Phương pháp tạo hứng thú cho học sinh trong việc tìm lời giải cho các bài toán tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian hình học 11

Về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nộidung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập Hình học không gian, đặcbiệt là các bài tập tính khoảng cách giữa hai đ

PHẦN 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Đứng trước sự phát triển và đi lên của đất nước đòi hỏi Ngành Giáo dụcphải đổi mới phương pháp để nâng cao chất lượng dạy học Giáo dục phải tạo nênnhững con người năng động, sáng tạo có năng lực làm chủ vấn đề và giải quyếtvấn đề Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính,phẩm chất của con người lao động mới là môn học Hình học không gian

Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩmchất của con người lao động mới là môn học Hình học không gian

Trong môn toán ở trường phổ thông phần Hình học không gian giữ một vaitrò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ nănggiải toán, hình học không gian còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất củacon người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tínhsáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo, phát huy tiềm năng, khả năngsáng tạo của mỗi cá nhân cho học sinh

Qua nghiên cứu lí luận và trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinhlớp 11 rất e ngại học môn Hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng,thiếu tính thực tế Về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nộidung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập Hình học không gian, đặcbiệt là các bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khônggian vì các em thường rất khó trong việc tìm phương pháp giải và xác định đượcđoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Thực trạng và yêu cầu của việc cần có sự yêu thích hứng thú trong giải Toántính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian: Qua nhiềunăm giảng dạy môn toán tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh học yếu phần này Đa

số các em chưa có niềm yêu thích và chưa nắm chắc phương pháp giải các dạngtoán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Do đó gây nên tình trạngchán và nản học môn học này

Khả năng áp dụng: Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều họcsinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dungnày nhằm tìm ra những phương pháp dạy tạo hứng thú, phát huy tính tích cực chủđộng sáng tạo của học sinh, phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡnhững vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nângdần chất lượng giảng dạy môn Toán nói chung và môn Hình học không gian nóiriêng.

Tuy nhiên để sáng kiến thực sự mang lại hiệu quả trong các giờ dạy ta cầnlưu ý nguyên tắc cơ bản trong dạy học là: phải đảm bảo tính vừa sức, dạy học phảidựa vào vùng phát triển gần nhất, phải phù hợp với từng đối tượng học sinh

Qua nghiên cứu sách giáo khoa Hình học 11, tôi nhận thấy rằng ngoài cácbài tập củng cố kiến thức, còn có các bài toán hay và khó Vì vậy với đối tượnghọc sinh trung bình ta có thể sử dụng bài tập củng cố các khái niệm và khắc sâuđịnh lí; đối với học sinh khá có thể thông qua các bài tập bổ sung, nâng cao

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không

áp đặt hoặc rập khuôn máy móc do đó học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giảiquyết các bài toán lạ, các bài toán khó

Từ lý do trên, kết hợp với nghiên cứu đặc điểm sách giáo khoa Hình học 11,

tôi chọn đề tài:“Phương pháp tạo hứng thú cho học sinh trong việc tìm lời giải cho các bài toán tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Hình học 11”, với đối tượng là học

sinh khá và giỏi

1.2 Mục đích của đề tài

Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cho học sinh các phương pháp và kỹnăng giải dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khônggian Đưa ra một số phương pháp để gây hứng thú cho học sinh và giúp học sinhnắm vững được nội dung trọng tâm nhất, bài toán gốc để các bài toán khác có thểgiải quyết dựa vào bài toán gốc đó

2

1.3 Đối tượng và phạm vi của đề tài

Học sinh khối 11 trường THPT Quỳnh Lưu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp

- Nghiên cứu lí luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy

1.4.2 Cách thực hiện

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảngdạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp các lớp khối 11 qua các năm học

1.5 Thời gian nghiên cứu

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm được triển khai từ năm 2021

