Rèn luyện một số kĩ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cho học sinh yếu và trung bình thi tốt nghiệp THPT

Lý do chọn đề tài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một chuyên đề vô cùngquan trọng trong môn Toán lớp 12 và cũng là kiến thức ăn điểm không thể thiếutrong bài thi tốt

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một chuyên đề vô cùngquan trọng trong môn Toán lớp 12 và cũng là kiến thức ăn điểm không thể thiếutrong bài thi tốt nghiệp THPT Nhưng, nó luôn là một bài toán khó đối với học sinhtrung bình và học sinh yếu kém Để nắm vững được kiến thức phần này thực sựkhông đơn giản Hơn nữa từ năm học 2016 – 2017, Bộ giáo dục và đào tạo có sựthay đổi lớn trong kỳ thi THPT Quốc gia trong đó môn Toán được thi dưới hìnhthức trắc nghiệm (hiện nay từ năm 2019 - 2020 là kì thi Tốt nghiệp THPT) Đây làvấn đề khó khăn cho học sinh Vì ngoài việc giải quyết tốt bài toán còn đòi hỏiphản ứng nhanh, tính toán chính xác để đưa ra kết quả nhanh kịp với thời gian quyđịnh Do vậy với bản chất là một dạng toán khó, đòi hỏi sự lập luận, suy luận cao,

tư duy lôgic cộng với việc tính toán nhanh thì đây chính là thách thức đối với họcsinh lớp 12

Với suy nghĩ nhằm nâng cao chất lượng điểm thi môn Toán trong kì thi tốtnghiệp THPT năm học 2020 – 2021, và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng

giảng dạy, vì thế tôi đã quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện một số kĩ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cho học sinh yếu và trung bình thi tốt nghiệp THPT’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học

2020 - 2021 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá củađồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác một

số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trong chương trìnhGiải tích 12 nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho họcsinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của hàm số để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực

Toán học của học sinh, đặc biệt học sinh yếu và trung bình

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sátthực tế dạy học phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ở trườngTHPT Như Thanh II để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng phươngpháp hàm đặc trưng trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoaGiải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản,tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển nănglực học sinh.

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thựcnghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương 1 “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” sách giáokhoa Giải tích lớp 12 đưa ra hai bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củahàm số là:

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên đoạn a b ; 

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, nửa khoảng.Đây là bài toán cơ bản nhất, từ đó giải quyết được khá nhiều các bài tập khác Tuynhiên các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong đềthi Tốt nghiệp THPT lại rất đa dạng Yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức vàphối hợp nhiều kĩ năng như đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị,… Vì vậy, tôi nhận thấymình cần phân dạng bài tập, giúp học sinh dễ dàng giải quyết dạng toán này

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Như Thanh II là một trường nằm ở phía Nam của tỉnh ThanhHóa, đa số học sinh ở vùng đặc biệt khó khăn thuộc vùng 135, là con em dân tộcthiểu số nên điểm đầu vào thấp, đặc biệt điểm môn Toán là rất thấp Tư duy củahọc sinh chậm, điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nênảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để làm tốt, nhanh phần tìm giátrị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏihọc sinh phải có khả năng phán đoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng trìnhbày chặt chẽ và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích dạng toán Nhưng trên thực tếđiều này lại là điểm yếu của không ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn

đến tâm lý chán, ngại làm các dạng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Ôn tập một số kiến thức cần dùng cho học sinh.

+) Bảng đạo hàm của hàm số sơ cấp, hàm số hợp

+) Kiến thức về tính đồng biến nghịch biến của hàm số

+) Kiến thức về cực trị của hàm số

+) Kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2.3.2 Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn

giảm bớt được tối đa thời gian

Dạng 1 Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Bước 1: Hàm số đã cho y f x  xác định và liên tục trên đoạn a b; 

Tìm các điểm x x1, , ,2 x trên khoảng n a b , tại đó ;  f x  hoặc '  0 f x không ' xác định

m 

D m 10

x y

A  0; 

2ax

1

1;12

x x

y  

32

Cho

3 3

M =

C

3.8

3 +∞

x y' y

Sau khi làm bài tập dạng 1 và dạng 2, học sinh nắm vững quy tắc tìm giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, trên một khoảng, nửakhoảng Đặc biệt, tôi nhấn mạnh: Hàm số có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là baonhiêu, đạt được giá trị đó khi nào Đây cũng là kĩ năng quan trọng để làm bài tập ởdạng 3

Dạng 3 Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến thiên

 Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn a b; 

Hàm số f x liên tục trên đoạn   a b và ;  f x i 0,x ia b; 

Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số f x là   M max f a f b f x ,  ,  i 

 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn   a b; 

Hàm số f x liên tục trên đoạn   a b;  và f x i 0,x ia b; 

Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số f x là   m Min f a f b f x   ,  ,  i 

 Hàm số y f x  đồng biến trên đoạn a b thì; 

Ví dụ 1 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho hàm số y f x  xác

định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y f x  trên đoạn 2;2

Dựa vào bảng biến thiên trên 5;7 , ta có: Min 5;7 f x  f  1 2

Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên 5;7 vì lim7   9

x f x

không phải f  7 9

Đáp án: A.

