Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề tr

Giải toán xác suất tạo cho học sinh khả năng nhận thức và phân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suất của nhiều sự phụ thuộc trong thự

1

MỤC LỤC

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 3 1.1 Lý do chọn đề tài Trang 3 1.2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài Trang 3 1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trang 4 1.4 Giới hạn của đề tài Trang 4 1.5 Phương pháp nghiên cứu Trang 4 1.6 Bố cục của đề tài SKKN Trang 4 Phần II NỘI DUNG Trang 5 1.1 Thực trạng của đề tài Trang 5 1.2 Cơ sở lý thuyết Trang 5 1.3 Cơ sở thực tiễn Trang 5 Chương 2 Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong

giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư

duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

Trang 6

2.1 Một số kiến thức cơ bản Trang 6 2.1.1 Một số vấn đề cơ bản về tư duy Trang 6 2.1.2 Nội dung chủ đề tổ hợp, xác suất trong chương trình THPT… Trang 9 2.2 Sử dụng phương pháp luận, tổ hợp và luật tích trong giải toán xác

suất Trang 12 2.3 Phân loại các dạng toán xác suất có sử dụng phương pháp tổ hợp và

luật tích Trang 25 2.3.1 Phép thử một lần thực hiện Trang 25 2.3.2 Phép thử hai lần thực hiện Trang 31 2.3.3 Phép thử ba lần thực hiện Trang 32 2.3.4 Phép thử nhiều lần thực hiện Trang 35 2.4 Một số ứng dụng của bài toán xác suất trong các tình huống thực

tiễn Trang 39 2.5 Bài tập tự luyện Trang 46 Chương 3 Tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu Trang 48

2

Phần III KẾT LUẬN Trang 50 PHỤ LỤC Trang 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 57

3

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý do chọn đề tài

Thống kê và xác suất được xác định là một trong ba mảng kiến thức quan trọng của môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông mới

Giải toán xác suất là một nội dung toán học trong nhà trường, góp phần tăng

cường tính ứng dụng và giá trị thiết thực của giáo dục toán học Giải toán xác

suất tạo cho học sinh khả năng nhận thức và phân tích các thông tin được thể hiện

dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suất của nhiều sự phụ thuộc

trong thực tế, hình thành nâng cao sự hiểu biết và phương pháp nghiên cứu thế giới hiện đại cho học sinh

Một cách ngắn gọn và dễ hiểu, việc hiểu lý thuyết xác suất là quan trọng để

suất bao hàm cả những việc xảy ra trong đời sống hàng ngày của con người ở bất

mà ở đó chúng ta có thể biểu diễn các biến cố ngẫu nhiên, các tính không chắc chắn của các sự kiện xảy ra trong vũ trụ, trong tự nhiên, trong đời sống hàng ngày

sinh không còn lo sợ và gặp sai lầm trong giải toán, đồng thời giúp học sinh phát triển năng lực toán học trong đó có năng lực tư duy và lập luận toán học, cách nhìn

và cách ứng phó với thế giới đầy biến động trong tương lai, đặc biệt như thế giới đang diễn ra, khi một chuyện hôm nay là đúng, ngày mai có thể đã không còn đúng nữa

Hơn thế nữa Bài toán xác suất là một trong những bài toán hay và khó trong chương trình Toán lớp 11 và trong các đề thi tốt nghiệp đại học và kì thi học sinh giỏi các cấp Khi giải các bài toán này thì học sinh cần phải tư duy lập luận toán học, biết phân loại dạng toán và biết vận dụng nhiều thuật toán trong đó sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích là một trong các cách sẽ giúp học sinh giải quyết được hàng loạt các bài toán xác xuất, có hứng thú hơn trong học tập

và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực

tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.”

1.2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

+) Nghiên cứu bài toán xác suất trong đề thi học sinh giỏi, tốt nghiệp, đại học và những vấn đề xác suất trong thực tiễn, từ đó giúp học sinh biết phân loại và

sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất qua đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải lớp các bài toán tương tự

+) Tìm tòi, sưu tầm các cách giải bằng tổ hợp và luật tích, cách lập luận tư duy qua đó giúp học sinh giải và phân loại các bài toán

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+) Học sinh ôn thi tốt nghiệp, đại học, ôn thi HSG cấp tỉnh

4

+) Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

1.4 Giới hạn của đề tài

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các bài toán xác suất THPT theo cách giải tổ hợp và luật tích

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi

đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài

Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)

Chương 1 Cở sở lý thuyết và thực tiễn

Chương 2 Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

Chương 3 Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu

+) Giải toán xác suất dạy cho ta cách tư duy đúng đắn và mạch lạc nhất trên

dữ liệu hay hiện tượng quan sát được trong cuộc sống hàng ngày Nó không chỉ bởi vẻ đẹp toán học mà vì ý nghĩa thực sự của nó trong cuộc sống

+) Bài toán xác suất xuất hiện nhiều trong các đề thi và vấn đề trong thực tiễn nhưng học sinh chưa biết tư duy và lập luận đúng đắn chưa biết phân loại và

sử dụng cách giải nào nên còn khó khăn và mắc nhiều sai lầm trong giải toán Do

đó đòi hỏi giáo viên phải có phương pháp dạy và hướng dẫn học sinh học

+) Bài toán xác suất đa dạng, nhiều loại, nhiều cách giải, nhiều trường hợp khác nhau Không ít học sinh khi học toán xác xuất rơi vào tình trạng lúng túng khi xem các cách giải khác nhau, trong đó có cách giải sai nhưng không phân biệt được, không biết sai ở đâu phân tích vấn đề khi giải toán không chặt chẽ chính xác Chưa biết quy lạ về quen

