Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán ở phổ thông, quá trình mô hình hóa được thông qua ngôn ngữ toán học như: hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồthị, phương trình, hệ phương trình, sơ đ
Trang 1A SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 KHI DẠY HỌC BÀI TẬP HÀM
SỐ BẬC HAI VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN.
Người thực hiện: Lê Thị Hương Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2021
Trang 22.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4
2.3.2 Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh khi dạy
học bài tập hàm số bậc hai
6
2.3.3 Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh khi dạy
học bài tập hàm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
11
Trang 31 MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
Lịch sử hình thành và phát triển đã cho thấy toán học có nguồn gốc từ thực tế,chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với các nội dung toánhọc Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lý thuyết toánhọc Toán học không phải là một sản phẩm thuần túy của trí tuệ mà được phátsinh và phát triển do nhu cầu thực tế của cuộc sống, trở lại, toán học lại xâmnhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trò là công cụ, toánhọc sẽ giúp giải quyết các bài toán do chính thực tiễn đặt ra
Một trong những lí do mà toán học luôn chiếm thời lượng lớn của chươngtrình giáo dục ở hầu hết các nước trên thế giới là vì lợi ích của toán học trongthực tiễn; toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau trong nhiều mônhọc như vật lí, hóa học, sinh học, địa lí, kĩ thuật, trong công việc và cuộc sốnghằng ngày của mỗi người Chính vì điều này mà khi dạy học toán bên cạnh việccung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên quan đến toán học nhưkhái niệm, định lí, công thức, quy tắc giáo viên cần phải giúp học sinh phát triển
kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải quyết những vấn đề thực tiễn Khi sửdụng toán học để giải quyết vần đề ngoài lĩnh vực toán học thì mô hình toán học
và quá trình hóa toán học là những công cụ cần thiết
Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn
đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học Cụ thể, môhình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn
đề toán học và ngược lại, cùng với các yếu tố liên quan đến quá trình đó như: từbước xây dựng lại tình huống thực tiễn, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, làmviệc trong một môi trường toán học, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đếntình huống thực tiễn và điều chỉnh mô hình cho đến khi có được kết quả hợp lí
Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán ở phổ thông, quá trình mô
hình hóa được thông qua ngôn ngữ toán học như: hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồthị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng, kí hiệu, công thứchay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính… [10]
Chiến lược phát triển giáo dục và đào tạo giai đoạn 2011 – 2020 đã nêu rõ
“ một trong những năng lực cần hình thành và phát triển cho người học trong
dạy học môn Toán ở trường phổ thông hiện nay đó là năng lực mô hình hóa toán
học.” Đối với học sinh, mô hình hóa toán học là cần thiết vì những lí do sau đây:
- Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được giữa toán học với cuộcsống môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toántrở nên ý nghĩa hơn
- Mô hình hóa toán học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán học nhưmột công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán,
từ đó giúp học sinh thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế, khả năng
sử dụng toán học vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự độngcủa sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rènluyện
Trang 4- Mô hình hóa toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện vàphong phú của toán học, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngànhkhoa học mà còn là một phần của lịch sử văn hóa loài người.
