Phát triển năng lực toán cho học sinh THPT từ bài toán diện tích tam giác

Nguyên nhân sâu xa là việc học sinh nắm kiến thức từngphần chưa chắc còn lỏng lẻo hời hợt, hơn nữa việc vận dụng kiến thức vào giảitoán Hình học không linh hoạt không nắm được vào cái đí

4 III Ứng dụng giải các bài toán về tỷ số 13

5 IV Ứng dụng giải bài toán trong tọa độ phẳng 19

6 V Ứng dụng giải bài toán bất đẳng thức, cực trị 24

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài:

Toán học là bộ môn khoa học quan trọng có nhiều ứng dụng trong cuộcsống Do đó việc giảng dạy truyền thụ kiến thức toán học trong nhà trường đối vớimỗi giáo viên và việc học Toán tiếp thu kiến thức với học sinh là một nhiệm vụ hếtsức quan trọng Quá trình dạy và học luôn là một quá trình động theo hướng pháttriển, tìm tòi ngày càng cao Đứng trước yêu cầu đổi mới phương pháp giáo dụchiện nay, mỗi người giáo viên hoàn toàn phải tự mình nghiên cứu những vấn đềgặp phải Trong thực tế giảng dạy, để tìm cách giúp học sinh tiếp thu kiến thức mộtcách mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo thì người giáo viên cũng phải có cách truyềnđạt linh hoạt và sáng tạo

Ngoài ra đối với mỗi người giáo viên nghiên cứu khoa học là nhiệm vụnhằm không ngừng nâng cao trình độ nghiệp vụ Với yêu cầu thực tế và suy nghĩnhư vậy, với trách nhiệm là một giáo viên tham gia giảng dạy trực tiếp tôi xin đónggóp những suy nghĩ và hướng giải quyết trong đề tài này mong muốn góp phần vàogiải quyết một vấn đề khó khăn mà chúng ta thường gặp phải khi đứng lớp

Do Hình học mang tính chất tư duy, trừu tượng cao dẫn đến học sinh ngạihọc hình Điều này nói lên thực tế việc dạy và học hình học ở trường THPT hiệnnay còn nhiều bất cập Nguyên nhân sâu xa là việc học sinh nắm kiến thức từngphần chưa chắc còn lỏng lẻo hời hợt, hơn nữa việc vận dụng kiến thức vào giảitoán Hình học không linh hoạt không nắm được vào cái đích của một vấn đề,không tìm được hướng giải chính cho từng bài toán riêng biệt Để dần đưa trình độhọc sinh lên tiếp cận với những kiến thức cao hơn tôi lựa chọn và giới thiệu chuyên

đề

"Phát triển năng lực toán cho học sinh THPT từ bài toán diện tích tam giác”

Nội dung chuyên đề bó gọn trong việc giới thiệu các bài toán tính toán và sửdụng phương pháp diện tích vào giải quyết một số bài tập mà nếu dùng các phươngpháp thông thường sẽ gặp khó khăn nhưng nếu sử dụng phương pháp diện tích ta

sẽ có một lời giải hay và linh hoạt Trong phạm vi đề tài này ta không bàn đến việcthay đổi cách dạy cách học của cả bộ môn Hình học mà ta chỉ nói đến một vấn đềhọc sinh gặp rất nhiều khó khăn đó là đứng trước những bài toán tính toán diện tích

và áp dụng diện tích để chứng minh các đại lượng không đổi, các bài toán về bấtđẳng thức, cực trị trong hình học học sinh thường không biết suy nghĩ bắt đầu từđâu, hướng suy nghĩ như thế nào và cái đích cần nhắm tới là gì?

Đứng trước bài toán ta có thể có nhiều hướng suy nghĩ nhiều cách giảinhưng chắc chắn mỗi bài toán đều có điều chốt căn bản mà ta cần bám vào để khai

thác Như trên đã nói đề tài này tập trung vào giải quyết các bài toán tính toán diệntích và sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh các bài toán hình học khác.