1.2 Cơ sở lý thuyết

1.2.1 Kiến thức về năng lực tư duy và lập luận toán học

1.2.2 Kiến thức cơ bản về tổ hợp - xác suất

1.3 Cơ sở thực tiễn

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Lê Lợi nói riêng (chất lượng đầu vào thấp), tư duy hệ thống, logic và lập luận của các em còn hạn chế Lượng kiến thức về tổ hợp xác suất trình bày trong các đề thi rất ít bài không thể áp dụng trực tiếp các tính chất, mà thường phải tư duy lập luận sử dụng các phương pháp để giải

Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải Cụ thể năm 2019-

2020, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau:

6

Chương 2

Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

2.1 Một số kiến thức cơ bản

2.1.1 Một số vấn đề cơ bản về tư duy

2.1.1.1 Khái niệm tư duy

Theo Từ điển triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận,… Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”

Theo Từ điển tiếng Việt phổ thông: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào nhận thức bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”

2.1.1.2 Đặc điểm cơ bản của tư duy

2.1.1.2.1 Tính có vấn đề

Khi gặp những tình huống mà vấn đề hiểu biết cũ, phương pháp hành động

đã biết của chúng ta không đủ giải quyết, lúc đó chúng ta rơi vào “tình huống có vấn đề”, và chúng ta phải cố vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết cũ để đi tới cái mới, hay nói cách khác chúng ta phải tư duy

2.1.1.2.2 Tính khái quát

Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng Do đó, tư duy mang tính khái quát

2.1.1.2.3 Tính độc lập tương đối của tư duy

Trong quá trình sống con người luôn giao tiếp với nhau, do đó tư duy của từng người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân vừa chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua những hoạt động có tính vật chất Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể người mà còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xã hội trong khi vẫn duy trì được tính cá thể của một con người nhất định Mặc dù được tạo thành

từ kết quả hoạt động thực tiễn nhưng tư duy có tính độc lập tương đối Sau khi xuất hiện, sự phát triển của tư duy còn chịu ảnh hưởng của toàn bộ tri thức mà nhân loại đã tích lũy được trước đó Tư duy cũng chịu ảnh hưởng, tác động của các

lý thuyết, quan điểm tồn tại cùng thời với nó Mặt khác, tư duy cũng có logic phát triển nội tại riêng của nó, đó là sự phản ánh đặc thù logic khách quan theo cách hiểu riêng gắn với mỗi con người Đó chính là tính độc lập tương đối của tư duy

7

2.1.1.2.4 Tư duy quan hệ chăt chẽ với ngôn ngữ

Nhu cầu giao tiếp của con người là điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ Kết quả tư duy được ghi lại bằng ngôn ngữ Ngay từ khi xuất hiện, tư duy đã gắn liền với ngôn ngữ và được thực hiện thông qua ngôn ngữ Vì vậy, ngôn ngữ chính là cái vỏ hình thức của tư duy Ở thời kì sơ khai, tư duy được hình thành thông qua hoạt động vật chất của con người và từng bước được ghi lại bằng các kí hiệu từ đơn giản đến phức tạp, từ đơn lẻ đến tập hợp, từ cụ thể đến trừu tượng Hệ thống các kí hiệu đó thông qua quá trình xã hội hóa và trở thành ngôn ngữ Sự ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển nhảy vọt của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ Ngôn ngữ với tư cách là hệ thống tín hiệu thứ hai trở thành công cụ giao tiếp chủ yếu giữa con người với con người, phát triển cùng với nhu cầu của nền sản xuất xã hội cũng như sự xã hội hóa lao động

2.1.1.2.5 Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Tư duy là kết quả của nhận thức đồng thời là sự phát triển cao cấp của nhận thức Xuất phát điểm của nhận thức là những cảm giác, tri giác và biểu tượng… được phản ánh từ thực tiễn khách quan với những thông tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách riêng lẻ Giai đoạn này được gọi là tư duy cụ thể Ở giai đoạn sau, với sự hỗ trợ của ngôn ngữ, hoạt động tư duy tiến hành các thao tác so sánh, đối chiếu, phân tích, tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông tin đơn lẻ, gắn chúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những cái ngẫu nhiên, không căn bản của sự việc để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật, hiện tượng, quy nạp nó thành những khái niệm, phạm trù, định luật… Giai đoạn này được gọi

là giai đoạn tư duy trừu tượng

Từ những đặc điểm trên đây của tư duy, ta có thể ra kết luận:

- Phải coi trọng việc phát triển tư duy cho học sinh Bởi lẽ, không có khả năng tư duy học sinh không học tập và rèn luyện được

- Muốn kích thích học sinh tư duy thì phải đưa học sinh vào những tình huống có vấn đề và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết tình huống có vấn đề

- Việc phát triển tư duy phải được tiến hành song song và thông qua truyền thụ tri thức Mọi tri thức đều mang tính khái quát, nếu không tư duy thì không thực sự tiếp thu, lại không vận dụng được những tri thức đó

- Việc phát triển tư duy phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ Bởi lẽ có nắm vững ngôn ngữ thì mới có phương tiện để tư duy có hiệu quả

- Tăng cường khả năng trừu tượng và khái quát trong suy nghĩ

- Việc phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lực quan sát và trí nhớ Bởi lẽ, thiếu những tài liệu cảm tính thì tư duy không thể diễn

ra được

- Để phát triển tư duy không còn con đường nào khác là thường xuyên tham gia vào các hoạt động nhận thức và thực tiễn Qua đó tư duy của con người sẽ không ngừng được nâng cao

8

2.1.1.3 Phân loại tư duy

Có hai cách phân loại tư duy phổ biến nhất, đó là:

2.1.1.3.1 Phân loại tư duy theo đối tượng (của tư duy)

Với cách phân loại này, ta có các loại tư duy sau:

- Tư duy kinh tế - Tư duy chính trị

- Tư duy văn học - Tư duy toán học

- Tư duy nghệ thuật…

2.1.1.3.2 Phân loại tư duy theo đặc trưng của tư duy

Với cách phân loại này, ta có các loại tư duy sau:

