Ứng dụng hình học giải tích để tính góc trong các bài toán hình học không gian vận dụng, vận dụng cao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐỂ TÍNH GÓC TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO Ng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐỂ TÍNH GÓC TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO

Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Quảng Xương II

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

1.1 Lý do chọn đề tài 1

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 16dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Các SKKN đã được Sở GD&ĐT Thanh Hóa xếp loại 19

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ mộtvai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩnăng giải toán, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con ngườilao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo,bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên trong quá trìnhgiảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11, 12 rất e ngại học môn hình học khônggian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính vì thế mà có rấtnhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khókhăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tậphình học không gian

Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt

ra phương hướng giải quyết Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìmcác cách giải quyết khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới

lạ thì lại càng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê học toán

Hiện nay trong các đề thi tốt nhiệp THPT, đề thi chọn học sinh giỏithường xuất hiện bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở đó lờigiải đòi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian như:chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc vàkhoảng cách, tính thể tích khối đa diện… Việc tiếp cận các lời giải đó thực tếcho thấy thật sự là một khó khăn cho học sinh, nhất là học sinh có lực học trungbình và học lực khá Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình

mà chỉ dừng ở mức độ tính toán thì rõ ràng phương pháp tọa độ (hình học giảitích) tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã được công thức hóa Vớinhững lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến

hành thực hiện đề tài sáng kiến cho năm 2021 với nội dung: “Ứng dụng hình học giải tích để tính góc trong các bài toán hình học không gian vận dụng, vận dụng cao”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Với việc nghiên cứu đề tài sẽ giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng họcsinh học ở mức độ khá, giỏi kể cả trung bình có thể tính được các bài toán vềgóc một cách dễ dàng thông qua công thức có sẵn

- Thông qua SKKN này sẽ bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹnăng giải toán, học sinh sẽ dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sángtạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới

- Nâng cao khả năng tự học và khả năng giải các bài toán vận dụng, vậndụng cao trong quá trình ôn luyện và trong các kỳ thi học sinh giỏi

- Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các emhọc sinh có một cái nhìn toàn diện hơn về phương pháp ứng dụng hình học giảitích trong HHKG

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Các bài toán tính góc vận dụng, vận dụng cao trong các đề thi

- Các học sinh có trình độ khá, giỏi lớp 12 trường THPT Quảng Xương Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS)

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức một số tiết dạy)

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra của họcsinh và đối chứng)

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi kiếnthức được trình bày trong Sách giáo khoa Hình học 12 chuẩn và nâng cao(chương III), các ví dụ được tổng hợp từ các bài tập trong Sách giáo khoa vàSách bài tập, các bài toán lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏicác cấp

Các kiến thức cần nhớ

a Góc của hai đường thẳng

b' a'

O A

 a



Để ứng dụng hình học giải tích khi tính góc trong các bài toán hình học không

gian tổng hợp ta có “Ba bước cơ bản” sau đây:

+ Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp

+ Xác định tọa độ các điểm liên quan

+ Chuyển bài toán hình không gian tổng hợp về bài toán tương ứng trong không gian tọa độ và vận dụng các công thức thích hợp (chứng minh vuông góc, song song, tính thể tích, góc, khoảng cách…)

Khi dạy học vấn đề này cho học sinh, giáo viên cần lưu ý học sinh một số kinhnghiệm khi chọn hệ trục tọa độ

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Về phía học sinh.

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán lớp 12, tôi nhận thấy khi dạy vềtính góc trong các bài toán HHKG, những câu ở mức độ nhận biết, thông hiểuđơn giản học sinh đều nắm được cách giải Tuy nhiên, khi gặp những câu vậndụng, vận dụng cao thì học sinh bị bế tắc, không định hướng được cách giải Cáccâu dạng này, phần lớn là phức tạp và hầu như không được giải theo cách thôngthường, đòi hỏi học sinh phải có tư duy rất tốt mới phát hiện được vấn đề đểgiải

Về sách giáo khoa.

Sách giáo khoa chỉ đơn thuần đưa ra các ví dụ về các câu tính góc đơn

giản, không đề cập đến những câu vận dụng, vận dụng cao, vì vậy học sinh gặprất nhiều khó khăn khi đối mặt với những câu này trong các đề thi thử hoặc thihọc sinh giỏi Đặc biệt tài liệu chuyên sâu về dạng toán này ít, không chỉ rõ cácdạng toán thường gặp, các hướng đề thi có thể ra

Về phía giáo viên.