PHẦN 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài

1.1 Cơ sở lí luận chung

Mỗi một con người tồn tại trong cuộc sống đều hình thành cho mình một kĩnăng sống riêng Kĩ năng của con người không phải là sinh ra đã có mà được hìnhthành từ môi trường sống, từ kinh nghiệm sống của mỗi con người

Để hình thành một kĩ năng không phải đơn giản mà phải trải qua một quátrình dài trên cơ sở đúc rút những kinh nghiệm vốn có, trên cơ sở phân tích, tổnghợp và khái quát hóa

Kĩ năng trong giải toán cũng có thể được hiểu như là những kĩ xảo, những thủthuật trong quá trình giải toán Đối với mỗi dạng toán đều mang trong nó nhữngcách giải với những thủ thuật riêng mà việc hình thành những thủ thuật đó là mộtđiều thực sự cần thiết cho người học toán

Việc hình thành cho học sinh kĩ năng trong giải toán không chỉ mang lại chohọc sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với nội dung toánnào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tìnhhuống cụ thể, công việc cụ thể sẽ vận dụng khả năng nào là hợp lý Đồng thời nógóp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao độngsáng tạo như tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, tính hệ thống, kĩ năng phân tích,tổng hợp, của một sự vật, hiện tượng

Đối với bộ môn hình học không gian, để tiếp thu được nó đòi hỏi học sinhphải có sự tư duy trừu tượng tốt và để giải quyết những bài toán liên quan đến tínhtoán trong hình học không gian thì học sinh cần phải có vốn kiến thức liên quanđến kĩ năng tính toán như: Hệ thức lượng, định lí Talet trong hình học phẳng, tamgiác đồng dạng tam giác bằng nhau,

1.1.1 Thực trạng của vấn đề

a Thuận lợi:

4

Là giáo viên dạy toán nhiều năm được tiếp xúc với nhiều đối tượng họcsinh Đa số các em thích học Toán, thích tìm phương pháp mới trong học tập.

Bản thân là người thích học hỏi và tư duy Tổ chuyên môn thường xuyêntrao đổi, thảo luận về đổi mới tư duy trong dạy học Toán

Hưởng ứng việc Sở giáo dục và đào tạo phát động phong trào viết sáng kiếnkinh nghiệm về đổi mới trong dạy học, nhằm phát huy tính tích cực chủ động sángtạo của học sinh

Kỹ năng giải Toán và trình bày lời giải còn yếu

Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy các lớp 11 ( cơ bản), tôi nhận thấy rằngnếu giáo viên chỉ dừng lại ở mức độ nêu định nghĩa thế nào là khoảng cách giữahai đường thẳng chéo nhau và nêu cách xác định đường vuông góc chung của haiđường thẳng chéo nhau như trong sách giáo khoa Hình học 11- Ban cơ bản, thì họcsinh đơn thuần chỉ nắm được khái niệm mà chưa có kĩ năng trong việc xác địnhcũng như các bước để giải quyết vấn đề Điều đó được thể hiện khá rõ khi các emgiải các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khônggian trong sách giáo khoa, trong bài kiểm tra, trong các đề thi, Nguyên nhân củaviệc ngại va chạm với dạng toán này, một mặt là các em không nắm chắc kháiniệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và các tính chất liên quan Mặtkhác, do các em thiếu kĩ năng giải toán, kĩ năng nhận dạng và các bước tiến hànhtrong quá trình trình bày lời giải

1.1.2 Thực trạng tại trường trước khi nghiên cứu đề tài

Hầu hết các học sinh không thích, thậm chí một số còn cảm thấy áp lực mỗikhi đến tiết hình không gian Nhiều em học mức trung bình hoặc yếu ở các lớp, đặcbiệt các em lớp khối C, D thường ngồi học nói chuyện riêng, không chú ý, thậmchí nằm gục trên bàn trong các tiết học về tính khoảng cách trong không gian.Chính vì thế kết quả học tập các em đạt được rất kém, các em không hiểu bài dẫnđến cảm thấy chán nản và áp lực Do đó cần thiết giáo viên tạo ra phương pháp dạyhọc hay, gây hứng thú và niềm tin cho các em, để các em tìm lại được sự say mêcho phần học này nói riêng và môn hình không gian nói chung