- Tư duy cụ thể - Tư duy trừu tượng

- Tư duy logic - Tư duy biện chứng

- Tư duy sáng tạo - Tư duy phê phán…

2.1.1.4 Một số việc cần làm để phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh

- Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo:

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là việc áp dụng công thức tổng quát, những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác, những bài tập

có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận, những bài toán không theo mẫu, không đưa được về các loại giải toán bằng cách áp dụng các định lí, quy tắc trong chương trình…

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, khơi dậy những ý tưởng mới về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên đưa ra các tình huống

có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, dự đoán được những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác:

Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thầy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối quan hệ khác nhau Ta có thể luyện tập cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất

Và nếu cách chọn đối tượng x i không trùng với cách chọn đối tượng x j nào

i j i j; ,  1, 2, ,n thì có m1 m2   m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho

Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B Nếu công đoạn A

có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện

k n

! A

2.1.2.5 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động

mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó không dự đoán trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu 

2.1.2.6 Xác suất các biến cố

Định nghĩa: Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp

hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký hiệu là P A( ), được xác định bởi công thức:  

lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω

Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử) có xác suất bằng 1 Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử) xác suất bằng 0

Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k phần tử 0  k ncủa X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

n phần tử  Nhóm không có thứ tự Tổ hợp

 Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của X

k n

! C

12

2.2 Sử dụng phương pháp luận, tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất

Các bước tiến hành giải toán:

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu (số khả năng xảy ra)

Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi) Bước 3: Lấy số kết quả thuận lợi chia cho số khả năng xảy ra P A  n A   

n



 Sai lầm mà các em học sinh thường gặp phải khi giải dạng này chủ yếu là xác định sai số phần tử của không gian mẫu và số các kết quả thuận lợi của biến cố

A Việc sai lầm này một phần là do tính toán, một phần khác là do các em chưa phân biệt rõ hai khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp, dẫn đến tính n  sai Một sai lầm

nữa là việc xác định sai các kết quả thuận lợi cho biến cố A cụ thể là xác định thiếu hoặc thừa trường hợp, và kéo theo việc tính n A  sai

Như vậy để tìm P(A) ta chỉ cần tìm 2 con số ở tử và mẫu số với sự trợ giúp của giải

tích tổ hợp Đối với nhiều người học, tính P(A) bằng định nghĩa cố điển là bài toán khó Tôi xin nêu một cách phân tích và tính toán như sau:

Số có thể có của phép thử phụ thuộc vào phép thử, thế mà để tìm con số này nhiều bạn đã bỏ qua, không quan tâm gì đến phép thử của bài toán là thế nào Đó là một sai lầm Khi tìm số các trường hợp thuận lợi nếu ta đưa vào nhiều loại phép thử quá thì củng làm cho bài toán rối lên Vì vậy khi giải bài toán này, đề nghị học sinh hãy tư duy theo các bước như sau:

Hãy trả lời cho được: Ở đây phép thử là thế nào? Chưa trả lời được điều này thì

đừng vội đi tìm số có thể hay số thuận lợi làm gì, vì nếu tìm, học sinh sẽ chỉ theo cảm tính, cho nên dễ bị sai hoặc không lý giải rõ ràng được

Thực ra nếu phải dùng đến giải tích tổ hợp để tìm, thì phép thử của bài toán có thể

đưa về chỉ có 2 loại Đó là một lần thực hiện hay nhiều lần thực hiện? Hãy đọc kỹ

đầu bài để trà lời đúng câu hỏi này (Bạn cần phân biệt số lần thực hiện với số cách thực hiện Chẳngng hạn nếu lấy ra k phần tử từ một tập gồm n phần tử (k ≤ n), mà thứ tự cùa các phần tử không có ý nghĩa gì thì đó là lấy theo nghĩa tổ hợp, tức là một lần thực hiện (lấy cùng lúc hay lấy đồng thời) Số cách để thực hiện là k

n

C )

Số cách của hoán vị, số cách thực hiện theo nghĩa của chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, đều có thể tìm được bằng cách dùng tổ hợp và luật tích Như vậy học sinh hãy chọn lấy một trong hai loại phép thử chứ không phải phức tạp gì Xác định được phép thử rồi, học sinh sẽ trả lời được ngay:

- Số cách có thể cùa phép thử là bao nhiêu?

- Số thuận lợi cho biến cố A là bao nhiêu? Để tìm số thuận lợi cho A ta chỉ cần gắn ràng buộc của A vào phép thử, hạn chế bớt số trưòng hợp có thể, dẫn đến số trường hợp thuận lợi cho A Cách tìm như vậy sẽ dễ hơn là cách đưa vào một phép thử mới Với cách phân tích như trên, về giải tích tổ hợp ta chỉ cần dùng đến tổ hợp và luật tích là đủ, không cần quan tâm đến hoán vị, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp

13

Chẳng hạn, ta xét các ví dụ sau cho 1 phép thử hay nhiều phép thử mà chỉ cần dùng tổ hợp và luật tích:

Ví dụ 1 ( Phép thử 1 lần thực hiện)

Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ Tìm xác suất

để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm

thẻ mang số chia hết cho 10

Phân tích: Đây là một ví dụ mà học sinh hay nhầm lẫn giữa khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp, giáo viên cần làm rõ cho các em từ 10 tấm thẻ lấy ra từ 30 thẻ cho trước, ta thu được duy nhất một bó thẻ mà thứ tự của các thẻ không có ý nghĩa gì

Để học sinh có thể nhớ lâu và không sai lầm khi giải dạng này giáo viên cần đặt câu hỏi cho các em: khi lấy ngẫu nhiên 10 thẻ rồi thay đổi thứ tự thẻ có thêm được kết quả khác hay không ? Đó là một lần thực hiện hay nhiều lần thực hiện? Học sinh trả lời được câu hỏi này thì cũng sẽ nắm được dùng công thức nào để tính số cách lấy Điều này là rất quan trọng bởi vì nó quyết định đến kết quả của n  và

Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên

từ 20 câu hỏi trên Thí sinh X đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi Tìm xác suất để thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc

Phân tích: Đối với bài toán này học sinh rất khó để xác định phép thử vì khi đọc

câu: “ thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi… ” trong khi đề bài lại cho: “ Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên” Do đó học sinh cần tư duy

để xác định phép thử đây là gì và số thuận lợi cho biến cố A gắn với phép thử đó là bao nhiêu? Học sinh cần biết phép thử ở đây chỉ có 1 lần thực hiện (lấy một lúc 4

14

câu không liên quan thứ tự) , và số cách thực hiện của biến cố A trong từng trường hợp là thực hiện liên tiếp các hành động sao cho đủ 4 câu khi lấy ra Khi đó ta phải dùng đến tổ hợp và luật tích như sau:

Tại 1 điểm thi của kì thi Trung học phổ thông quốc gia có 15 phòng thi gồm 6

phòng mỗi phòng có 24 thí sinh và 4 phòng mỗi phòng có 25 thí sinh 5 phòng thi

23 thí sinh Sau 1 buổi thi, 1 phóng viên truyền hình chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh trong số các thí sinh đã dự thi buổi đó để phỏng vấn Giả sử khả năng được chọn

để phỏng vấn của các thí sinh là như nhau Tính xác suất để trong 10 thí sinh được chọn phỏng vấn không có 2 thí sinh nào cùng thuộc 1 phòng thi

Phân tích: Đây cũng là bài toán thực tế và cho nhiều giả thiết, đọc đề xong nhiều

học sinh bị rối và nghĩ rằng đây là bài toán khó Vì vậy học sinh khi tính toán rất

dễ sai, có nhiều em không biết cách tính n  , không định hướng được việc chọn

10 em này là như thế nào Thực ra đề cho nhiều giả thiết là để làm nhiễu và khiến cho nhiều học sinh cảm thấy khó hiểu và không biết tính toán như thế nào Nếu học sinh đọc kĩ đề thì chỉ cần thực hiện thêm một bước nữa là bài toán trở nên đơn giản hơn Đó là tính tổng số học sinh tại điểm thi này được kết quả là 6.24 + 4.25+5.23 = 359 em Và bài toán bây giờ trở thành bài toán chọn ngẫu nhiên 10 học sinh từ 359 học sinh Các em dễ dàng tính được   10

359

n    C

Đến phần tính n A thì nhiều học sinh gặp khó khăn thực sự, các em không  

hiểu rõ cụm từ “ không có 2 thí sinh nào thuộc cùng 1 phòng thi” là phải chọn như thế nào, điều này dẫn đến không biết tính n A ra sao Giáo viên cần giúp học sinh  

hiểu rõ các cụm từ kiểu này, bởi vì chỉ cần hiểu rõ thì các em sẽ xác định được cách tính ngay Không có 2 thí sinh nào thuộc cùng một phòng thi hiểu một cách đơn giản có nghĩa là bắt buộc phòng nào cũng có 1 em bởi vì chỉ có 10 phòng và chọn ra 10 em Có một số học sinh hiểu được vấn đề nhưng khi tính n A các em  

lại sử dụng quy tắc cộng và được kết quả   1 1 1

n  C C C Và từ đó ta đi đến lời giải hoàn chỉnh như sau

Lời giải:

Số thí sinh của điểm thi này là 6.24 + 4.25+5.23 = 359 em Chọn 10 em từ

359 em để phỏng vấn ta có   10

359

n    C Để trong 10 thí sinh được chọn không

có 2 em nào cùng một phòng có nghĩa là một phòng ta chỉ chọn đúng 1 em Gọi A

là biến cố “10 thí sinh được chọn không có 2 em nào cùng một phòng” Chọn 1 em

A

n  C C C

Xác suất của biến cố A là :   124 6 125 4 123 5

10 359

  3 3  3 2

10 10 10

n  C C  C

Sai lầm thứ hai là khi tính n(A), nhiều học sinh khi đọc đề nghĩ rằng hai

em chọn đề giống nhau nên chỉ có 1 cách, một số học sinh khác lại cho rằng chọn

đề cho em thứ nhất có 3

10

C cách, và em thứ 2 cũng có 3

10

C cách, vì câu hỏi của A và

B là giống nhau cho nên   3 3

10 10

n A C C Giáo viên cần lưu ý cho học sinh việc chọn bộ câu hỏi cho bạn A có 3

10

C cách, và ứng với mỗi cách chọn câu hỏi cho bạn

A thì bạn B chỉ có 1 cách chọn là chọn đúng bộ 3 câu hỏi bạn A vừa chọn Vì vậy

áp dụng quy tắc nhân ta có   3

10 1

n A C cách Từ đó ta có lời giải hoàn chỉnh như sau

16

Lời giải: Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm tất cả các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở

vị trí thứ nhất của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là

bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn Vì A cũng như B đều có 3

“bộ 3 câu hỏi A chọn và bộ 3 câu hỏi B chọn là giống nhau” Vì với mỗi cách chọn

3 câu hỏi của A, B chỉ có duy nhất cách chọn 3 câu hỏi giống như A nên

3

10 10

1

C

P X

C C

Ví dụ 5 (Phép thử nhiều lần thực hiện) [THPT QUỐC GIA 2018]