Với sức ép của chương trình, qui chế chuyên môn, thời lượng thực hiệnchương trình sát sao, đã làm cho giáo viên chỉ đủ thời gian truyền tải các nộidung trong sách giáo khoa, ít có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần

mở rộng chủ yếu ở các tiết phụ đạo, bồi dưỡng

Trước khi tôi thực hiện đề tài này thì kết quả các bài kiểm tra chuyên đề

“Góc” trong hình học không gian của học sinh lớp 12 trong hai năm học liêntiếp của trường THPT Quảng Xương II được thể hiện qua bảng sau:

 Chọn điểm A thuộc đường thẳng a

d, ) ( , )



Sốlượng Tỷ lệ

2020-2021 12A112A2 4444 1010 23 %23 % 1815 41 %34 % 1619 36 %43 %

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các giải pháp: Trong giảng dạy tôi thực hiện như sau:

- Dùng hệ thống câu hỏi gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cũng nhưphương pháp tổng quát hóa bài toán

- Khai thác, phát triển tính chất của bài toán tương tự

- Ra đề toán theo hướng mở với kiểu câu phát hiện sáng tạo, học sinh cóthể trên cơ sở bài toán tổng quát tự mình ra được những bài toán khác nhau

2.3.2 Nội dung: Tôi xin trình bày một số ví dụ và các bài tập tự luyện.

Dạng 1 Góc giữa đường thẳng và đường thẳng

Tìm hai véc tơ chỉ phương u u 1, 2

của hai đường thẳng d d Khi đó góc giữa1, 2

hai đường thẳng d d xác định bởi 1, 2  1 2 1 2

1 2

.cos d d, u u

u u



 

 

Ví dụ 1 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA, OB, OC

đôi một vuông góc và OA OB OC a   Gọi M là trung điểm cạnh AB Góc

tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng

a

a a

Nhận xét: Việc sử dụng phương pháp tọa độ vào việc giải bài toán trên ta có

cách làm đơn giản dễ hiểu và có thể dùng cho mọi đối tượng học sinh Qua ví

dụ đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa là điều kiện đôi một vuông góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của đa diện, thông thường điều kiện này được ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho trước Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa mãn nên trong một

số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách khéo léo hơn Ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông Cho tam giác SAB vuôngtại S và góc SBA bằng 300 Mặt phẳng SAB vuông góc mặt phẳng đáy Gọi

Trong SAB , kẻ  SH AB tại H

A

D S

30; ;

5 C

5arccos

3 D

15arccos

Tìm véc tơ chỉ phương u của đường thẳng d và tìm véc tơ pháp tuyến n củamặt phẳng ( )P Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )P xác định bởi

Ví dụ 4 (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

Gọi I hình chiếu của M lên ABCD ,

suy ra I là trung điểm của AO

Suy ra    

27

36

A 3 5

2 5

5

55.10

Lời giải Chọn A

Đặt không gian Oxyz với A O (0;0;0), AB Ox AD Oy AS Oz ,  , 

3 ( )

SAC SAC

Nhận xét: Nếu so với cách tổng hợp trong việc tính góc giữa đường thẳng và

mặt phẳng thì lời giải trên rõ ràng và trực tiếp hơn, dễ hiểu hơn kể cả với học sinh học ở mức độ trung bình.

n n



 

 

Nhận xét: Theo phương pháp tổng hợp việc tính góc giữa hai mặt phẳng hoàn

toàn không dễ, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức HHKG rất tốt và thường chỉ những học sinh giỏi mới làm được Tuy nhiên lời giải bằng tọa độ sẽ rất ngắn gọn, trực tiếp, và kể cả những học sinh khá cũng sẽ làm được câu này.

Ví dụ 6 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019)

Cho hình lập phương ABC A B C DD ' ' ' ' có cạnh a Góc giữa hai mặt phẳng

Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông a 1.

Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB CD, Vì SAB là tam giác đều và

Ví dụ 8 (Kinh Môn Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi

M là trung điểm cạnh SD Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng  AMC và

  

525

 Suy ra tan 5

5

Ví dụ 9 (Chuyên Hà Tĩnh 2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có A ABC là

tứ diện đều cạnh a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB Tính tancủa góc giữa hai mặt phẳng  ABC và  CMN 

Ví dụ 10 (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O Gọi

I là tâm của hình vuông A B C D    và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho

85 C

6 85

85 D

17 13

.65

Lời giải

Chọn D

Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho (0;0;0),A B(1;0;0), D(0;1;0) và A(0;0;1)(nhưhình vẽ)

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC D ):

Lời giải

Chọn B

Do ABCD A B C D     là hình hộp chữ nhật nên A C' ' là hình chiếu vuông góc của'

A C trên (ABCD) ( ' ,(A C ABCD)) ( ' , ' ') A C A C CA C' ' 30  0

Kết hợp với giả thiết ta được ABB A' ' là hình vuông và có H là tâm

Gọi E F, lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên A D A A' ', '

a AK

Các bài tập tự luyện:

1 Cho hình chóp S ABC có SA^(ABC) và tam giác ABC vuông tại B

SA a ,AB=a BC, =a 2.Gọi I là trung điểm BC Cosin của góc giữa đườngthẳng AI và SC là?