- Các nội dung toán học có thể được hình thành củng cố bởi những ví dụ thựctiễn, điều này giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thài độtích cực của các em đối với toán học, từ đó tạo động cơ thúc đẩy việc học toán
- Mô hình hóa toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lựctoán học của học sinh như suy luận, khám phám, sáng tạo, giải quyết vấn đề
Vì những lí do trên, tôi đã thực hiện đề tài “Phát triển năng lực mô hình hóa toánhọc cho học sinh lớp 10 khi dạy học bài tập hàm số bậc hai và hệ bất phươngtrình bậc nhất hai ẩn” Thông qua đề tài phát huy khả năng tìm lời giải cho cácbài tập có nội dung thực tế liên quan đến các kiến thức ở chương chương trìnhđại số 10, đó hình thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động, tưduy sáng tạo và năng lực vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cho học sinh
Giúp học sinh thấy được toán học có nhiều ứng dụng trong thực tế, qua đókích thích niềm đam mê, hứng thú học toán ở các em
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
+ Các quan điểm về mô hình hóa toán học, quy trình mô hình hóa toán học + Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10 thông qua việc tìm lời giải cho một số bài tập có nội dung thực tế liên quan đến hàm số và hệ
bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn
+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
+ Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm, điều tra khảo sát thực tế, thu thậpthông tin
+ Phương pháp thống kê, xử lí số liệu
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong học tập môn Toán thì tư duy giải bài tập là hoạt động chủ đạo vàthường xuyên của học sinh, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thờirèn luyện phát triển trí tuệ và năng lực thực tiễn Mục tiêu cụ thể của giáo dụcphổ thông hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất,năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệpcho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lýtưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng
Trang 5thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tựhọc, khuyến khích học tập suốt đời [7] Vì vậy, trong giảng dạy toán nếu muốntăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng toán học vào cuộc sống chohọc sinh nhất thiết phải chú ý lồng ghép các bài toán thực tế vào trong quá trìnhdạy hoc qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn và làm cho họcsinh có hứng thú với môn toán, cảm thấy toán học không khô khan và nhàmchán Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn
đề trong cuộc sống và ngược lại
Các dạng bài tập trong chương chương trình đại só lớp 10 rất phong phú,nhiều bài toán hay, xâu chuỗi được các mảng kiến thức khác nhau và có thể lồngcác hoạt động thực tiễn như xây dựng, đo đạc, sản xuất vào nội dung các bàitoán Do vậy khi dạy học phần này giáo viên cần lưu ý tạo điều kiện để học sinh
có thể tiếp cận với một số bài toán có nội dung liên quan đến thực tiễn, từ đó tạohứng thú học tập và phát huy tính tích cực, chủ động của các em đồng thời pháttriển năng lực mô hình hóa toán học, rèn luyện cho các em khả năng giải quyếtcác tình huống trong đời sống thực tế, vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn.Công việc đó chính là xây dựng mô hình hóa toán học để giải các bài toán
có nội dung thực tiễn Trong các giai đoạn của quá trình vận dụng toán học vàothực tiễn thì bước lập mô hình toán học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng bởicác phương pháp toán học chỉ có thể thực hiện trên các mô hình toán học Rõràng, nếu không thiết lập được mô hình toán học của bài tập toán học có nộidung thực tiễnthì không thể giải được Do đó chúng ta có thể phát triển năng lực
mô hình hóa ở HS thông qua chủ đề này
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong chương trình đại số 10, nội dung sách giáo khoa cũng đã đề cậpđến một số bài toán có nội dung thực tế liên quan đến thực tiễn Tuy nhiên trongquá trình dạy học ở trường THPT nhiều khi giáo viên mới chỉ chú trọng rènluyện cho học sinh vận dụng tri thức toán học để giải quyết các vấn đề trong nội
bộ môn toán là chủ yếu còn kỹ năng vận dụng tri thức trong toán học vào cácmôn học khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thườngxuyên Dẫn đến học sinh không có nhiều kỹ năng giải bài toán có nội dung liên
hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất và không thấy được các ứng dụngcủa những tri thức mình đã được học vào cuộc sống Chính điều này đã làm chohọc sinh ít thấy được ý nghĩa của việc học toán trong thực tiễn và chưa có thóiquen áp dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống, các em khôngbiết học toán để làm gì ngoài vấn đề “học để thi” dẫn đến nhiều học sinh chỉ họctheo cách đối phó mà chưa thực sự có hứng thú, có niềm đam mê đối với môntoán nói chung và các môn học khác nói riêng
Năm học 2019- 2020 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Sau khidạy xong bài hàm số và tổ chức ôn tập, rèn kỹ năng giải bài tập trong các tiếtdạy tự chọn và các buổi dạy thêm trong nhà trường Tôi cho học sinh lớp 10B2làm bài kiểm tra các nội dung kiến thức, kỹ năng cơ bản mà học sinh cần phảinắm được trong chương này Kết quả như sau:
Trang 6Lớp Số HS Giỏi Khá TB Yếu, kém
Sau khi thấy kết quả học tập của học sinh chưa được như mong muốn tôi
đã tiến hành tìm hiểu thái độ học tập của học sinh khi làm bài tập phần hàm sốbậc hai và thu được số liệu sau:
Số lượng học sinh Tỉ lệ % Thái độ, hứng thú học tập
10 23,8 Không muốn học vì nội dung môn học khó và
không biết học để dùng vào việc gì trong thực
tế cuộc sống?
