Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng

Bản thân tôi đã rút ra được những phương phápchung để giải quyết một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.. Nội dung của đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CÁT NGẠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ ỨNG DỤNG

BỘ MÔN: TOÁN.

TÁC GIẢ : ĐẶNG THỊ LOAN TỔ: TOÁN - TIN

NĂM HỌC 2020 - 2021

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề 9

2.3.2 Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu GTTĐ vào bài toán liên

2.4.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 49

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Từ năm học 2016 - 2017, trong kì thi THPT QG đề thi môn toán chuyển từhình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều đó đã tạo ramột sự chuyển biến đáng kể trong cách dạy và học ở các trường THPT Để đạtđược kết quả cao học sinh cần phải nắm vững các kiến thức cơ bản, thuần thục cácdạng toán và quan trọng hơn thế nữa phải linh hoạt, sáng tạo để chọn được cáchgiải quyết vấn đề tốt nhất

Trong các đề thi THPT QG những năm gần đây không thể thiếu các câu hỏi

về khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số Đặc biệt những bàitoán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao thường xuất hiện hàm hợp, trong số đónhiều bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Những dạng toánnày thường gây khó khăn cho cả người dạy và người học Thực tiễn dạy học chothấy khi gặp bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu GTTĐ học sinh thường engại Nhưng nếu học sinh được học tập đầy đủ có hệ thống, giáo viên xây dựngđược một số dạng bài tập phù hợp thì các em sẽ có khản năng tốt hơn để giải bàitập toán Đồng thời các em thấy hứng thú yêu thích môn học hơn, góp phần nângcao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông

Trong quá trình giảng dạy ôn thi và làm đề tôi thấy rất nhiều bài toán khó vềhàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Bản thân tôi đã rút ra được những phương phápchung để giải quyết một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị

tuyệt đối Tôi đã viết thành SKKN "Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng".

Nội dung của đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng giải bài tậpliên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Ngoài ra góp phần hìnhthành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán họccho học sinh

Các đề thi THPT QG, đề tham khảo của bộ, đề thi thử THPTQG của các tỉnh,các trường trong những năm gần đây thì xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến đồthị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Đề tài này cung cấp cho học sinh một sốphương pháp để giải bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

và cung cấp cho giáo viên thêm một tài liệu tham khảo để hướng dẫn học sinh giảiquyết trọn vẹn và nhanh gọn khi gặp bài toán dạng này, góp phần nâng cao kết quảdạy học, ôn thi THPT QG

Cung cấp tài liệu cho giáo viên và học sinh nhằm nâng cao hiệu quả ôn thiTHPT QG và chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu của đề tài tập trung chủ yếu vào kiến thức về đồ thịhàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và phương pháp giải một số dạng bài toán liênquan đến đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

1.4 Cơ sở nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.

Trong thực tiễn giảng dạy về hàm số ta hay gặp bài toán về hàm số chứa dấugiá trị tuyệt đối Nếu người giáo viên có thể hệ thống được ngắn gọn nhưng đầy đủ

lý thuyết Đồng thời xây dựng được hợp lí các phương pháp áp dụng lí thuyết đóvào việc giải các bài tập điển hình thì sẽ giúp học sinh chủ động, tự tin tiếp cận vàgiải quyết tốt các bài tập dạng này, từ đó khơi dậy khản năng vận dụng sáng tạocác kiến thức đã học của học sinh vào việc giải toán, gây hứng thú, đam mê họctập cho các em

Để nghiên cứ đề tài này tôi đã nghiên cứu các tài liệu viết về hàm số và đồthị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng như các dạng toán liên quan thường xuấthiện trong các đề thi THPT QG, đề minh họa của bộ, đề thi thử của các trường Córất nhiều vấn đề liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối tuy nhiên tronggiới hạn của đề tài tôi chỉ tập trung nghiên cứu về một số dạng liên quan đến đồ thịhàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng của nó

1.5 Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

 Phương pháp thống kê toán học

Trên cơ sở phân tích kĩ chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích

kĩ đối tượng học sinh Bước đầu mạnh dạn thay đổi từng tiết học, sau mỗi nội dungđều rút kinh nghiệm về kết quả thu được và đi đến kết luận

Lựa chọn các bài tập phù hợp từ dễ đến khó, vận dụng hoạt động năng lực tưduy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng chobài toán

1.6 Điểm mới của đề tài.