Để làm tốt các dạng bài tập này, trước hết cần giúp cho học sinh nắm chắccác nội dung kiến thức liên quan đến diện tích Ngoài ra để giải được các bài toánvới mức độ yêu cầu cao về suy luận thì học sinh phải có sự phán đoán, biến đổilinh hoạt các công thức, đôi khi cần phải có một cách nhìn tổng quát để có thể cắtghép hình một cách hợp lý

Với mục đích giúp cho học sinh có một cái nhìn khái quát, hướng suy nghĩđúng đắn để tìm tòi lời giải cho một bài toán, Nội dung chính tôi muốn trình bàytrong đề tài này là qua những ví dụ thực tế, bài tập thường gặp ở trường phổ thông

mà có thể sử dụng phương pháp diện tích để tìm ra lời giải đơn giản ngắn gọn và

dễ hiểu Qua những ví dụ cụ thể như vậy học sinh tiếp cận được một phương pháp

mà thường học sinh không quen sử dụng đó là phương pháp diện tích trong chứngminh Hình học Bằng cách đó tạo cho học sinh hứng thú hơn với loại toán này nóiriêng và Hình học nói chung Từ đó yêu cầu học sinh tiếp tục tìm tòi nghiên cứu vàsáng tạo hơn trong việc học Toán ở nhà trường

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu, phân tích, đánh giá tình hình thực tế trong giảng dạy bộ môn toán

ở trường THPT Trên cở sở những ưu khuyết điểm đề ra giải pháp thực hiện Đồngthời rút ra bài học kinh nghiệm từ thực tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu cách dạy của GV, cách học của học sinh ở các lớp đại trà và lớp bồi dưỡng HSG môn toán của trường THPT Nam Đàn 2

4 Mục tiêu đề tài:

Đối với giáo viên:

+Phục vụ giảng dạy và thi giáo viên giỏi

5 Nội dung đề tài gồm 5 phần chính

I Bài toán nền cơ bản

II Ứng dụng chứng minh một số định lý hình học

III Ứng dụng giải các bài toán về tỷ số

IV Ứng dụng giải bài toán trong tọa độ phẳng

V Ứng dụng giải bài toán bất đẳng thức, cực trị.

6 Các phương pháp nghiên cứu chính

+ Điều tra tìm hiểu việc dạy và học ở các lớp bồi dưỡng HSG

+ Dự giờ rút kinh nghiệm giảng dạy

+ Phân tích đánh giá quá trình tiếp thu bài học của học sinh thông qua kiểm tra, trắc nghiệm

+ Tham khảo các bài viết, các ý kiến trao đổi về việc dạy và học toán trong các cuộc thảo luận về đổi mới phương pháp giảng dạy, trong các tài liệu và sách tham khảo về bộ môn toán

Trong quá trình nghiên cứu và thể nghiệm đề tài này, tôi nhận được rất nhiều

ý kiến đóng góp quý báu của bạn bè đồng nghiệp Khi bắt tay vào viết đề tài này

do quỹ thời gian có hạn nên không thể tránh khỏi sai sót Tôi rất mong tiếp tục nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo để để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn !

B NỘI DUNG

I BÀI TOÁN NỀN CƠ BẢN

Để làm tốt các dạng bài tâp, trước hết cần giúp học sinh nắm chắc các nội dung kiến thức liên quan đến diện tích

a) Các công thức tính diện tích tam giác:

+) a b c, , là các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng A B C, ,

+) h h h a, ,b c là các đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A B C, ,

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

+) , ,r r r là bán kính đường tròn bàng tiếp (tiếp xúc ngoài tam giác) a b c

Bổ đề 1: Nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đường cao,

nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số đáy

Bổ đề 2: Cho tam giác ABC, D và E là các điểm thuộc đường thẳng AB và

AC Khi đó ABC .

ADE

S AB AC

c) Công thức tính diện tích của tứ giác

- Diện tích tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo nhân với góc tạo bởi hai đường chéo

- Nếu tứ giác có hai đường chéo vuông góc thì diện tích tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo.

