếp cận đề bài, các giả thiết thường được cho dưới dạng lời văn, như; Đi qua, chứa, vuông góc, song song,…Để giải quyết các yêu cầu này; các em thường phải trừu tượng hóa, mô hình hóa đề bài, sử dụng kiến thức,
tư duy hình học Tuy nhiên, nếu khéo léo chuyển sang véc tơ, sẽ đơn giản hơn Chẳng hạn; yêu cầu mặt phẳng chứa đường thẳng, các em chỉ cần dùng VTCP
u vuông góc với VTPT n, tiếp tục dùng hai véc tơ vuông góc khi a b 0
hoặc đặc biệt hơn, nếu
;
n a n a b
n b
Lúc này vấn đề sẽ bớt hình học hơn
Với những lý do trên, tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh chuyển đổi các giả thiết thường gặp sang quan hệ véctơ để giải toán tọa độ trong không gian’’.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Cần giup học sinh lớp 12,
- Rút ngắn thời gian, tự tin học và ôn tập chương tọa độ trong không gian
- Biết xử lý các bài toán có nhiều giả thiết, nhiều mối liên hệ
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng của SKKN là tìm ra các giả thiết thường gặp khi học tọa độ trong không gian
Đứng trước một bài toán cần làm được:
- Xác định các giả thiết thường gặp
- Biết chuyển đổi giả thiết này sang quan hệ véctơ, dùng quan hệ véctơ để giải quyết vấn đề
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
- Phương pháp khảo sát thực tiễn
- Phương pháp phân tích, Phương pháp tổng hợp
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
II NỘI DUNG
Trang 42.1 Cơ sở lý luận
Đối tượng của hình tọa độ trong không gian là điểm, đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
Các bài toán định tính thường là tìm tọa độ điểm, viết phương trình đường thẳng, viết phương trình mặt phẳng, viết phương trình mặt cầu,…
Các bài toán định lượng thường là tính khoảng cách, tính góc, độ dài,… Đường thẳng có cơ sở là véc tơ chỉ phương, mặt phẳng có cơ sở là véc tơ pháp tuyến Các bài toán định tính thường dẫn tới tìm ra hai véc tơ cơ sở này
Trong rất nhiều bài toán viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng chúng ta thường gặp mối quan hệ biện chứng giữa quan hệ song song, quan hệ vuông góc, quan hệ liên thuộc giữa đường thẳng và mặt phẳng, các mối quan hệ này có thể chuyển đổi sang véc tơ như sau:
+) Đường thẳng a song song với đường thẳng cho ta u u a, b cùng phương
+) Mặt phẳng song song hoặc chứa đường thẳng cho ta ua nP
+) Hai mặt phẳng song song cho ta n n P, Q cùng phương
+) Hai đường thẳng vuông góc cho ta ua ub
+) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho ta u n a, P cùng phương
+) Hai mặt phẳng vuông góc cho ta nP nQ
+) Hai véc tơ cùng phương a b , khi a k b Hai véc tơ vuông góc khi
a b và đặc biệt nếu ;
n a n a b
n b
Đây là yếu tố quan trọng mà ít học sinh nhận ra và áp dụng vào việc giải toán tọa độ trong không gian
2.2 Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1 Thuận lợi.
- Học sinh đã được trang bị đầy đủ kiến thức về các bài tập cơ bản liên quan đến điểm, đường thẳng, mặt phẳng
2.2.2 Khó khăn.
Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện
nào đó học sinh thường gặp không ít khó khăn vì không tạo ra được các mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng đã cho hoặc không biết hướng giải hoặc như trên đã đề cập; học sinh không thể trừu trượng hóa, mô hình hóa các giả thiết, chỉ dùng hình học thuần túy để giải quyết vấn đề, nên các em thường bỏ qua loại bài tập này Bên cạnh đó thời điểm học chương này vào cuối năm 12, học sinh thường bị chi phối bởi nhiều yếu tố, dẫn tới, thiếu tập trung, có ít thời gian ôn tập
Trước khi thực hiện SKKN, tôi đã khảo sát, cho học sinh làm bài tập 45 phút liên quan đến mặt phẳng, đường thẳng, kết quả như sau
Trang 512C7 40 0 0 5 12,5 13 32,5 12 30,0 10 25
12C1
Trong thực tiễn giảng dạy tôi đã yêu cầu học sinh nêu các giả thiết có trong đề bài, tìm ra các mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng trong không gian và chuyển đổi chúng sang quan hệ véctơ để giải quyết vấn đề thì hiệu suất làm bài tập chắc chắn và tự tin hơn
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Giải pháp:
- Tổ chức một số buổi dạy phụ đạo đại trà cho tất cả các em, bồi dưỡng học sinh khá giỏi, ôn thi Đại học, ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia
- Giới thiệu các giải thiết thường gặp và cách chuyển đổi sang quan hệ véctơ
Xin giới thiệu một số ví dụ ở mức độ vận dụng:
2.3.1 Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng
Giả thiết thường gặp:
+ Đường thẳng song song hoặc thuộc mặt phẳng thì un
+ Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì u u
+ Dường thẳng cắt đường thẳng hoặc đường thẳng cắt mặt phẳng thì gọi điểm cắt theo ẩn t của đường thẳng
+ Đường thẳng đi qua hai điểm A, B thì u AB
+ Có thể gọi VTCP của đường thẳng là u(a, ,c)b
+ Sử dụng kĩ năng ua và u b thì u a b ;
, hoặc ua thì u a . 0 hoặc hai véc tơ cùng phương thì uka
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng đi qua
điểmA 2;1;3 cắt cả hai đường thẳng 1
:
x y z
và
2
:
x y z
Hướng dẫn: Xác định hai điểm cắt nhau.
