Ứng dụng định lý lagrange để giải bất phương trình,bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Như ta đã biết bất phương trình, bất đẳng thức đều được xây dựng trên cơ sở của khái niệm hàm số, chính vì vậy mà một trong những phương pháp giảikhông thể thiếu chúng của các dạng toán

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝLAGRANGE ĐỂ GIẢI

BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Người thực hiện: Lê Thị Hương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN 4

3 Các SKKN đã áp dụng để giải quyết vấn đề 4

3.2 Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình 53.3 Ứng dụng định lý Lagrange để chứng minh bất đẳng thức 83.4 Ứng dụng định lý Lagrange để tìm GTLN- GTNN biểu thức 14

4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động dạy học, với bản thân, đồng

Phần I - MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình giảng dạy bộ môn Toán học ở bậc trung học phổthông các bài toán bất phương trình và bất đẳng thức chiếm một vị trí rất quantrọng, xuyên suốt chương trình của ba khối lớp Bên cạnh đó là sự phong phú vềdạng toán, từ bất phương trình, bất đẳng thức ở lớp10, bất phương trình lượnggiác ở lớp 11 đến bất phương trình mũ, logarit ở lớp 12 Phương pháp để giảiquyết các dạng bài toán đó cũng rất phong phú Đã có rất nhiều ý tưởng độc đáo

và bất ngờ được phát hiện để giải quyết những bài toán về bất phương trình, bấtđẳng thức tạo nên sự hấp dẫn của toán học đối với người học cũng như người dạy

Như ta đã biết bất phương trình, bất đẳng thức đều được xây dựng trên cơ

sở của khái niệm hàm số, chính vì vậy mà một trong những phương pháp giảikhông thể thiếu chúng của các dạng toán trên chính là sử dụng đạo hàm tronggiải toán

Cách sử dụng đạo hàm trong giải toán đã xuất hiện ở rất nhiều tài liệu,từchuyên đề hàm số đến các chuyên đề về bất phương trình và trong các đề thi đạihọc, thi học sinh giỏi các cấp tuy nhiên vẫn chưa toàn diện Hệ thống bài tậptrong các chuyên đề đó chưa hoàn chỉnh, còn rời rạc; việc khai thác và khắc sâu

ý tưởng trong bài giải còn chưa triệt để Điều đó gây khó khăn cho học sinhtrong việc hình thành cho mình những phương pháp giải hoàn chỉnh đối với cácdạng bài toán về bất phương trình và bất đẳng thức

Định lý Lagrange và ứng dụng của định lý này trong chương trình toán học trong chương trình toán học phổ thông rất đa dạng và phong phú, đặc biệt làtrong các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình, giải phương trình,chứng minh bất đẳng thức,

Tuy vậy, trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT thìnhững ứng dụng này chưa được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ Trướcđây định lý Lagrange được trình bày trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 nhằmmục đích làm cơ sở để chứng minh một số định lý liên quan đến tính đồng biến,nghịch biến của hàm số Hiện nay, sách giáo khoa môn toán trong chương trìnhTHPT không đề cập đến định lý này nữa nhưng trong các đề thi học sinh giỏivẫn xuất hiện các bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giảibất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, mà định lý Lagrange là mộtcông cụ hiệu quả để giải quyết các dạng toán trên Có một số bài toán nếu giảibằng các phương pháp thông thường thì lời giải sẽ dài và phức tạp nhưng nếu ápdụng định lý Lagrange thì sẽ cho lời giải ngắn gọn và dễ hiểu

Hơn nữa, với đối tượng học sinh khá, giỏi thì việc tiếp cận định lý nàykhông phải là vấn đề khó mà trái lại thông qua quá trình vận dụng định lýLagrange để giải bài tập và sáng tác các bài tập mới học sinh được rèn luyện khả

năng tư duy, sử dụng kiến thức một cách linh hoạt, tạo cho các em hứng thú tìmtòi, khám phá tri thức và phát huy tính chủ động, sáng tạo trong việc học

Xuất phát từ thực tế cần có một hệ thống các bài tập theo chuyên đề hoànchỉnh để giải các dạng bài toán về bất phương trình và bất đẳng thức tôi đã tậphợp, bổ sung và sắp xếp các bài toán dạng này theo một hệ thống rõ ràng; tạothuận lợi cho người học ghi nhớ và vận dụng để giải các bài tập tương tự Quathực tế giảng dạy, cách làm này thu được kết quả rất đáng ghi nhận nên tôi đã

viết thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: ‘’Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình,bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức’’.

