Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay trong ôn thi TN THPT ở trường THPT triệu sơn 2

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀIQua thực tế dạy học nội dung ứng dụng của tích phân để tính diện tích củacác hình phẳng và thể tích của các vật thể tròn xoay trong chương trình Giải tíchlớp 12 ở trường

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Qua thực tế dạy học nội dung ứng dụng của tích phân để tính diện tích củacác hình phẳng và thể tích của các vật thể tròn xoay trong chương trình Giải tíchlớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2 tôi thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn.Năng lực tính toán và vận dụng các công thức tính còn hạn chế, khả năng vẽhình và đọc đồ thị của hàm số còn yếu Các em thường vận dụng công thức mộtcách máy móc chưa có sự phân tích, tư duy thực tế và trực quan nên hay bịnhầm lẫn Trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo viết rất ít ví dụminh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục những sai lầmkhi giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích khốitròn xoay

Bài tập về tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trongchương trình Giải tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản và cũng là nộidung quan trọng trong ôn thi TN THPT Tuy nhiên các em học sinh thường chưa

có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giảisai, chưa chính xác Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sailầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhấtquán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng nhưtránh được những sai lầm khi giải các bài toán về tính diện tích hình phẳng vàthể tích vật thể tròn xoay

Xuất phát từ thực tế giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân và ứngdụng ” và dạy học giải toán liên quan đến ứng dụng của tích phân trong tínhdiện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay cho học sinh lớp 12 Để giúp chohọc sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn 2 khắc phục những khó khăn, sai lầmkhi gặp bài toán thực tế tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể trònxoay, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao.Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn

Toán Đó là lí do tôi chọn đề tài “ Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay trong ôn thi TN THPT ở trường THPT Triệu Sơn 2”.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực tiễn học sinh biết vận dụng một sốkiến thức toán vào giải quyết các tình huống thực tế

Cung cấp hệ thống kiến thức về lý thuyết liên quan đến nguyên hàm, tíchphân, đặc biệt là các kiến thức ứng dụng của tích phân để tính diện tích hìnhphẳng và thể tích của khối tròn xoay mà học sinh đã được học Đưa ra ví dụminh họa (có hình vẽ minh họa cho từng ví dụ cụ thể) có phân tích, kèm hướngdẫn giải chi tiết và trình bày theo các cách khác nhau, rèn luyện cho học sinh kỹnăng vận dụng linh hoạt trong quy trình giải toán, phát huy tính sáng tạo của họcsinh

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Đưa ra các giải pháp để giải quyết các bài toán ứng dụng tích phân tínhdiện tích của hình phẳng và tính thể tích của khối tròn xoay Từ đó áp dụng giảiquyết một số bài toán thực tế.

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Trình bày kiến thức

cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu (Các kiến thức liên quan đến nội dungnguyên hàm, tích phân và đặc biệt chú ý tới các công thức sử dụng tích phân đểtính diện tích, thể tích)

- Trình bày ví dụ minh hoạ, phân tích, hướng dẫn giải, đồ thị minh hoạ củacác ví dụ (Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không cóhình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó)

- Phân tích, nhận xét, hướng dẫn giải (tìm cách giải mới nếu có)

(Hướng dẫn giải, rèn luyện kỹ năng khử dấu giá trị tuyệt đối, phương phápđổi biến số, tích phân từng phần một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng bài tập

cụ thể)

- Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân (Các bài tập vận dụngứng dụng của tích phân giải các bài toán thực tế trong đời sống thường ngày)

- Phương pháp thực nghiệm: Khảo sát, tổng hợp

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Thực hiện Nghị quyết số 29NQ/TW ngày 04/11/2013 của Ban ChấpHành Trung ương Đảng, Nghị quyết số 44NQ/CP ngày 09/06/2014 về Đổi mớicăn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo và Chỉ thị số 16/CT/TTg ngày 18/6/2018của Thủ tướng Chính phủ về đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy

và học, phương pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại, nâng cao chất lượng giáodục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, lối sống, năng lực sáng tạo,tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội

Qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Triệu Sơn 2 bản thân tôi nhậnthấy HS rất cần được tiếp cận các giải pháp để rèn luyện các năng lực vận dụngtoán học vào ứng dụng thực tiễn Chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứngdụng ” lớp 12 là một chương vô cùng quan trọng và có nhiều bài toán có ứngdụng thực tế hay mà học sinh còn lúng túng trong việc tìm hướng giải Vì vậysáng kiến được thực hiện nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán ứng dụng của tíchphân trong hình học Hơn nữa, dạy cho học sinh kiến thức thôi chưa đủ Cần chohọc sinh thấy những tình huống thực tế sẽ được áp dụng ở phần kiến thức màhọc sinh được học và hướng dẫn học sinh giải quyết các vấn đề đó Để câu trảlời của học sinh về câu hỏi: “Học Toán để làm gì ” không đơn giản là: “Học đểbiết”, “Học để thi” mà thấy được việc học toán gần gũi với đời sống hàng ngày,tạo sự hứng thú, sáng tạo trong học tập cho học sinh