15 35,7 Cảm thấy bình thường vì có thể mục tiêu của
các em chỉ là thi đậu tốt nghiệp THPT Quốc gia
mà để đậu được các em không nhất thiết phải
tư duy giải quyết các bài tập vận dụng, vậndụng cao
17 40,5 Cảm thấy cần phải học để tích lũy tri thức để
có thể đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốcgia
Từ kết quả đó, trong năm học 2020 - 2021, khi dạy học bài tập phần hàm
số bậc hai và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn tôi đã tiến hành đổi mới bằngcách lồng ghép một số ứng dụng thực tiễn vào nội dung các bài tập trong quátrình dạy học tại lớp 10C6 (lớp 10C6 có chất lượng tương đương với lớp 10B2)nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học, tạo hứng thú cho các em trongquá trình học tập từ đó nâng cao kết quả học tập của các em và rèn luyện nănglực vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải quyết một số bài toán có nộidung thực tiễn qua một số buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên và tổ chứcmột buổi cho học sinh thực hành đo đạc, thực hành dưới hình thức ngoại khóa.Khi dạy bài tập giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, tôi thường chọn lọc một sốbài tập có nội dung thực tế và liên quan đến các nội các môn học khác và liênquan đến thực tế đời sống để tạo hứng thú học tập cho học sinh, phát triển năng
mô hình hóa toán học cũng như rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vàothực tiễn
2.3.1 Quy trình mô hình hóa toán học
Mô hình hóa toán học: là quá trình thành lập và cải thiện một mô hình toán
học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn Thông qua Mô hình
hóa toán học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng một loạt các kiểu dữ liệu,
các phương pháp và công cụ toán học phù hợp trong việc giải quyết các vấn đề
Trang 7thế giới thực tiễn Cơ hội để xử lí các dữ liệu thực tế và sử dụng các công cụtoán học để phân tích dữ liệu nên là một phần của việc học tập toán học ở tất cảcác cấp.
Quy trình mô hình hóa toán học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau [10]:
-Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát
hiện các yếu tố (như biến số tham số) quan trọng, có ảnh hưởng đến vấn đề thựctiễn
- Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán
sử dụng ngôn ngữ toán học.Từ đó, thiết lập mô hình toán học tương ứng
-Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để mô
hình hóa bài toán và phân tích mô hình đó
-Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra
kết luận
Quá trình mô hình hóa được coi là khép kín và dùng để mô tả các tình huống được nảy sinh từ thực tiễn, kết quả được dùng để giải thích và cải thiện cácvấn
đề trong thực tiễn Có thể minh họa quá trình trên bằng sơ đồ khép kín sau [10]:
Để vận dụng linh hoạt quá trình trên, trong quá trình dạy học Toán, tôi đã tổchức cho học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước như dưới đâytrong quá trình mô hình hóa các bài toán:
Bước 1 Toán học hóa: Hiểu tình huống thực tiễn Mô hình thực tiễn được toán
học hóa, nghĩa là được thông dịch sang ngôn ngữ toán học để dẫn đến mô hìnhtoán học của tình huống ban đầu Mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ vàngôn ngữ toán học như hàm số, hình vẽ, đồ thị, công thức toán học, phươngtrình, bất phương trình toán học Ứng với mỗi vấn đề đang xem xét, có thể cónhiều mô hình toán học khác nhau; quá trình đưa ra mô hình phụ thuộc vào việcchúng ta đánh giá yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quantrọng
Trang 8Bước 2 Giải bài toán: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải
quyết bài toán hình thành ở bước thứ nhất Căn cứ vào mô hình đã xây dựng,cần chọn hoặc xây dựng phương pháp giải phù hợp
Bước 3 Thông hiểu : Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống
trong thực tiễn (bài toán ban đầu)
Bước 4 Đối chiếu, kiểm định kết quả: Phân tích và kiểm định lại các kết quả
thu được Ở đây, cần xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toánvới thực tiễn Đây là một bước quan trọng, giúp người thực hiện nhận ra giảipháp đó liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh Ở bước này có thể xảy ra một tronghai khả năng:
Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn Khi đó,
cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán
đã sử dụng, kết quả thu được
Khả năng 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tìm
nguyên nhân Có thể đặt ra một số câu hỏi sau: - Các kết quả tính ở bước thứ hai
có chính xác không? (để trả lời, cần kiểm tra lại quá trình tính toán đã thựchiện); - Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp, thỏa đáng chưa, có phản ánhđược đầy đủ thực tiễn cuộc sống không? Nếu chưa, cần xây dựng lại; - Các sốliệu ban đầu có phản ánh đúng thực tiễn hay không? (nếu không phù hợp, cầnđiều chỉnh lại cho chính xác)
2.3.2 Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh khi dạy học bài
tập hàm số bậc hai.