2 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểmđối xứng của D qua trung điểm SA Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE

và BC Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng

4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB=4, ÐBAD=600,

M là trung điểm của cạnh BC; điểm S thay đổi sao cho tam giác SAB cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính sin của góc lớn nhất tạo bởi đường SM và mặt phẳng (SAD )

5 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ¢ ¢ ¢ có tất cả các cạnh bằng a. Điểm M và N

tương ứng là trung điểm các đoạn AC BB¢, . Tính Côsin góc giữa đường thẳng

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

- Sáng kiến kinh nghiệm này đã giúp cho tôi và các đồng nghiệp thực hiện tốtnhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duylogic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp cácbài toán tính góc HHKG khó trong các kỳ thi

- Học sinh thấu hiểu phương pháp để có thể tự xây dựng một lớp các bài toántìm góc có cùng hướng giải

- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khá vàgiỏi lớp 11, 12 THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy mônToán

- Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số bài toán thường gặptương ứng các bài tập tự luyện Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong cácnăm học 2019-2020, 2020-2021 khi giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình

và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải các bài toán tìm góc trong các bàiHHKG tổng hợp Các em hứng thú và đam mê học tập phần kiến thức này hơn,

ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình khá trởlên cũng đã có kỹ năng giải các bài tập loại này Học sinh biết áp dụng tăng rõrệt Cụ thể sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và

có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tralại chuyên đề về góc như sau:

Sốlượng Tỷ lệ

- Sau nhiều năm giảng dạy và thực tế kiểm nghiệm tôi nhận thấy nâng cao

hứng thú học tập cho học sinh (qua nhiều con đường) là một việc làm rất cầnthiết từ đó góp phần phát triển năng lực tự học, tự khám phá, sáng tạo cho họcsinh và đây cũng là xu thế của dạy học hiện đại Các bài toán của chuyên đề đãthể hiện rõ mục đích và đạt kết quả này (phù hợp với đổi mới dạy học)

- Đề tài đã khai thác được các dạng bài toán tìm góc trong HHKG có thểứng dụng hình học giải tích (phương pháp tọa độ) để chúng ta có thể thấy đượccác tính chất, các cách chứng minh,… được mở rộng, được liên hệ với nhau mộtcách khá lôgic giúp cho việc dạy và học toán có hiệu quả hơn, kiểu tư duy nàyđược áp dụng trong thực tế giảng dạy và học tập tùy theo yêu cầu của chươngtrình, của người học, người dạy mà ta lựa chọn bài tập phù hợp Trong việc dạytoán ở Trường THPT Quảng Xương 2, tôi đã vận dụng kiểu tư duy này để dạycho nhiều đối tượng, nhất là trong việc ôn tập cho học sinh khá, giỏi Hình thànhcho học sinh thói quen nhận dạng, tìm tòi hướng giải, tổng quát hóa thành cácdạng, sáng tạo trong học tập

- Để hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhất là việc ứng dụng trong việc giảngdạy và học tập tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp rút kinh nghiệmcủa các đồng nghiệp để bài viết thêm đầy đủ, chất lượng

3.2 Kiến nghị:

- Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng học sinh rất ngại khigiải các bài toán tìm góc vận dụng, vận dụng cao phức tạp Vì vậy, để giúp họcsinh có hứng thú học phần này và thấy được tầm quan trọng của nó, giáo viêncần lựa chọn hệ thống bài tập phù hợp, đề ra giải pháp khi giải các bài toántương tự và có thể hướng dẫn học sinh khái quát hóa thành các dạng Đưa cácbài toán phức tạp về bài toán đơn giản hơn đề học sinh thấy quen thuộc và giảichúng được dễ dàng Giáo viên cũng cần tách lọc các đối tượng học sinh để từ

đó có phương pháp dạy học phù hợp

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên cónhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứuhọc tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủsách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm đểlàm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

- Học sinh cần tăng cường trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng họctập

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc Phương pháp giải toán hình

học NXB Đại học sư phạm, 2004.

2 Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (Tổng chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức

Huyên Hình học 12 NXB Giáo dục, 2008.

3 Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân Bài tập hình học

11 – Nâng cao NXB Giáo dục, 2007.

4 Bộ GD&ĐT Tài liệu tập huấn Dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả học tập

theo định hướng phát triển năng lực học sinh môn Toán Hà Nội, 2014

5 Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (Tổng chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn

Hà Thanh, Phan Văn Viện Sách giáo viên hình học 11 NXB Giáo dục, 2007.

6 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương (Tổng chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Lê

Huy Hùng Sách giáo viên hình học 12 – Nâng cao NXB Giáo dục, 2008.

7 Các đề thi thử các trường trên cả nước (nguồn internet)