Đã từng có rất nhiều sáng kiến làm về ứng dụng của tích phân trong hìnhhọc, nhưng các sáng kiến ấy chỉ đơn thuần là nêu ra kiến thức chung, sau đó lấy

ví dụ minh hoạ mà chưa đưa được các giải pháp cụ thể nào để khắc phục nhữngkhó khăn, hạn chế của học sinh Hoặc có sáng kiến cũng đã đề cập đến rèn luyện

kỹ năng giải toán nguyên hàm và tích phân nhưng cũng chỉ đưa ra hai phươngpháp tính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tínhtích phân từng phần

Khi vận dụng ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế tronghình học, đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn

và có những sai lầm nhất định chẳng hạn: Nếu không có hình vẽ thì học sinhthường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay) dẫn đến khôngtính được diện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể Vì thế học sinh có cảm giác

“xa lạ” so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây (diện tích đagiác, thể tích các khối đa diện)

Ngoài ra hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít

“chưa đủ” để giúp học sinh trực quan Các em thường chỉ nhớ công thức tínhdiện tích hình phẳng ở các lớp dưới với các hình quen thuộc như: diện tích tamgiác, tứ giác, ngũ giác, lục giác… Các công thức tính thể tích các khối như: khốichóp, khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ đã được học trongchương 1 hình học 12

Vì vậy việc học nội dung ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng,thể tích vật thể tròn xoay làm học sinh gặp khó khăn, không phát huy tính linhhoạt sáng tạo, đặc biệt là khả năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “chia nhỏ” hình phẳng để tính, kỹ năng cộng, trừ diện tích, cộng, trừ thể tích

Học sinh thường gặp khó khăn và bị mắc sai lầm trong việc xây dựngcông thức tính từ giả thiết của bài toán và tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt

đối Chẳng hạn, thường áp dụng sai công thức

2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1 Giải pháp 1: Tăng cường rèn luyện kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành.

2.3.1.1 Rèn luyện kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành.

Công thức tính diện tích hình phẳng

Cho hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ) liên tục trên

đoạn , trục hoành và hai đường thẳng ,

sử dụng hai cách làm như sau :

Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bậc nhất”, định lí “dấu của tam

thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức ( )f x , đôi khi phải giải các bất phương

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số yf x( ) trên đoạn a ; b để suy ra

dấu của trên đoạn đó

- Nếu trên đoạn đồ thị hàm số y f x( ) nằm phía “trên” trục hoànhthì f x    0, x a b; 

- Nếu trên đoạn đồ thị hàm số y f x( ) nằm phía “dưới” trục hoànhthì f x    0, x a b; 

Rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp giải một số ví dụ về tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành

Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng

Phân tích: Bài này các em chỉ cần áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng

Cách 2: (Không dựa vào đồ thị)

Nhận xét: không đổi dấu trên đoạn

0

S   x  x x

(đvdt)

Chú ý: Nếu phương trình có các nghiệm thuộc đoạn a b là ; 

không đổi dấu

Khi đó

Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành , trục tung và đường thẳng

phân ta phải chia trường hợp

Cách 1: Dùng đồ thị (Hình phẳng là phần bôi đen)

3 3

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạnbởi đồ thị (C):

và trục hoành

Phân tích: Xác định hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là

nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải: Dùng đồ thị ta thấy hình phẳng là phần bôi đen

, Gọi S là diện tích cần tìm :

Giả sử là diện tích hình phẳng Chọn công thức đúng trong các phương

án cho dưới đây?

S f x x f x x

Lời giải: Chọn B

Nhìn đồ thị ta thấy: Đồ thị cắt trục hoành tại

Trên đoạn , đồ thị ở dưới trục hoành nên

Trên đoạn , đồ thị ở trên trục hoành nên

Biết rằng đồ thị tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ

âm và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây:

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

1 3

và nhận xét dấu của hàm số từ đồ thị cho trước

2.3.2 Giải pháp 2: Tăng cường rèn luyện kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.

2.3.2.1 Rèn năng lực tổng hợp kiến thức tìm hoành độ giao điểm của hai

4

54

Cho hai hàm số có đồ thị là (C1), có đồ thị là (C2) Nếuhai đồ thị (C1) và (C2) có điểm chung là điểm thì cặp số là

nghiệm của hệ phương trình (1)

- Hoành độ của điểm M là một nghiệm của phương trình (*)+ Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ của giao điểm của hai đồ thị.+ Phương trình (*) được gọi là PT hoành độ giao điểm của hai đồ thị

Thay vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ củagiao điểm

Ví dụ 8: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số:

Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt ;

2.3.2.2 Rèn năng lực tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.

Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thì hàm số cần rèn luyệncho các em biến đổi theo các bước

+) Bước 1: Tìm hoành độ giao điển của hai đồ thị (bước này thực hiện để tìmcận của tích phân)

+) Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

-3 -2 -1

3 2 1

y x 

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

3 2

Cách 1: Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc) cần tìmlà:

Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

trục tung và đường thẳng Lời giải:

Chọn C.