Trong nhiều đề thi những năm gần đây thì những bài toán liên quan đến hàmhợp đặc biệt là hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều Vấn đề này

đã gây không ít khó khăn cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và

học tập Sáng kiến kinh nghiệm "Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng" bắt kịp xu thế đổi mới hình thức ra đề, thi cử, đổi mới hoạt động dạy

học trong những năm gần đây, tạo thêm nguồn tài liệu cho giáo viên và học sinh

tham khảo Đề tài của tôi đã cung cấp được hệ thống kiến thức lý thuyết và phươngpháp cụ thể cho các dạng toán được nêu ra Đồng thời cập nhật được các bài tậpmới nhất trong đề thi THPT QG, đề minh họa của bộ và trong các đề thi thử THPT

QG của nhiều tỉnh thành trong cả nước Qua đó HS thấy được sự cần thiết phải họctập chuyên đề này

Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân tôi đã áp dụng đề tài của mình vàogiảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết các em sau đó đã rất chủđộng và hứng thú khi tiếp cận với những bài toán liên quan hàm số chứa dấu giá trịtuyệt đối Từ đó phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo của mình trong học tập

Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong bồi dưỡngHSG, ôn thi THPT quốc gia cho HS khá giỏi, ôn thi GVG trường

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của đề tài.

2.1.1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối.

 Giá trị tuyệt đối của một số thực A, ký hiệu Alà:

biểu thức A x , kí hiệu A (x) là:

 Hai điểmM x y ;  và M x y' ;   đối xứng với nhau qua trục hoành

 Hai điểm M x y ;  và M' x y;  đối xứng với nhau qua trục tung

 Hai điểm M x y ;  và M' x y;  đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O

Từ các phép biến đổi đơn giản này ta có:

y f x m với m 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v0,m (Dịch chuyển đồ

thị theo phương Oy lên trên m đơn vị).

 

y f x  m với m 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v0,m(Dịch chuyển đồ

thị theo phương Oy xuống dưới m đơn vị).

y f x n với n 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v  n,0(Dịch chuyển đồ

thị theo phương Ox sang trái n đơn vị).

y f x n với n 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo vn,0(Dịch chuyển đồ

thị theo phương Ox sang phải n đơn vị).

hàm số y f x  phía bên phải Oy

A khi A A

hàm sốyf x  phía dưới Ox

 

y  f x Thực hiện liên tiếp biến đổi đồ thị y f x  thành đồ

thị y f x  , sau đó biến đổi đồ thị y  f x  thành

Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v  m,0(Tịnh tiến đồ thị

sang trái m đơn vị nếu m  hoặc phải m đơn vị nếu00

m  ), sau đó lấy đối xứng qua trục Ox (Giữ nguyên phần trên Ox ,bỏ phần dưới Ox , lấy đối xứng phần bị

bỏ qua trục Ox )

y f x m

Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v  m,0(Tịnh tiến đồ thị

sang trái m đơn vị nếu m  hoặc sang phải m đơn vị0nếu m  ), sau đó lấy đối xứng qua trục Oy (Giữ0

nguyên phần bên phải Oy , bỏ phần bên trái Oy , lấy đối xứng phần giữ nguyên qua trục Oy ).

(Tịnh tiến sang trái m đơn vị nếu m  hoặc0

phải m đơn vị nếu m  )0

Hệ quả 1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hệ quả 2 Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

2.2 Cơ sở thực tiễn và thực trạng vấn đề nghiên cứu.

Qua số liệu mà tôi đã thu thập được khi đi sâu khảo sát điều tra ở các trườngTHPT Thanh chương 1, THPT Thanh chương 3, THPT Cát Ngạn với 26 giáo viên và

250 em học sinh được khảo sát bằng phiếu thăm dò (Phiếu thăm dò ở phụ lục 1).

 Kết quả nhận được từ phiếu tham khảo ý kiến giáo 26 giáo viên.

Câu hỏi khảo sát

Số GV chọn phương án đưa ra.

Tổng hợp kế quả

1 Trong quá trình dạy

học thầy / cô có gặp khó

khăn khi dạy kiến thức

về hàm số chứa dấu giá

trị tuyệt đối và bài toán

liên quan?

khăn khi dạy đến kiếnthức hàm số chứa dấugiá trị tuyệt đối và bàitoán liên quan?

2.Thầy / cô đã cho học

sinh của mình rèn luyện

nhiều về kiến thức hàm

số chứa dấu giá trị tuyệt

đối trong quá trình

giảng dạy, ôn thi

THPTQG chưa?

học sinh của mình rènluyện nhiều về kiến thứchàm số chứa dấu giá trịtuyệt đối trong quá trìnhdạy học

3.Thầy / cô đã tham

khảo được nhiều tài liệu

hay về kiến thức hàm số

chứa dấu giá trị tuyệt

đối và ứng dụng ?

