Giúp học sinh học tốt một số bài toán về các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng trong hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC DẠNG THIẾT DIỆN THEO CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ CÁC DẠNG THIẾT DIỆN THEO CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Người thực hiện: Nguyễn Thị Den Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Hậu Lộc 2 SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài………2

1.2 Mục đích nghiên cứu……….2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu………2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……3

2.3 Các giải pháp……… 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……….20

3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận……… 21

3.2 Kiến nghị………21

1

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán về tìm thiếtdiện theo cách xác định mặt phẳng trong hình học không gian là các bài toánkhó, đặc biệt đối với học sinh khi mới bắt đầu tiếp cận với hình học khônggian Những bài toán này yêu cầu tư duy trừu tượng cao và cũng là một phầnkiến thức quan trọng mà nếu học sinh không học được phần này thì khó làmcác bài tập khác có liên quan đến các dạng thường xuyên gặp trong các đề thitốt nghiệp THPT và đề thi học sinh giỏi tỉnh hàng năm Tuy nhiên, các bài tậploại này thường khó, đặc biệt là các câu phân loại trong đề thi tốt nghiệp THPT

và đề thi học sinh giỏi tỉnh Việc tìm ra cách giải và vận dụng cách giải để giảiquyết các bài toán về xác định thiết diện theo cách xác định mặt phẳng gặpkhông ít khó khăn đối với đa số học sinh, nhất là những học sinh có tư duy trừutượng kém

Vì thế để phân loại các dạng bài toán và đưa ra phương pháp giải tươngứng với từng dạng toán cụ thể đã được chứng minh có hiệu quả rất cao trongviệc dạy học sinh học phần hình học không gian này

Chuyên đề này là hệ thống các bài tập có phương pháp giải cụ thể đượcphân loại theo hệ thống Qua đó học sinh sẽ hiểu rõ và nhận dạng được các bàitoán tìm thiết diện theo cách xác định mặt phẳng trong hình học không gian,cũng như biết cách vận dụng phương pháp phù hợp cho từng bài toán cụ thể.Trong chuyên đề cũng có đề cập đến sáu dạng về xác định thiết diện chủ yếu đểgiải quyết các bài tập dạng này và giúp học sinh học tốt hơn phần hình họckhông gian lớp 11, nhất là đối với các em mới tiếp cận với hình học yêu cầu cao

về tư duy trừu tượng này Với lí do trên tôi nghiên cứu đề tài “ Giúp học sinh

học tốt một số bài toán về các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng trong hình học không gian lớp 11”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi học phần bài tập

về xác định thiết diện trong hình học trong không gian lớp 11

Phát triển tư duy trừu tượng, tư duy logic, khả năng phát hiện vấn đề, khảnăng đánh giá và phán đoán của học sinh

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinhphương pháp giải cụ thể từng dạng bài bài về xác định thiết diện theo cách xácđịnh mặt phẳng điển hình trong hình học không gian lớp 11 Hy vọng đề tài nhỏnày sẽ giúp ích cho các bạn đồng nghiệp và các em học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh khối 11 THPT

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

- Về nội dung chỉ tìm hiểu cách giải một số bài toán về các dạng thiết diện theocách xác định mặt phẳng hình học không gian lớp 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp:

- Nghiên cứu lí luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên trong tổ bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm trong thực tiễngiảng dạy

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận.

Hình học không gian lớp 11 là mảng kiến thức rất quan trọng trong mạchkiến thức nghiên cứu về hình học Cụ thể là cung cấp kiến thức để học sinh cóthể tiếp cận được hình học không gian cũng như hình học giải tích trong khônggian; các bài toán liên quan đến xác định thiết diện trong hình học là những kiếnthức nền tảng giúp các em học sinh có thể học tốt hơn các phần hình học tiếptheo Các dạng bài toán này rất quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp và đề thihọc sinh giỏi tỉnh hằng năm

2.2.Thực trạng của vấn đề.

Bài toán về xác định thiết diện trong hình học không gian lớp 11 là mộtmảng kiến thức khá trừu tượng đối với học sinh phổ thông nên việc tiếp cận kiếnthức này là khó đối với đa số học sinh nhất là những học sinh bắt đầu học phầnhình học không gian Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở cấp THPT tôi thấycòn rất nhiều học sinh học tập môn toán một cách thụ động, đối phó; kĩ nănggiải các bài toán còn yếu, đặc biệt là kĩ năng nhận dạng và phân loại các dạngtoán cũng như áp dụng phương pháp phù hợp cho từng dạng toán còn nhiều lúngtúng Nguyên nhân chủ yếu là do học sinh mất căn bản về kiến thức, kĩ năng vàphương pháp giải toán; lại thêm lười học, thiếu ý thức tự học Thực trạng trêndẫn đến: còn nhiều học sinh học trước quên sau nên chưa có hứng thú học tậpmôn Toán, đặc biệt là phần xác định thiết diện trong HHKG lớp 11

Số liệu thống kê trước khi áp dụng SKKN vào dạy

1 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  P qua 3 điểm không thẳng hàng

2 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  P chứa một đường thẳng và song

song với một đường thẳng cho trước

3 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  P qua một điểm và song song vớihai đường thẳng cho trước

4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  P qua một điểm và song song với

một mặt phẳng cho trước

5 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  P chứa một đường thẳng và vuông

góc một đường thẳng cho trước

3

Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta

sẽ được các điểm chung mới của  P với các mặt khác Từ đó xác định được

giao tuyến với các mặt này

Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác

phẳng khép kín ta được thiết diện

Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận.

Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD , M là điểm bất kì nằm trên cạnh SC

(không trùng với S , C), N và P lần luợt là trung điểm của AB AD, Tìm thiếtdiện của hình chóp với (MNP).

Vậy thiết diện là ngũ giác KMQPN

Dạng 2: Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( )P (( )P chứa một đường

thẳng a song song với một đường thẳng b cho trước ( a và b chéo nhau))

@Phương pháp:

Bước 1: Chỉ ra 2 mp ( )P và ( )Q lần lượt chứa hai đường thẳng song song a, b

Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng (có thể dựng thêm cácđường phụ)

Bước 3: Khi đó:   P  Q Mt a b

Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng

( )P với các mặt còn lại của hình chóp.

Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD , ABCD là hình bình hành, M là trung điểmcủa SC , ( )P là mặt phẳng qua AM và song song BD Tìm thiết diện của hìnhchóp khi cắt ( )P

Giải:

Ta có:

K P

N

S

B

D A

C M

K

N I

M

O C

Vậy thiết diện là tứ giác KMNA

Dạng 3: Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( )P qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước:

@Phương pháp:

Bước 1: Tìm điểm M  (P) ∩ (Q)

Bước 2: Chỉ ra mp ( )P  a (hoặc b)(Q) Suy ra giao tuyến ( )P và (Q) là

đường thẳng qua M và song song a(hoặc b)

Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với ( )P bằngcác cách đã biết

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD , ABCD là hình thang (AD song song BC),

M là điểm bất kì thuộc AB và ( )  là mặt phẳng qua M và song song với AD

và SB Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ) 

Vậy thiết diện là hình thang MNKP

Dạng 4: Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( )P đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng ( )P và một mặt phẳng nào đócủa hình chóp

Bước 2: Chỉ ra    P  Q

Tìm a   P  R (b   Q  R ) Khi đó giao tuyến là đường thẳng qua

M song song với a( hoặc b)

5

P K

N

B S

C M

I H

D

A S

Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD ABCD , là hình thang, cạnh đáy AB , CD AB .

  là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (SAD).

Tìm thiết diện của hình chóp với  

Vậy thiết diện là hình thang KMNP

Dạng 5: Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước

Giả sử cần xác định thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( )P đi quamột điểm M và vuông góc với d cho trước

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm hai đường thẳng a và b

cắt nhau cùng vuông góc với d (trong đó ít nhất một đường thẳng đi qua điểm M ).Bước 2: Khi đó ( )P  (a ,b).

Bước 3: Tìm giao tuyến của ( )P với hình chóp bằng các cách đã biết

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận

Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng vuông

góc với d thì ta chọn ( )P song song với a (hay chứa a) và b song song với( )P (hay chứa b) Rồi thực hiện các bước còn lại.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông gócvới mặt phẳng (ABCD) Gọi   là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB.Xác định thiết diện khi   cắt hình chóp S ABCD .

J I

Do   AD BC

Nên     SBC HxBC

Gọi I HxSC

Khi đó     SBC HI

Vậy thiết diện cần tìm là hình thang AHID

Dạng 6: Thiết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc với một mặt phẳng

Bước 1: Chọn 1 điểm A nằm trên đường thẳnga sao cho qua A có thể dựngđược đường thẳng b vuông góc với mp  một cách dễ nhất

Bước 2: Khi đó, mp ( , )a b chính là mp  cần dựng

Bước 3: Tìm giao tuyến của   với hình chóp bằng các cách đã biết

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuônggóc với mặt phẳng(ABCD) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB,CD Gọi( )P là mặt phẳng quaI và vuông góc với mặt (SBC) Tìm thiết diện của hìnhchóp với mặt phẳng ( )P

Vậy thiết diện là hình thang KNIJ

Chú ý: Việc tìm thiết diên của mặt phẳng   với hình lăng trụ được tiến hànhtương tự như đối với hình chóp Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáysong song nhau, nếu   cắt 1 mặt đáy nào thì cuãng cắt mặt đáy còn lại theogiao tuyến song song vơi giao tuyến vừa tìm được

Việc tìm thiết diện của hình lập phương được tiến hành giống như đói với hìnhlăng trụ

Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C , các điểm 1 1 1 M , N lần lượt là

trung điểm của BC và CC 1

Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (A MN 1 )

Vậy thiết diện là tứ giác PMNA 1

II Những khó khăn cơ bản khi giải toán thiết diện và biện pháp khắc phục.

 Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng nào đó chẳng hạn tìmthiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( )P : là ta tìm các giao tuyến của mặtphẳng ( )P với các mặt của hình chóp Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khicắt các mặt của hình chóp bởi mặt phẳng ( )P hình thành một đa giác phẳng, tagọi hình đa giác đó là thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( )P với hình chóp

Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểmcủa mặt phẳng ( )P với các cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến củamặt phẳng ( )P với các mặt của hình chóp

Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phầnlớn bắt nguồn từ những khó trong việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng và các

cạnh của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác định các “đoạn giao

tuyến”(của mặt phẳng và các mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)

 Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta

có thể bắt gặp trong giải toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi choviệc giải toán, vì hình học không gian (HHKG) đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao

mà thiết diện là một vấn đề tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽthích hợp sẽ tăng khả năng tư duy của chúng ta

1 Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào trực giác, thiếu cơ sở từ các định lý hay hệ quả dẫn lời giải sai:

Hình vẽ chưa thể hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bế tắctrong việc tìm lời giải, hay trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai

Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phẳng do vậy khi vẽhình trong HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc…điều này sẽ làm cho các em bị bế tắt khi giải toán HHKG

Ví dụ 1.1: khi vẽ một hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là một hình vuông thì các em mặc nhiên vẽ

hình chóp có đáy ABCDlà hình vuông và có đỉnh là

S

Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu bài toán nhưng việc vẽ

hình như vậy sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải bài

toán

- Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta

có thể hạn chế được Điều này gây nhiều khó

khăn khi giải những bài toán phức tạp

- Thứ hai: cạnh AD là nét khuất nhưng chưa được thể hiện trên hình vẽ

- Thứ ba: giao diện mặt bên SAD quá nhỏ, điều này gây nhiều khó khăntrong việc giải những bài toán mà ta cần kẻ thêm những đường thẳng nằmtrong mặt phẳng đó

A

B S

C

B

D C'

- Thứ tư: đa giác đáy là hình vuông thì được học sinh thể hiện hoàn là mộthình vuông như bên hình học phẳng Nếu đề bài yêu cầu thêm là mặtphẳng SADvuông góc với mặt phẳng đáy thì học sinh khó mà vẽ đượchình đúng như ý mình

Ngoài ra, việc thể hiện những hình vẽ như vậy còn làm cho học sinh mất nhiềuthời gian cho việc vẽ hình

Ví dụ 1.2:

Cho hình lập phương ABCD A B C D     Dựng thiết diện của hình lập phương vớimột mặt phẳng di qua trung điểm M của cạnh DD', trung điểm N của cạnh' '

D C và đỉnh A

Học sinh giải bài toán như sau:

Do hai mặt bên BB A A  và CC D D   song song với nhau nên giao tuyến của haimặt này với mặt phẳng AMN cũng phải song song với nhau Do đó

Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng AMN và mặt phẳng BB A A  

là đường thẳng đi qua A và song song với MN Trực giác cho thấy giao tuyến

đó là đường thẳng AB Điều này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh





AMN  CC D D   MN ; AMN  AA B B   AB

Vậy thiết diện cần tìm chính là hình AMNB

Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng

@ Nguyên nhân:

9

B A

Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai Do bước đầu tiếp xúc vớihình học không gian đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyênluyện tập vẽ hình

Không nắm vững được những khái niêm do dó không thể hiện hết giả thiết dẫnđến không đủ dữ kiện để giải quyết bài toán Các khái niệm HS không nắm vữnghoặc hiểu nhầm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy là tam giác đều”, “hình chóp đều”, “hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều,các mặt bên là hình chữ nhật…)

@ Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong

không gian, rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình trong không gian như: hình chóp( hinh chóp tứ giác đều, hình chóp có đáy là hình vuông,…), hình lăng trụ, hình hộp Giúp học sinh nắm vững khái niệm về các hình trong không gian để

có cách vẽ hình chính xác….

Các quy tắc cơ bản khi vẽ hình trong không gian:

- Dùng nét ( ) để biểu diễn cho những đường nhìn thấy

- Dùng nét ( -) để biểu diễn những đường khuất

- Hai đường thẳng song song (cắt nhau) được biểu diễn thành hai đườngthẳng song song ( cắt nhau )

- Hình biểu diễn của hình thang là hình thang

- Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông làhình bình hành

- Một tam giác ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bấtkì…

Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật

có lợi cho việc quan sát trực giác, điều này giúp ta dễ tìm ra lời giải cho bàitoán

Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác Khi giảimột số bài tập HS thường mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra

2 Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết.

Học sinh thường rơi vào bế tắc không biết bắt đầu từ đâu cho một bài toán tìmthiết diện

Ví dụ 2.1: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông,

SA ABCD Gọi   là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB

Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  

Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc,

không biết bắt đầu lời giải từ đâu, do

không thấy được hình biểu diễn của mặt phẳng  

Nguyên nhân:

Do học sinh chưa nắm được phương pháp chung để

giải các dạng bài tập tìm thiết diện

Giải

Trong mặt phẳng SABdựng AM SB

10