+) Đường thẳng cắt đường thẳng 1 tại P suy ra tọa độ điểm P
+) Đường thẳng cắt đường thẳng 2 tại Q suy ra tọa độ điểm Q
Vậy đường thẳng chính là đường thẳng PQ
Lời giải:
Gọi P là giao điểm của và 1, ta có P 1 P1 ;2 t t; 1 t
Gọi Q là giao điểm của và 2, ta có Q 2 Q 2 t';3 2 '; 1 t t'
Trang 6Ta có: QA t '; 2 2 '; 4 t t'
, PA 3 t; 1 ; 4 t t
Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng nên thẳng hàng do đó
2 ' 15
8
15
26 15
t
t k tk t k tk
tk
Với
2
'
15
t
ta có:
2 34 58
; ;
15 15 15
QA
Đường thẳng có véc tơ chỉ phương: u1; 17; 29
phương trình
:
1 17 29
x y z
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng đi
qua A1;2;3 đồng thời vuông góc với d1 và cắt d2 biết
1
6 2 : 1 4 4
2
:
x y z
d
Hướng dẫn: Xác định VTCP của đường thẳng.
+) Đường thẳng cắt đường thẳng d2 tại P suy ra tọa độ điểm P
+) Đường thẳng vuông góc với d1 nên AP u 1 AP u 1 0
Suy ra đường thẳng chính là đường thẳng PA
Lời giải:
Gọi giao của đường thẳng với d2 là P ta có P d 2 P1 2 ; 2 t t;3 t
AP t t2 ; 4; t
Mặt khác d1 AP u 1 AP u. 1 0 4t 4 16t t 0 t 16
Ta có: AP32;12; 16
là VTCP của phương trình
:
x y z
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng đi
qua A3; 2; 1 vuông góc và cắt đường thẳng
3 : 4 5
1 2
x t
d y t
z t
Hướng dẫn: Xác định VTCP của đường thẳng cần tìm.
+) Đường thẳng cắt đường thẳng d tại P suy ra tọa độ điểm P
+) Đường thẳng vuông góc với d nên AP u 1 AP u 1 0
Suy ra đường thẳng chính là đường thẳng PA
Lời giải:
A P
Q
Trang 7Đường thẳng cắt đường thẳng d tại P P d P(3t;4 5 ; 1 2 ) t t
Ta có: AP t( ; 6 5 ; 2 ) t t
là VTYCP của đường thẳng
Đường thẳng vuông góc với d nên AP u 1 AP u 1 0
hay t 1
Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương:
(1; 1; 2)
AP
Phương trình của đường thẳng
:
x y z
Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình của đường thẳng
biết nó vuông góc với mặt phẳng (P) : x y z 4 0 và cắt cả hai đường
thẳng chéo nhau
1
2 : 3
1 2
2
2 3 ' : 1 '
'
y t
z t
Hướng dẫn: Xác định VTCP của đường thẳng cần tìm.
Lời giải:
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng với hai đường thẳng 1 và
2
Ta có:
+)M 1 M2 t;3 t;1 2 t
+)N 2 N2 3 ';1 t t t'; '
+)MN t t3 ' ; 2 t t' ; 1 t' 2t
là VTCP của
Theo giả thiết P nên:
P
Do đó: M 1;6; 5 và ( 4;3; 2N MN 3; 3;3
Đường thẳng có phương trình :
x y z
Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x3y 5z 6 0 và đường thẳng
:
x y z
d
Viết phương trình tham số của đường thẳng
nằm trong (P), cắt và vuông góc với d.
Hướng dẫn: Xác định VTCP và một điểm đi qua của đường thẳng cần tìm.