A Rất nhiều 3 (11,5%) Ít giáo viên đã tham

khảo được các tài liệutham khảo hay về kiếnthức hàm số chứa dấugiá trị tuyệt đối và ứngdụng

 Kết quả nhận được từ phiếu tham khảo ý kiến của 250 học sinh

Câu hỏi khảo sát

Số HS lựa chọn phương

án đưa ra.

Tổng hợp kết quả

1.Khi gặp các bài

toán liên quan đến

hàm số chứa dấu giá

C.Bìnhthường

thức về hàm số chứa

dấu giá trị tuyệt đối

và bài toán liên quan

em thấy như thế nào?

không mấy hứng thú khihọc đến kiến thức về hàm

số chứa dấu giá trị tuyệtđối và bài toán liên quan

C.Bìnhthường

38 (15,2%)

D Khôngthích

190 (76%)

4.Trong những năm

gần đây bài toán về

hàm số chứa dấu giá

trị tuyệt đối xuất hiện

nhiều trong các đề thi

THPTQG, thi thử của

các trường em có

muốn được rèn luyện

nhiều về nội dung

này

muốn được học kiến thức

về về hàm số chứa dấu giátrị tuyệt đối khi biết nhữngbài toán liên quan đến kiếnthức này xuất hiện nhiềutrong các đề thi THPTQG,thi thử của các trường

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh khá e ngại khi khôngnắm được phương pháp giải toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế hơnnữa lại chưa được rèn luyện nhiều về phương pháp giải những dạng toán này Các

em không hứng thú khi giải những bài toán đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Về phía giáo viên.

Nhiều giáo viên gặp khó khăn trong quá trình giảng dạy kiến thức liên quanđến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng Nhiều giáo viên chưa dành thờigian dạy cho học sinh của mình một cách đầy đủ có hệ thống các kiến thức về hàm

số chứa dấu giá trị tuyệt đối.Đa số các thầy cô chưa tham khảo được các tài liệuhay đề cập đến vấn đề này

Một thực tế nữa là trong các kì thi THPTQG, đề minh họa của BộGD&ĐT,đề thi thử của các tỉnh, các trường thì bài toán về “Hàm số chứa dấu giátrị tuyệt đối và ứng dụng” xuất hiện khá nhiều Ví dụ như:

Đề thi minh họa THPT QG của Bộ GD&ĐT năm 2018 có câu:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y x  x  x m

A 3 B 5 C 6 D 4

Đề Thi chính thức THPT QG năm học 2018 – 2019 có câu:

Cho hàm số bậc bay f x  có đồ thị như hình vẽ bên

Số nghiệm thực của phương trình

Để giải được những bài toán về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đòi hỏi họcsinh phải được cung cấp hệ thống lí thuyết và phương pháp cụ thể Đồng thờihướng dẫn HS biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào giải quyết các bài toán

Chính những điều đó đã thôi thúc tôi nghiên cứu và áp dụng nội dung chủ đềdạy học này trong năm học 2020 – 2021 để góp phần nâng cao chất lượng dạy học,

ôn thi THPTQG

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2.3.1.1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Để vẽ đồ thị của hàm số chứa dấu GTTĐ ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.Phân tích hàm đã cho

thành các phần không chứa dấu GTTĐ (Dạng hàm cho bởi nhiều công thức)

Bước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại.

*Các kiến thức liên quan

1.Định nghĩa GTTĐ:

00

+ Phần ĐTHS y 2 3x x 3nằm bên phải Oy (cả những điểm nằm trênOy )

+ Phần đối xứng với phần ĐTHS y 2 3x x 3nằm bên phải Oy qua Oy

Khi đó, ta được đồ thị như hình vẽ:

Dạng 3: Từ đồ thị  C :yf x  suy ra đồ thị C' :y f x 

Phương pháp vẽ đồ thị hàm sốy f x 



Cách 1:

C

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số  C :y u x v x    .

