Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động hình thành, phát triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc

Qua các kì thi THPT quốc gia và các đề thi thử trong các năm gần đây xuất hiệnkhá nhiều bài toán yêu cầu học sinh biết liên hệ nhiều kiến thức, có những bài toánđòi hỏi tư duy, khả năng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ANH SƠN 1

===***===

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên đê tài “Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông

qua hoạt động hình thành, phát triển các bài toán hàm ẩn

từ những bài toán gốc”

Người thực hiện: Nguyễn Công Trung

Ngày sinh : 09/ 08/ 1982

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Anh Sơn 1

Anh Sơn, tháng 3 năm 2021

====================

1

Phần 2 Nội dung đề tài Trang 4

2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc Trang 5

c) Xây dựng các bài toán tương giao dựa trên bài toán gốc Trang 18

2.4.2 Khả năng ứng dụng, triển khai sáng kiến kinh nghiệm Trang 29

2

PHẦN 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí do chọn đề tài

Đối với mỗi giáo viên chúng ta, giảng dạy luôn luôn đặt mục tiêu nâng cao chấtlượng giáo dục , năng lực, tri thức, nhận thức của học sinh Đặt mục tiêu làm sao đểtri thức, trí thức của học sinh được rèn luyện, mài dũa, một cách tốt nhất Tôi nhậnthấy rằng rèn luyện tư duy, kĩ năng giải toán, làm việc sáng tạo là một việc cần thiết,quan trọng để đáp ứng nhu cầu của học sinh và cũng là trách nhiệm của mỗi ngườigiáo viên khi giảng dạy

Qua các kì thi THPT quốc gia và các đề thi thử trong các năm gần đây xuất hiệnkhá nhiều bài toán yêu cầu học sinh biết liên hệ nhiều kiến thức, có những bài toánđòi hỏi tư duy, khả năng liên hệ, kết hợp các kiến thưc, năng lực ở mức độ cao Mộttrong các bài toán đó có khá nhiều bài liên quan đên các hàm hợp Đây là phần bàitoán trong các đề thi có đầy đủ các mức độ từ nhận biết, thông hiểu vận dụng thấp,vậndụng cao; có khá nhiều vấn đề liên quan như đạo hàm của hàm số, bài toán tính đơnđiệu, cực trị của hàm số, cũng như bài toán tương giao, hay là các bài toán về phươngtrình, phương trình chứa tham số, bài toán về đường tiệm cận, nguyên hàm, …

Từ những vấn đề đã nêu trên, tôi thật sự trăn trở làm sao để cỏ thể giúp học sinhgiải quyết được các bài toán này một cách nhanh và chính xác; rèn luyện tư duy, nângcao năng lực cho học sinh, tôi đã liên hệ các kiến thức và mạnh dạn đưa ra sáng kiếnkinh nghiệm

‘’ Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động hình thành, phát

triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc’’.

1.2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

1.3 Mục đích của sáng kiến

Trên các nghiên cứu về lý thuyết và thực tiễn, tôi đề xuất một số cách khai thác

và phát triển các dạng bài tập toán từ một số bài toán gốc, nhằm góp phần đổi mớiphương pháp dạy học, nâng cao kiến thức năng lực của học sinh

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí thuyết và ứng dụng đạo hàm của hàm số

Nghiên cứu phương pháp dạy học thich hợp: Hoạt động nhóm, dạy học dự án.Xây dựng các tiêu chí, công cụ đánh giá kiến thức, phẩm chất năng lực học sinh.Thực nghiệm sư phạm của để đánh giá hiệu quả của đề tài và có những điềuchỉnh, kiến nghị đề xuất phù hợp

4

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

Rèn luyện các phẩm chất trung thực trách nhiệm chăm chỉ, các năng lực tự chủ,

tự lực, tự học, giao tiếp hợp tác, giải quyết vấn đề sáng tạo, năng lực ngôn ngữ

Rút ra được một số kinh nghiệm dạy học, phát huy tính tự giác, sáng tạo, tạohứng thú trong học tập cho học sinh

5

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Hầu hết các giáo viên chúng ta khi giảng dạy cứ quan niệm nhẹ nhàng miễn saohọc sinh cỏ thể làm ra kết quả, đáp án đúng mà lãng quên bản chất, nguyên nhân xuấtphát của bài toán từ đâu, vì thế đánh mất sự kết hợp liên quan giữa các yếu tố, kiếnthức, nhất là với hiện tại bây giờ các đề thi chủ yếu đánh giá năng lực bằng hình thứctrắc nghiệm Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho học sinh mà bỏ quahoạt động rèn luyện tư duy,kết hợp kiến thức, liên hệ và phát triển thì không nhữngbản thân chúng ta sẽ bị mai một kiến thức , mà các em học sinh sẽ bị động trước mộtvấn đề tưởng chừng như mới mẻ của toán học, khả năng suy luận, tư duy sáng tạo củahọc sinh sẽ bị hạn chế

2.1 Cơ sở lí luận của đề tài

+) Tương giao giữa đồ thị các hàm số

2.1.2 Nghiên cứu phương pháp phát triển bài toán mới liên quan

Các định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc

Ơ đây chúng ta xây dựng các u x( ), là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác

Cực trị hàm số

( ) ( ( ))

g x f u x

Hứng thú học tập của học sinh trong việc tự tìm hiểu, sáng tạo, khám phá các bàitập mới.