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn

 1;19 Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

Phân tích: Đối với bài toán này học sinh rất khó để xác định phép thử vì khi đọc

câu: “Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn

 1;19 ” Do đó học sinh cần tư duy để xác định phép thử đây là gì và số thuận lợi cho biến cố A gắn với phép thử đó là bao nhiêu? Học sinh cần biết phép thử ở đây chỉ có 3 lần thực hiện mỗi bạn viết ngẫu nhiên là mỗi lần thực hiện, và số cách thực hiện của biến cố A trong từng trường hợp là thực hiện liên tiếp 3 hành động

sao cho đủ 3 số viết ra Khi đó ta phải dùng đến tổ hợp và luật tích như sau:

Bạn A chọn một số từ 19 số có 19 cách chọn, bạn B cũng có 19 cách chọn có thể chọn số giống A, bạn C cũng có 19 cách Áp dụng luật tích, ta có   3

Gọi biến cố A: “ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3”

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn  1;19 có 6 số chia hết cho 3 là 3;6;9;12;15;18, có

7 số chia cho 3 dư 1 là 1; 4;7;10;13;16;19, có 6 số chia cho 3 dư 2 là 2;5;8;11;14;17

Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau: TH1 Cả ba số viết ra đều chia hết cho 3, trong trường hợp này có: 3

6 cách viết TH2 Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1, trong trường hợp này có: 3

7 cách viết TH3 Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2, trong trường hợp này có: 3

6 cách viết TH4 Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3, có một số chia cho 3 dư 1, có một số chia cho 3 dư 2 Trong trường hợp này có: 6.7.6.3! cách viết

17

Ví dụ 6 (Phép thử nhiều lần thực hiện)

Giải bóng chuyền do sở X tổ chức nhân dịp 8-3 gồm 12 đội tham dự trong đó có 9 đội các trường THPT và 3 đội phòng giáo dục Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C, mỗi bảng 4 đội Tính xác suất để 3 đội bóng của phòng giáo dục ở 3 bảng khác nhau

Phân tích: Đây là bài toán mà học sinh dễ sai lầm nhất và phần lớn các em đều

tính sai kết quả Sai lầm đầu tiên mà các em gặp phải đó là khi tính n  , khi chia bảng đội bóng mỗi bảng có 4 đội từ 12 đội nhiều học sinh tính được kết quả là

  4

12.3!

n  C , nguyên nhân là do các em nghĩ rằng chỉ cần chọn một bảng rồi hoán

vị các bảng cho nhau Đây cũng là sai lầm phổ biến nhất, một số học sinh khác thì lại tính được   4

12 3

C

n   , các em này lại có suy nghĩ đơn giản hơn là vì có 3 nhóm nên chỉ cần nhân 3 là được Có học sinh thì đưa ra công thức đúng nhưng dùng quy tắc cộng và được kết quả   4 4 4

12 8 4

n  C C C cũng sai

Để học sinh tránh được sai lầm và tính kết quả đúng giáo viên phải nhắc lại cho các em về quy tắc nhân, sau đó phân tích cho các em rõ phép thử ở đây là 3 lần thực hiện liên tiếp , mỗi lần ta chọn 4 đội vào bảng và sự phân chia đội về 3 bảng này diễn ra liên tiếp vì vậy phải dùng luật tích và các bảng này không có ưu tiên nên ta chọn bảng nào trước cũng được Từ đó giáo viên đưa ra công thức tính kết quả   4 4

3 2 1

C C C

Để phân tích giúp học sinh tránh sai lầm đối với bài tập loại này điều đầu tiên là giáo viên phải hiểu được suy nghĩ của học sinh, tại sao các em lại đưa ra công thức đó Và một lần nữa giáo viên nhấn mạnh cho học sinh về cách dùng tổ hợp và luật tích, yêu cầu phân chia ở đây là ra 3 cho nên phải phân chia xong cả 3 bảng thì mới hoàn thành công việc (phép thử phải thực hiện 3 lần), vì vậy phải dùng quy tắc nhân Vì vậy khi chọn đội bóng cho bảng A ta chọn 3 đội THPT từ 9 đội THPT và 1đội phòng giáo dục từ 3 đội phòng giáo dục nên có 3 1

18

Vì mỗi bảng có 1 đội PGD cho nên lần 1: Chọn 3 đội THPT cho bảng A có C9

và chọn 1 đội PGD cho bảng này có 1

3

C cách và chọn 1 đội PGD còn lại thì có 1 cách Gọi A là biến cố

“chia 3 bảng trong đó 3 đội bóng của phòng giáo dục ở 3 bảng khác nhau ”, áp dụng quy tắc nhân ta có   3 1 3 1 3 1

9 3 6 2 3 1 ( ).( ).( )

Phân tích:

Đây cũng là một bài toán phân chia nhóm giống bài toán 7 và bài toán 8, chỉ khác là ở đây việc chia nhóm của biến cố A hơi khác một chút so với các bài toán trên Như vậy sau khi phân tích giống hai bài toán trên thì học sinh sẽ tính được

  5 5 5 5

20 15 10 5

n  C C C C Tuy nhiên nếu tính tiếp n A  thì các em lại gặp một số sai lầm sau đây Sai lầm thứ nhất là vì chỉ có 5 bạn nữ cho nên chọn nhóm nữ thì các em kết luận chỉ có một cách, sau đó chia 15 bạn nam ra 3 nhóm các em tính được 5

15 3!