Bước 2:

+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên miềnu x   0

+ Lấy đối xứng với phần đồ thị nằm trên miền u x   0qua trục hoành.

trên miền x  qua 1 Ox

( ) :C y f x( )a

Tịnh tiến đồ thị theo v0,a

(Tịnh tiến đồ thị theophương lên phía trên đơn vị)

4

( ) :C yf x a(  )

Tịnh tiến đồ thị theo va,0

(Tịnh tiến đồ thị theophương qua phải đơnvị)

y f x m Vẽ trước, sau đó tịnh tiến đồ thị theo v0,m (Theo

phương Oy lên trên m đơn vị nếu m  hoặc xuống dưới m đơn0

vị nếu m  0

y f x m Tịnh tiến đồ thị theo v m ,0(Theo phương Ox sang trái m đơn vị

nếu m  hoặc sang phải m đơn vị nếu 0 m  ), sau đó lấy đối0

xứng qua trục hoành (Giữ nguyên phần trên Ox , bỏ phần dưới, lấy đối xứng phần bị bỏ qua trục Ox ).

 

yf x m Tịnh tiến đồ thị theo v m ,0(Tịnh tiến đồ thị theo phương Oxqua

trái m đơn vị nếu m  hoặc sang phải m đơn vị nếu 0 m  ), sau0

đó lấy đối xứng qua đường thẳng x m( Giữ nguyên phần bên

phải đường thẳng x m , bỏ phần bên trái đường thẳng x m,

lấy đối xứng phần giữ nguyên qua đường thẳng x m)

 

yf x m

Vẽ trước, sau đó tịnh tiến đồ thị theo v0,m(Tịnh tiến

theo phương Oy lên trên m đơn vị nếu m  hoặc xuống dưới m0đơn vị nếu m  0

Ví dụ 5: Cho hàm số y f x  có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ

Đồ thị hàm số y f x   là tịnh tiến đồ thị hàm số 1 y  f x  lên trên theo

x y

Đồ thị hàm số yf x 2 được suy ra từ đồ thị hàm sốyf x 2bằng cáchGiữ nguyên phần bên phải đường thẳng x  , bỏ phần bên trái đường thẳng22

x  , lấy đối xứng phần giữ nguyên qua đường thẳng x  2

x y

Đồ thị hàm số y f x  2 được suy ra từ đồ thị hàm số yf x  2 bằngcách giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồthị nằm dưới trục hoành.

x y

-4

x y

Ví dụ 8: Cho hàm sốyf x  có đồ thị như hình vẽ với hai đường nét đứt là

hai đường tiệm cận:

x y

-1 -2 O 2

Vẽ đồ thị hàm số yf x  1.

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số yf x  được suy ra từ đồ thị hàm số y f x  bằng cách giữnguyên phần đồ thị bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung Sau đó lấy đốixứng phần bên phải trục tung qua trục tung

Đồ thị hàm số yf x  1 là tịnh tiến đồ thị hàm số y f x lên trên 1 đơn vị

ĐTHS y f x  ĐTHS y f x 

ĐTHS yf x  1

Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm sốy f x  m.

2.3.1.2 Nhận dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: (THPTNguyễn KhuyếnTPHCM 2020) Cho hàm số

xy

2x 1



 có đồ thị như hình 1 Đồ thị hình 2 là của hàm số nào trong các đáp án dưới đây?

2 x 1



 C

xy

2x 1



 D

xy

2x 1



 Chọn C

Nhận xét: Bài toán này từ đồ thị hàm số y  f x  suy ra đồ thị hàm sốy f x 

nên chỉ cần học sinh nắm được chất đồ thị hàm số y f x  là giải quyết được bàitoán

Ví dụ 2: (Đề tham khảo Bộ GD&ĐT 2017) Hàm số y x 2 x2 1

có đồ thịnhư hình vẽ bên Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y x 2x2  1

?

x y

x y

x y

+) Giữ nguyên phần đồ thị đã cho ứng với x  2

+) Lấy đối xứng phần đồ thị đã cho ứng với x  qua trục Ox2

Ví dụ 3: (Thi thử THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x  có đồ thịhàm số yf x  như hình vẽ.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0) nên chọn A

Nhận xét: Bài toán thuộc dạng đồ thị hàm số y f x 

2.3.2 Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vào các bài toán liên qua đến cực trị của hàm số.

1 Kiến thức liên quan :

 Định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số:

Cho hàm sốyf x xác định và liên tục trên khoảng và điểm x0a b,  a) f x  đạt CĐ tại x0   h 0, f x   f x 0 , x S x h 0,   \ x0

Định lí 1: Giả sử hàm số y f x  liên tục trên khoảng K x0  h x; 0 h và

có đạo hàm trên K hoặc K \  x0 h 0.

a) f x '  0trênx0  h x; 0, f x '  0 trên x x0; 0 h thì x0là một điểm CĐ của

a b; 

4) Dựa vào dấu của f '' x  suy ra tính chất cực trị của x i.

Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác

Nếu hàm số y f x  có số cực trị không nằm trên trục hoành là m, số giao điểmcủa đồ thị hàm số với trục hoành là n Khi lấy đối xứngphần đồ thị  C :yf x 

nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành thì tạo thêm những điểm cực trị mới tại

giao điểm với Ox Vậy số cực trị của hàm số y  f x  là m n

Vậy nếu thị hàm số yf x  có số cực trị dương là m thì hàm số yf x  lấy

đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục tung ta được 2m cực trị,

cộng thêm giao điểm của đồ thị hàm số yf x  với trục tung nữa ta được tổng

cộng là 2m 1 cực trị

2 Các ví dụ minh họa.

 Phương pháp tìm số cực trị của hàm số y f x 

Bước 1: Tìm số cực trị của hàm số y f x là m

Bước 2: Tìm số giao điểm với trục hoành là n

Bước 3: Kết luận số cực trị của hàm số y  f x  là m n

Ví dụ 1 Tìm số cực trị của hàm sốy f x  biết hàm số yf x  có đồ thị như

hình vẽ bên

Hướng dẫn giải:

Số cực trị không nằm trên trục hoành của hàm sốy f x  là 3.

Tìm số giao điểm cắt của đồ thị hàm y f x  với trục hoành là 4

Vậy số cực trị của y  f x  là 3 4 7 

Nhận xét : Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm số y  f x 

Ví dụ 2: (Trích đề tham khảo Bộ GD&ĐT 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên

Do hàm số f x  có ba điểm cực trị không nằm trên Ox nên hàm số y f x  có

4 điểm cực trị khi phương trình f x   0 có 4 nghiệm

Nhận xét : Đây là dạng toán liên quan đến số cực trị của hàm số y f x  

Tavận dụng phương pháp tìm số số cực trị của hàm số y f x   để giải

Ví dụ 3: (Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2021)

Cho hàm bậc ba y f x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số h x   f sinx  1 có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn 0;2 

Phương trình sin x cho 2 nghiệm thuộc đoạn 0;2 

26

Nhận xét: Trong bài toán trên thì để tìm được số cực trị của hàm số y h x   đòihỏi phải tìm được số cực trị của hàm số y g x  và số giao điểm của ĐTHS

y f x có 4 cực trị Suy ra f x   0 có tối đa 5 nghiệm phân biệt.

Do đó yf x  có tối đa 9 cực trị Số cực trị của hàm số yf x  bằng số cựctrị của hàm sốy  f 1 2018 x Vậy hàm số y f 1 2018 x có tối đa 9 cựctrị

Nhận xét: Đây là dạng toán liên quan đến phép tịnh tiến đồ thị, đồ thị hàm số

 

y  f x và số cực trị của hàm sốy f x  Để giải được bài toán này thì ngoàiviệc nắm được phương pháp tìm cực trị thì HS cần nắm được các phép biến đổi đồthị

Ví dụ 5: (Thi THPTQG2020 lần 2 - Mã 101)

Cho hàm số f x  có f  0 0 Biết yf x  là hàm số bậc bốn và có đồ thị làđường cong trong hình bên Số điểm cực trị của hàm số g x( )  f x 3  x

0 0 0

 Phương pháp tìm số cực trị của hàm số yf x .

Bước 1: Tìm số cực trị dương của hàm số y f x  là m

Bước 2:Kết luận số cực trị của yf x  là 2m 1

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau:

Hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Ví dụ 3: (THPT Kinh Môn Hải Dương lần 2- 2021)

Cho hàm số y f x  Đồ thị của hàm số y f x'  như hình dưới

Hàm số g x  f x 2021có bao nhiêu điểm cực trị?

0  

Chọn A.