Để cung cấp cho các thầy cô đồng nghiệp của mình cũng như các em học sinhđặc biệt là học sinh khá, giỏi những kiến thức cơ bản về định lý Lagrange để giảitoán.Tôi rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung thêm của các bạn đồng nghiệp

để đề tài được hoàn thiện hơn; góp phần giúp giáo viên và học sinh chúng ta tiếntới cái “chân thiện mỹ” của Toán học

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm trong việc giải cácbài toán về bất phương trình và bất đẳng thức Từ đó đạt kết quả cao trong quátrình học toán nói chung và trong giải bất phương trình và bất đẳng thức nóiriêng

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Các dạng toán bất phương trình, bất đẳng thức trong chương trình toánphổ thông đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, các kỳ thi chọn họcsinh giỏi

- Phạm vi nghiên cứu: Phân loại các dạng toán thường gặp và phươngpháp giải mỗi loại

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứutôi đã sử dụng các phương pháp sau

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát: Công việc dạy – học của giáo viên và học sinh

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn: Lấy ý kiến giáo viên và học sinhthông qua trao đổi trực tiếp

- Phương pháp thực nghiệm

Phần II: NỘI DUNG

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài.” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông đặc biệt là bộ môn Toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sốngcủa con người Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng

Muốn học tốt môn toán học sinh cần phải nắm vững những tri thức khoahọc ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào từngdạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải

có tư duy lôgic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán có hệ thống trong chương trình phổ thông, sự liên hệ logicgiữa các mảng kiến thức trong chương trình phổ thông Vận dụng lí thuyết vàolàm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải

Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 chỉ nêu một số cách giải các bấtphương trình, bất đẳng thức một cách đơn giản Việc sử dụng đạo hàm chỉ dừnglại ở bài toán khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số, còn ứng dụng đạo hàm trong việcgiải các bài toán sơ cấp thì chưa được sử dụng nhiều và hầu như học sinh vậndụng còn hạn chế và chưa linh hoạt, song các đề thi đại học, cao đẳng và thi họcsinh giỏi gần đây việc giải các bài toán có sự ứng dụng của đạo hàm rất nhiều.Đặc biệt là ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về bất phương trình, bất đẳngthức giúp cho học sinh giải một số bài toán sẽ đơn giản hơn

2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy ứng dụng của đạohàm trong giải các bài toán cấp THPT là rất đa dạng, đặc biệt là trong giải cácbất phương trình vô tỉ, mũ, lôgarit…nhưng học sinh chưa sử dụng nhiều kiếnthức này để giải toán vì

- Đạo hàm là phần kiến thức mới đối với học sinh, gắn với toán học hiệnđại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11 Trong khi đó từcấp Trung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bàitoán về giải bất phương trình và bất đẳng thức …và đã quen sử dụng cácphương pháp giải toán đại số để giải

- Số lượng các bài toán giải bất phương trình và bất dẳng thức nêu trênxuất hiện ngày càng nhiều trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, kỳ thi họcsinh giỏi và phương pháp giải chủ yếu là dùng đạo hàm

3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Để giúp học sinh giải tốt các bất phương trình trong các kì thi, giáo viêncần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt các phương phápnhư: Các phương pháp biến đổi đại số đã học ở lớp 10, phương pháp sử dụngtính đơn điệu của hàm số để giải