Ví dụ 3 (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn  1;3 và

có đồ thị như hình vẽ bên Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

hàm số đã cho trên đoạn 1;3 Giá trị của M m bằng

Hướng dẫn: Quan sát bảng biến thiên của hàm số trên đoạn 1;2

Trên đoạn 1;2 ta có giá trị lớn nhất M  khi 3 x  và giá trị nhỏ nhất 1 m 0khi x  0

Khi đó M m    3 0 3

Đáp án: C.

Dạng 4 Xác định m để giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x 

trên đoạn a b;  thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bước 1 Tìm nghiệm ,(x i  i 1,2, ) của y 0 thuộc a b; 

Bước 2 Tính các giá trị f x i ;f a f b theo tham số. ;  

Bước 3 So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

đoạn a b ; 

Bước 4 Biện luận m theo giả thuyết của đề bài để kết luận.

Ví dụ 1 (Mã 123 – Đề thi THPT Quốc gia 2017) Cho hàm số





 1

x m y

x (m là tham số thực) thỏa mãn min[2;4] y3

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1

m y

x





 (m là tham số thực) thoả mãn  1;2   1;2 

m y

* Nếu m 1 thì hàm số đơn điệu trên đoạn 1;2 

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0;4 bằng 1] - khi

14

m m m

ì <

ïïï

Vậy các số nguyên m thỏa là 8, 7, 6, 5, 4.

Trường hợp 2: 2 m 6 0  m 3. Khi đó max1 ; 3  1 7

Vậy các số nguyên m thỏa mãn là 2, 1, 0

Trường hợp 3: 2 m 6 0  m3. Khi đó y  Nên 1. max 1 ; 3  y 1

Vậy m  thỏa mãn.3

Kết luận: Có 9 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.



x

  



2 2

10

x

x x

Maxy 2 2





, suy ra m 2 2 2  m 2 Đáp án: C.

Dạng 5 Ứng dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất giải bài toán thực tế.

Ví dụ 1 (Mã 103 – Đề thi THPT Quốc gia 2018) Ông A dự định sử dụng hết

y x

2 x

C

D A

D'

B

C' B'

x y

x

Bảng biến thiên:

3 max

5 30

1,0127

với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển

động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó.

Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhấtcủa vật đạt được bằng bao nhiêu?

A 243 (m/s) B 27 (m/s) C 144 (m/s) D 36 (m/s)

Ví dụ 3 Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu

của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của

bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức   2

11

Ví dụ 4 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở bốn góc của

tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi

gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để

Ví dụ 5 Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB4km

Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC7km Người

canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc

6 km h rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc / 10km h/  (hình vẽ bên) Xác định

khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A đến C là nhanh nhất.

 thời gian đi quãng đường AM là

 2

16 76

30

,

  17415

Vậy GTNN là

  17415

2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

Tôi đã cho 2 lớp làm bài kiểm tra ở hai thời điểm trước tác động (kiểm tra viết

45 phút lần 1 – Phụ lục 1) và sau khi tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 2 – Phụ lục

2, hai đề lần 1 và lần 2 lượng kiến thức tương đương nhau) để thấy được hiệu quảcủa sáng kiến

Kết quả cho thấy điểm trung bình của lớp thực nghiệm so với lớp đối chứng

đã có sự tiến bộ rõ rệt, lớp được tác động 12B1 có điểm trung bình cao hơn lớp đốichứng 12B2

Kết quả thu được là

- Bảng 3 và bảng 4 cho thấy, sau tác động sự chêch lệch giữa điểm trung bìnhcủa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểmtrung bình của lớp thực nghiệm đều cao hơn điểm trung bình của lớp đối chứng làkhông phải ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động

- Qua quan sát thực tế từ việc trực tiếp giảng dạy, tôi thấy học sinh lớp 12B1giải khá nhanh và thuần thục các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số được tôi sưu tầm từ các đề thi thử tốt nghiệp trong tỉnh và của cáctrường THPT trong cả nước Còn lớp 12B2 đa số các em học sinh kỹ năng giải cònchậm, chưa linh hoạt Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiềuđiểm tương đồng nhau về ý thức học tập, đặc biệt là năng lực học tập và kết quảđiểm kiểm tra môn Toán trước khi tác động

- Đã rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số, kỹ năng tính toán, kỹ năng lập bảng biến thiên, kỹ năng đọc bảng biếnthiên và đồ thị; phát huy tính sáng tạo tìm tòi lời giải cho một bài toán, một dạngtoán

- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức, 100%học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết quả cụthể

Từ những kết quả trên tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa

ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học

2.4.2 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao chấtlượng giảng dạy phần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số của bảnthân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà trường

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡđồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoànthành và đạt được những kết quả chính sau đây:

+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của hàm số” cho học sinh ôn thi tốt nghiệp (học sinh trung bình

– yếu) hiện nay

+ Đề tài đã đưa ra các dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củahàm số dành cho học sinh yếu và trung bình ôn thi tốt nghiệp THPT

+ Đề tài đã nêu được các ví dụ điển hình cho các giải pháp

+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở các dạng bài tập quen thuộc

và hệ thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi thử THPT Quốc Gia của cáctrường THPT, của Sở giáo dục ở một số tỉnh, thành phố trên cả nước, các đề thi THPTQuốc Gia để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày tháng năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Người viết

Nguyễn Thị Thủy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo (Tổng biên tập)- Sách giáo khoa môn Toán 10, 12- NXB Giáo

dục- 2011

[2] Vũ Dương Thụy- Nguyễn Bá Kim - Phương pháp giảng dạy môn Toán-NXB