2.3 Giải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động hình thành, phát triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc.

2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc về hàm số

Ơ đây chúng ta xây dựng các u x( ), là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn thứcchứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác, cũng cỏ thể là biểu thức chứa tham số m.

2.3.2 Thiết kế các hoạt động định hướng phát triển các bài toán xuất phát từ bài toán gốc

+) Định hướng phát triển bài toán đơn điệu

+) Định hướng phát triển bài toán cực trị

+) Định hướng phát triển bài toán tương giao

a) Xây dựng các bài toán đơn điệu dựa trên bài toán gốc

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).

B Hàm số đồng biến trên khoảng (0;).

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 0).

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;).

( Câu 21 mã đề 104 đề thi THPTQG năm 2017)

Với biểu thức bậc nhất khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài toán ở mức độ thông hiểu, ví dụ như bài sau.

B Hàm số đồng biến trên khoảng

1 ( ; ).

2

 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

1 ( ; ).

x

  

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

1 ( ; ).

Bài 2 Cho hàm số y 1 x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án B.

Đáp án A.

Đáp án D.

9

Bài 6 Cho hàm số

1 1

x y x





 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án B.

bài toán gốc thu được lớp bài toán ở mức vận dụng, khi tổ chức thực hiện thì có nhiều

em đã sáng tạo ra nhiều bài toán hay

Bài 7 Cho hàm số

1

x y

Khi m 1, ta có y   ' 0, x 1, nên không thỏ mãn yêu cầu bài toán

Khi m 1, ta có y' 0,    x ( ;m) (1; ), hàm số đồng biến trên các khoảng xácđinh, nên m 1, thỏa mãn yêu cầu bài toán

Khi m 1, ta có y' 0,    x ( ;1) (m; ), hàm số nghịch biến nên không thỏa mãnbài toán

Đáp án A.

luôn đồng biến trên khoảng (1;), là

Giải

Điều kiện xác định của hàm số x2 2mx 2m 1 0 

10

Ta có : 2

'

x m y

đồng biến trên các khoảng (0;1), là

2  B

2 ( ; ).

Hàm số yf x( ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

1 ( ; ).

2 2

b) Xây dựng các bài toán cực trị dựa trên bài toán gốc

Lời giải

Từ bảng biến thiên ta có phương trình f x '( ) 0

, ( ; 1) , ( 1;0) , (0;1) , (1; )

Phương trình (1) với a  1 vô nghiệm;

Phương trình (2) với b  ( 1;0) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ;

Phương trình (3) với c (0;1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và khác các nghiệmcủa phương trình (2) ;

Phương trình (4) với d (1;) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và khác cácnghiệm của phương trình (2) và (3).

Vậy phương trình y ' 0 có 7 nghiệm phân biệt và qua các gia trị nghiệm đó đổidấu nên hàm số yf x( 2 2 )x có 7 điểm cực trị

Đáp án C.

Đây là bài toán đòi hỏi người làm được cần có một năng lực toán học tốt, biết kết hợp, vận dụng nhiều kiến thức liên quan như đạo hàm của hàm hợp, kĩ năng đọc bảng biến thiên, kĩ năng giải và biện luận số nghiệm của phương trình Sau đây tôi xin trình bày một số bài toán được phát triển.

17

Bài 3 Cho hàm số yf x( ), liên tục trên , và có bảng biến thiên của hàm số f x'( )như sau

Các phương trình (1);(2) vô nghiệm;

Phương trình (3) với c (0;1) có nghiệm làx c 2 1 (1;2)

18

Phương trình (4) với d (1;) có nghiệm x d 2 1 (1;)

Vậy phương trình y ' 0 có 2 nghiệm lẻ phân biệt và qua các gia trị nghiệm đóđổi dấu nên hàm số yf( x1) có 2 điểm cực trị

Các phương trình (1);(2);(3) vô nghiệm;

Phương trình (4) với d (1;) có nghiệm x d21 0

Vậy phương trình y ' 0 có 3 nghiệm lẻ phân biệt nên hàm số yf( x21) có 3 điểmcực trị

Đáp án C.