6

Chương 2:

CÁC BIỆN PHÁP NHẰM GÂY HỨNG THÚ TRONG GIẢI TOÁN

HÌNH KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH

Thực tế trong các năm học tôi đã sử dụng nhiều phương pháp gây hứng thúhọc tập cho học sinh, giúp các em tìm thấy niềm vui, thấy được cái hay cái đẹptrong môn học Những phương pháp cụ thể sát thực giúp phát huy tính cực chủđộng sáng tạo, phát triển năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinhgiúp các em phát triển năng lực dự đoán, định hướng có niềm say mê môn học

2.1 Dùng sơ đồ tư duy

Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cũng có thể cho học sinh tự thiết kế và trình bày ngay trên lớp học Các emthỏa thích thể hiện khả năng sáng tạo, tư duy trừu tượng và thể hiện ý kiến củamình vào trong bản vẽ của mình Sau đó cho các bạn trong lớp bổ sung thêm các ýkiến bổ trợ hoàn thiện bản vẽ của các em

Tổng hợp các khái niệm khoảng cách giữa điểm, đường và mặt

Dùng Tivi trong một tiết luyện tập

2.3 Dạy học hợp tác theo nhóm, tổ chức trò chơi trong học tập

Năng lực hợp tác được xem là một trong những năng lực quan trọng của con

trường học đã trở thành một xu thế giáo dục trên thế giới Dạy học hợp tác theonhóm nhỏ chính là sự phản ánh thực tiễn của xu thế đó

Định nghĩa 2 Khoảng cách từ một điểm O đến mặt phẳng ( ) là độ dài đoạn OH , với H là hình chiếu vuông góc của O lên ( ), kí hiệu là ( ;( )) d O 

Định nghĩa 3 Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới mặt phẳng ( ), kí hiệu

Định nghĩa 5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Chúng ta cần lưu ý rằng: Tính khoảng cách có thể áp dụng trực tiếp địnhnghĩa hoặc tính gián tiếp, chẳng hạn như có thể tính được đường cao của một tamgiác (khoảng cách từ đỉnh tới đáy) nếu biết số đo độ dài cạnh đáy và diện tích củatam giác đó Và một điều không thể quên là trước khi tính toán cần xác định rõ bàitoán yêu cầu tính khoảng cách giữa hai yếu tố nào

10

3 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN, BÀI TOÁN CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN VẬN DỤNG

3 2 1 Vấn đề 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ).

Phương pháp giải:

Bước 1: Dựng MH ( ) với H ( ), H

Bước 2: Tính độ dài đoạn MH

Lưu ý:- H chính là hình chiếu của M lên ( )

- Trong các khoảng cách từ Mđến một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ( ) thìkhoảng cách MH là nhỏ nhất.

Bài toán cơ bản: Nhiều bài toán tính khoảng từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm

tới đường thẳng có thể quy về bài toán cơ bản sau:

Phân tích: Gọi H là hình

chiếu của A lên mặt phẳng (SBC)

Khi đó AH (SBC) từ đó

AH BC Lại có SA(ABC) nên

SA BC do vậy BC (SAH) Gọi

K là giao của SH và BC khi đó

AK BC

Cách giải: Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC.