AB C AB C AB C ABC AB C ABC

Cách 2: Dựa vào công thức tính diện tích thứ 2

AB C ABC

AB C ABC



Giải: Bài toán 1.4 là trường hợp đặc biệt của bài toán 1.3

Từ tính chất song song B C1, 1/ /BC  AB C1 1 ABC (k là tỷ số đồng dạng)

Ta có "Tỷ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỷ số đồng dạng."

Bài toán 1.5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp được và có các cạnh a b c d, , , Chứng

minh rằng diện tích tứ giác đó được tính theo công thức sau:

S  p a p b p c p d    , trong đó p là nửa chu vi tam giác

Giải:

Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh là a b c d, , , (hình bên)

Khi đó: A C   1800 nên sinCsinA

Gọi Q R P, , là các tiếp điểm của

đường tròn bàng tiếp (J,r )a lần lượt

Bên cạnh các phương pháp như sử dụng phép biến hình, phương pháp

véc-tơ, phương pháp tọa độ thì phương pháp diện tích là một phương pháp mạnh đểgiải toán hình học, chứng minh các định lý, công thức

Các công thức tính bán kính các đường tròn đặc biệt trong tam giác, định lýPythagore, Ceva, Menalaus, tính chất đường phân giác, đường thẳng Newton, định

lý Carnot đều có những cách chứng minh gọn gàng thông qua diện tích

Bài toán 2.1: (Định lý Pi ta go) Chứng minh rằng trong một tam giác vuông thì

bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông

Bài toán 2.2: (Tính chất đường phân giác) Cho tam giác ABC,

AD là đường phân giác trong Chứng minh rằng DB AB

ài toán 2.3 (Định lý Mê-nê-la-uýt)

Cho ABC , vẽ đường thẳng  cắt AB AC BC, , (kéo dài) lần lượt tại M N P, ,

ài toán 2.4: (Định lý Carnot)

Cho tam giác ABC nhọn có , , d d d lần lượt là khoảng cách từ tâm đường a b c

tròn ngoại tiếp O đến các cạnh BC CA AB, , Gọi R r, lần lượt là bán kính đường

tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác Khi đó ta có hệ thức:

ài toán 2.5: (Định lý Xê-va) Cho tam giác ABC D E F, , là các điểm trên các

cạnh BC AC, và AB Chứng minh rằng AD BE, và CF đồng quy khi và chỉ khi

DB EC FA

DC EA FB 

Giải:

DC S EA S FB S

Suy ra OBD . OEC. OAF

OCD OEA OBF

S OE OA S OB OF S OC OD

(2)

Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh.

B

ài toán 2.6: (Đường thẳng Newton) Chứng minh rằng trong một tứ giác ngoại

tiếp thì tâm đường tròn nội tiếp và trung điểm của hai đường chéo cùng thuộc một đường thẳng

S S S S  S

12

Suy ra S IAB  S AMB S CMD  S ICD

Hay S AMI  S BMI S CMI  S DMI

Mà S MBI S DMI nên S AMI S CMI, do đó MI đi qua trung điểm của AC hay

, ,

M I N thẳng hàng

III ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỶ SỐ

B

ài toán 3.1 : Cho ABCđều cạnh a M là điểm bất kỳ thuộc miền trong (cả bờ)của tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác khôngđổi

Giải:

Chứng minh MH MI MK  không đổi

Ta có SMBC  SMCA  SMAB  SABC

    , với mọi M thuộc

miền trong, kể cả bờ của tam giác đều

h A M

h  A A )

1 1

P R, trong đó r R, lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp

và ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

Đọc đề toán, vẽ hình ta thấy MNP chưa

có mối liên quan gì (Kể cả vị trí và tính chất)

với tam giác ABC mà chỉ hy vọng ở tính chất

chung tỷ số 1/3 và tính bình đẳng (tương tự) của

hình vẽ Phải khai thác triệt để hai ý này

Ta có:

* SABC S1S2S3S4S5S6S7 S

1 2 3

1 3

S S S  S; 3 4 5

1 3

S S S  S; 5 6 1

1 3

S  S; 5

1 21

S  S

1 3 5

1 7

phần sau (Vì bài toán 3.1 ta vận dụng tính chất đường thẳng song song cạnh tamgiác (Đường trung bình)).