Ở đây, tôi chỉ đề cập đến một vài khía cạnh nhỏ trong việc giải bấtphương trình và bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương

pháp ứng dụng đạo hàm và định lý Lagrange để giải bài toán:’’ Ứng dụng định

lý Lagrange để giải bất phương trình, bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức’’

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE 3.1 Nội dung định lý Lagrange:

Nếu f x là hàm liên tục trên đoạn   a b , có đạo hàm trên khoảng;  a b; 

và f a f b  thì tồn tại ca b;  sao cho  

Hệ quả 2: Nếu hàm số f x( )có đạo hàm trên a b;  và f x( )vô nghiệm trên a b;  thì f x( )có nhiều nhất một nghiệm trên a b; .

Hệ quả 3: Nếu f x( )có đạo hàm trên a b;  và f x( )có nhiều nhất n nghiệm ( n là số nguyên dương) trên a b;  thì f x( )có nhiều nhất n 1 nghiệm trêna b; 

- Bước 3: Từ đó biến đổi đưa về hệ thức cần chứng minh

3.2 Ứng dụng định lý Lagrange trong việc giải bất phương trình 3.2.1 Nội dung ứng dụng

Giả sử cho bất phương trình f x  0  f x  0,f x  0; f x   Trước hết ta 0tìm nghiệm của phương trình f x   0 dựa vào vận dụng định lý Lagrange và các hệ quả của nó Sau đó dựa vào tính liên tục của f x  trên tập xác định để suy ra dấu của f x  trên các khoảng, từ đó chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình

- Giả sử nghiệm của f x   0 là x x x1, 2, 3, , xn

và x x1 2  xn. Ta dựa vào tính liên tục của f x  để suy ra dấu của f x  trên các khoảng ( ,x x1 i1 ),i 1, ,n,

từ đó chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình trên

x   

  Đặtf x   1 x  5x4 x3  x 3, bấtphương trình trở thành f x   0, do đó

biệt.Ta lại có f 0 f  1 0, suy ra phương trình f x   0 có đúng hai nghiệm

là x0; x 1

Do f x liên tục trên

4

;1 5

D   

 nên f x  liên tục trên các khoảng

4

;0 5

Vậy nghiệm của bất phương trình là x  0;1

Ví dụ 2 Giải bất phương trình 2 logx 2 x    1 1 0 

Lời giải Tập xác định của bất phương trình D    1; 

Ta thấy f x 0 vô nghiệm, suy ra f x có nhiều nhất một nghiệm, từ đó suy

ra f x   0 có không quá hai nghiệm phân biệt

Ta lại có f  0 f  1 0 , suy ra f x   0 có hai nghiệm là x0; x Do 1 f x liên tục trên D     1;  nên f x  liên tục trên các khoảng 1;0 ; 0;1 ; 1;     

và f x  giữ nguyên dấu trên các khoảng đó Ta có

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1;01;.

sinx1 cos3 x sinx3cosx1 3 cos cosx x1

có nghiệm x 5 (Radian) không? Tại sao?

Lời giải: Bất phương trình tương đương với

F x

x x

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f t  trên đoạn  x x , 1 , tồn tại

hàm trên khoảng a b; ) Thông thường ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh vềdạng

3.3.2 Dạng toán ứng dụng

Chứng minh bất đẳng thức A B C  mà trong đó A B C; ; có sự tham giacủa hàm số f nào đó, trong đó f là hàm số liên tục trên đoạn a b; , có đạo hàmtrên khoảng a b; 

- Chọn và xét hàm số f x( ) thỏa mãn các điều kiện của bài toán Sau đó,

sử dụng định lý Lagrange, ta suy ra tồn tại c( ; )a b

sao cho( ) ( )

Do hàm f x( )liên tục trên a b;  và có đạo hàm trên a b;  với 0 a b  nêntheo định lý Lagrange tồn tại c (a ; b)