Hạ đường vuông góc AH xuống SK Ta có:

SA ABC  BCSA,

12

K B

C H

S

A

Bài Toán1: Cho hình chóp S ABC có . SA (ABC) Tính khoảng cách từ điểm

A đến mặt phẳng (SBC) và khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC

Kỹ thuật dời điểm: Ta thường dùng kỹ thuật này trong việc tính khoảng

cách từ một điểm đến một đường thẳng một cách tính gián tiếp

+) MN/ /( )P  d M P( ;( ))d N P( ;( ))

+)

, ( )

( ;( )) ( ;( ))( ) / /( )

MN P I

Trường hợp đặc biệt I là trung điểm MN thì d M P( ;( ))d N P( ;( ))

Phân tích: Với bài này để

A

B

K

C H

Phân tích: Câu a) Cụ thể hóa của

bài toán cơ bản

Câu b) Sử dụng kỹ thuật dời

B

C H

a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC

b) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB Tính khoảng cách từtrung điểm M của AC đến đường thẳng CH

Vậy

6( ; )

b) Chứng minh rằng cạnh BC tạo với ( ) một góc  450

Nhận xét: Để giải được bài này yêu cầu học sinh phải biết được tính chất của

hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng và góc

tạo bởi một đường thẳng và một mặt phẳng được

xác định bởi góc giữa đường thẳng và hình chiếu

của nó lên mặt phẳng đó

Giải: a) Gọi H là hình chiếu của C trên ( )

Khi đó CH là khoảng cách từ C tới ( ) Ta cần

tính độ dài đoạn CH Theo giả thiết ta có góc

23

a CH

B A

Bài tập tự giải: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp

trong đường tròn đường kính AD2a và có cạnh SAvuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) với SA a 6

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD)

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)

3 2 2 Vấn đề 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Phương pháp 1.1 Đưa về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Bước 1 : Tìm mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng b và ( ) // a

Bước 2 : Tính khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc a đến mặt phẳng ( )

Phương pháp 2 Dựng đoạn vuông góc chung và

tính độ dài đọan vuông góc chung đó

Khả năng 1: Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo

nhau và a vuông góc với b

16

b α

Bước 1: Ta dựng mặt phẳng ( ) chứa a và vuông góc với b tại B

Bước 2: Trong mặt phẳng ( ), ta dựng BA vuông góc với a tại A

Bước 3: Tính độ dài đoạn AB.

Khi đó đoạn AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a

và b

Khả năng 2: Giả sử a và b chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau

Cách 1:

Bước 1: Dựng mặt phẳng ( ) chứa a và song song với b

Bước 2: Lấy một điểm M tùy ý trên b , dựng

MM , với B b Tính độ dài đoạn AB Chú ý

rằng đoạn AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b

M b B

M' A

α

a

b' A

I

b B

H O

α

Bước 4: Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A Khi đó đoạn

AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b , hay

(a,b) AB

Nhận xét: Trong hai phương pháp trên, nếu trong trường hợp hai đường

thẳng a, b không vuông góc với nhau, ta ưu tiên dùng phương pháp 1: Để tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta quy về tính khoảng cách giữa mộtđiểm và một mặt phẳng vì để dựng đường vuông góc chung với một số bài toánkhá khó khăn

Giải:

a) Phân tích: Với câu này ta nhận thấy ngay đoạn BC chính là đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng SB và CD Do vậy ta sử dụng phương pháp 2 để giải.

b) Phân tích: Hai đường thẳng SC và BD vuông góc

với nhau, do vậy chúng ta sử dụng cách giải cho khả

năng 1

Theo giả thiết:

18

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh

SA h và vuông góc với đáy (ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc

chung của:

a) SB và CD ; b) SC và BD ; c) SC và AB

C B

D

K

H A

F

S

E

O

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng (SAC)hạ OH SC tại H , ta có OH SC và OH BD

(vì BD (SAC)) Vậy OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC

Trong mặt phẳng (SAD) ta có SD là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAD).