C , đây cũng là sai lầm khá phổ biến đối với học sinh khi giải bài toán này Cần làm rõ cho học sinh biết rằng ở đây có 4 nhóm khác nhau cho nên việc chọn nhóm cho 5 bạn nữ sẽ có 4 cách, và phân tích tiếp cho các em việc chia nhóm ở đây là chia ra 3 nhóm với số người giống nhau là 5 người Cho nên ta phải chọn người cho từng nhóm 1 Cụ thể sau khi chọn nhóm cho nữ có 4 cách thì ta còn 3 nhóm cho 15 bạn nam Chọn 5 em cho nhóm thứ nhất có 5

n A  C C C Đến đây thì thay vào công thức ta có xác suất của biến cố A

Lời giải: Chọn 5 em cho nhóm thứ nhất có 5

19

Nhận xét: Ta có kết quả tổng quát hơn như sau: số cách chia n phần tử ra thành k

nhóm nhỏ với số phần tử trong mỗi nhóm là n n1, 2, n ,tất nhiên k

Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 5 bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm

xác suất sao cho:

a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Năm bạn nam ngồi gần nhau

Phân tích: Phép thử ở đây 10 lần thực hiện, mỗi lần là chọn 1 người trong số còn

lại vào 1vị trí Vì đây chỉ là sắp xếp 10 bạn nên có 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 10!  Tuy nhiên đến phần tìm n A n B thì các em lại thường tính sai    ,

Sai lầm đầu tiên khi các em sắp xếp nam và nữ xen kẽ các em thường chỉ tính một trường hợp là nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, mà quên mất trường hợp còn lại là nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam nữ, nam ,nữ, nam Vì vậy mà kết quả các em thường chỉ được 5!.5!

Khi tính các kết quả thuận lợi cho biến cố ở câu b phần lớn các em học sinh chỉ tính một trường hợp là 5 bạn nam ngồi vị trí 1,2,3,4,5 và tiếp theo là 5 bạn nữ

Vì vậy kết quả các em tính được là 5!.5! Một số em thì tính thêm trường hợp 5 bạn nam ngồi sau và 5 bạn nữ ngồi trước, và được kết quả là 5!.5! 5!.5! Sai lầm này là do một số em nghĩ rằng nam ngồi gần nhau thì nữ cũng ngồi gần nhau, do

đó không tính hết các trường hợp để 5 bạn nam ngồi cạnh nhau

Để tránh được các sai lầm này thì khi giải toán giáo viên nên cho các em đọc

kỹ đề, phân tích rõ biến cố như ở câu b chỉ cần 5 bạn nam ngồi kề nhau còn các bạn nữ thì ngồi tự do ở 5 ghế còn lại Giáo viên cũng cần chỉ rõ cho học sinh các trường hợp để 5 bạn nam ngồi kề nhau, đó là 5 bạn nam ngồi ở số ghế 1 đến 5, 2 đến 6, 3 đến 7, 4 đến 8, 5 đến 9 và 6 đến 10 Như vậy là có 6 trường hợp xảy ra, và ứng với mỗi trường hợp thì ta hoán vị 5 bạn nam với nhau, 5 bạn nữ với nhau và số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 6.5!.5! Bài toán được giải chính xác như sau

20

Ví dụ 9 (Phép thử nhiều lần thực hiện) [Tham khảo THPTQG 2019].

Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên 6, gồm 3 nam và

3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi Xác

suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng

Phân tích: Phép thử ở đây 6 lần thực hiện, mỗi lần là chọn 1 người trong số còn

lại vào 1 vị trí Vì đây chỉ là sắp xếp 6 bạn nên có 6.5.4.3.2.1 6!  Tuy nhiên đến phần tìm n A thì các em lại thường tính sai Ta có thể tham khỏa lời giải sau:  

Lời giải: Số phần tử của không gian mẫu là    6! 720

Gọi A là biến cố mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ

Ta có:

Xếp 3 học sinh nữ vào cùng 1 dãy ghế có 3! cách

Xếp 3 học sinh nam vào cùng 1 dãy ghế có 3! cách

Ở các cặp ghế đối diện nhau hai bạn nam và nữ có thể đổi chỗ cho nhau nên có 3

b) Toa I có 3 hành khách,toa II có 4 hành khách, toa III có 1 hành khách, còn lại toa IV

c) M ột toa có 3 hành khách, một toa có 5 hành khách và một toa 2 có

hành khách,còn 1 toa không có khách nào

Phân tích: Đây là một dạng toán thực tế mà học sinh gặp khá nhiều và được ra ở

nhiều tình huống khác nhau Ví dụ như chọn toa tàu, chọn quán mua đồ, chọn phòng học, Đa phần các em không biết rằng đây là bài toán sắp xếp nhưng không ràng buộc điều kiện, có nghĩa là hành khách lên tùy ý, một toa có bao nhiêu khách lên cũng được Từ đây giáo viên cần làm rõ cho học sinh chúng ta phải chọn toa cho các hành khách và khi nào chọn xong cho cả 10 hành khách thì mới hoàn thành công việc Vì vậy phép thử ở đây là: Mỗi người chọn cho mình một toa Do

đó có 10 lần thực hiện ( ai không chọn thì người đó ko lên tàu) Mỗi lần chọn là chọn 1 trong 4 toa nên có 1

21

Đến phần tính n A cần hướng dẫn rằng tất cả cùng lên một toa tức là 10 người cùng lên toa I hoặc cùng toa II hoặc cùng toa III hoặc cùng toa IV Nếu người thứ nhất chọn 1 trong 4 toa ( có 1

4 4

C  cách) thì 9 người sau chỉ có một cách chọn là lên theo người thứ nhất, vậy 1

4 1.1.1.1.1.1.1.1.1 4

( )

Đến phần tính n B thì các em cần suy luận: Ta chọn theo thứ tự “3-4-1-2” : Chọn

3 khách từ 10 khách lên toa I ta có C cách, chọn 4 người trong 7 người còn lại 103

b) Gọi B là biến cố “Toa I có 3 hành khách, toa II có 4 hành khách, toa

III có 1 hành khách, còn lại toa IV”

Phân tích: Đối với bài toán dạng này việc xác định không gian mẫu và các biến cố

thường là rất khó khăn Học sinh thường mất phương hướng và không xác định

22

được cách tính toán cho bài toán này Giáo viên cần hướng dẫn cho các em phép thử ở đây là 10 lần thực hiện, mỗi lần làm một câu là một lần thực hiện và có 1

hỏi này thì học sinh sẽ dễ dàng tìm ra kết quả của bài toán

Học sinh vẫn có thể gặp một số sai lầm khi tính toán kết quả, cụ thể có nhiều em thay bằng quy tắc nhân vẫn sử dụng quy tắc cộng Một số em khác không chọn bộ 7 câu trả lời đúng, vì vậy kết quả của các em thiếu 7