Bài 5 Cho hàm số yf x( ), bảng biến thiên của hàm số f x'( ) như sau

20

Bài 6 Cho hàm số yf x( ), bảng biến thiên của hàm số f x'( ) như sau

Bài 7 Cho hàm số yf x( ), bảng biến thiên của hàm số f x'( ) như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số y g x ( )f x( ) x2.

Đáp án A

23

Bài 8 Cho hàm số yf x( ), bảng biến thiên của hàm số f x'( ) như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số

2 1

Với các định hướng tương tự như trên, chúng ta cỏ thể đưa ra các bài toán gốc về

tương giao của các đồ thị, hay bài toán tìm số nghiệm của một phương trình đê các

em phát triển bài toán tương tự và các bài toán nâng cao lên ở mức độ khó hơn

24

Bài toán gốc Cho hàm số bậc ba yf x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số nghiệm thực của phương trình f( 2x 1) 2 là

Giải

25

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt Đáp án B

Số nghiệm thực dương của phương trình

Các phương trình (2); (3) mỗi phương trình có hai nghiệm trái dấu

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm dương

Đáp án D

26

Số nghiệm thực của phương trình

f x  x 

là

27

Phương trình x3 3x a 1 có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình x3 3x a 2 có 3 nghiệm phân biệt

Phương trình x3 3x a 3 có 1 nghiệm

Phương trình x3 3x a 4 có 1 nghiệm

Vậy phương trình  3  3

3 2

Số nghiệm thực của phương trình  3  1

3 2

f x  x 

là

Đáp án B

Bài 6 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình

Tập hợp tất cả các giá trị thực tham số m để phương trình f cosx m có 3

nghiệm phân biệt thuộc khoảng

3 0;

  thì phương trình f cosx m phải có hai nghiệm cos x phân biệt, trong đó có

1 nghiệm thuộc 1;0 và một nghiệm thuộc 0;1 

Dựa vào đồ thị, suy ra m   1;1 

Đáp án B.

29

Với m là tham số bất kì thuộc 0;1  Phương trình f x 3  3x2 3 m 4 1  m 3

có bao nhiêu nghiệm thực?

Bài 8 Cho hàm số f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phươngtrình f f cos 2x  0 ?

A 10 điểm B 9 điểm C 8 điểm D Vô số.

Đáp án A

31

Hỏi phương trình f f cosx  1 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;2 ?

Đáp án B.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 sin 

Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập hay là những buổi học chuyên

đề Thầy giáo đưa ra một số ví dụ về cách xây dựng bài toán mới từ bài toán cơ bản,sau đó hướng dẫn học sinh tự tìm tòi và phát hiện một số vấn đề xung quanh nó

32

Hình thức giáo viên giao nhiệm vụ, học sinh nghiên cứu các bài toán với sựhướng dẫn của giáo viên.

Tiết 1

Nêu mục tiêu và ý tưởng đề tài Quan sát, chú ý lắng nghe

Đưa ra bài toán gốc ( Bài toán gốc 1) và

một số ví dụ bài toán ( Các bài 1, 3, 5)

đã được giáo viên phát triển, cho học

sinh giải bài toán gốc và các bài toán đó

Đánh giá và nhận xét

Quan sát, thảo luậnThực hiện nhiệm vụTrình bày báo cáo Nhận xét báo cáo của các bạn

Cho học sinh phát triển và giải các bài

toán này trên lớp bài toán gốc được đưa

ra

Thực hiện nhiệm vụTrình bày báo cáo Nhận xét báo cáo của các bạnPhân công nhiệm vụ về nhà

Nhóm 1 Phát triển bài toán tính đơn

điệu của hàm số ( Bài toán gốc 2 phần

đơn điệu)

Nhóm 2: Phát triển bài toán cực trị ( Bài

toán gốc phần cực trị)

Nhóm 3: Phát triển bài toán tương giao (

Bài toán gốc phần tương giao)

Phân chia các nhóm theo sự phân côngcủa giáo viên

Các thành viên của mỗi nhóm phâncông phát triển bài toán ở các mức độthông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng caoNhóm trưởng mỗi nhóm tổng hợp bàicác thành viên tổ mình và cử thành viênbáo cáo

Tiết 2-3

Tổ chức cho đại diện các nhóm báo cáo

Cho các thành viên trong mỗi nhóm tự

nhận xét nhóm mình ( Nội dung, mức

độ hợp tác, khối lượng hoàn thành công

việc của các thành viên)

Chú ý, quan sát và thực hiện các nhiệmvụ

33

- Số lượng học sinh được khảo sát: 44 em

1 Tôi đã học được kiến thức gì? Hiểu biết về nội dung kiến thức có liên quan tới dự án: 44 em

Tìm kiếm, chọn lọc dữ liệu, xử lí thông tin: 20 em

Tôi đã xây dựng được thái độ nào tích cực?