Vẽ AK SD tại K Trong mặt phẳng (SCD) vẽ KE CD với E SC/ / 

Khi đó KE//AB

Trong mặt phẳng (KE AB, ) vẽ EF// AK với FAB Ta có AB và I cùng

vuông góc với mặt phẳng (SAD)nên ABAK và CDAK

Xét tam giác SAD vuông tại A, có đường cao AH Khi đó:

2 2 2 2 2 2 2

ah AH

AH SA  AD a  h   a h

20

Phân tích: Nhận thấy hai đường thẳng

BC và SD chéo nhau, có mặt phẳng

(SAD) chứa SD và song song với đường

thẳng BC Vì vậy khoảng cách giữa hai

Phân tích: Bài này tương tự câu c ví

dụ 1, nên ta cũng có phương pháp giải

trên Tuy nhiên ở bài này hình đã cho là

hình chóp đều nên yêu cầu vẽ hình chính

xác, ngoài ra ta còn sử dụng tính chất

đường cao trong tam giác vuông trong

hình học phẳng

Ví dụ 3: Hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh

AB a  Đường cao SO của hình chóp vuông góc với mặt đáy ( ABCD và có )

số đo SO a  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

O

a

B A

Ví d 2:ụ 2: Cho hình chóp S ABCD có SA (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật

với AC a 5 và BC a 2 Tính khoảng cách giữa SD và BC.

Giải: Vì AB CD nên / / AB/ /(SCD Do đó khoảng cách giữa hai đường)thẳng chéo nhau SC và AB bằng khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD) chứa

SC và song song với AB.

Gọi ,I K lần lượt là trung điểm của AB , CD ta được O là trung điểm của IK

Phân tích: Nhận thấy hai đường thẳng

AC và B’D’ nằm lần lượt trong hai mặt

phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song

song với nhau

Chú ý: Ta cũng có thể nhận ra ngay đoạn vuông góc chung của hai đường

thẳng AC và B’D’ là OO’, với O, O’ lần lượt là trung điểm của AC và B’D’.

Giải: Trước hết, ta dựng một mặt phẳng chứa

đường thẳng AM và song song với đường thẳng B’C

để chuyển về tìm khoảng cách từ một điểm đến một

mặt phẳng LấyE là trung điểm BB' khi đó ME//

B’C nên B’C// (MAE).

Từ đó: ( ' ,d B C AM)d B MAE( ',( ))

Sử dụng phương pháp dịch chuyển điểm ta có: Vì E

là trung điểm BB’ nên

Phân tích: Với bài toán này ta nhận

thấy hai đường thẳng SA và BD có SA nằm trong mặt phẳng (SAC) vuông góc

với BD Ta áp dụng khả năng 1 để giải.

24

Ví dụ 6: Hình thoi ABCD tâm O , cạnh a và có

33

a

OB 

Trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng ABCD tại O , lấy một điểm S sao cho SB a Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

E C

M

B

A

A' B'

C'

a

2

a

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác vuông tại ' ' ' B,

AB BC a  , cạnh bên AA'a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính

(AM;B'C')

d

Giải: Từ O kẻ OI vuông góc với

SA tại I Khi đó OI là đoạn vuông góc

chung của SA và BD, khoảng cách giữa

SA và BD chính là độ dài đoạn OI.

Hai tam giác vuông SOB và AOB

có cạnh OB chung và SB AB a  nên

chúng bằng nhau Do đó SO AO suy

ra tam giác SOA cân tại O

Xét tam giác SOB vuông tại O có

Ta có: A B ' ' (ADD'A') Gọi H là giao

điểm của AD' với A D' Vì ADD A' ' là

B A

Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D , cạnh bằng ' ' ' ' a Xác định đoạnvuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A B' ' và AD' bằng

bao nhiêu?

26

a) Hãy dựng đoạn vuông góc chung

Giải: a) Để dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC ta có thể lựa chọn

một trong hai cách sau:

Cách 1: Dựng mặt phẳng ( )  chứa SM và song song với BC Gọi N là

trung điểm của AB, suy ra BC / /MN  BC / /(SMN)

Từ H dựng Hx song song với BC và cắt SM tại E Từ E dựng Ey song

song với BH và cắt BC tại F

Khi đó EF là đoạn vuông góc chung của SM và BC

Cách 2: Dựng mặt phẳng ( ) vuông góc với BC tại B, xác định hình chiếu của SM lên ( )