10

C Đây cũng là sai lầm của nhiều học sinh khác, nguyên nhân chủ yếu do các em không biết rằng đây

là bài thi gồm 10 câu khác nhau, việc trả lời đúng 7 câu này khác với trả lời đúng 7 câu hỏi kia Vì vậy đầu tiên ta phải chọn bộ 7 câu để thí sinh trả lời đúng, 3 câu còn lại thì trả lời sai Sau đó áp dụng quy tắc nhân cho các câu đúng và các câu sai

ta có kết quả của bài toán Từ đó ta có lời giải hoàn chỉnh như sau

Lời giải:

Số phần tử của không gian mẫu là 10

( ) 4

n  Gọi A là biến cố: “Thí sinh đó đạt từ 7,0 điểm trở lên”

Vậy xác suất để thí sinh đó đạt từ 7,0 điểm trở lên là: 367610

4 ( )

P A 

Ví dụ 12 (Phép thử nhiều lần thực hiện)

Trong bình thứ nhất đựng 3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen Trong bình thứ hai đựng 4

bi đỏ và 6 viên bi đen Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi của bình thứ nhất và 1 viên bi của bình thứ hai

a Tính xác suất của biến cố để lấy được ba viên bi đỏ

b Tính xác suất để lấy được ba viên bi cùng màu

Phân tích: Đây là bài toán học sinh ít gặp bởi vì lấy ra số bi ở hai bình là khác

nhau Vì vậy nhiều học sinh cảm giác hơi lạ và thấy khó xác định không gian mẫu

và các biến cố Tuy nhiên giáo viên chỉ cần hướng dẫn học sinh làm như các bài chọn bi và chọn người ở các dạng trước đây, khi đó các em chỉ cần dùng đúng khái

C cách chọn Vì công việc là lấy bi ra từ 2 bình cho nên áp dụng quy tắc nhân ta

có   2 1

10 10 450

n  C C  Để lấy được 3 viên bi đỏ thì 2 viên lấy ra ở bình thứ nhất và

1 viên lấy ra ở bình thứ 2 đều là bi đỏ Lấy ra 2 bi đỏ từ bình 1 có 2

n   , từ đó suy ra xác suất của biến cố A, và

cũng làm tương tự đối với câu b

Lời giải:

a Lấy 2 bi từ bình thứ nhất đựng 10 viên bi (3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen), và 1 viên bi từ bình thứ hai đựng 10 viên bi (4 bi đỏ và 6 viên bi đen) Số phần tử của không gian mẫu là:   2 1

b Gọi B là biến cố “lấy được 3 bi cùng màu” Biến cố B xảy ra khi ta lấy được cả

3 bi màu đỏ hoặc cả 3 bi màu đen 2 1

P B  

Ví dụ 14 (Phép thử nhiều lần thực hiện)

Trong kì thi TN THPTQG, Bình làm đề thi trắc nghiệm môn Hóa học Đề thi gồm

50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm Bình trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu; 5 câu còn lại Bình chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để điểm môn Hóa của Bình không dưới 9,5 điểm

Phân tích: Ngoài cách giải như ví dụ 11 giáo viên có thể hướng dẫn học sinh theo

cách phân tích sau: Đầu tiên học sinh cần hiểu rõ là cụm từ “không dưới 9,5 điểm” tức là điểm mà Bình đạt được là lớn hơn hoặc bằng 9,5 mà vì điểm mỗi câu đúng

là 0,2 cho nên điểm của Bình phải lớn hơn hoặc bằng 9,6 Câu hỏi giáo viên đặt ra cho học sinh là Bình đã làm được chắc chắn mấy điểm? Và muốn điểm của Bình không dưới 9,5 thì Bình phải trả lời đúng thêm mấy câu hỏi? Học sinh trả lời được ngay vì bạn Bình trả lời hết cả 50 câu trong đó có 45 câu chắc chắn đúng và mỗi câu đúng được 0,2 điểm cho nên Bình đã đạt được là 9 điểm Vì vậy nếu muốn điểm số của Bình không dưới 9,5 thì Bình phải trả lời đúng ít nhất là 3 câu trong 5 câu còn lại Một khó khăn mà học sinh gặp phải là các em đưa cả 45 câu đã trả lời chắc chắn đúng vào tính toán, điều này vừa tăng độ phức tạp của bài toán vừa dễ sai lầm Giáo viên cần phân tích cho học sinh rõ là vì 45 câu này bạn Bình chắc chắn đúng có nghĩa 45 câu này bạn đã xác định là những câu nào rồi, cho nên

24

không cần đưa vào tính toán nữa Chúng ta chỉ cần tập trung vào 5 câu mà bạn điền ngẫu nhiên còn lại Và như vậy bài toán quay về yêu cầu tìm xác suất để bạn Bình trả lời đúng ít nhất là 3 câu trong 5 câu còn lại Ta sẽ chia ra 3 trường hợp: trường hợp 1 bạn Bình trả lời đúng 3 câu, trường hợp 2 bạn Bình trả lời đúng 4 câu, và trường hợp 3 bạn Bình trả lời đúng cả 5 câu Câu hỏi mà học sinh trả lời tiếp theo

là tính xác suất để trả lời đúng và trả lời sai ở mỗi câu hỏi Sau đó áp dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng cho 3 trường hợp ta có kết quả Trên thực tế khi xác định được đến đây nhiều học sinh vẫn gặp sai lầm khi đưa ra kết quả cuối cùng Cụ thể đối với trường hợp 1 các em tính được kết quả