1 4

Áp dụng tính chất đường trung bình của , tính chất hình bình hành ABCD;MNPQ ta suy ra được

1 1

S S S S S  S

Bước này có thể giải cách khác nữa

* Chứng minh như trên

AQ = QM = 2AM1

* Kết quả bài toán 1.3, ta có

2 1

OB S S

OB S  S

2 3

1 1 '

S S

S S OA

S S OB

OB  S  8

OA OB OC

OA OB OC  ( đpcm)

Bài toán 3.7: Cho đoạn BC = a cố định

Xác định vị trí điểm A trên đường thẳng  sao cho: SABC k2( k cho trướckhông đổi)

SABC  a  (1)

h a

(2) (ha là đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC; ha = h (không đổi)

 A và A d1 hoặc A  và A d2

Vậy nếu d1 cắt , d2 cắt  (BC không song song với )

Bài toán 3.8: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 2m (không đổi) Tìm hình

b a

Mà D thuộc 1/2 đường tròn, DEAC  D là trung điểm của cung AC.Vậy AB = BC = m2

 Shcn lớn nhất

Từ lời giải này ta có thể đề xuất bài toán tương tự:

Bài toán 3.9: Trong tất cả hình chữ nhật nội tiếp 1 đường tròn tâm O, bán kính R

cho trước Xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Giải: Ta có Shcn = 2S (Diện tích tam giác vuông có cạnh là đường kính)

S lớn nhất là tam giác vuông cân.

IV ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG

Ta xét bài toán sau

Bài toán 4.1: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1;0), B(2;1) và

C(3;5) Hãy tính diện tích của tam giác ABC

Thông thường thì học sinh chọn giải theo các cách sau:

Cách 1 (đã học chương II, hình học 10): Vận dụng công thức Hê - rông

)(

(p a p b p c p

SABC    

2 2 2 2

) 2 ) 17 29 )(

29 17 2 )(

17 29 2 )(

17 29 2



= …Cách giải quyết này khá là phức tạp và dài Đòi hỏi học sinh phải rất cẩnthận và vất vả để có được kết quả tối ưu

Cách 2 (đã học chương III, hình học 10): Dùng phương trình đường thẳng để ápdụng công thức về khoảng cách nhằm tính độ dài đường cao và suy ra diện tíchcần tìm

Ta có phương trình cạnh BC là: 2 1 4x - y - 7 = 0

x y

Khi đó chiều cao AH của tam giác ABC bằng khoảng cách từ A đến cạnh BC.

17

3 17

7 0 1 1 4 )

1

Trong cách giải này đòi hỏi cần có lượng kiến thức về hình học giải tíchnhiều và phải giải quyết theo hướng gián tiếp làm cho HS thấy khó hơn HS cầnthành thạo các kiến thức thì mới làm tốt bài toán này

Bài toán 4.2: Trong hệ trục Oxy, cho M(0;3) và N(1;2) Hãy tìm trên trục hoành

điểm P sao cho diện tích tam giác MNP bằng 2021.

Thông thường thì học sinh với các kiến thức được học thường giải theohướng sau:

+Viết phương trình đường thẳng MN, tính độ dài đoạn MN

+Gọi P(m;0) thuộc Ox là điểm thỏa mãn

+ Khi đó tính h là khoảng cách từ P đến MN và áp dụng công thức

S = ah/2 để tìm m.