Diện tích hình phẳng cần tìm là

hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và

Phương trình có nghiệm ; ; nên (*) có dạng

(**)Đồng nhất hệ số ở 2 phương trình (*) và (**) ta được

Kết luận: Giải theo phương pháp tự luận ta có thể vẽ hình và nhìn thấy rõ trên

đoạn : đồ thị hàm số nào nằm trên đồ thị hàm số nào nên có thể phá dấu giá trịtuyệt đối ngay; nếu không vẽ hình, ta đẩy dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài nếu trênđoạn đang xét biểu thức trong dấu trị tuyệt đối không đổi dấu; còn trong trườnghợp giải theo trắc nghiệm, ta chỉ cần bấm máy có cả dấu giá trị tuyệt đối

2.3.3 Giải pháp 3: Tăng cường rèn luyện kỹ năng giải toán tính thể tích vật thể tròn xoay.

- Thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi

quay một hình phẳng giới hạn bởi các đường:

, trục hoành, hai đường thẳng

quanh trục , được tínhtheo công thức:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay

hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f x( ),

( )

y g x= và hai đường thẳng x a = , x b= quanh

trục Ox:

Ví dụ 13: Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng

Hướng dẫn giải

(C)

d

x y

2 -2

4

-3 -4 -1

3 2 1

Cách 1:

Gọi là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

2 3

Ví dụ 14: Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới

Gọi là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

(đvtt).Gọi là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

2.3.4 Một số bài toán ứng dụng thực tế dùng tích phân để giải quyết.

Bài toán 1 Bác An làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất

đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét Giá thuê mỗi métvuông là 1500000 đồng Vậy số tiền bác An phải trả là:

2

1534

x y

Vậy số tiền bác An phải trả là: (đồng)

Bài toán 2 Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc

với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m(hình vẽ) Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu làcác đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ?

S (hình vẽ) Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi

cho hình phẳng giới hạn bởi  P , trục hoành và hai đường thẳng x 0,5 quay

quanh trục Ox

 P O(0;0) A(3;0) B(1,5;2,25)

 P : y  x2 3x

3 2

0

93

2

S   x  x dx

9

Diện tích của 4 cánh hoa:

Diện tích của một cánh hoa:

Ta có hệ pt:

2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục của bản thân

Qua thực tế giảng dạy ở lớp 12B8 và 12B5 năm học 2020 – 2021 tôi đãtrình bày được nội dung đã được chọn lọc trong sáng kiến kinh nghiệm này Cácbài tập được giới thiệu trong các tiết học tự chọn, các tiết luyện tập, ôn tậpchương Bước đầu tạo dựng sự hứng thú trong học tập cho các em Thông quamột số giải pháp trình bày trong sáng kiến chúng tôi thấy rằng có một số ưuđiểm rèn luyện được các kỹ năng sau đây cho học sinh:

- Rèn luyện kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trụchoành

- Rèn luyện kỹ năng tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số Rènnăng lực tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

- Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quaymột hình phẳng quanh trục hoành

- Giải một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân Học sinh có đượchình vẽ trực quan trong các bài toán tính diện tích, thể tích

Các em học sinh đã thấy được phần nào sự gần gũi của toán học trongcuộc sống Thấy được sự muôn màu muôn vẻ của môn toán chứ không đơnthuần là các công thức khô khan, các bài toán rập khuôn và cứng nhắc Các em

đã hiểu được phần nào rằng để giải quyết các vấn đề trong thực tế phải đựa trênnền tảng tri thức khoa học mới có kết quả tốt nhất về mọi mặt, chứ không phải làgiải quyết theo cảm tính, phỏng đoán Giảm tình trạng học đối phó Hiểu được

đã “Học” là phải “Hành” và muốn “ Hành” thì phải “ Học’’

Nhìn lại việc kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh trước và sau khi tôidạy phần này kết quả thu được rất khả quan Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi (đốivới lớp cơ bản D 12B5) và học sinh đạt điểm khá, trung bình (đối với lớp cơ bản

C 12B8) đã tăng lên so với mặt bằng chung và so với lớp dạy theo chương trìnhbình thường Số học sinh yếu kém cũng đã giảm

[8 – 10)

HS đạtđiểm khá[ 6,5 – 8)

HS đạtđiểm TB[5 – 6,5)

HS đạtđiểm yếu[3,5 – 5)

HS đạt điểmkém