Nhận xét: Đây là bài toán kết hợp phép tịnh tiến đồ thị và bài toán tìm cực trị của

hàm tuy nhiên bài toán chỉ cho đồ thị của hàm số yf x  nên việc phát hiện sốcực trị dương của đồ thị hàm số yf x đòi hỏi phải linh hoạt khi quan sát đồ thịcủa hàm số y f x 

Ví dụ 4: ( Thi thử THPTGia Bình 2019) Cho hàm số y f x( )có bảng biến thiênnhư sau

Ví dụ 5: (Thi thử THPT Kinh Môn - 2018)

Cho hàm sốy f x( )x3 (2m 1)x2 (2 m x) 2.Tìm tất cả các giá trị của

2

03

m m

m m

Ví dụ 6: (Thi thử THPT Minh Khai 2019) Cho hàm số Cho hàm số y f x 

liên tục trên  và hàm số g x  2f x   x2 2x2019 Biết đồ thị hàm số

Đường thẳng y x  1 đi qua các điểm 1 ; 2 , 1 ; 0, 3 ; 2

Quan sát vào vị trí tương đối của hai đồ thị trên hình vẽ, ta có BBT của hàm số

 x

y g như sau:

Đồ thị hàm số y g x   nhận trục Oy làm trục đối xứng nên từ BBT trên ta suy

ra BBT của hàm số y g x   như sau:

Vậy hàm sốy g x   có 5 điểm cực trị.

Nhận xét: Học sinh dễ dàng nhận ra dấu hiệu ban đầu của bài toán là tìm cực trị

của hàm y g x   Tuy nhiên việc lập được BBT của hàm số y g x  đòi hỏihọc sinh phải tìm được cực trị của hàm số y g x  dựa vào đồ thị hàm số

’

 13 

 3 g(2)0

Suy ra đồ thị hàm số y g x   có ba điểm cực trị không nằm trên trục hoành và

bốn giao điểm với Ox

Vậy đồ thị hàm số y h x   g x  có số cực trị là 3 4 7  Chọn B

Nhận xét: Tương tự như ví dụ 6 thì bài toán này gây khó khăn cho học sinh trong

việc lập BBT của hàm số y = g(x) khi phải linh hoạt để tìm được các cực trị củahàm số y = g(x)

Ví dụ 8: (Thi thử THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ NỘI - 2021)

Cho hàm số f x    x3 mx2  nx  1 với ,m n là các tham số thực thỏa mãn

(do f x  là đa thức bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.)

Như vậy đồ thị của hàm số yf x  có 2 điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung

Ta phác họa đồ thị y f x như sau:

x y

Từ đó suy ra đồ thị yf x  như hình bên dưới

1.Kiến thức liên quan.

 Bài toán tương giao cơ bản.

– Giả sử hàm sốyf x có đồ thị  C1 và hàm sốy g x  thị là C2.

– Khi đó hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình hoành

độ giao điểm: f x  g x 

– Giả sử x x1, 2 nghiệm của phương trình thì giao điểm của  C1 vàC2 là:

 Bài toán biện luận số nghiệm phương trình đơn giản.

Xét phương trình: F x m  ,  0 1 .

– Biến đổi (1) về dạng: f x  g m (2)

– Khi đó (2) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:

 C y: f x  và d y g m:   (trong đó yf x thường là hàm số đã được khảosát và vẽ đồ thị, (d) là đường thẳng cùng phương với trục hoành)

 

– Dựa vào đồ thị (C), từ số giao điểm của (C) và (d) ta suy ra số nghiệm của (2),cũng là số nghiệm của (1).

 Biện luận số nghiệm phương trình f x  m m 0(1).

– Dựa vào đồ thị  C , từ số giao điểm của  C và  d1 , d2suy ra số nghiệm

của (2) cũng là số nghiệm của (1)

 Biện luận số nghiệm phương trình f x  m 3  

– Từ đồ thị hàm số yf x  suy ra đồ thị hàm số yf x 

– Khi đó (3) có thể xem là pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: C y: f x  và

 d :y m

– Dựa vào đồ thị  C , từ số giao điểm của C và  d ta suy ra số nghiệm của (3).

 Biện luận số nghiệm phương trình f x  m m 0

(4).

– Từ đồ thị hàm số y f x  suy ra đồ thị hàm số y f x 

.– Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:

 C y:  f x 

và  d :y m – Dựa vào đồ thị  C , từ số giao điểm của  C và d ta suy ra số nghiệm của (4).

2 Ví dụ minh họa:

 Bài toán tương giao liên quan đến đồ thị hàm số y  f x 

Ví dụ 1: (THPT Tiên Du– Bắc

Ninh-2020)

Cho hàm số y f x có đồ thị trong

hình vẽ bên

Hướng dẫn giải:

Suy ra phương trình f x  2  có 23nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0;5.

Nhận xét: Học sinh vẽ được ĐTHSy f x m   thì bài toán được giải quyết

Ví dụ 3: (Trích đề thi THPTQG năm 2019-2020 , Mã 103) Cho hàm số bậc ba

 

y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số nghiệm thực của phương trình  3  3



f t