Khi dạy học các bài tập ở phần này tôi thường lồng ghép, tổ chức cho học sinh tìm lời giải chon các bài toán có nội dung liên thực tiễn liên quan đến hàm số bậc hai như xác định hàm ssó bậc hai, tọa độ đỉnh của prabol hay giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai… để phát triển năng lực mô hình hóa cho các em Đối với dạng bài tập này thường học sinh tìm hướng giải quyết theo quy trình sau.
Quy trình thực hiện:
- Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn
- Dùng điều kiện bài toán để thiết lập hàm số và quy yêu cầu bài toán việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền nào đó.
Bài toán 1 Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ Đầu
cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA' và BB' với độ cao
30m Chiều dài nhịp A B' ' 200 m Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu
là OC 5m Xác định chiều dài các dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối nền cầuvới dây truyền)?
Định hướng cách giải:
Ở bài này thì có rất nhiều cách để gán
hệ trục tọa độ vào nhưng vẫn ưu tiên
M1 M2
M3
Trang 9xung quanh, sau đó tìm được dạng parabol rồi thì đi đến tìm được chiều dài dâycáp treo
Lời giải: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của Parabol, trục Ox nằm trênnền cầu như Hình vẽ Khi đó ta cóA100; 30 , C0; 5, ta tìm phương trình
của Parabol có dạng y ax 2 bx c Parabol có đỉnh là C và đi qua A nên ta
có hệ phương trình:
2
02
b a
a b c
400
y x Bài toán đưa việc xác địnhchiều dài các dây cáp treo sẽ là tính tung độ những điểm M M M của1, 2, 3Parabol Ta dễ dàng tính được tung độ các điểm có các hoành độ
1 25, 2 50, 3 75
x x x suy ra y1 6,56 m y, 2 11,25 m y, 3 19,06 m
Đó chính là độ dài các dây cáp treo cần tính
Bài toán 2. Cầu University ở Saskatoon ở Canada là một cây cầu được đỡ bằng các vòm parabol Mỗi nhịp cầu rộng 92 feet Bên dưới một trong những vòm đó, người ta xây dựng một con đường có 2 làn với lề đường rộng 10 feet như hình vẽ Biết rằng khoảng cách từ chân vòm parabol đến mặt đất là 4 feet và vòm parabol cách mặt đất là 11m tại vị trí ngăn cách giữa lề và lòng đường Bạn hãy cho biết chiều cao tối đa của một phương tiện giao thông có thể đi qua dưới vòm này
Định hướng cách giải
Bài toán yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức
liên quan đến hàm số bậc hai một ẩn để xác định
chiều cao của chân vòm parabol nhằm đưa ra
khuyến cáo về chiều cao an toàn mà một phương
tiện giao thông có thể đi dưới chân vòm này Học
sinh cần lựa chọn thông tin toán học cần thiết để
tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề đặt ra
trong bài toán như mỗi nhịp của cầu rộng 92 feet
và được đỡ bằng các vòm parabol Lề đường
rộng 10 feet, khoảng cách từ chân vòm parabol
đến mặt đất là 4 feet và chiều cao từ vòm parabol
này đến vị trí ngăn cách lề và lòng đường là 11
feet Học sinh cần xây dựng mô hình toán học
bằng cách chọn hệ trục tọa độ Ohx
Trang 10Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Ohx với O là vị trí chân vòm parabol, Oh là trụ
cầu và ox nằm trên đường thẳng nối hai chân vòm parabol Lúc đó, vòmparabol này sẽ đi qua hai điểm A36 7, và B92 0, Hàm số biểu thị hình dạngcủa vòm parabol có dạng h( t ) at 2b Thay tọa độ điểm A vào phương trình