C cách chọn 3 câu để trả lời đúng trong 5 câu này Áp dụng tương

tự cho hai trường hợp còn lại để đưa ra đáp án cuối cùng Sau đây là một lời giải

hoàn chỉnh

Lời giải:

Xác suất để trả lời đúng mỗi câu hỏi là 1

4, xác suất trả lời sai mỗi câu hỏi là 3

4

Vì mỗi câu hỏi đúng được 0,2 điểm mà Bình trả lời chắc chắn đúng 45 câu nên số điểm mà bình đã đạt được là 9 điểm Vì vậy để điểm của Bình không dưới 9,5 điểm có nghĩa là lớn hơn hoặc bằng 9,5 điểm thì số câu hỏi mà Bình trả lời đúng trong 5 câu còn lại phải lớn hơn hoặc bằng 3

Ta có 3 trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1 bạn Bình trả lời đúng 3 câu, sai 2 câu

Trường hợp 2 bạn Bình trả lời đúng 4 câu, sai 1 câu

Trường hợp 3 bạn Bình trả lời đúng cả 5 câu

Ba biến cố cho 3 trường hợp này là xung khắc nhau Áp dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng xác suất ta có xác suất cần tìm là:

Bài toán 1 Bài toán đếm số

Có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ được chọn là số chẵn

Gọi A là biến cố: “Tích của hai số trên hai tấm thẻ được chọn là số chẵn”

Có hai trường hợp: - Cả hai tấm thẻ đều có số chẵn: vì có 4 số chẵn trong khoảng

từ 1 đến 9, nên số cách chọn ở trường hợp này là: 2

Bài toán 2 Bài toán chọn vật, chia hết

Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10

Gọi A là biến cố: “Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ

có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10”

Để tính các kết quả thuận lợi cho A ta làm như sau: Đầu tiên chọn 5 tấm thẻ mang

số lẻ, chọn 4 tấm thẻ trong 12 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10, sau cùng chọn 1 tấm thẻ trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10

Theo luật tích, ta có: 5 4 1

A C C C15 12 3

  Vậy:   A 155 124 31

10 30

P A

667

C C C C





26

Bài toán 3 Bài toán đếm số đa giác

Cho đa giác đều có 15 đỉnh Gọi M là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh

của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc M, tính xác suất để tam

giác được chọn là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều.

Có 7 cặp đỉnh đối xứng với nhau qua đường thẳng OA, hay có 7 tam giác cân tại

đỉnh A Như vậy với mỗi đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh của tam

giác cân

Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là 5 tam giác

Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi

tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên các tam giác đều được đếm ba lần

Gọi A là biến cố: “ Tam giác được chọn là tam giác cân nhưng không phải là tam

giác đều”

Suy ra số tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều có ba đỉnh là ba đỉnh của

đa giác đã cho là: n A  7.15 7.5   90

Vậy xác suất để tam giác được chọn là tam giác cân nhưng không phải là tam giác

đều là:   1

455

90 18 91

P A

C

Bài toán 4 Bài toán đếm số đa giác

Cho đa giác đều H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của hình H Tính xác suất

để 4 đỉnh chọn được tạo thành một hình chữ nhật không phải là hình vuông

Hướng dẫn giải:

Ở đây phép thử là chọn một lúc 4 đỉnh trong 24 đỉnh (nghĩa là 1 lần thực hiện)

theo nghĩa của tổ hợp

Số phần tử của không gian mẫu:   4

24

C

n  Gọi A là biến cố: “4 đỉnh chọn được tạo thành một hình chữ nhật không phải là

hình vuông”

Gọi O là tâm của đa giác đều Vì đa giác đều có số đỉnh là chẵn, nên có 12 cặp

điểm đối xứng qua O, tạo thành một đường kính, cứ lấy bất kì 2 đường kính nào

chúng cũng là 2 đường chéo của một hình chữ nhật Do đó số hình chữ nhật là 2

12

C Suy ra   2

12

n  Vậy   122

4 24

1 161

C

P A

C

27

Bài toán 5 Bài toán chọn vật

Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên một lần 3 viên bi Tính xác suất trong hai trường hợp sau:

a Lấy được 3 viên bi màu xanh

b Lấy được ít nhất hai viên bi màu xanh

c Gọi B là biến cố: “ Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh”

Để lấy được ít nhất hai viên bi màu xanh ta có 2 cách:

- Lấy được 3 bi màu xanh: Có 3

Suy ra, theo quy tắc cộng, ta có:  B 70 10   80

Vậy theo định nghĩa của xác suất ta có:   B 80 4

Bài toán 6 Bài toán chọn vật [THPTQG NĂM 2018]

Từ một hộp chứa 10 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3quả cầu Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng

2 91

28

Bài toán 7 Bài toán chọn vật

Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất sao cho 4 quả cầu

được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng

Gọi B là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai

quả màu vàng” Ta xét ba khả năng sau:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 1 3

Bài toán 8 Bài toán chọn vật, chia hết

Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50 Chọn ngẫu nhiên 3 viên

bi trong hộp, tính xác suất để tổng ba số trên 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3

● TH1: 3 viên bi được chọn cùng một loại, có  3 3 3 

29

Bài toán 9 Bài toán đếm số

Cho tập hợp A {0; 1; 2; 3; 4; 5} Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A Chọn ngẫu nhiên một số S từ tính xác suất

để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu

Ở đây phép thử là chọn một số từ tập S (nghĩa là 1 lần thực hiện) theo nghĩa của

tổ hợp Việc đi tìm số phần tử của S ta thực hiện 3 hành động liên tiếp rồi áp dụng quy tắc nhân

Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc Trong đó

, , 0

a b c A a

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tậpS

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 1

Suy ra số phần tử của biến cố X là  X 8.

Bài toán 10 Bài toán đếm số lần xuất hiện chữ số

Cho tập hợp A2;3; 4;5;6;7;8 Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi

một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A Chọn ngẫu nhiên một

số từ S, tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