Trong hai bài toán trên các cách giải khá phức tạp đòi hỏi học sinh cần có sựlinh hoạt và tư duy tốt Quá trình tính toán cũng khá phức tạp và dài dòng

Bây giờ ta xây dựng một công thức về diện tích tam giác khá thú vị

Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC Gọi A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) và C(x C ; y C )

Khi đó ta có:

A bc bh

S ABC b sin

2

1 2

2

2

1 cos

1 2

1

A bc c b A

2 2 2 2 2 1

2 x AC y AC x AB y AB x AB x AC y AB y AC

                                                                                                                      

AC AB AC

Áp dụng giải bài toán 4.1 ta có: AB( 1 ; 1 ); AC( 2 ; 5 ) khi đó áp dụng công thức (*)

ta có diện tích tam giác ABC là: SABC 12 x ABy AC y ABx AC 23

Cách giải quyết này tỏ ra rất đơn giản và hiệu quả Không cần phải tính toánnhiều mà chỉ cần áp dụng công thức

Áp dụng giải bài toán 4.1 ta gọi P (m;0), (m  -3) thuộc Ox là điểm cần tìm.

Khi đó ta có: MN( 1 ; 1 ) và MP(m;  3 )

2

1 2

3 4042 2

m m





  



Suy ra P(4027;0) và P(-40;0) là hai điểm cần tìm

Như vậy chúng ta có thể thấy rõ ưu thế của công thức (*) là tính toán rất ngắn gọn

và không rườm rà phức tạo Đặc biệt tư duy toán đơn giản chỉ cần áp dụng côngthức

Hơn nữa khi công thức chỉ được xây dựng bằng kiến thức cơ bản của diệntích tam giác nên qua công thức này lượng bài tập dành cho học sinh sẽ đa dạng vàphong phú thêm

Bài toán 4.3: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, với A(3;m), B(m+1;-4) Xác

định m để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải: Ta có OA( 3 ;m); OB(m 1 ;  4 ) Khi đó

) 1 ( ) 4 ( 3 2

1 2

) 4

47 ) 2

1 ((

2

1 ) 12 (

+ Tính khoảng cách từ O đến AB theo m

+ Áp dụng công thức diện tích s = 1/2ah

+ Biến đổi để có được hàm theo m

+ Xét hàm để có giá trị m

Cách khác nhìn chung là dài, tính toán phức tạp và qua nhiều bước mới có đượcbiểu thức về diện tích tam giác nhưng cách giải trên tỏ ra đơn giản, ngắn gọnkhông tiêu tốn nhiều sức

Bài toán 4.4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1).Trên trục Ox,

lấy điểm B có toạ độ (xB; 0), trên trục Oy lấy điểm C có toạ độ (0; yC) sao cho tamgiác ABC vuông tại A Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớnnhất

Giải: Gọi B(b;0) và C(0;c) b 0;c 0 khi đó ta có

) 1

; 2 (b 

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

b c

b c AC

2 ( 2

1 2

10 4

Để diện tích max  khoảng cách A tới BC max

Đến đây tìm giá trị lớn nhất biểu thức kết hợp điều kiện

Bài toán 4.5: Cho hàm số 2 11







x x y

Xác định m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số trên tại điểm A, Bphân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 (O là gốc tọa độ) (trích trong

đề TS khối B - 2010)

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm

0 1

) 4 ( 2 2

m x

m x x

x

0 8

2







 m với mọi m suy ra đường thẳng y = -2x + m luôn cắt đồ thị hàm

số trên tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m

Gọi A(x1;y1);B(x2;y2) khi đó

1 2 2 1

2

1 2

1

y x y x x

y y x

SOAB  OA OB  OA OB  

) (

2

1

2

1 x x

m 



Theo bài ra ta có diện tích tam giác OAB bằng 3 nên

12 ] 4 ) [(

) (

2

1

2 1

2 2

 m x x m x x x x

2 12

4 0

48

2 2

m

Cách khác: + Tính khoảng cách từ O đến AB

+ Tính độ dài đoạn AB+ Áp dụng công thức diện tích là lập mối quan hệ

Bài toán 4.6: Trong hệ trục tọa độ phẳng Oxy, cho A(0;-3) và B(4;0), xác định tọa

độ M nghiệm đúng phương trình (x-1)2 + (y-2)2 = 9 sao cho SMAB lớn nhất, nhỏnhất