Áp dụng định lý Lagrange đối với hàm số g t  lnt trên x x ; 1 , thì tồn

tại c ( x; x+1) sao cho

a Với  x a b;  Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số y g x  trên đoạn

a x; , tồn tại ca x;  sao cho

b a

Áp dụng định lý Lagrange, tồn tại cn1;n sao cho

1 Chứng minh a b b a  với mọi 1 a b , 0.

2 Chứng minh rằng x y,   ta có sinx siny  x y

2 cos cos cos

6 Cho a b c, , là những số thực dương Chứng minh rằng

3 4.Ứng dụng định lý Lagrange trong tìm GTLN, GTNN của biểu thức 3.4.1 Nội dung ứng dụng

Để dùng định lý Lagrange tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất(GTNN) của một biểu thức, ta phải chọn được hàm số g t  thỏa mãn các điềukiện của định lý Lagrange, sau đó áp dụng định lý Lagrange kết hợp với các giảthiết của bài toán để đánh giá biểu thức cần tìm GTLN, GTNN

3.4.2 Dạng toán được ứng dụng

Tìm GTLN, GTNN của hàm số yf x( ) trên tập xác định x D

3.4.3 Cách giải.

- Chọn và xét hàm số g t  thỏa mãn các điều kiện của bài toán

- Sau đó, sử dụng định lý Lagrange, ta suy ra tồn tại c( ; )a b

sao cho:

( ) ( ) '( ) g b g a ;

  

x x

4

a b c 

và

1.

a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P31 3 a2 31 3 b2 31 3  c2

Lời giải Không mất tính tổng quát, ta giả sử a b c  , do đó

Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạngphương trình, hệ phương trình như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫnhọc sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán để lựa chọn phương pháp phù hợptrên cơ sở giáo viên đưa ra ứng dụng của định lý Lagrange để học sinh có công

cụ để giải toán

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bàitập và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung họcchuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trìnhbày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó

4.2 Kết quả thực nghiệm:

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2020-2021

Sau khi đưa chuyên đề trên vào thực tế giảng dạy trong lớp tôi thu được kết quả trong 2 lần kiểm tra đánh giá như sau

Thời gian kiểm

13(32,5%)

5(12,5%)Sau khi áp dụng

chuyên đề

(30%)

18(45%)

10(25%)

0(0%)Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặcbiệt là khi giải bài toán bât phương trình và bất đẳng thức các em đã hiểu bảnchất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó làviệc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

Phần III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụnggiải bất phương trình và bất đẳng thức

Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họabằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập vớicác mức độ khác nhau để các đối tượng học sinh tiếp cận một cách thuận lợinhất

Bên cạnh ứng dụng trong bất phương trình thì đạo hàm còn có rất nhiềuứng dụng khác trong giải toán như bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán

tìm max,min và bài toán có tham số Chính vì vậy ta có thể mở rộng thêmchuyên đề ứng dụng đạo hàm.

Để việc sử dụng “Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình, bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức ’’ có hiệu quả.

- Giáo viên phải hướng các em xoáy sâu vào trọng tâm của bài học tùyvào từng bài, từng nội dung mà áp dụng những phương pháp giải một cách phùhợp

- Cần phải chú ý đến từng đối tượng học sinh, nên để học sinh tìm tòi,khám phá

- Giáo viên cần chủ động khuyến khích các em làm những bài toán ápdụng từ dể đến khó

- Cho học sinh tự suy nghĩ đưa ra các bài tập bất phương trình, bất đẳngthức bằng phương pháp đạo hàm và công cụ của định lý qua đó giúp học sinh cóhứng thú trong việc tìm ra bài toán

Tuy vậy do nhiều nguyên nhân khác nhau, khách quan và chủ quan nên đềtài không tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định Rất mong nhận được sựgóp ý của đồng nghiệp và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm để tôi hoànthiện hơn nữa nội dung góp phần tích cực vào giáo dục kiến thức cho học sinh

Cuối cùng tôi xin cảm các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý để tôi hoànthiện chuyên đề này

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Người viết:

Lê Thị Hương

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.