của hàm số h( t ) at 2b thu được 1296a b 7. Tiếp tục thay tọa độ điểm B vàophương trình của hàm số h( t ) at 2bt thu được 2116a b 0. Từ đó suy ra:
chiều cao tối đa của một phương tiện đi
qua dưới vòm parabol của chiếc cầu là 23
feet
Bài toán 3: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu chothuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có ngườithuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có
2 căn hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải chothuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng
Khi đó số tiền công ty thu được là:
Trang 11y
Hướng dẫn giải
Gọi x là số lần giảm giá 5 USD Khi đó ta có:
+ Giá của khóa học là: 400 5x
+ Số người tham gia khóa học là: 1000 20x
Tổng doanh thu là: Q x (400 5 )(1000 20 ) x x 100x + 3000x + 400000 2
Doanh thu lớn nhất khi Q x đạt giá trị lớn nhất khi x 15
Từ đó suy ra để doanh thu lớn thì công ty nên định giá 325 USD cho mỗi người tham gia lớp học và doanh thu lớn nhất là 422500 USD
Bài toán 5. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng:Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cásau một vụ cân nặng p n 480 20 n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cátrên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoach được nhiều cá nhất
Hướng dẫn giải
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ n 0
Số lượng cá thu hoach được sau một vụ là:
480 20 20 2 480
Ta phải tìm n sao cho f n 20n2480n n0; đạt giá trị lớn nhấtLập bảng biến thiên của f n ta được f n đạt giá trị lớn nhất khi n 12
Vậy trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ nên thả 12 con cá
Bài toán 6 Người ta muốn rào quanh một mảnh vườn với một số vật liệu chotrước là 100m thẳng hàng rào Tại đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn đểlàm một cạnh của hàng rào Vậy làm thế nào để rào mảnh vườn ấy theo hình chữnhật sao cho diện tích lớn nhất ?
Lời giải
Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiều dài
cạnh vuông góc với bờ giậu
Theo bài ra ta có : x2y 100
Diện tích miếng đất là s y 100 2 y
S cực đại khi và chỉ khi s y 100 2 ycực đại
Lúc này s y 100 2 ycó đỉnh là I25;1250, vì bề lõm
parabol hướng xuống nên giá trị lớn nhất tại đỉnh, vậy s cực
đại khi y25,x50 Vậy khu đất có diện tích lớn nhất khi rào
mảnh vườn thành hình chữ nhật với chiều dài x = 50m và chiều rộng
y = 25m
Trang 12Bài toán này cũng có thể đưa vào dạy bài bất đẳng thức Cô-si như sau :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm 2y và 100 - 2y
Bài toán 7. Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới
là hình chữ nhật, có chu vi là a m( ) (a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng vớichu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bánnguyệt) Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt Ta có chu vi của hình bán
nguyệt là x, tổng ba cạnh của hình chữ nhật làa x Diện tích
dạng hàm số bậc hai và lớn nhất khi x = 4 + πxa-πx-2xπ a ( Có thể dùng bất
đẳng thức cauchy để tìm giá trị lớn nhất của S)
Bài toán 8 Bạn An có một đoạn dây dài 20m Bạn chia đoạn dây thành hai
phần Phần đầu uốn thành một tam giác đều Phần còn lại uốn thành một hìnhvuông Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên lànhỏ nhất
Gọi phần đầu của sợi dây là x 0 x 20 Khi đó
Diện tích tam giác là:
2 336
S2