Tự giác hoàn thành công việc: 25 em

Chia sẻ ý kiến và thảo luận: 30 em

Có trách nhiệm: 36 em

Tôi có hài lòng với các kết quả nghiên cứu của dự án không? Vì sao?

4 Hài lòng, vì nhóm đã làm việc và cố gắng hết mình: 25 em

Hài lòng, vì cả nhóm đoàn kết làm việc: 30 em

Hài lòng, do kết quả sản phẩm dự án tốt, tăng vốn kiến thức: 9 em

Tương đối hài lòng, vì vẫn còn một số sai sót không như ý: 25 em

5 Tôi đã gặp phải những khó khăn gì

Nhìn chung, tôi thích/ không thích dự án này vì…

Thích, vì hay và thiết thực, gắn liền với thực tiễn: 20 em

Thích, vì phát hiện được khả năng của mình/thể hiện khả năng: 6 em

Thích, vì có cơ hội học thêm kiến thức và những kĩ năng làm việc nhóm: 10 em Thích, vì được trải nghiệm cảm giác làm việc thực sự: 20 em

Thích, vì cá nhân yêu thích môn học: 20 em

Thích, vì luyện khả năng tự tìm hiểu, sáng tạo: 6 em

Thích, vì tìm hiểu thêm về kiến thức toán học: 12 em

Thích, là cách học mới rất thú vị và mới mẻ: 25 em

Thích, đem lại nhiều lợi ích: 10 em

Mức độ hứng thú của tôi với phương pháp dạy học theo dự án (5 cấp độ):

(1: Rất không thích; 2: Không thích; 3 Bình thường; 4: Thích; 5: Rất thích)

Nhóm 1

Nhóm 2

+ Học sinh phát huy cao tính chủ động, sáng tạo, cũng như giao tiếp và hợp táctrong việc giải quyết các vấn đề liên quan.

+ Học sinh đã chủ động thu thập tài liệu, tích lũy kiến thức và phối hợp với nhautrong hoạt động nhóm để tạo ra các sản phẩm, do đó kiến thức sẽ được ghi nhớ tốt,đồng thời phát triển kỹ năng tìm kiếm tài liệu và khai thác tốt hơn các nguồn thôngtin

Vì vậy, tôi khẳng định đề tài này có khả năng ứng dụng, triển khai trong thực tếdạy học Không những với chủ đề hàm số mà có thể áp dụng cho rất nhiều chủ đề khác trong toán học

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Quá trình thực hiện đề tài ghi nhận : Các nhóm và các em hoàn thành khá tốt cácnhiệm vụ, các em hứng thú, tham gia tích cực, chủ động sáng tạo trong công viêc

36

Học sinh phát huy cao tính chủ động, sáng tạo, cũng như giao tiếp và hợp tác trongviệc giải quyết các vấn đề liên quan Học sinh đã chủ động thu thập tài liệu, tích lũykiến thức và phối hợp với nhau trong hoạt động nhóm để tạo ra các sản phẩm, do đókiến thức sẽ được ghi nhớ tốt, đồng thời phát triển kỹ năng tìm kiếm tài liệu và khaithác tốt hơn các nguồn thông tin

Như vậy đề tài trên đã phát triển hệ thống tư duy, phân tích, kết hợp, suy luậnlogic, kích thích tính sáng tạo cho học sinh Chủ đề này được ứng dụng khá rộng rãivới việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau bằng cách biến đổi các điều kiệncủa các biến số mở ra một lớp các bài toán khá hay và đẹp được ứng dụng trong rấtnhiều kỳ thi nhất là kỳ thi THPTQG Đề tài có thể áp dụng cho các giáo viên và họcsinh trong việc ôn tập các kỳ thi HSG, Ôn THPTQG

Đề tài này có khả năng ứng dụng, triển khai trong thực tế dạy học cho tất cả các khối, lớp THPT, với các chủ đề khác trong toán học

3.2 Kiến nghị

Trong quá trình dạy học thói quen biết phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặcbiệt hóa để đào sâu nghiên cứu các góc cạnh trong toán học kiểu như trên là một điềurất cần thiết cho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám phá của các em họcsinh.Việc sử dụng hệ thống bài toán trên đã cho ta cách giải các bài tập liên quan mộtcách khá đơn giản nếu tiếp tục sáng tạo và khai thác sâu hơn chắc chắn ta sẽ tìm đượcnhiều vấn đề thú vị mà tôi chưa làm được trong đề tài phạm vi này Tôi sẽ tiếp tụcnghiên cứu, bổ sung kiến thức về đề tài và rất mong được đón nhận những góp ý bổích của Quí vị Giám khảo và bạn bè đồng nghiệp để đề tài phong phú chất lượng vàhữu ích hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

37