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n P1;3; 5
+) Đường thẳng d đi qua M2;1;7 và có chỉ phương u d1; 2;1
+) Quan hệ: Đường thẳng P Đường thẳng cắt cả d và d
Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng
1
2
P
M N
Trang 8Lời giải:
Gọi là điểm thuộc đường thẳng Vì đường thẳng cắt d và nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qua giao điểm của d và (P) Tọa độ giao điểm là nghiệm
của hệ:
3 5 6 0 14
3 5 6 0
x y z
Đường thẳng P suy ra u n P
Đường thẳng vuông góc d suy ra u u d
Tù đó suy ra u n uP; d ( 13;6;1)
phương trình tham số của đường thẳng:
181 13
89 6
z t
2.3.2 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng
Các giả thiết thường gặp
+ Mặt phẳng chứa hoặc song song với đường thẳng thì ua nP
+ Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thì nQ nP
Ví dụ 6: Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm (2; 1;3), (4;0;1), ( 10;5;3)A B C
Hướng dẫn: Xác định VTPT của mặt phẳng cần tìm.
Vì ( ) đi qua A, B nghĩa là ( ) chứa AB suy ra n AB
Vì ( ) đi qua A, C nghĩa là ( ) chứa AC suy ra n AC
Từ đó suy ra n AB AC ;
Lời giải:
Ta có: AB(2;1; 2) ; AC ( 12;6;0)
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là : n AB AC ; (12;24;24)
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm (2; 1;3)A
ptmp ( ) là: 12(x 2) 24( y1) 24( z 3) 0 x2y2z 6 0
Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 x3y 4z 2 0 và điểm (0;2;0)A Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua OA và vuông góc với
( )
Hướng dẫn: Tìm VTPT của mặt phẳng
Trang 9Vì mặt phẳng ( ) đi qua OA suy ra n OA
Vì mặt phẳng ( ) vuông góc với ( ) suy ra n n
Từ đó suy ra n n OA;
n n
Lời giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng ( ) là: OA (0;2;0), n (2;3; 4)
vtpt của mặt phẳng ( ) là : n OA n ; ( 8;0; 4)
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm (0;0;0)O
ptmp ( ) là: 8 x 4 z 0 2 x z 0
Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm không đồng phẳng
(4;1;4), (3;3;1),
A B C(1;5;5), (1;1;1)D Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua
ABvà song song với CD.
Hướng dẫn: Tìm VTPT của mặt phẳng
Vì ( ) đi qua A, B nghĩa là ( ) chứa AB suy ra n AB
Vì ( ) song song với C, D nghĩa là ( ) chứa CD suy ra n CD
Từ đó suy ra n AB CD ;
Lời giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng ( ) là: AB ( 1;2; 3), CD(0; 4; 4)
vtpt của mặt phẳng ( ) là : n AB CD ; ( 20; 4;4)
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm (4;1;4)A
ptmp ( ) là: 20( x 4) 4( y 1) 4( z 4) 0 5x y z 17 0
Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz , cho 2 đường thẳng
:
2
x t
d y t
z t
và
1 2 '
': '
1 '
d y t
Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và song song với
'
d
Hướng dẫn: Tìm VTPT của mặt phẳng
Vì ( ) chứa đường thẳng d nghĩa là n u d
Vì ( ) song song với d’ nghĩa là n u d'
Trang 10Từ đó suy ra n u ud; d'
Lời giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng ( ) là: ud (1;1;2),ud' ( 2;1;1)
vtpt của mặt phẳng ( ) là: n u ud; d' ( 1; 5;3)
Mặt khác d đi qua điểm 0(0;0;0) nên mặt phẳng ( ) đi qua điểm (0;0;0)O
ptmp ( ) là: x 5y3z 0
Ví dụ 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x 2y2z 1 0 , đường thẳng
Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa d và
vuông góc với mặt phẳng ( )
Hướng dẫn: Tìm VTPT của mặt phẳng
Vì (P) chứa đường thẳng d nghĩa là n P u d
Vì (P) vuông góc với ( ) nghĩa là n n P
Từ đó suy ra nP u nd;
Lời giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng ( )P là: ud (2; 3;2), n (1; 2;2)
vtpt của mặt phẳng ( )P là: nP u nd; ( 2; 2; 1)
Mặt khác d đi qua điểm M(1;3;0) nên mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;3;0) M .
ptmp ( )P là: 2( 1) 2( 3) 1( 0) 0 2 2 x y z x y z 8 0
Ví dụ 11: Trong không gian Oxyz , cho 2 mặt phẳng ( ) : x2y z ,5 0 ( ) : 2 x3y 7z 4 0 và điểm (7;4; 1)A Viết phương trình mặt phẳng ( )P
đi qua A và vuông góc với 2 mặt phẳng ( ), ( )
Hướng dẫn: Tìm VTPT của mặt phẳng
Vì (P) vuông góc với ( ) nghĩa là n P n
Vì (P) vuông góc với ( ) nghĩa là n n P
Từ đó suy ra nP n n;
Lời giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳng ( )P là: n (1;2; 1), n (2;3; 7)